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北京市人大附中2015届高考数学适应性试卷(文科)(5月份)


北京市人大附中 2015 届高考数学适应性试卷(文科) (5 月份)
一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1. (5 分)已知集合 A={x|x>0},B={x|﹣1≤x≤2},则 A∪B=() A.{x|x≥﹣1} B.{x|x≤2} C.{x|0<x≤2} D.{x|﹣1≤x≤2} 2. (5 分)函数 f(x)=sin(x+ A.( ,0) )图象的一个对称中心为() C.(0,0) D.(﹣ ,0)

B.(0,1)

3. (5 分)若 a>0 且 a≠1,函数 y=a A.(1,0) B.(0,1)

x﹣3

+1 的反函数图象一定过点 A,则 A 的坐标是() C.(2,3) D.(3,2)

4. (5 分)已知 A,B,C 三点不重合,则“ A.充分不必要条件 C. 充分必要条件

”是“A,B,C 三点共线”成立的() B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5. (5 分)设 a,b 为两条直线,α,β 为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是() A.若 a,b 与 α 所成的角相等,则 α∥b B. 若 a∥α,b∥β,α∥β,则 a∥b C. 若 a?α,b?β,α∥b,则 α∥β D.若 a⊥α,b⊥β,α⊥β,是 a⊥b

6. (5 分)若实数 x,y 满足

则 z=3

x+2y

的最小值是()

A.0
2

B. 1

C.

D.9

7. (5 分)若曲线 y =2px(p>0)上有且只有一个点到其焦点的距离为 1,则 p 的值为() A.1 B. 2 C. 3 D.4 8. (5 分)在股票买卖过程中,经常用到两种曲线,一种是即时价格曲线 y=f(x) ,一种 是 平均价格曲线 y=g(x) (如 f(2)=3 表示开始交易后第 2 小时的即时价格为 3 元;g(2) =4 表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为 4 元) . 下面所给出的四个图象中, 实线表示 y=f(x) ,虚线表示 y=g(x) , 其中可能正确的是()

A.

B.

C.

D.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9. (5 分)函数 f(x)= 的定义域是.

10. (5 分)

的展开式中的第 5 项为常数项,那么正整数 n 的值是.

11. (5 分)在△ ABC 中,AC=
2 2

,∠A=45°,∠C=75°,则 BC 的长度是.

12. (5 分)已知圆 C:x +y +6x﹣8y=0 内有一点 A(﹣5,0) ,直线 l 过点 A 交圆 C 于 P, Q 两点,若 A 为 PQ 中点,则|PQ|=;若|PQ|=10,则 l 的方程为. 13. (5 分)已知等差数列{an}的首项 a1 及公差 d 都是整数,前 n 项和为 Sn(n∈N ) .若 a1 >1,a4>3,S3≤9,则通项公式 an=. 14. (5 分)定义一个对应法则 f:P(m,n)→P′( , ) , (m≥0,n≥0) .现有点 A(2, 6)与点 B(6,2) ,点 M 是线段 AB 上一动点,按定义的对应法则 f:M→M′.若点 M 坐 标为(4,4) ,则对应点 M′的坐标为;当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 结束时, 点 M 的对应点 M′所经过的路线长度为.
*

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (12 分)已知函数 f(x)=2sinxcosx+cos2x. (Ⅰ)求 f ( )的值; )= ,求 cos2α 的值.

(Ⅱ)设 α∈(0, π) ,f(

16. (13 分)在一次百米比赛中,甲,乙等 6 名同学采用随机抽签的方式决定各自的跑道, 跑道编号为 1 至 6,每人一条跑道 (Ⅰ)求甲在 1 或 2 跑道且乙不在 5 或 6 跑道的概率; (Ⅱ)求甲乙之间恰好间隔两人的概率. 17. (14 分)如图,在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=CA= 平面 AA1C1C⊥平面 ABCD,E 为线段 BC 的中点, (Ⅰ)求证:BD⊥AA1; (Ⅱ)求证:A1E∥平面 DCC1D1 ,AD=CD=AA 1=1,

(Ⅲ) 若 AA1⊥AC,求 A1E 与面 ACC1A1 所成角大小.

18. (14 分)数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1) (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)等差数列{bn}的各项为正,其前 n 项和为 Tn,且 T3=15,又 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成 等比数列,求 Tn. (Ⅲ)设 c∈,在(2)的条件下,设 g(n)=Tn﹣cn,求 g(n)的最小值.

