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贵州省贞丰二中2012-2013学年高二下学期3月月考卷数学(文科)


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贵州省贞丰二中 2012-2013 学年高二下学期 3 月月考卷数学(文科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 要求的) 1.将 y ? ln x 的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转角 ?

后第一次与 y 轴相切,则角 ? 满足的条件是( A.esin ? = cos ? 【答案】B 2.下列求导运算正确的是( A. ( x ?
x /

共 60 分)

一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

)

B.sin ? = ecos ? )

C.esin ? =l

D.ecos ? =1

1 / 1 ) ? 1? 2 x x
x

B. (log 2 x) ?
/

1 x ln 2

C. (5 ) ? 5 log 5 e 【答案】B

D.

( x 2 cos x) / ? 2 x sin x

3.由直线 x ? 1 ,x=2,曲线 y ? sin x 及 x 轴所围图形的面积为( A. ? C. sin1(2 cos1 ? 1) 【答案】D 4.设函数 f ( x ) ? xe ,则(
x

)

B. sin 2 ? sin1 D. 1 ? cos1 ? 2 cos 1
2

) B. x ? 1 为 f ( x) 的极小值点 D. x ? ?1 为 f ( x) 的极小值点[学

A. x ? 1 为 f ( x) 的极大值点 C. x ? ?1 为 f ( x) 的极大值点 【答案】D 5.下列求导运算正确的是( A. ( 2 ) ? ? x ? 2
x x ?1

)
? x ?1

B. (e

)? ? ?e ? x ?1
D. (

C. ( x ?
2

1 1 )? ? 2 x ? 2 x x

x cos x ? x sin x )? ? cos x (cos x) 2

【答案】B 6.已知一组曲线 y ?

1 3 ax ? bx ? 1 ,其中 a 为 2,4,6,8 中的任意一个, b 为 1,3,5,7 中的任意一个。 3 现从这些曲线中任取两条,它们在 x ? 1 处的切线相互平行的组数为( )
A. 9 C. 12 B. 10 D. 14

【答案】D 7.曲线 y ? x ? 11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是(
2

)

A.-9 【答案】C
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B.-3

C.9

D.15

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8.设函数 f(x)=ax2+b(a≠0) ,若 A.±1 【答案】C B. 2

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)

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?

3 0

f(x)dx=3f(x0) ,则 x0=( C.± 3 D.2

9.已知 f ( x) ? ln x ,则 f (
/

?
2 2

) ?(

) C.

A. ln( )

?

2

B.

?
2

?

D.-1

【答案】B 10.曲线 y ? e x 在点 (2, e 2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积( ) D.
e2 2

9 A. e 2 4
【答案】D

B. 2a 2

C. e 2

11.若曲线 y ? x 在点 P 处的切线的斜率等于 3,则点 P 的坐标为(
3

) D. (?1,1) 或 (1,?1)

A. (1,1) 或 (?1,1) 【答案】C

B. ( ?1,?1) 或 (1,?1) C. ( ?1,?1) 或 (1,1)

12.由曲线 xy ? 1 ,直线 y ? x, y ? 3 所围成的平面图形的面积为( A.

) D. 4 ? ln 3

32 9

B. 2 ? ln 3

C. 4 ? ln 3

【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上)

f ' ( x ) =________;函数 f ( x ) 图象在点 (0, f (0)) 处的切线方程为____________ 13.已知函数 f ( x ) ? xe ,则
x

【答案】

(1 ? x )e x , y ? x
.

14.已知函数 f ( x ) 的图像在点 M (1, f (1)) 处的切线方程是 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 ,则 f (1) ? f ?(1) ? 【答案】

5 3
x

15.函数 f(x)=(ln2)log2x-5 log5e(其中 e 为自然对数的底数)的导函数为____________ 【答案】

1 x -5 x
3

16.若函数 f ( x) ? x ? 3 x ? a 有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 【答案】 ( ?2, 2)

.

