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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查23 解三角形应用举例


开卷速查(二十三)

解三角形应用举例

A 级 基础巩固练 1.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40° 的方向直线航行,30 分钟后到达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70° ,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65° ,那么 B,C 两点间的距离是( A.10 2海里 C.20 3海里 ) B.10 3海里 D.20 2海里

解析:如图所示,易知,在△ABC 中,AB=20 海里,∠CAB=30° , BC AB ∠ACB=45° ,根据正弦定理得sin30° =sin45° ,解得 BC=10 2(海里), 故选 A.

答案:A 2.在某个位置测得某山峰仰角为 α,对着山峰在水平地面上前进 900 m 后测得仰角为 2α,继续在水平地面上前进 300 3 m 后,测得山 峰的仰角为 4α,则该山峰的高度为( A.300 m C.300 3 m ) B.450 m D.600 m

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解析:如图所示,易知,在△ADE 中,∠DAE=2α,∠ADE=180° 900 300 3 3 -4α, AD=300 3 m, 由正弦定理, 得sin4α= sin2α , 解得 cos2α= 2 , 1 3 则 sin2α=2, sin4α= 2 , 所以在 Rt△ABC 中山峰的高度 h=300 3sin4α 3 =300 3× 2 =450(m). 答案:B 3.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸 选择甲、乙两观测点,在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为 45° ,30° , 在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、 乙两地连线所成的角为 120° , 甲、乙两地相距 500 m,则电视塔的高度是( A.100 2 m C.200 3 m B.400 m D.500 m )

解析:由题意画出示意图,设塔高 AB=h m,在 Rt△ABC 中,由

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已知得 BC=h m,在 Rt△ABD 中,由已知得 BD= 3h m,在△BCD 中, 由余弦定理 BD2=BC2+CD2-2BC· CDcos∠BCD,得 3h2=h2+5002+ h· 500,解得 h=500(m). 答案:D

4.如图所示,长为 3.5 m 的木棒 AB 斜靠在石堤旁,木棒的一端 A 在离堤足 C 处 1.4 m 的地面上,另一端 B 在离堤足 C 处 2.8 m 的石堤 上,石堤的倾斜角为 α,则坡度值 tanα 等于( 231 A. 5 231 C. 16 5 B.16 11 D. 5 )

解析:由题意,可得在△ABC 中,AB=3.5 m,AC=1.4 m,BC= 2.8 m,且∠α+∠ACB=π. 由余弦定理,可得 AB2=AC2+BC2-2×AC×BC×cos∠ACB,即 5 3.52=1.42+2.82-2×1.4×2.8×cos(π-α),解得 cosα=16,所以 sinα 231 sinα 231 = 16 ,所以 tanα=cosα= 5 . 答案:A

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5.[2015· 辽宁丹东模拟]如图所示,在坡度一定的山坡 A 处测得山 顶上一建筑物 CD 的顶端 C 对于山坡的斜度为 15° ,向山顶前进 100 m 到达 B 处,又测得 C 对于山坡的斜度为 45° ,若 CD=50 m,山坡对于 地平面的坡度为 θ,则 cosθ 等于( 3 A. 2 C. 3-1 ) B.2- 3 2 D. 2

解析:在△ABC 中,由正弦定理可知, BC= AB· sin∠BAC 100sin15° = =50( 6- 2). sin∠ACB sin?45° -15° ? BC· sin∠CBD 50? 6- 2?· sin45° = = 3- CD 50

在△BCD 中,sin∠BDC= 1.

由题图知,cosθ=sin∠ADE=sin∠BDC= 3-1. 答案:C

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6.如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB,CD 的高度分别为 20 m,50 m, BD 为水平面, 则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为( A.30° C.60° B.45° D.75° )

解析:依题意可得 AD=20 10 m,AC=30 5 m,又 CD=50 m, AC2+AD2-CD2 所 以在△ ACD 中, 由余弦定 理,得 cos ∠ CAD = = 2AC· AD ?30 5?2+?20 10?2-502 2×30 5×20 10 = 6 000 2 = 2 ,又 0° <∠CAD<180° ,所以∠ 6 000 2

CAD=45° ,所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45° . 答案:B 7.在相距 2 千米的 A,B 两点处测量目标点 C,若∠CAB=75° , ∠CBA=60° ,则 A,C 两点之间的距离为__________千米. 解析:由已知条件∠CAB=75° ,∠CBA=60° ,得∠ACB=45° .结合正 AB AC 2 AC 弦定理, 得 = , 即sin45° =sin60° , 解得 AC= 6(千米). sin∠ACB sin∠CBA 答案: 6

8.如图,一艘船上午 9:30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30°
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处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午 10:00 到达 B 处,此时又 测得灯塔 S 在它的北偏东 75° 处,且与它相距 8 2 n mile.此船的航速 是__________n mile/h. 1 解析:设航速为 v n mile/h,在△ABS 中,AB=2v,BS=8 2n mile, ∠BSA=45° , 1 2v 8 2 由正弦定理,得sin30° =sin45° ,∴v=32 n mile/h. 答案:32 9. 某登山队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 45° , 沿倾斜角为 30° 的斜坡前进 1 000 m 后到达 D 处,又测得山顶的仰角为 60° ,则山的高 度 BC 为__________m.