19. (13 分)设椭圆 F2 到右准线 l 的距离为 (Ⅰ)求 a、b 的值;

=1(a>b>0)的左、右焦点分别是 F1 和 F2,离心率 e= .

,点

(Ⅱ)设 M、N 是右准线 l 上两动点,满足 N 两点关于 x 轴对称.

=0.当|MN|取最小值时,求证:M,

20. (14 分)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 的图象经过原点,且在 x=1 处取得极大值. (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若方程 f(x)=﹣ 恰好有两个不同的根,求 f(x)的解析式;

3

2

(Ⅲ)对于(2)中的函数 f(x) ,若对于任意实数 α 和 β 恒有不等式|f(2sinα)﹣f(2sinβ) |≤m 成立,求 m 的最小值.

北京市人大附中 2015 届高考数学适应性试卷(文科) (5 月份)

参考答案与试题解析

一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1. (5 分)已知集合 A={x|x>0},B={x|﹣1≤x≤2},则 A∪B=() A.{x|x≥﹣1} B.{x|x≤2} C.{x|0<x≤2} D.{x|﹣1≤x≤2} 考点: 并集及其运算. 分析: 根据并集的求法,做出数轴,求解即可. 解答: 解:根据题意,作图可得,

则 A∪B={x|x≥﹣1},故选 A. 点评: 本题考查集合的运算,要结合数轴发现集合间的关系,进而求解.

2. (5 分)函数 f(x)=sin(x+ A.( ,0)

)图象的一个对称中心为() C.(0,0) D.(﹣ ,0)

B.(0,1)

考点: 正弦函数的对称性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用正弦函数的图象的对称中心求得函数 f(x)=sin(x+ 对称中心. 解答: 解:对于函数 f(x)=sin(x+ 求得 x=kπ﹣ ) ,令 x+ =kπ,k∈z, ,0) , )图象的一个

,k∈z,可得它的图象的对称中心为(kπ﹣

故选:A. 点评: 本题主要考查正弦函数的图象的对称中心,属于基础题. 3. (5 分)若 a>0 且 a≠1,函数 y=a A.(1,0) B.(0,1)
x﹣3

+1 的反函数图象一定过点 A,则 A 的坐标是() C.(2,3) D.(3,2)

考点: 反函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由指数函数的性质可得原函数图象过的定点,再由反函数的性质可得. 解答: 解:当 x=3 时,y=a +1=2, x﹣3 ∴函数 y=a +1 的图象一定过点(2,3) , x﹣3 ∴函数 y=a +1 的反函数图象一定过点 A(3,2) 故选:C 点评: 本题考查指数函数的性质和反函数,属基础题.
3﹣3

4. (5 分)已知 A,B,C 三点不重合,则“ A.充分不必要条件 C. 充分必要条件

”是“A,B,C 三点共线”成立的() B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 充要条件. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据三点共线的向量关系,根据充分条件和必要条件的定义进行判断. 解答: 解 :A,B,C 三点不重合,若 A,B,C 三点共线”,则“ 故“ =λ ,λ≠0,λ 为常数”

”能推出“A,B,C 三点共线”,但是“A,B,C 三点共线”,λ 为不等于 0 的常数, ”是“A,B,C 三点共线”成立的充分不必要条件.

故 A,B,C 三点不重合,则“

故选:A. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据三点关共线的等价条件是解决本题 的关键. 5. (5 分)设 a,b 为两条直线,α,β 为两个平面,下列四个命题中,正确的命题是() A.若 a,b 与 α 所成的角相等,则 α∥b B. 若 a∥α,b∥β,α∥β,则 a∥b C. 若 a?α,b?β,α∥b,则 α∥β D.若 a⊥α,b⊥β, α⊥β,是 a⊥b 考点: 平面与平面之间的位置关系; 空间中直线与直线之间的位置关系; 空间中直线与平 面之间的位置关系. 专题: 证明题. 分析: 根据题意,依次分析选项,A、用直线的位置关系判断.B、用长方体中的线线, 线面,面面关系验证.C、用长方体中的线线,线面,面面关系验证.D、由 a⊥α,α⊥β, 可得到 a?β 或 a∥β,再由 b⊥β 得到结论. 解答: 解:A、直线 a,b 的方向相同时才平行,不正确; B、用长方体验证.如图,设 A1B1 为 a,平面 AC 为 α,BC 为 b,平面 A1C1 为 β,显然有 a∥α,b∥β,α∥β,但得不到 a∥b,不正确; C、 可设 A1B1 为 a, 平面 AB1 为 α, CD 为 b, 平面 AC 为 β, 满足选项 C 的条件却得不到 α∥β, 不正确; D、∵a⊥α,α⊥β, ∴a?β 或 a∥β 又∵b⊥β ∴a⊥b 故选 D

点评: 本题主要考查空间内两直线,直线与平面,平面与平面间的位置关系,综合性强, 方法灵活,属中档题.

