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高中数学必修三统计概率大题


必修三统计概率
一.解答题(共 26 小题) 1.某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份 2 3 4 5 6 7 年份代号 t 1 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 人均纯收入 y2.9 (Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程;

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均 纯收入的变化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式 分别为: = , = ﹣ .

2.对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生作为样本,得到这 M 名学生参加社区服务的 次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表如下,频率分布直方图如图: 分组 频数 频率 10 0.25 [10,15) 24 n [15,20) m p [20,25) 2 0.05 [25,30) M 1 合计 (Ⅰ)求出表中 M,p 及图中 a 的值; (Ⅱ)若该校高三学生有 240 人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数; (Ⅲ) 在所取样本中, 从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人, 求至多一人参加社区服务次数在区间[25, 30)内的概率.

3.某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60) ,[60,70) ,[70, 80) ,[80,90) ,[90,100]. (1)求图中 a 的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分; (3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示,求数学成绩 在[50,90)之外的人数. 分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) x:y 1:1 2:1 3:4 4:5

4.某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查,其结果(人数分布)如下表: 学历 35 岁以下 35~50 岁 50 岁以上 80 30 20 本科 x 20 y 研究生 (Ⅰ)用分层抽样的方法在 35~50 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为 5 的样本,将该样本看成一个总体,从 中任取 2 人,求至少有 1 人的学历为研究生的概率; (Ⅱ)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取 N 个人,其中 35 岁以下 48 人,50 岁以上 10 人,再从这 N 个人中随机抽取出 1 人,此人的年龄为 50 岁以上的概率为 ,求 x,y 的值.

5.为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人,结果如下: 性别男 女 是否需要志愿 40 30 需要 160270 不需要 (1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (3) 根据 (2) 的结论, 能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中, 需要志愿帮助的老年人的比例?说明理由. 附:
2 P(k >k) 0.0 k 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

6.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问 50 名职工,根据这 50 名职工对该部门的评分,绘制 频率分布直方图(如图所示) ,其中样本数据分组区间为[40,50],[50,60],…,[80,90],[90,100] (1)求频率分布图中 a 的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率; (3)从评分在[40,60]的受访职工中,随机抽取 2 人,求此 2 人评分都在[40,50]的概率.

7.某网站针对 2014 年中国好声音歌手 A,B,C 三人进行网上投票,结果如下: 观众年龄 支持 A 支持 B 支持 C 200 400 800 20 岁以下 100 400 20 岁以上(含 20 岁) 100 (1)在所有参与该活动的人中,用分层抽样的方法抽取 n 人,其中有 6 人支持 A,求 n 的值. (2)在支持 C 的人中,用分层抽样的方法抽取 6 人作为一个总体,从这 6 人中任意选取 2 人,求恰有 1 人在 20 岁以 下的概率. 8.某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将测试结果按如下方式分成五组;第一组[13, 14) ,第二组[14,15) ,…,第五组[17,18],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (1)若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的人数; (2)设 m,n 表示该班某两位同学的百米测试成绩,且已知 m,n∈[13,14)∪[17,18],求事件“|m﹣n|>1”的概率.

9.某工厂生产的产品 A 的直径均位于区间[110,118]内(单位:mm) .若生产一件产品 A 的直径位于区间[110,112], [112,114],[114,116],[116,118]内该厂可获利分别为 10,20,30,10(单位:元) ,现从该厂生产的产品 A 中随 机 100 件测量它们的直径,得到如图所示的频率分布直方图. (Ⅰ)求 a 的值,并估计该厂生产一件 A 产品的平均利润; (Ⅱ)现用分层抽样法从直径位于区间[112,116)内的产品中随机抽取一个容量为 5 的样 本,再从样本中随机抽取两件产品进行检测,求两件产品中至少有一件产品的直径位于区间[114,116)内的概率.

10.某城市 100 户居民的月平均用电量(单位:度) ,以[160,180) ,[180,200) ,[200,200) ,[220.240) ,[240,260) , [260,280) ,[280,300)分组的频率分布直方图如图.

(1)求直方图中 x 的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量为,[220,240) ,[240,260) ,[260,280) ,[280,300)的四组用户中,用分层抽样的方法抽取 11 户居民,则月平均用电量在[220.240)的用户中应抽取多少户?

12.已知某校在一次考试中,5 名学生的数学和地理成绩如表: 1 2 3 4 5 学生的编号 i 80 75 70 65 60 数学成绩 x 70 66 68 64 62 地理成绩 y (1)根据上表,利用最小二乘法,求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ (其中 =0.36) ;

(2)利用(1)中的线性回归方程,试估计数学 90 分的同学的地理成绩(四舍五入到整数) ; (3)若从五人中选 2 人参加数学竞赛,其中 1、2 号不同时参加的概率是多少?

13.为了研究某种细菌在特定环境下,随时间变化繁殖情况,得如下实验数据: 3 4 5 6 7 天数 t(天) 2.5 3 4 4.5 6 繁殖个数 y(千个) (1)求 y 关于 t 的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,预测 t=8 时,细菌繁殖个数.

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: =

, = ﹣



14.某校 100 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图,其中成绩分组区间如下: 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] (Ⅰ)求图中 a 的值; (Ⅱ)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生期中考试数学成绩的平均分; (Ⅲ)现用分层抽样的方法从第 3、4、5 组中随机抽取 6 名学生,将该样本看成一个总体,从中随机抽取 2 名,求其 中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率?

15. 20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图: (Ⅰ)求频率分布直方图中 a 的值; (Ⅱ)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数; (Ⅲ)从成绩在[50,70)的学生任选 2 人,求此 2 人的成绩都在[60,70)中的概率.

16.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图, 其中甲班学生的平均分是 85,乙班学生成绩的中位数是 83. (1)求 x 和 y 的值; (2)计算甲班 7 位学生成绩的方差 s ; (3)从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,求甲班至少有一名学生的概率.
2

17.某单位 N 名员工参加“社区低碳你我他”活动.他们的年龄在 25 岁至 50 岁之间.按年龄分组:第 1 组[25,30) , 第 2 组[30,35) ,第 3 组[35,40) ,第 4 组[40,45) ,第 5 组[45,50],得到的频率分布直方图如图所示.下表是年龄 的频率分布表. 区间 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50] 25 a b 人数 (1)求正整数 a,b,N 的值; (2)现要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,则年龄在第 1,2, 3 组的人数分别是多少? (3)在(2)的条件下,从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动,求恰有 1 人在第 3 组的概率.

18.某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了 50 位市民,根据这 50 位市民对两部门的评分(评分越高表 明市民的评价越高)绘制的茎叶图如图:

(Ⅰ)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数; (Ⅱ)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率; (Ⅲ)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.