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.水库的蓄水量随时间而变化,现用 t 表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数据,某水库的蓄水 量(单位:亿立方米)关于 t 的近似函数关系式为

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V(t)= (Ⅰ)该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期.以 i-1<t<t 表示第 1 月份(i=1,2,…,12),同一年内哪几个 月份是枯水期? (Ⅱ)求一年内该水库的最大蓄水量(取 e=2.7 计算) 【答案】 (1)①当时 化简得 解得 ②当 化简得, 时, , . , ,

解得 综上得, ,或 .

.

故知枯水期为 1 月,2 月,3 月,4 月,11 月,12 月共 6 个月。 (2)由(1)知, 的最大值只能在(4,10)内内达到。

由 令 ,解得 与 ( 舍去) 。

,

当 变化时,

的变化情况如下表:

由上表,



时取得最大值

(亿立方米) 。

故知一年内该水库的最大蓄水量是 108.32 亿立方米。 18.已知函数 f ( x) ?

(1)若 f ( x) ? ln x ? m ? 1 在 [1,? ?) 上恒成立,求 m 取值范围; (2)证明:2 ln2 + 3 ln3+…+ n lnn ?
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mx m ? 2 ? (m ? 0) . 2 2x

2n3 ? 3n 2 ? 5n ( n ? N* ) . 12
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【答案】令 g ( x) ? ln x ?

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mx m ? 2 ? ? m ? 1 ? 0 在 x ? [1, ??) 上恒成立 2 2x

g ' ( x) ?
(1) 当 ?1 ?

1 m m ? 2 ?( x ? 1)(mx ? m ? 2) ? ? ? x 2 2 x2 2 x2

2 ? 1 ? 1 时,即 m ? 1 时 m

g ' ( x) ? 0 在 [1, ??) 恒成立. ? g ( x) 在其上递减.
? g max ? g (1) ? 0
? 原式成立.


2 ? 1 ? 1 即 0<m<1 时 m 2 ? 1) ? g (1) ? 0 m

? g (1) ? 0, g max ? g (
? 不能恒成立.
综上: m ? 1

(2) 由 (1) 取 m=1 有 lnx ?

1 1 (x ? ) 2 x

? x ln x ? ? n ln n ?

x2 ? 1 令 x=n 2 n2 ? 1 2

1 ? 2 ln 2 ? 3ln 3 ? .... ? n ln n ? [22 ? 32 ? .. ? n 2 ? 1 ? n] 2 ?12 ? 22 ? ... ? n 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6

? 化简证得原不等式成立.
19.已知函数 f ( x) ? (1)当 a

1 3 a ?1 2 x ? x ? bx ? a (a, b ? R ) ,且其导函数 f ?( x) 的图像过原点. 3 2

? 1 时,求函数 f ( x) 的图像在 x ? 3 处的切线方程;

(2)若存在 x ? 0 ,使得 f ?( x) ? ?9 ,求 a 的最大值; (3)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的零点个数. 【答案】 f ( x ) ? 由 f ?(0) ? 0 得 (1) 当 a

1 3 a ?1 2 x ? x ? bx ? a , f ?( x) ? x 2 ? (a ? 1) x ? b 3 2

b ? 0 , f ?( x) ? x( x ? a ? 1) .

1 ? 1 时, f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 1 , f ?( x) ? x( x ? 2) , f (3) ? 1 , f ?(3) ? 3 3

所以函数 f ( x) 的图像在 x ? 3 处的切线方程为 y ? 1 ? 3( x ? 3) ,即 3 x ? y ? 8 ? 0 (2) 存在 x ? 0 ,使得 f ?( x) ? x( x ? a ? 1) ? ?9 ,
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?a ? 1 ? ? x ?

9 9 9 ? (? x) ? (? ) ? 2 (? x) ? (? ) ? 6 , a ? ?7 , x x x

当且仅当 x ? ?3 时, a ? ?7. 所以 a 的最大值为 ?7 . (3) 当 a ? 0 时, x, f ?( x), f ( x ) 的变化情况如下表:

f ( x) 的极大值 f (0) ? a ? 0 ,

1 1? 1 1? f ( x) 的极小值 f (a ? 1) ? a ? (a ? 1)3 ? ? ? a 3 ? 3(a ? ) 2 ? ? ? 0 6 6? 2 4?
又 f ( ?2) ? ? a ?

