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浙江省杭州学军中学2010届高三第二次月考(数学文)


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浙江省杭州学军中学 2010 届高三第二次月考 浙江省 数学(文科) 数学(文科)试题
小题, 一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 选择题:

( 1.已知全集 U=R,集合 M = y y = 2 + 1 , N = x y = lg 3 ? x) ,则
x

{

}

{

}

(CU M ) ∩ N =
A. [3, +∞) B. ( ?∞,1] C. [1,3) D. Φ





2. 0 < x < 5 是不等式 | x ? 2 |< 4 成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知角 α 的终边上一点的坐标为 (sin





2π 2π , cos ), 则角 α 的最小正值为 ( 3 3 5π 2π 5π 11π A. B. C. D. 6 3 3 6 ( 4.已知 k < ?4 ,则函数 y = cos 2 x + k (cos x ? 1) 的最小值是 A. 1 B. ?1 C. 2k + 1 D. ?2k + 1 r r v v v v v v v 5.若 a = 1, b = 2, c = a + b ,且 c ⊥ a ,则 a 与 b 的夹角为 (
A. 30
°



)



B. 60

°

C. 120°

D. 150

°

6.已知曲线 y = A. 30
0

1 2 3 x ? 2 上一点 P (1, ? ) ,则在点 P 处的切线的倾斜角为 2 2
B. 45
0


0



C. 135

0

D. 165

7. 若函数 f (x ) 的导函数 f ′( x ) = x 2 ? 4 x + 3 ,则函数 f ( x + 1) 的单调递减区间是 A . (?4,?2) B. ( ?3,?1) C. (1,3) D. (0,2)

(

)

8.已知函数 f ( x) = ? ( A.1 )

?8 x ? 8

, g ( x) = ln x.则f ( x)与g ( x) 两函数的图像的交点个数为 2 ? x ? 6 x + 5 ( x > 1)
B.2 C.3 D.4

( x ≤ 1)

9. 若函数 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数, ( ?∞,0] 上是减函数, f ( 2) = 0 ,则使得 f ( x ) < 0 的 x 在 且 的取值范围是 ( ) A. ( ?∞,2) B. (?2,2) C. ( ?∞,?2) ∪ ( 2,+∞) D . ( 2,+∞) 10. 设函数 f ( x ) = ? 的最大值是 A. 1
4

2x , -2 ≤ x < 0 , f ( x ) 是奇函数, 若 则当 x ∈ (0, 2] 时,g ( x ) 2 ? g ( x ) ? log 5 ( x + 5 + x ) , 0<x ≤ 2 ?
( B. ? 3
4

) D. ? 1
4

C. 3
4

小题, 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 填空题(

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11.已知命题:“ ?x ∈ [1, 2] ,使 x + 2 x + a ≥ 0 ”为真命题,则 a 的取值范围是
2



12.在 ?ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 为__________.

cos B b =? , 则角 B 的大小 cos C 2a + c
. .

13.已知点 O 为 ?ABC 的外心,且 AC = 4, AB = 2 ,则 AO ? BC = 14.已知函数 f ( x) = x( x ? t ) 2 在 x = 3 处有极小值,则 t 的值为
3

15 已 知 函 数 f ( x) = x ? 12 x + 8 在 区 间 [ ?3,3] 上 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为 M , m , 则

M ?m = . 16. f ( x) 是以 2 为周期的偶函数,且当 x ∈ [ 0,1] 时, f ( x) = x ,若在区间 [ ?1,3] 内,函数 g ( x) = f ( x) ? kx ? k 有 4 个零点,则实数 k 的取值范围是 .

?a x ( x < 0), f ( x1 ) ? f ( x 2 ) < 0 成立, 17.已知函数 f ( x) = ? 满足对任意 x1 ≠ x 2 , 都有 x1 ? x 2 ?(a ? 3) x + 4a( x ≥ 0)
则 a 的取值范围是 . 解答题: 个小题, 三、解答题:本大题共 5 个小题,14+14+14+15+15 共 72 分. 18.已知集合 A = {x | x 2 ? 2 x ? 3 ≤ 0, x ∈ R} , B = {x | x 2 ? 2mx + m 2 ? 4 ≤ 0, x ∈ R} (1)若 A ∩ B = [1,3] ,求实数 m 的值; (2)若 A ? CR B ,求实数 m 的取值范围。