19.某校夏令营有 3 名男同学,A、B、C 和 3 名女同学 X,Y,Z,其年级情况如表: 一年级 二年级 三年级 A B C 男同学 X Y Z 女同学 现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同) (Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果; (Ⅱ)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”,求事件 M 发生的概率.

20.设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27,9,18,先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取 6 名运 动员组队参加比赛. (Ⅰ)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数; (Ⅱ)将抽取的 6 名运动员进行编号,编号分别为 A1,A2,A3,A4,A5,A6,现从这 6 名运动员中随机抽取 2 人参 加双打比赛. (i)用所给编号列出所有可能的结果; (ii)设 A 为事件“编号为 A5 和 A6 的两名运动员中至少有 1 人被抽到”,求事件 A 发生的概率. 21.某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表: (单位:人) 参加书法社团 未参加书法社团 8 5 参加演讲社团 2 30 未参加演讲社团 (Ⅰ)从该班随机选 1 名同学,求该同学至少参加一个社团的概率; (Ⅱ)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中,有 5 名男同学 A1,A2,A3,A4,A5,3 名女同学 B1,B2, B3.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人,求 A1 被选中且 B1 未被选中的概率.

22.对一批共 50 件的某电器进行分类检测,其重量(克)统计如下: 质量段 [80,85) [85,90) [90,95) [95,100] 5 a 15 b 件数 规定重量在 82 克及以下的为“A”型,重量在 85 克及以上的为“B”型,已知该批电器有“A“型 2 件 (Ⅰ)从该批电器中任选 1 件,求其为“B“型的概率; (Ⅱ)从重量在[80,85)的 5 件电器中,任选 2 件,求其中恰有 1 件为“A”型的概率.

23.如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩.乙组记录中有一个数字模糊,无法确认, 假设这个数字具有随机性,并在图中以 a 表示. (Ⅰ)若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同,求 a 的值; (Ⅱ)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率; (Ⅲ)当 a=2 时,分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过 2 分 的概率.

24.某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 20 个用户,得到用户对产品的满意度评分 如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (1) 根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图, 并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度 (不 要求计算出具体值,给出结论即可) ; (2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的评价结果相互独立,根据所 给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的频率,求 C 的概率.

25.某小组共有 A、B、C、D、E 五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(单位:千克/米 )如下表所示: A B C D E 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 身高 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 体重指标 (Ⅰ)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率 (Ⅱ)从该小组同学中任选 2 人,求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率. 26.某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取 60 名同学将其成绩(百分制,均为整数)分成[40,50) ,[50,60) ,[60, 70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]六组后,得到部分频率分布直方图(如图) ,观察图形中的信息,回答下列问题. (Ⅰ)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图; (Ⅱ)从频率分布直方图中,估计本次考试成绩的中位数; (Ⅲ)若从第 1 组和第 6 组两组学生中,随机抽取 2 人,求所抽取 2 人成绩之差的绝对值大于 10 的概率.

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2015 年 11 月 17 日必修三统计概率
参考答案与试题解析

一.解答题(共 26 小题) 1. (2014?黑龙江)某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份 2 3 4 5 6 7 年份代号 t 1 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 人均纯收入 y2.9 (Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: =

, = ﹣



【考点】线性回归方程. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】 (Ⅰ)根据所给的数据,利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数,横标和纵标的积的和,与横标的平方和, 代入公式求出 b 的值,再求出 a 的值,写出线性回归方程. (Ⅱ)根据上一问做出的线性回归方程,代入所给的 t 的值,预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入,这是一个 估计值.
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【解答】解: (Ⅰ)由题意, = ×(1+2+3+4+5+6+7)=4, = ×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3, ∴ = = ﹣ =4.3﹣0.5×4=2.3. =0.5t+2.3; = =0.5,

∴y 关于 t 的线性回归方程为

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,b=0.5>0,故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加 0.5 千元. 将 2015 年的年份代号 t=9 代入 =0.5×9+2.3=6.8, 故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元. 【点评】本题考查线性回归分析的应用,本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数,这是整个 题目做对的必备条件,本题是一个基础题. 2. (2014?高州市模拟)对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生作为样本,得到这 M 名 学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表如下,频率分布直方图如图: 分组 频数 频率 10 0.25 [10,15) 24 n [15,20) m p [20,25) 2 0.05 [25,30) M 1 合计 =0.5t+2.3,得:

(Ⅰ)求出表中 M,p 及图中 a 的值; (Ⅱ)若该校高三学生有 240 人,试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数; (Ⅲ) 在所取样本中, 从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人, 求至多一人参加社区服务次数在区间[25, 30)内的概率.

【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用;频率分布直方图. 【专题】计算题;图表型. 【分析】 (I)根据频率,频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量,写出算式,求出式子中的字母的 值. (II)根据该校高三学生有 240 人,分组[10,15)内的频率是 0.25,估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间 内的人数为 60 人. (III)这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 m+2=6 人,设出在区间[20,25)内的人为 a1,a2,a3, a4,在区间[25,30)内的人为 b1,b2,列举出所有事件和满足条件的事件,得到概率.
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【解答】解: (Ⅰ)由分组[10,15)内的频数是 10,频率是 0.25 知, ∴M=40. ∵频数之和为 40, ∴10+24+m+2=40,m=4. .



∵a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商, ∴ (Ⅱ)因为该校高三学生有 240 人,分组[10,15)内的频率是 0.25, ∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 60 人. (Ⅲ)这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 m+2=6 人, 设在区间[20,25)内的人为 a1,a2,a3,a4,在区间[25,30)内的人为 b1,b2. 则任选 2 人共有(a1,a2) , (a1,a3) , (a1,a4) , (a1,b1) , (a1,b2) , (a2,a3) , (a2,a4) , (a2,b1) , (a2,b2) , (a3, a4) , (a3,b1) , (a3,b2) , (a4,b1) , (a4,b2) , (b1,b2)15 种情况, 而两人都在[25,30)内只能是(b1,b2)一种, ∴所求概率为 .