6. (5 分)若实数 x,y 满足

则 z=3

x+2y

的最小值是()

A.0

B. 1

C.

D.9

考点: 简单线性规划的应用.

分析: 本题考查的知识点是线性规划, 处理的思路为: 根据已知的约束条件

画出满足约束条件的可行域,再用角点法,求出目标函数的最大值.

解答: 解:约束条件

对应的平面区域如图示:由图可知当 x=0,y=0 时,目

标函数 Z 有最小值, Zmin=3 故选 B
x+2y

=3 =1

0

点评: 用图解法解决线性规划问题时, 分析题目的已知条件, 找出约束条件和目标函数是 关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约 束条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可 得到目标函数的最优解. 7. (5 分)若曲线 y =2px(p>0)上有且只有一个点到其焦点的距离为 1,则 p 的值为() A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
2

分析: 利用曲线 y =2px(p>0)上有且只有一个点到其焦点的距离为 1,可得 =1,即可 得出结论. 2 解答: 解:因为曲线 y =2px(p>0)上有且只有一个点到其焦点的距离为 1, 所以 =1, 所以 p=2. 故选:B. 点评: 本题 考查抛物线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础. 8. (5 分)在股票买卖过程中,经常用到两种曲线,一种是即时价格曲线 y=f(x) ,一种是 平均价格曲线 y=g(x) (如 f(2)=3 表示开始交易后第 2 小时的即时价格为 3 元;g(2) =4 表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为 4 元) . 下面所给出的四个图象中, 实线表示 y=f(x) ,虚线表示 y=g(x) ,其中可能正确的是()

2

A.

B.

C.

D.

考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由股票买卖过程以及股票买卖的规律性,依次分析可得答案. 解答: 解:刚开始交易时,即时价格和平均价格应该相等,A 错误;开始交易后,平均价 格应该跟随即时价格变动,在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度,B、D 均错 误. 答案:C. 点评: 本题考查函数及其图象的基本思想和方法, 考查学生看图识图及理论联系实际的能 力. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9. (5 分)函数 f(x)= 的定义域是(﹣∞,3) .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数成立的条件即可求函数的定义域. 解答: 解:要使函数有意义,则 3﹣x>0, 即 x<3, 故函数的定义域为(﹣∞,3) , 故答案为: (﹣∞,3) 点评: 本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件.

10. (5 分)

的展开式中的第 5 项为常数项,那么正整数 n 的值是 8.

考点: 二项式定理. 专题: 计算题. 分析: 利用二项展开式的通项公式求出展开式的第 r+1 项,令 x 的指数为 0 得到常数项, 列出方程求出 n 值. 解答: 解: 展开式的通项为 Tr+1= =(﹣1) Cn x
r r n﹣2r

展开式中的第 5 项为常数项, 故 n﹣8=0,解得 n=8, 故答案为:8. 点评: 本题考查二项展开式的通项公式,是解决二项展开式的特定项问题的工具. 11. (5 分)在△ ABC 中,AC= 考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 根据∠A 和∠C 求得∠B,进而根据正弦定理求得 解答: 解:∠B=180°﹣45°﹣75°=60° 由正弦定理可知 CsinB=BCsinA ∴BC= = 求得 BC. ,∠A=45°,∠C=75°,则 BC 的长度是 .

故答案为 点评: 本题主要考查了正弦定理的应用.属基础题. 12. (5 分)已知圆 C:x +y +6x﹣8y=0 内有一点 A(﹣5,0) ,直线 l 过点 A 交圆 C 于 P, Q 两点,若 A 为 PQ 中点,则|PQ|=2 ;若|PQ|=10,则 l 的方程为 y=2x+10. 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 直线与圆. 分析: 把圆的方程化为标准形式,求出圆心和半径,若 A 为 PQ 中点,则 CA⊥PQ,利用 弦长公式求得|PQ|;若 PQ=10 为直径,则直线 PQ 经过圆心 C,由两点式求得 PQ 的方程. 2 2 2 2 解答: 解:圆 C:x +y +6x﹣8y=0 即圆 C: (x+3) +(y﹣4) =25, 表示以 C(﹣3,4)为圆心、半径等于 5 的圆. 若 A 为 PQ 中点,则 CA⊥PQ,|PQ|=2 =2 =2 .
2 2

若 PQ=10 为直径,故直线 PQ 经过圆心 C(﹣3,4) , 由两点式求得 PQ 的方程为 = ,即 y=2x+10,

故答案为: ;y=2x+10. 点评: 本题主要考查圆的标准方程,直线和圆相交的性质,用两点式求直线的方程,弦长 公式,属于基础题.