19.已知向量 a = (sin ω x + cos ω x,1), b = ( f ( x ), sin ω x ) ,其中 ω > 0 ,已知函数 f ( x ) 的周期

r

r

r r T = 4π ,且 a / / b
(1)求 ω 的值; (2)把 f ( x ) 的图象向左平移 增区间。

π
4

个单位,得到函数 g ( x ) 的图象,求 g ( x ) 在 [0, 2π ] 上的单调递

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20. 已知 ?ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,向量 m = (4, ?1),

ur

r ur r 7 A n = (cos 2 , cos 2 A) ,且 m ? n = . 2 2
(1)求角 A 的大小; (2)若 a =

3 ,试求当 b ? c 取得最大值时角 B 和角 C 的大小.

ax ( a ≠ 0) . x +1 (1)求函数 f ( x ) 的单调区间
21.已知函数 f ( x ) =
2

(2)若 a = 2 ,求证:直线 3 x ? y + m = 0 不可能是函数 y = f ( x) 图像的切线.

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22. 已 知 函 数 f ( x) = ln(e x + a ) ( a 为 常 数 ) 是 实 数 集 R 上 的 奇 函 数 , 函 数

g ( x) = λf ( x) + sin x(λ ≤ ?1) 是区间[-1,1]上的减函数
(1)求 a 的值. (2)若 g ( x ) ≤ t 2 ? λt + 1在x ∈ [ ?1,1] 上恒成立,求 t 的取值范围.

学军中学 2009 学年高三第二次月考
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数学(文科)答案 数学(文科)
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) BADCB BDCBC

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. a ≥ ?8 16. ? 0, ? 4 12.

2π 3

13. 6

14. 3

15 32

? ?

1? ?

17. ? 0, ? 4

? ?

1? ?

个小题, 三、解答题:本大题共 5 个小题,14+14+14+15+15 共 72 分. 解答题:
2 2 2 18.已知集合 A = {x | x ? 2 x ? 3 ≤ 0, x ∈ R} , B = {x | x ? 2mx + m ? 4 ≤ 0, x ∈ R}

(1)若 A ∩ B = [1,3] ,求实数 m 的值; (2)若 A ? CR B ,求实数 m 的取值范围。 解: A = {x | ?1 ≤ x ≤ 3} , B = {x | m ? 2 ≤ x ≤ m + 2} ………….4 分 (1)∵ A ∩ B = [1,3] ,∴ ?

?m ? 2 = 1 m = 3 ……………….4 分 ?m + 2 ≥ 3, (2) CR B = {x | x < m ? 2, 或x > m + 2} …………………..2 分
∵ A ? CR B ,∴ m ? 2 > 3 ,或 m + 2 < ?1 …………………….2 分 ∴ m > 5 ,或 m < ?3 …………………….2 分

19.已知向量 a = (sin ω x + cos ω x,1), b = ( f ( x ), sin ω x ) ,其中 ω > 0 ,已知函数 f ( x ) 的周期

r

r

r r T = 4π ,且 a / / b
(1)求 ω 的值; (2)把 f ( x ) 的图象向左平移 增区间。 解:(Ⅰ)Q a // b,∴ (cos wx + sin ωx ) ? sin ωx ? f (x ) = o ,……………2 分

π
4

个单位,得到函数 g ( x ) 的图象,求 g ( x ) 在 [0, 2π ] 上的单调递

∴ f (x ) =

1 1 1 2 ? π? sin 2ωx + (1 ? cos 2ωx ) = + sin ? 2ωx ? ? 2 2 2 2 4? ? 2π 1 = 4π ,∴ ω = 2ω 4
…………3 分

Q ω > 0,∴ T =
(Ⅱ) f ( x ) =

1 2 ?x π? + sin ? ? ? , 2 2 ?2 4?

g (x ) =

?1 ? 1 2 2 ?x π? π? π? 1 + sin ? ? x + ? ? ? = + sin ? ? ? ……………3 分 2 2 4 ? 4? 2 2 ?2 8? ?2 ?

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x π π ? ≤ + 2kπ , k ∈ Z , 2 2 8 2 3π 5 + 4kπ ≤ x ≤ π + 4kπ , k ∈ Z ……………………………………3 分 得? 4 4
由?