【点评】本题考查频率分步直方图,考查用样本估计总体,考查等可能事件的概率,考查频率,频数和样本容量之间 的关系,本题是一个基础题. 3. (2012?广东)某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60) ,[60, 70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]. (1)求图中 a 的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分; (3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示,求数学成绩 在[50,90)之外的人数. 分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) x:y 1:1 2:1 3:4 4:5

【考点】用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图;众数、中位数、平均数. 【专题】概率与统计. 【分析】 (1)由频率分布直方图的性质可 10(2a+0.02+0.03+0.04)=1,解方程即可得到 a 的值; (2)由平均数加权公式可得平均数为 55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05,计算出结果即得; (3)按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数,从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在 [50,90)之外的人数. 【解答】解: (1)依题意得,10(2a+0.02+0.03+0.04)=1,解得 a=0.005;
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(2)这 100 名学生语文成绩的平均分为:55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73(分) ; (3)数学成绩在[50,60)的人数为:100×0.05=5, 数学成绩在[60,70)的人数为: 数学成绩在[70,80)的人数为: 数学成绩在[80,90)的人数为: , , ,

所以数学成绩在[50,90)之外的人数为:100﹣5﹣20﹣40﹣25=10. 【点评】本题考查频率分布估计总体分布,解题的关键是理解频率分布直方图,熟练掌握频率分布直方图的性质,且 能根据所给的数据建立恰当的方程求解. 4. (2014?烟台三模)某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查,其结果(人 数分布)如下表: 学历 35 岁以下 35~50 岁 50 岁以上 80 30 20 本科 x 20 y 研究生 (Ⅰ)用分层抽样的方法在 35~50 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为 5 的样本,将该样本看成一个总体,从 中任取 2 人,求至少有 1 人的学历为研究生的概率; (Ⅱ)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取 N 个人,其中 35 岁以下 48 人,50 岁以上 10 人,再从这 N 个人中随机抽取出 1 人,此人的年龄为 50 岁以上的概率为
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,求 x,y 的值.

【考点】分层抽样方法;古典概型及其概率计算公式. 【专题】计算题. 【分析】 (I)用分层抽样得到学历为本科的人数,后面的问题是一个古典概型,试验发生包含的事件是从 5 个人中容 易抽取 2 个,事件数可以列举出,满足条件的事件是至少有 1 人的学历为研究生,从列举出的事件中看出结果. (II) 根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等, 表示出年龄为 50 岁以上的概率, 利用解方程思想解出 x, y 的值. 【解答】解: (Ⅰ)用分层抽样的方法在 35~50 岁中抽取一个容量为 5 的样本, 设抽取学历为本科的人数为 m ∴ 解得 m=3

∴抽取了学历为研究生 2 人,学历为本科的 3,分别记作 S1、S2;B1、B2、B3

从中任取 2 人的所有基本事件共 10 个: (S1,B1) 、 (S1,B2) 、 (S1,B3) 、 (S2,B1) 、 (S2,B2) 、 (S2,B3) 、 (S1,S2) 、 (B1,B2) 、 (B2,B3) 、 (B1,B3) 其中至少有 1 人的学历为研究生的基本事件有 7 个: (S1,B1) 、 (S1,B2) 、 (S1,B3) 、 (S2,B1) 、 (S2,B2) 、 (S2,B3) 、 (S1,S2) ∴从中任取 1 人,至少有 1 人的教育程度为研究生的概率为 (Ⅱ)解:依题意得: ,

解得 N=78 ∴35~50 岁中被抽取的人数为 78﹣48﹣10=20 ∴ ,解得 x=40,y=5

∴x=40,y=5 【点评】本题考查分层抽样方法,考查古典概型的概率及其概率公式,考查利用列举法列举出试验包含的所有事件, 列举法是解决古典概型的首选方法. 5. (2010?河北)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人,结 果如下: 性别男 女 是否需要志愿 40 30 需要 160270 不需要 (1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (3) 根据 (2) 的结论, 能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人中, 需要志愿帮助的老年人的比例?说明理由. 附:

0.010 0.001 P(k >k) 0.0 k 3.841 6.635 10.828 【考点】简单随机抽样;独立性检验. 【专题】计算题. 【分析】 (1)由列联表可知调查的 500 位老年人中有 40+30=70 位需要志愿者提供帮助,两个数据求比值得到该地区老 年人中需要帮助的老年人的比例的估算值. (2)根据列联表所给的数据,代入随机变量的观测值公式,得到观测值的结果,把观测值的结果与临界值进行比较, 看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. (3)从样本数据老年人中需要帮助的比例有明显差异,调查时,可以先确定该地区老年人中男、女的比例,再把老年 人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好. 【解答】解: (1)∵调查的 500 位老年人中有 40+30=70 位需要志愿者提供帮助,
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2

∴该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值为



(2)根据列联表所给的数据,代入随机变量的观测值公式, . ∵9.967>6.635, ∴有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. (3)由(2)的结论知,该地区老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老 年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两 层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好. 【点评】本题主要考查统计学知识,考查独立性检验的思想,考查利用数学知识研究实际问题的能力以及相应的运算 能力. 6. (2015?安徽)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问 50 名职工,根据这 50 名职工对该部门 的评分,绘制频率分布直方图(如图所示) ,其中样本数据分组区间为[40,50],[50,60],…,[80,90],[90,100] (1)求频率分布图中 a 的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率; (3)从评分在[40,60]的受访职工中,随机抽取 2 人,求此 2 人评分都在[40,50]的概率.

【考点】频率分布直方图. 【专题】概率与统计. 【分析】 (1)利用频率分布直方图中的信息,所有矩形的面积和为 1,得到 a; (2)对该部门评分不低于 80 的即为 90 和 100,的求出频率,估计概率; (3)求出评分在[40,60]的受访职工和评分都在[40,50]的人数,随机抽取 2 人,列举法求出所有可能,利用古典概 型公式解答. 【解答】解: (1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,解得 a=0.006; (2)由已知的频率分布直方图可知,50 名受访职工评分不低于 80 的频率为(0.022+0.018)×10=0.4,所以该企业职工 对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4; (3)受访职工中评分在[50,60)的有:50×0.006×10=3(人) ,记为 A1,A2,A3; 受访职工评分在[40,50)的有:50×0.004×10=2(人) ,记为 B1,B2. 从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人,所有可能的结果共有 10 种, 分别是{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1, B2}, 又因为所抽取 2 人的评分都在[40,50)的结果有 1 种,即{B1,B2},
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故所求的概率为 P=



【点评】本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率,考查了利用列举法求满足 条件的事件,并求概率. 7. (2015?宿州一模)某网站针对 2014 年中国好声音歌手 A,B,C 三人进行网上投票,结果如下:

观众年龄 支持 A 支持 B 支持 C 200 400 800 20 岁以下 100 400 20 岁以上(含 20 岁) 100 (1)在所有参与该活动的人中,用分层抽样的方法抽取 n 人,其中有 6 人支持 A,求 n 的值. (2)在支持 C 的人中,用分层抽样的方法抽取 6 人作为一个总体,从这 6 人中任意选取 2 人,求恰有 1 人在 20 岁以 下的概率. 【考点】分层抽样方法;古典概型及其概率计算公式. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】 (1)根据分层抽样时,各层的抽样比相等,结合已知构造关于 n 的方程,解方程可得 n 值. (2)计算出这 6 人中任意选取 2 人的情况总数,及满足恰有 1 人在 20 岁以下的情况数,代入古典概率概率计算公式, 可得答案. 【解答】解: (1)∵利用层抽样的方法抽取 n 个人时,从“支持 A 方案”的人中抽取了 6 人,
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=



解得 n=40; (2)从“支持 C 方案”的人中,用分层抽样的方法抽取的 6 人中, 年龄在 20 岁以下的有 4 人,分别记为 1,2,3,4,年龄在 20 岁以上(含 20 岁)的有 2 人,记为 a,b, 则这 6 人中任意选取 2 人,共有 =15 种不同情况,

分别为: (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,a) , (1,b) , (2,3) , (2,4) , (2,a) , (2,b) , (3,4) , (3,a) , (3,b) , (4,a) , (4,b) , (a,b) , 其中恰好有 1 人在 20 岁以下的事件有: (1,a) , (1,b) , (2,a) , (2,b) , (3,a) , (3,b) , (4,a) , (4,b)共 8 种. 故恰有 1 人在 20 岁以下的概率 P= .