13. (5 分)已知等差数列{an}的首项 a1 及公差 d 都是整数,前 n 项和为 Sn(n∈N ) .若 a1 >1,a4>3,S3≤9,则通项公式 an=n+1. 考点: 等差数列的性质;等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 由已知可得 a1+3d>3,3a2≤9?d> ,a1+d≤3?a1≤3﹣d<3﹣ = ,结合等差数首 项 a1 及公差 d 都是整数可得 a1=2,则 结果. 解答: 解:因为 a1>1,a4>3,S3≤9,所以 a1+3d>3,3a2≤9, ∴d> ,a1+d≤3, ∴a1≤3﹣d<3﹣ = =2 . ∵等差数列 {an}的首项 a1 及公差 d 都是整数, ∴a1=2,则由以上可得 <d≤1,可得 d=1. <d≤1?d=1,从而可得 an=2+1×(n﹣1) ,化简即得

*

∴an=2+1×(n﹣1)=n+1. 故答案为 n+1. 点评: 本题主要考查等差数列的定义和性质、通项公式的应用,求出首项 a1 和公差 d 的 值,是解题的关键,要注意方法的把握,属于基础题. 14. (5 分)定义一个对应法则 f:P(m,n)→P′( , ) , (m≥0,n≥0) .现有点 A(2, 6)与点 B(6,2) ,点 M 是线段 AB 上一动点,按定义的对应法则 f:M→M′.若点 M 坐 标为(4,4) ,则对应点 M′的坐标为(2,2) ;当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 结束时,点 M 的对应点 M′所经过的路线长度为 .

考点: 映射. 专题: 新定义. 分析: 本题以定义的一种新的变换为入手点, 主要考查直线与圆的有关知识, 解答本题的 关键是弄懂定义的本质,由定义的新法则 f:P(m,n)→P′( , ) , (m≥0,n≥0) .点 A(2,6)与点 B(6,2) ,点 M 是线段 AB 上一动点,而不难知道由变换得到点的轨迹是 圆的一部分.然后根据弧长公式,易得答案 解答: 解:解:由题意知 AB 的方程为:x+y=8, 2 2 2 2 设 M(x,y) ,则 M′(x ,y ) ,从而有 x +y =8, 易知 A(2,6)→A′( , ) ,B(6,2)→B′( , ) , 不难得出∠A′OX= 为 π. ,∠B′OX= ,则∠A′OB′= ,点 M 的对应点 M′所经过的路线长度

故答案为: (2,2) , 点评: 这是 一道新运算类的题目,其特点一般是“新”而不“难”,处理的方法一般为:根据 新运算的定义, 将已知中的数据代入进行运算, 易得最终结果. 弄懂定义的本质是解题关键; 针对本题,通过阅读题意,不难知道由变换得到点的轨迹是圆的一部分 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (12 分)已知函数 f(x)=2sinxcosx+cos2x. (Ⅰ)求 f ( )的值; )= ,求 cos2α 的值.

(Ⅱ)设 α∈(0, π) ,f(

考点: 三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)首先利用二倍角公式化简解析式,然后代入自变量求值; (Ⅱ)利用(Ⅰ)的解析式得到 f( 角度范围求 cos2α. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)=sin2x+cos2x,∴f( (Ⅱ)∵f( ∴1+sin2α= ∴cos2α= )=sinα+cosα= , ,sin2α= , , )=sin +cos =1 )= ,然后两边平方求出 sin2α,根据平方关系以及

∵α∈(0, π) ∴2α∈(π, π) ∴cos2α<0. 故 cos2α= .