π

+ 2kπ ≤

又Q 0 ≤ x ≤ 2π ,∴ k = 0 ,

? 5 ? ∴ g ( x )的单调递增区间:0, π ? ………………………………………3 分 ? 4 ? ? ur 20. 已知 ?ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,向量 m = (4, ?1), r ur r 7 A n = (cos 2 , cos 2 A) ,且 m ? n = . 2 2
(1)求角 A 的大小;

3 ,试求当 b ? c 取得最大值时角 B 和角 C 的大小. ur r 2 A 解:(1)由 m = (4, ?1), n = (cos , cos 2 A) 2 ur r A m ? n = 4 cos 2 ? cos 2 A 2 1 + cos A = 4? ? (2 cos 2 A ? 1) 2 = ?2 cos 2 A + 2 cos A + 3 ……………………………………3 分 ur r 7 7 2 又因为 m ? n = , 所以-2cos A + 2 cos A + 3 = 2 2 1 解得 cos A = …………………………………………2 分 2 3 (Ⅱ)在 ?ABC中,a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A, 且a = 3 , 1 ∴ ( 3) 2 = b 2 + c 2 ? 2bc ? 2 2 2 = b + c ? bc 。……………………………………………2 分 2 2 Q b + c ≥ 2bc,∴ 3 ≥ 2bc ? bc ,
即 bc ≤ 3, 当且仅当 b = c = 又由(Ⅰ)知 A =

(2)若 a =

Q 0 < A < π ,∴ A =

π

………………………………………2 分

3时,b ? c取得最大值 ,……………………3 分

π
3

,∴ B = C =

π
3

, ………………………………2 分

21.已知函数 f ( x ) =

ax ( a ≠ 0) . x +1 (1)求函数 f ( x ) 的单调区间
2

(2)若 a = 2 ,求证:直线 3 x ? y + m = 0 不可能是函数 y = f ( x) 图像的切线.
2 解:(1) f ' ( x ) = a (1 ? x 2) 2 ( x + 1)

……………………4 分

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当 a > 0 时, f ' ( x ) > 0 ? ? 1 < x < 1, f ' ( x ) < 0 ? x < ? 1, 或 x > 1 递增区间为(-1,1),递减区间为 (?∞, ?1), (1, +∞) ……………………2 分 当 a < 0 时, 递增区间为 (?∞, ?1), (1, +∞) ,递减区间为(-1,1)……………2 分
2 (2) f ' ( x ) = 2(1 ? x 2) ( x 2 + 1)

假设直线 3 x ? y + m = 0 是函数 y = f ( x) 图像的切线.设切点为 ( x0 . y0 ) 则 f ' ( x 0 ) = 3, 2(12? x 0 2) = 3, 3 x 0 4 + 8 x 0 2 + 1 = 0 ……………………3 分 ( x 0 + 1) 4 2 而 3 x 0 + 8 x0 + 1 ≥ 1 从而此方程无解……………………2 分
2

∴直线 3 x ? y + m = 0 不可能是函数 y = f ( x) 图像的切线.…………2 分
22. 已 知 函 数 f ( x) = ln(e + a ) ( a 为 常 数 ) 是 实 数 集 R 上 的 奇 函 数 , 函 数
x

g ( x) = λf ( x) + sin x, (λ ≤ ?1) 是区间[-1,1]上的减函数
(1)求 a 的值. (2)若 g ( x) ≤ t 2 ? λt + 1在x ∈ [ ?1,1] 上恒成立,求 t 的取值范围. 解:(1) f ( x) = ln(e x + a ) 是奇函数, 则 ln(e ? x + a ) = ? ln(e x + a ) 恒成立 …………3 分

∴ (e ? x + a )(e x + a ) = 1. 1 + ae ? x + ae x + a 2 = 1,∴ a (e x + e ? x + a ) = 0,∴ a = 0.
(2)又Q g (x) 在[-1,1]上单调递减, …………3 分

∴ g ( x) max = g (?1) = ?λ ? sin 1, ∴ 只需 ? λ ? sin1 ≤ t 2 ? λ t + 1,

…………2 分 …………2 分

∴ (1 ? t )λ + t 2 + sin1 + 1 ≥ 0(其中λ ≤ ?1)恒成立.
令 h(λ ) = (1 ? t )λ + t 2 + sin1 + 1(λ ≤ ?1), 则?

?1 ? t ≤ 0
2 ?t ? 1 + t + sin1 + 1 ≥ 0,

…………3 分

?t ≥ 1 ∴? 2 ?t + t + sin1 ≥ 0 而t 2 + t + sin1 ≥ 0恒成立, ∴t ≥ 1
…………2 分

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