【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式,其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤,是解 答的关键. 8. (2015?日照二模)某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将测试结果按如下方式分 成五组;第一组[13,14) ,第二组[14,15) ,…,第五组[17,18],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (1)若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的人数; (2)设 m,n 表示该班某两位同学的百米测试成绩,且已知 m,n∈[13,14)∪[17,18],求事件“|m﹣n|>1”的概率.

【考点】用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图;古典概型及其概率计算公式. 【专题】计算题. 【分析】 (1)利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒的频率;利用频 数等于频率乘以样本容量求出该班在这次百米测试中成绩良好的人数. (2)按照(1)的方法求出成绩在[13,14)及在[17,18]的人数;通过列举得到 m,n 都在[13,14)间或都在[17,18] 间或一个在[13, 14) 间一个在[17, 18]间的方法数, 三种情况的和为总基本事件的个数; 分布在两段的情况数是事件“|m ﹣n|>1”包含的基本事件数;利用古典概型的概率公式求出事件“|m﹣n|>1”的概率. 【解答】解: (1)由直方图知,成绩在[14,16)内的人数为:50×0.16+50×0.38=27(人) , 所以该班成绩良好的人数为 27 人、
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(2)由直方图知,成绩在[13,14)的人数为 50×0.06=3 人, 设为为 x,y,z;成绩在[17,18]的人数为 50×0.08=4 人,设为 A、B、C、D. 若 m,n∈[13,14)时,有 xy,xz,yz 共 3 种情况; 若 m,n∈[17,18]时,有 AB,AC,AD,BC,BD,CD,共 6 种情况; 若 m,n 分别在[13,14)和[17,18]内时, A B C D x xA xB xC xD y yA yB yC yD z zA zB zC zD 有 12 种情况、 所以,基本事件总数为 3+6+12=21 种,事件“|m﹣n|>1”所包含的基本事件个数有 12 种、 ∴ (12 分)

【点评】本题考查频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距、考查频数等于频率乘以样本容量、考查列举法求完 成事件的方法数、考查古典概型的概率公式. 9. (2014?岳阳二模)某工厂生产的产品 A 的直径均位于区间[110,118]内(单位:mm) .若生产一件产品 A 的直径位 于区间[110,112],[112,114],[114,116],[116,118]内该厂可获利分别为 10,20,30,10(单位:元) ,现从该厂 生产的产品 A 中随机 100 件测量它们的直径,得到如图所示的频率分布直方图. (Ⅰ)求 a 的值,并估计该厂生产一件 A 产品的平均利润; (Ⅱ)现用分层抽样法从直径位于区间[112,116)内的产品中随机抽取一个容量为 5 的样 本,再从样本中随机抽取两件产品进行检测,求两件产品中至少有一件产品的直径位于区间[114,116)内的概率.

【考点】分层抽样方法;古典概型及其概率计算公式. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】 (I)利用所有小矩形的面积之和为 1 求得 a 值;根据频数=频率×样本容量求得各组的频数,代入平均数公式 计算; (II)根据频率分布直方图求得直径位于区间[112,114)和[114,116)的频率之比,可得在两组中应取的产品数, 利用写出所有基本事件的方法求符合条件的基本事件个数比; 【解答】解: (I)由频率分布直方图得:2×(0.050+0.150+a+0.075)=1?a=0.225, 直径位于区间[110,112)的频数为 100×2×0.050=10,位于区间[112,114)的频数为 100×2×0.150=30, 位于区间[114,116)的频数为 100×2×0.225=45,位于区间[116,118)的频数为 100×2×0.075=15,
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∴生产一件 A 产品的平均利润为

=22(元) ;

(II)由频率分布直方图得:直径位于区间[112,114)和[114,116)的频率之比为 2:3, ∴应从直径位于区间[112,114)的产品中抽取 2 件产品,记为 A、B, 从直径位于区间[114,116)的产品中抽取 3 件产品,记为 a、b、c,从中随机抽取两件,所有可能的取法有, (A,B) , (A,a) , (A,b) , (A,c) , (B,a) , (B,b) , (B,c) , (a,b) , (a,c) , (b,c)10 种,两件产品都不在区间[114,116)的取法只有(A,B)一种, ∴两件产品中至少有一件产品的直径位于区间[114,116)内的取法有 9 种. ∴所求概率为 P= .

【点评】本题考查了分层抽样方法,考查了古典概型的概率计算,读懂频率分布直方图是解答本题的关键.

10. (2015?广东)某城市 100 户居民的月平均用电量(单位:度) ,以[160,180) ,[180,200) ,[200,200) ,[220.240) , [240,260) ,[260,280) ,[280,300)分组的频率分布直方图如图.

(1)求直方图中 x 的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量为,[220,240) ,[240,260) ,[260,280) ,[280,300)的四组用户中,用分层抽样的方法抽取 11 户居民,则月平均用电量在[220.240)的用户中应抽取多少户? 【考点】频率分布直方图. 【专题】概率与统计. 【分析】 (1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1,解方程可得; (2)由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得,可得中位数在[220,240)内,设中位数为 a,解方程 (0.002+0.0095++0.011)×20+0.0125×(a﹣220)=0.5 可得; (3)可得各段的用户分别为 25,15,10,5,可得抽取比例,可得要抽取的户数. 【解答】解: (1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1, 解方程可得 x=0.0075,∴直方图中 x 的值为 0.0075;
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(2)月平均用电量的众数是

=230,

∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5, ∴月平均用电量的中位数在[220,240)内, 设中位数为 a,由(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a﹣220)=0.5 可得 a=224, ∴月平均用电量的中位数为 224; (3)月平均用电量为[220,240)的用户有 0.0125×20×100=25, 月平均用电量为[240,260)的用户有 0.0075×20×100=15, 月平均用电量为[260,280)的用户有 0.005×20×100=10, 月平均用电量为[280,300)的用户有 0.0025×20×100=5, ∴抽取比例为 = ,

∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取 25× =5 户 【点评】本题考查频率分布直方图,涉及众数和中位数以及分层抽样,属基础题. 11. (2013?广东模拟)某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有如下对应数据: 2 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 P (k >k) k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.83 x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (Ⅰ)画出散点图; (Ⅱ)求回归直线方程; (Ⅲ)试预测广告费支出为 10 万元时,销售额多大? 【考点】两个变量的线性相关. 【专题】计算题;作图题. 【分析】本题考查的知识点是散点图及回归直线方程的求法, (1)根据表中数据描点即可得到散点图.
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(2)由表中数据,我们不难求出 x,y 的平均数,及 xi 的累加值,及 xiyi 的累加值,代入回归直线系数计算公式,即 可求出回归直线方程. (3)将预报值 10 万元代入回归直线方程,解方程即可求出相应的销售额. 【解答】解: (Ⅰ)根据表中所列数据可得散点图如下:

2

(Ⅱ)

=5, =50

又已知





于是可得:

=

=50﹣6.5×6=17.5 因此,所求回归直线方程为: =6.5x+17.5 (Ⅲ)根据上面求得的回归直线方程,当广告费支出为 10 万元时, =6.5×10+17.5=82.5(万元) 即这种产品的销售收入大约为 82.5 万元 【点评】用二分法求回归直线方程的步骤和公式要求大家熟练掌握,线性回归方程必过样本中心点 个系数之间的纽带,希望大学注意. 12. (2015?兴国县一模)已知某校在一次考试中,5 名学生的数学和地理成绩如表: 1 2 3 4 5 学生的编号 i 80 75 70 65 60 数学成绩 x 70 66 68 64 62 地理成绩 y (1)根据上表,利用最小二乘法,求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ (其中 =0.36) ; .是两

(2)利用(1)中的线性回归方程,试估计数学 90 分的同学的地理成绩(四舍五入到整数) ; (3)若从五人中选 2 人参加数学竞赛,其中 1、2 号不同时参加的概率是多少? 【考点】线性回归方程;古典概型及其概率计算公式. 【专题】概率与统计.
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【分析】 (1)求出样本中心,代入回归直线方程,即可求出

,然后求解线性回归方程

=

x+



(2)利用(1)中的线性回归方程,代入 x=90,求出 y 的值,即可得到这个同学的地理成绩. (3)求出所有基本事件的总数,找出 1、2 号不同时参加的数目,即可求解概率.

【解答】解: (1) = (80+75+70+65+60)=70 = (70+66+68+64+62)=66 ∴ = ﹣ =40.8

∴y 关于 x 的线性回归方程为 =0.36 +40.8 (2)若 x=90 则 y=0.36×90+40.8≈73 即数学 9(0 分)的同学的地理成绩估计为 7(3 分) (3)五人中选两人的不同选法有(1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (3,4) , (3,5) , (4, 5)共 10 种不同选法. 其中 1、2 号不同时参加的有九种, ∴两个不同时参加的概率 P= 【点评】本题考查回归直线方程的求法,古典概型的应用,基本知识的考查. 13. (2015?江西一模)为了研究某种细菌在特定环境下,随时间变化繁殖情况,得如下实验数据: 3 4 5 6 7 天数 t(天) 2.5 3 4 4.5 6 繁殖个数 y(千个) (1)求 y 关于 t 的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,预测 t=8 时,细菌繁殖个数.

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: =

, = ﹣



【考点】线性回归方程. 【专题】应用题;概率与统计.
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【分析】 (Ⅰ) 由表中数据计算得, =5, =4, a=﹣0.25,可得回归方程; (Ⅱ)将 t=8 代入(Ⅰ)的回归方程中得细菌繁殖个数. 【解答】解: (Ⅰ)由表中数据计算得, =5, =4,

)=8.5,

=10, 求出 b=0.85,

)=8.5,

=10,

所以 b=0.85,a=﹣0.25. 所以,回归方程为 y=0.85t﹣0.25.…(8 分) (Ⅱ)将 t=8 代入(Ⅰ)的回归方程中得 y=0.85×8﹣0.25=6.55. 故预测 t=8 时,细菌繁殖个数为 6.55 千个.…(12 分) 【点评】本题的考点是线性回归方程,主要考查回归直线方程的求解,解题的关键是求出回归直线方程的系数. 14. (2014 秋?湖北校级期中)某校 100 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图,其中成绩分组区间如下: 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] (Ⅰ)求图中 a 的值; (Ⅱ)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生期中考试数学成绩的平均分; (Ⅲ)现用分层抽样的方法从第 3、4、5 组中随机抽取 6 名学生,将该样本看成一个总体,从中随机抽取 2 名,求其 中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率?

【考点】分层抽样方法;频率分布直方图. 【专题】概率与统计. 【分析】 (1)根据所以概率的和为 1,即所求矩形的面积和为 1,建立等式关系,可求出所求; (2)均值为各组组中值与该组频率之积的和; (3)先分别求出 3,4,5 组的人数,再利用古典概型知识求解. 【解答】解: (Ⅰ)由题意得 10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1,所以 a=0.005.…(3 分) (Ⅱ)由直方图分数在[50,60]的频率为 0.05,[60,70]的频率为 0.35,[70,80]的频率为 0.30, [80,90]的频率为 0.20,[90,100]的频率为 0.10,所以这 100 名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为: 55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5
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…(6 分) (Ⅲ)由直方图,得: 第 3 组人数为 0.3×100=30, 第 4 组人数为 0.2×100=20 人, 第 5 组人数为 0.1×100=10 人. 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生, 每组分别为: 第 3 组: 第 4 组: 第 5 组: 人, 人, =1 人.

所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人.…(9 分) 设第 3 组的 3 位同学为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 位同学为 B1,B2,第 5 组的 1 位同学为 C1,则从六位同学中抽两位 同学有 15 种可能如下: (A1,A2) , (A1,A3) , (A1,A3) , (A2,A3) , (A1,B1) , ( (A1,B2) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A3,B1) , (A3,B2) , (A1,C1) , (A2,C1) , (A3,C1) , (B1,C1) , (B2,C1) , 其中恰有 1 人的分数不低于 9(0 分)的情形有: (A1,C1) , (A2,C1) , (A3,C1) , (B1,C1) , (B2,C1) ,共 5 种.… (13 分) 所以其中第 4 组的 2 位同学至少有一位同学入选的概率为 …(14 分)

【点评】本题主要考查频率分布直方图,平均数的求法和古典概率.

15. (2014?重庆)20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图: (Ⅰ)求频率分布直方图中 a 的值; (Ⅱ)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数; (Ⅲ)从成绩在[50,70)的学生任选 2 人,求此 2 人的成绩都在[60,70)中的概率.