解析:过点 D 作 DE∥AC 交 BC 于 E,因为∠DAC=30° ,故∠ADE =150° .于是∠ADB=360° -150° -60° =150° .又∠BAD=45° -30° =15° , ADsin∠ADB 1 000sin150° 故∠ABD=15° , 由正弦定理得 AB= = sin15° =500( 6 sin∠ABD + 2)(m) 所以在 Rt△ABC 中,BC=ABsin45° =500( 3+1)(m). 答案:500( 3+1)

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10. 已知岛 A 南偏西 38° 方向, 距岛 A 3 海里的 B 处有一艘缉私艇. 岛 A 处的一艘走私船正以 10 海里/时的速度向岛北偏西 22° 方向行驶,问 缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用 0.5 小时能截住该走私船?
? 5 3 3 3? ?参考数据:sin38° = 14 ,sin22° = 14 ? ? ?

解析:如图,设缉私艇在 C 处截住走私船,D 为岛 A 正南方向上 一点,缉私艇的速度为每小时 x 海里,则 BC=0.5x,AC=5 海里,依 题意, ∠BAC=180° -38° -22° =120° , 由余弦定理可得 BC2=AB2+AC2 -2AB· ACcos120° , 所以 BC2=49,BC=0.5x=7,解得 x=14. 3 5 × AC· sin∠BAC 2 5 3 又由正弦定理得 sin∠ABC= = BC 7 = 14 , 所以∠ABC=38° ,又∠BAD=38° ,所以 BC∥AD,
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故缉私艇以每小时 14 海里的速度向正北方向行驶,恰好用 0.5 小 时截住该走私船. B级 能力提升练

11.某城市有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上 建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别 为△ABC、△ABD,经测量 AD=BD=14,BC=10,AC=16,∠C= ∠D. (1)求 AB 的长度; (2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比,不考虑其他因素, 小李、小王谁的设计建造费用最低?请说明理由. 解 析 : (1) 在 △ ABC 中 , 由 余 弦 定 理 , 得 AB2 = AC2 + BC2 - 2AC· BCcosC=162+102-2×16×10cosC,① 在△ABD 中,由余弦定理及∠C=∠D,整理得 AB2=AD2+BD2- 2AD· BDcosD=142+142-2×142cosC.② 由①②得:142+142-2×142cosC=162+102-2×16×10×cosC, 1 整理得 cosC=2. ∵∠C 为三角形的内角,∴∠C=60° .

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又∠C=∠D,AD=BD, ∴△ABD 是等边三角形, 故 AB=14,即 A、B 两点的距离为 14. (2)小李的设计使建造费用最低. 理由如下: 1 S△ABD=2AD· BDsinD, 1 S△ABC=2AC· BCsinC. ∵AD· BD>AC· BC,且 sinD=sinC, ∴S△ABD>S△ABC. 由已知建造费用与用地面积成正比,故选择小李的设计使建造费 用最低. 12. 如图, 游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径. 一 种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后 从 B 沿直线步行到 C. 现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min,在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后, 再从 B 匀速步行到 C,假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m/min,山 12 3 路 AC 长为 1 260 m,经测量,cosA=13,cosC=5.

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(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的 速度应控制在什么范围内? 12 解析:(1)在△ABC 中,因为 cosA=13, 3 5 4 cosC=5,所以 sinA=13,sinC=5. 从而 sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C) =sinAcosC+cosAsinC 5 3 12 4 =13×5+13×5 63 =65. AB AC 由正弦定理sinC=sinB,得 AC 1 260 4 AB=sinB×sinC= 63 ×5=1 040(m). 65 所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发 t min 后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了 (100+50t) m,乙距离 A 处 130t m,所以由余弦定理得

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12 d2 = (100 + 50t)2 + (130t)2 - 2×130t×(100 + 50t)× 13 = 200(37t2 - 70t+50), 1 040 35 因 0≤t≤ 130 ,即 0≤t≤8,故当 t=37(min)时,甲、乙两游客距 离最短. BC AC (3)由正弦定理sinA=sinB,得 AC 1 260 5 BC=sinB×sinA= 63 ×13=500(m). 65 乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C. 500 710 设乙步行的速度为 v m/min,由题意得-3≤ v - 50 ≤3,解得 1 250 625 ≤ v ≤ 43 14 ,所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3
?1 250 625? min,乙步行的速度应控制在? 43 , 14 ?(单位:m/min)范围内. ? ?

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