14 3 1 ? 3 ? ? 0, f ( x) ? x 2 ? x ? (a ? 1) ? ? a , f ( (a ? 1)) ? a ? 0 . 3 2 3 ? 2 ? 3 ( a ? 1)) 内各有一个零点, 2

所以函数 f ( x) 在区间 ? ?2, 0 ? , (0, a ? 1), ( a ? 1, 故函数 f ( x) 共有三个零点.

20.甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸 40 km 的 B 处,乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km,两厂要在此岸边合建一个供水站 C,从供水站到甲厂和乙厂的水 管费用分别为每千米 3 a 元和 5 a 元,问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省?

【答案】解法一:根据题意知,只有点 C 在线段 AD 上某一适当位置,才能使总运费最省,设 C 点距 D 点 x km, 则 ∵BD=40,AC=50- x ,∴BC= BD 2 ? CD 2 ? x 2 ? 40 2 又设总的水管费用为 y 元,依题意有: y =3 a (50-x)+5 a y′=-3 a +
5ax x ? 40 2
2

x 2 ? 40 2 (0 ? x ? 50)

,令 y′=0,解得 x =30

在(0,50)上,y 只有一个极值点,根据实际问题的意义, 函数在 x =30(km)处取得最小值,此时 AC=50- x =20(km) ∴供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处,可使水管费用最省. 解法二:设∠BCD= ? ,则 BC=
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40 ? ,CD= 40 cot ? , (0 ? ? ? ) , AC ? 50 ? 40 cot ? 2 sin ?
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设总的水管费用为 f(θ ),依题意,有
f (θ )=3 a (50-40·cotθ )+5 a ?

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5 ? 3 cos? 40 =150 a +40 a · sin ? sin ?

∴ f ? (θ )=40 a ?

(5 ? 3cos ? )? ? sin ? ? (5 ? 3cos ? ) ? (sin ? )? 3 ? 5cos ? ? 40a ? sin 2 ? sin 2 ?

令 f ? (θ )=0,得 cosθ =

3 5 3 4 3 时,函数取得最小值,此时 sinθ = ,∴cotθ = , 5 5 4

根据问题的实际意义,当 cosθ =

∴AC=50-40cotθ =20(km),即供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处,可使水管费用最省. 21.如图所示,将边长为2的正三角形铁皮的三个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的 正三棱柱容器,要求正三棱柱容器的高 x 与底面边长之比不超过正常数 t. ⑴把正三棱柱容器的容积 V 表示为 x 的函数,并写出函数的定义域; ⑵x 为何值时,容积 V 最大?并求最大值.

【答案】⑴设平均数为 m , m ? 即测量50次的平均值为70米 ⑵P?

68 ? 5 ? 69 ? 15 ? 70 ? 10 ? 71 ? 15 ? 72 ? 6 ? 70 50

10 1 ? 50 5 15 3 ? 50 10

⑶每一次测得数据为71米的概率为 P ? 1

1 3 3 27 故所求概率 P2 ? 3 ? ? ? ? 5 10 10 500
22.请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的 等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的 包装盒.E、F 在 AB 上,是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点.设 AE ? FB ? x (cm) .

(1)某广告商要求包装盒侧面积 S(cm )最大,试问 x 应取何值? (2)某厂商要求包装盒容积 V(cm )最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
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3

2

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【答案】 (1)根据题意有

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S ? 602 ? 4 x 2 ? (60 ? 2 x ) 2 ? 240 x ? 8 x 2 ? ?8( x ? 15) 2 ? 1800(0 ? x ? 30)
(2)根据题意有 V ? ( 2 x )
2

所以 x=15cm 时包装盒侧面积 S 最大.

2 (60 ? 2 x ) ? 2 2 x 2 (30 ? x )(0 ? x ? 30) , 2

所以, V ? ? 6 2 x (20 ? x ) ;当 0 ?

x ? 20 时, V ? ? 0 ,当 20 ? x ? 30 时, V ? ? 0 所以,

2 (60 ? 2 x ) 1 2 当 x=20 时,V 取极大值也是最大值. 此时,包装盒的高与底面边长的比值为 ? 2 2
答:当 x=20(cm)时包装盒容积 V(cm )最大,此时包装盒的高与底面边长的比值为
3

1 . 2

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