【考点】古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 【专题】概率与统计. 【分析】 (Ⅰ)根据频率分布直方图求出 a 的值; (Ⅱ)由图可知,成绩在[50,60)和[60,70)的频率分别为 0.1 和 0.15,用样本容量 20 乘以对应的频率,即得对应 区间内的人数,从而求出所求. (Ⅲ)分别列出满足[50,70)的基本事件,再找到在[60,70)的事件个数,根据古典概率公式计算即可. 【解答】解: (Ⅰ)根据直方图知组距=10,由(2a+3a+6a+7a+2a)×10=1,解得 a=0.005. (Ⅱ)成绩落在[50,60)中的学生人数为 2×0.005×10×20=2, 成绩落在[60,70)中的学生人数为 3×0.005×10×20=3. (Ⅲ)记成绩落在[50,60)中的 2 人为 A,B,成绩落在[60,70)中的 3 人为 C,D,E,则成绩在[50,70)的学生 任选 2 人的基本事件有 AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE 共 10 个, 其中 2 人的成绩都在[60,70)中的基本事件有 CD,CE,DE 共 3 个,
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故所求概率为 P=



【点评】本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用,属于中档题. 16. (2015?菏泽一模)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是 85,乙班学生成绩的中位数是 83. (1)求 x 和 y 的值; 2 (2)计算甲班 7 位学生成绩的方差 s ; (3)从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,求甲班至少有一名学生的概率.

【考点】古典概型及其概率计算公式;茎叶图;极差、方差与标准差. 【专题】概率与统计. 【分析】 (1)利用平均数求出 x 的值,中位数求出 y 的值,解答即可. (2)根据所给的茎叶图,得出甲班 7 位学生成绩,做出这 7 次成绩的平均数,把 7 次成绩和平均数代入方差的计算公 式,求出这组数据的方差. (3)设甲班至少有一名学生为事件 A,其对立事件为从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,甲班没有一名 学生; 先计算出从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生的所有抽取方法总数, 和没有甲班一名学生的方法数目, 先求出从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,甲班没有一名学生的概率,进而结合对立事件的概率性质求得 答案. 【解答】解: (1)∵甲班学生的平均分是 85,
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∴x=5, ∵乙班学生成绩的中位数是 83,∴y=3; (2)甲班 7 位学生成绩的方差为 s =
2

=40;

(3)甲班成绩在 90 分以上的学生有两名,分别记为 A,B, 乙班成绩在 90 分以上的学生有三名,分别记为 C,D,E, 从这五名学生任意抽取两名学生共有 10 种情况: (A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,E) , (B,C) , (B,D) , (B,E) , (C,D) , (C,E) , (D,E) 其中甲班至少有一名学生共有 7 种情况: (A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,E) , (B,C) , (B,D) , (B,E) . 记“从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生, 甲班至少有一名学生”为事件 M,则 . .

答:从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,甲校至少有一名学生的概率为

【点评】本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识,考查或然与必然的数学思想方法,以及数据处 理能力、运算求解能力和应用意识. 17. (2015?湖南一模)某单位 N 名员工参加“社区低碳你我他”活动.他们的年龄在 25 岁至 50 岁之间.按年龄分组: 第 1 组[25,30) ,第 2 组[30,35) ,第 3 组[35,40) ,第 4 组[40,45) ,第 5 组[45,50],得到的频率分布直方图如图 所示.下表是年龄的频率分布表. 区间 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50] 25 a b 人数 (1)求正整数 a,b,N 的值; (2)现要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,则年龄在第 1,2,3 组的人数分别是多少? (3)在(2)的条件下,从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动,求恰有 1 人在第 3 组的概率.

【考点】古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 【专题】图表型;概率与统计. 【分析】 (1)根据小矩形的高= (2)计算分层抽样的抽取比例为

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,故频数比等于高之比,由此可得 a、b 的值; = ,用抽取比例乘以每组的频数,可得每组抽取人数;

(3)利用列举法写出从 6 人中随机抽取 2 人的所有基本事件,分别计算总个数与恰有 1 人在第 3 组的个数,根据古典 概型概率公式计算. 【解答】解: (1)由频率分布直方图可知,[25,30)与[30,35)两组的人数相同, ∴a=25 人.

且 总人数

人. 人.

(2)因为第 1,2,3 组共有 25+25+100=150 人,利用分层抽样在 150 名员工中抽取 6 人,每组抽取的人数分别为: 第 1 组的人数为 第 2 组的人数为 第 3 组的人数为 , , ,

∴第 1,2,3 组分别抽取 1 人,1 人,4 人. (3)由(2)可设第 1 组的 1 人为 A,第 2 组的 1 人为 B,第 3 组的 4 人分别为 C1,C2,C3,C4,则从 6 人中抽取 2 人的所有可能结果为: (A,B) , (A,C1) , (A,C2) , (A,C3) , (A,C4) , (B,C1) , (B,C2) , (B,C3) , (B,C4) , (C1,C2) , (C1,C3) , (C1,C4) , (C2,C3) , (C2,C4) , (C3,C4) ,共有 15 种. 其中恰有 1 人年龄在第 3 组的所有结果为: (A,C1) , (A,C2) , (A,C3) , (A,C4) , (B,C1) , (B,C2) , (B,C3) , (B,C4) ,共有 8 种. 所以恰有 1 人年龄在第 3 组的概率为 .

【点评】本题考查了频率分布直方图及古典概型的概率计算,解答此类题的关键是读懂频率分布直方图的数据含义, 小矩形的高= .

18. (2014?黑龙江)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况,随机访问了 50 位市民,根据这 50 位市民对两部门的评 分(评分越高表明市民的评价越高)绘制的茎叶图如图:

(Ⅰ)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数; (Ⅱ)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率; (Ⅲ)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价. 【考点】古典概型及其概率计算公式;茎叶图;众数、中位数、平均数.

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【专题】概率与统计. 【分析】 (Ⅰ)根据茎叶图的知识,中位数是指中间的一个或两个的平均数,首先要排序,然后再找, (Ⅱ)利用样本来估计总体,只要求出样本的概率就可以了. (Ⅲ)根据(Ⅰ) (Ⅱ)的结果和茎叶图,合理的评价,恰当的描述即可. 【解答】解: (Ⅰ)由茎叶图知,50 位市民对甲部门的评分有小到大顺序,排在排在第 25,26 位的是 75,75,故样本 的中位数是 75,所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是 75. 50 位市民对乙部门的评分有小到大顺序,排在排在第 25,26 位的是 66,68,故样本的中位数是 所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是 67. (Ⅱ)由茎叶图知,50 位市民对甲、乙部门的评分高于 90 的比率分别为 , =67,v

故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率得估计值分别为 0.1,0.16, (Ⅲ)由茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数,而且由茎叶图可以大致看出对甲部门 的评分标准差要小于乙部门的标准差,说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致,对乙部门的评价较低、评 价差异较大. 【点评】本题主要考查了茎叶图的知识,以及中位数,用样本来估计总体的统计知识,属于基础题. 19. (2014?天津)某校夏令营有 3 名男同学,A、B、C 和 3 名女同学 X,Y,Z,其年级情况如表: 一年级 二年级 三年级 A B C 男同学 X Y Z 女同学 现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同) (Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果; (Ⅱ)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”,求事件 M 发生的概率. 【考点】古典概型及其概率计算公式;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 【专题】概率与统计. 【分析】 (Ⅰ)用表中字母一一列举出所有可能的结果,共 15 个. (Ⅱ)用列举法求出事件 M 包含的结果有 6 个,而所有的结果共 15 个,由此求得事件 M 发生的概率. 【解答】解: (Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果有: (A,B) 、 (A,C) 、 (A,X) 、 (A,Y) 、 (A,Z) 、 (B,C) 、 (B,X) 、 (B,Y) 、 (B,Z) 、 (C,X) 、 (C,Y) 、 (C,Z) 、 (X,Y) 、 (X,Z ) 、 (Y,Z) ,共计 15 个结果. (Ⅱ)设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”, 则事件 M 包含的结果有: (A,Y) 、 (A,Z) 、 (B,X) 、 (B,Z) 、 (C,X) 、 (C,Y) ,共计 6 个结果,
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故事件 M 发生的概率为

= .

【点评】本题考主要查古典概型问题,可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件,列举法,是解决古典概型 问题的一种重要的解题方法,属于基础题. 20. (2015?天津)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27,9,18,先采用分层抽取的方法从这三个协会 中抽取 6 名运动员组队参加比赛. (Ⅰ)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数; (Ⅱ)将抽取的 6 名运动员进行编号,编号分别为 A1,A2,A3,A4,A5,A6,现从这 6 名运动员中随机抽取 2 人参 加双打比赛. (i)用所给编号列出所有可能的结果; (ii)设 A 为事件“编号为 A5 和 A6 的两名运动员中至少有 1 人被抽到”,求事件 A 发生的概率. 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】概率与统计. 【分析】 (Ⅰ)由题意可得抽取比例,可得相应的人数; (Ⅱ) (i)列举可得从 6 名运动员中随机抽取 2 名的所有结果共 15 种; (ii)事件 A 包含上述 9 个,由概率公式可得.
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【解答】解: (Ⅰ)由题意可得抽取比例为

= ,

27× =3,9× =1,18× =2, ∴应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为 3、1、2; (Ⅱ) (i)从 6 名运动员中随机抽取 2 名的所有结果为: (A1,A2) , (A1,A3) , (A1,A4) , (A1,A5) , (A1,A6) , (A2,A3) , (A2,A4) , (A2,A5) , (A2,A6) , (A3,A4) , (A3,A5) , (A3,A6) , (A4,A5) , (A4,A6) ) , (A5,A6) , 共 15 种; (ii)设 A 为事件“编号为 A5 和 A6 的两名运动员中至少有 1 人被抽到”, 则事件 A 包含: (A1,A5) , (A1,A6) , (A2,A5) , (A2,A6) , (A3,A5) , (A3,A6) , (A4,A5) , (A4,A6) ) , (A5,A6)共 9 个基本事件, ∴事件 A 发生的概率 P= =

【点评】本题考查古典概型及其概率公式,涉及分层抽样,属基础题. 21. (2015?山东)某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表: (单位:人) 参加书法社团 未参加书法社团 8 5 参加演讲社团 2 30 未参加演讲社团 (Ⅰ)从该班随机选 1 名同学,求该同学至少参加一个社团的概率; (Ⅱ)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中,有 5 名男同学 A1,A2,A3,A4,A5,3 名女同学 B1,B2, B3.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人,求 A1 被选中且 B1 未被选中的概率. 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】概率与统计. 【分析】 (Ⅰ)先判断出这是一个古典概型,所以求出基本事件总数,“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数, 从而根据古典概型的概率计算公式计算即可; (Ⅱ)先求基本事件总数,即从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人,有多少中选法,这个可利用分步计数原
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理求解,再求出“A1 被选中,而 B1 未被选中”事件包含的基本事件个数,这个容易求解,然后根据古典概型的概率公式 计算即可. 【解答】解: (Ⅰ)设“至少参加一个社团”为事件 A; 从 45 名同学中任选一名有 45 种选法,∴基本事件数为 45; 通过列表可知事件 A 的基本事件数为 8+2+5=15; 这是一个古典概型,∴P(A)= ;

(Ⅱ)从 5 名男同学中任选一个有 5 种选法,从 3 名女同学中任选一名有 3 种选法; ∴从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人的选法有 5×3=15,即基本事件总数为 15; 设“A1 被选中,而 B1 未被选中”为事件 B,显然事件 B 包含的基本事件数为 2; 这是一个古典概型,∴ .

【点评】考查古典概型的概念,以及古典概型的概率的求法,分步计数原理的应用. 22. (2015?漳州一模)对一批共 50 件的某电器进行分类检测,其重量(克)统计如下: 质量段 [80,85) [85,90) [90,95) [95,100] 5 a 15 b 件数 规定重量在 82 克及以下的为“A”型,重量在 85 克及以上的为“B”型,已知该批电器有“A“型 2 件 (Ⅰ)从该批电器中任选 1 件,求其为“B“型的概率; (Ⅱ)从重量在[80,85)的 5 件电器中,任选 2 件,求其中恰有 1 件为“A”型的概率. 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】概率与统计. 【分析】 (Ⅰ)由表格可知,“B”型的件数为 50﹣5,即得所求的概率. (Ⅱ)把 5 件电器行编号,写出任选 2 件的所有不同选法种数,查出恰有 1 件为“A”型的选法种数,然后直接利用古典 概型概率计算公式,从而求得所求事件的概率.
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【解答】解: (Ⅰ)设“从该批电器中任选 1 件,其为“B”型”为事件 A1, 则 P(A1)= = .

所以从该批电器中任选 1 件,求其为”B”型的概率为

(Ⅱ)设“从重量在[80,85)的 5 件电器中,任选 2 件电器,求其中恰有 1 件为“A”型”为事件 A2, 记这 5 件电器分别为 a,b,c,d,e,其中“A”型为 a,b. 从中任选 2 件,所有可能的情况为 ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共 10 种. 其中恰有 1 件为”A”型的情况有 ac,ad,ae,bc,bd,be,共 6 种. 所以 P(A2)= = .

所以从重量在[80,85)的 5 件电器中,任选 2 件电器,其中恰有 1 件为“A”型的概率为 . 【点评】本题主要考查用列举法求基本事件及事件发生的概率,属于基础题. 23. (2014?德阳模拟)如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩.乙组记录中有一个数 字模糊,无法确认,假设这个数字具有随机性,并在图中以 a 表示. (Ⅰ)若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同,求 a 的值; (Ⅱ)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率; (Ⅲ)当 a=2 时,分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过 2 分 的概率.

【考点】古典概型及其概率计算公式;茎叶图;等可能事件的概率. 【专题】计算题;图表型;概率与统计. 【分析】 (Ⅰ)直接由甲、乙两个小组的数学平均成绩相等列式求解 a 的值; (Ⅱ)由(Ⅰ)中求得的结果可得,当 a=2,…,9 时,乙组平均成绩超过甲组平均成绩,然后由古典概率模型概率计 算公式求概率; (Ⅲ)用枚举法列出所有可能的成绩结果,查出两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过 2 分的情况数,然后由古典 概率模型概率计算公式求概率.
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【解答】解: (Ⅰ)由甲、乙两个小组的数学平均成绩相等,得 解得 a=1; (Ⅱ)设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件 A, a 的取值有:0,1,2,…,9 共有 10 种可能. 由(Ⅰ)可知,当 a=1 时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同, ∴当 a=2,…,9 时,乙组平均成绩超过甲组平均成绩,共有 8 种可能. ∴乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率 P(A)= ;



(Ⅲ)设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过(2 分)”为事件 B, 当 a=2 时,分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,所有可能的成绩结果有 3×3=9 种,它们是: (88,90) , (88,91) , (88,92) , (92,90) , (92,91) , (92,92) , (92,90) , (92,91) , (92,92) . ∴事件 B 的结果有 7 种,它们是: (88,90) , (92,90) , (92,91) , (92,92) , (92,90) , (92,91) , (92,92) . ∴两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过(2 分)的概率 P(B)= . 【点评】本题考查了茎叶图,考查了等可能事件的概率及古典概型概率计算公式,是基础的计算题.

24. (2015?黑龙江)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 20 个用户,得到用户对产 品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (1) 根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图, 并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度 (不 要求计算出具体值,给出结论即可) ; (2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记事件 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的评价结果相互独立,根据所 给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的频率,求 C 的概率.

【考点】古典概型及其概率计算公式;茎叶图. 【专题】概率与统计. 【分析】 (Ⅰ)根据茎叶图的画法,以及有关茎叶图的知识,比较即可; (Ⅱ)根据概率的互斥和对立,以及概率的运算公式,计算即可. 【解答】解: (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下
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通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意评分的平均值高于 B 地区用户满意评分的平均值;A 地区用户满意度评分比较 集中,B 地区用户满意度评分比较分散; (Ⅱ)记 CA1 表示事件“A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”, 记 CA2 表示事件“A 地区用户满意度等级为非常满意”, 记 CB1 表示事件“B 地区用户满意度等级为不满意”, 记 CB2 表示事件“B 地区用户满意度等级为满意”, 则 CA1 与 CB1 独立,CA2 与 CB2 独立,CB1 与 CB2 互斥, 则 C=CA1CB1∪CA2CB2, P(C)=P(CA1CB1)+P(CA2CB2)=P(CA1)P(CB1)+P(CA2)P(CB2) , 由所给的数据 CA1,CA2,CB1,CB2,发生的频率为 所以 P(CA1)= 所以 P(C)= × ,P(CA2)= + × ,P(CB1)= , , , , ,

,P(CB2)=

=0.48.

【点评】本题考查了茎叶图,概率的互斥与对立,用频率来估计概率,属于中档题.

25. (2013?山东)某小组共有 A、B、C、D、E 五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(单位:千克/米 ) 如下表所示: A B C D E 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 身高 19.2 25.1 18.5 23.3 20.9 体重指标 (Ⅰ)从该小组身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,求选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率 (Ⅱ)从该小组同学中任选 2 人,求选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率. 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】概率与统计. 【分析】 (Ⅰ)写出从身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件,查出选到的 2 人身高都在 1.78 以下的事件,然后直接利用古典概型概率计算公式求解; . (Ⅱ)写出从该小组同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件,查出选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体 重指标都在[18.5,23.9)中的事件,利用古典概型概率计算公式求解. 【解答】 (Ⅰ)从身高低于 1.80 的同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件有: (A,B) , (A,C) , (A,D) , (B,C) , (B,D) , (C,D)共 6 个. 由于每个同学被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 选到的 2 人身高都在 1.78 以下的事件有: (A,B) , (A,C) , (B,C)共 3 个.
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2

因此选到的 2 人身高都在 1.78 以下的概率为 p=



(Ⅱ)从该小组同学中任选 2 人,其一切可能的结果组成的基本事件有: (A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,E) , (B,C) , (B,D) , (B,E) , (C,D) , (C,E) , (D,E)共 10 个. 由于每个同学被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有: (C,D) (C,E) , (D,E)共 3 个. 因此选到的 2 人的身高都在 1.70 以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率 p= .

【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式,解答的关键在于列举基本事件时做到不重不漏,是基础题. 26. (2015?开封模拟)某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取 60 名同学将其成绩(百分制,均为整数)分成[40, 50) ,[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]六组后,得到部分频率分布直方图(如图) ,观察图形中的 信息,回答下列问题. (Ⅰ)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图; (Ⅱ)从频率分布直方图中,估计本次考试成绩的中位数; (Ⅲ)若从第 1 组和第 6 组两组学生中,随机抽取 2 人,求所抽取 2 人成绩之差的绝对值大于 10 的概率.

【考点】古典概型及其概率计算公式;频率分布直方图. 【专题】概率与统计.

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【分析】 (I)利用所有小矩形的面积之和为 1,求得分数在[70,80)内的频率,再根据小矩形的高=

求得小矩形

的高,补全频率分布直方图; (II)根据中位数的左、右两边的小矩形的面积之和相等,求从左数频率之和等于 0.5 的横坐标的值; (III)利用组合数公式计算从从第 1 组和第 6 组所有人数中任取 2 人的取法种数,再计算从第 1 组与第 6 组各抽取 1 人的取法种数,代入古典概型概率公式计算.

【解答】解: (Ⅰ)分数在[70,80)内的频率为 1﹣(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=0.3, ∴小矩形的高为 0.030,补全频率分布直方图如图:

(Ⅱ)由频率频率分布直方图知前三组的频率之和为 0.1+0.15+0.15=0.4, ∴中位数在第四组,设中位数为 70+x,则 0.4+0.030×x=0.5?x= ∴数据的中位数为 70+ = , ,

(Ⅲ)第 1 组有 60×0.1=6 人(设为 1,2,3,4,5,6) 第 6 组有 60×0.05=3 人(设为 A,B,C) 从 9 人中任取 2 人有 =36 种方法; =18 种,

其中抽取 2 人成绩之差的绝对值大于 10 的抽法是从第 1 组与第 6 组各抽取 1 人,抽法由 ∴抽取 2 人成绩之差的绝对值大于 10 的概率为 .

【点评】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数、频数,考查了古典概型的概率计算,在频率分布直方图中 频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距= .


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