点评: 本题考查了三角函数式的化简、求值.注意三角函数名称和范围. 16. (13 分)在一次百米比赛中,甲,乙等 6 名同学采用随机抽签的方式决定各自的跑道, 跑道编号为 1 至 6,每人一条跑道 (Ⅰ)求甲在 1 或 2 跑道且乙不在 5 或 6 跑道的概率; (Ⅱ)求甲乙之间恰好间隔两人的概率. 考点: 排列、组合及简单计数问题;古典概型及其概 率计算公式. 专题: 概率与统计;排列组合. 分析: 先求出没有限制条件的种数为 720 种,

(Ⅰ)先安排甲,再安排乙,剩下的全排,根据概率公式计算即可, (Ⅱ)先选 2 人放在甲乙之间,并捆绑在一起,看作一个复合元素,再和剩下的 2 人全排, 根据概率公式计算即可, 6 解答: 解:没有限制条件的种数为 A6 =720 种, 1 1 4 (Ⅰ)先安排甲,再安排乙,剩下的全排,故有 C2 C3 A4 =144 种, 根据概率公式,故甲在 1 或 2 跑道且乙不在 5 或 6 跑道的概率 P= = ,

(Ⅱ)先选 2 人放在甲乙之间,并捆绑在一起,看作一个复合元素,再和剩下的 2 人全排, 2 2 3 故有 A4 A2 A3 =144 种, 根据概率公式,故甲乙之间恰好间隔两人的概率 P= = .

点评: 本 题考查古典概型的概率问题,关键是根据排列组合求出相应的种数,属于中档 题. 17. (14 分)如图,在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=BC=CA= 平面 AA1C1C⊥平面 ABCD,E 为线段 BC 的中点, (Ⅰ)求证:BD⊥AA1; (Ⅱ)求证:A1E∥平面 DCC1D1 (Ⅲ) 若 AA1⊥AC,求 A1E 与面 ACC1A1 所成角大小. ,AD=CD=AA1=1,

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)利用垂直平分线的判定定理即可得到 BD 垂直平分 AC,利用面面垂直的性 质定理即可得到 BD⊥平面 AA1C1C,利用线面垂直的性质定理即可证明结论; (Ⅱ)利用△ OCD 的边角关系即可得到∠OCD=30°,从而得到∠BCD=90°,DC⊥BC,利 用等边三角形的性质即可得到 AE⊥BC,得到 AE∥DC,再利用线面平行的判定定理即可证 明结论; (Ⅲ) 过 E 作 AC 的垂线, 设垂足为 N, 利用面 ABCD⊥面 AA1C1C, 可得 EN⊥面 AA1C1C, 连 A1N,则 A1N 为 A1E 在面 AA1C1C 内的射影,∠EA1N 为直线 A1E 与面 AC1 所成角,即 可求 A1E 与面 ACC1A1 所成角大小. 解答: (Ⅰ)证明:在四棱锥 ABCD﹣A1B1C1D1 中,

∵AB=BC=CA,且 AD=DC, 取 AC 中点 O,则 BO⊥AC,DO⊥AC,∴B,O,D 三点在一条直线上. 又∵面 AA1C1C⊥面 ABCD,面 AA1C1C∩面 ABCD=AC,BD?面 ABCD,BD⊥AC, ∴BD⊥面 AA1C1C,AA1?面 AA1C1C,∴BD⊥AA1;…4 分 (Ⅱ)证明:连 AE,在 Rt△ DCO 中∠DCO=30° 在正△ BCA 中,∠BCO=60°,∴DC⊥BC, 又在正△ BCA 中,AE⊥BC, ∴AE∥DC, 又 AE?面 DCC1D1,DC?面 DCC1D1,∴AE∥面 DCC1D1, 在四棱锥中,AA1∥DD1,AA1?面 DCC1D1,DD1?面 DCC1D1, ∴AA1∥面 DCC1D1, 又 AA1∩AE=A, ∴面 A1AE∥面 DCC1D1, 又 A1E?面 AA1E,故 A1E∥面 DCC1D1. (Ⅲ)解:过 E 作 AC 的垂线,设垂足为 N,∵面 ABCD⊥面 AA1C1C,∴EN⊥面 AA1C1C, 连 A1N,则 A1N 为 A1E 在面 AA1C1C 内的射影, ∴∠EA1N 为直线 A1E 与面 AC1 所成角, 由已知得: ,∴ .

点评: 熟练掌握面面垂直的性质定理、 线面垂直的性质定理、 线面平行的判定定理是解题 的关键. 18. (14 分)数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1) (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)等差数列{bn}的各项为正,其前 n 项和为 Tn,且 T3=15,又 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成 等比数列,求 Tn. (Ⅲ)设 c∈,在(2)的条件下,设 g(n)=Tn﹣cn,求 g(n)的最小值. 考点: 等差数列与等比数列的综合.

专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)运用数列的通项和求和的关系,结合等比数列的定义和通项公式,即可得到 {an}的通项公式; (Ⅱ)设{bn}的公差为 d,运用等差数列的通项和等比数列的性质,解方程可得 d=2,再由 等差数列的求和公式,即可得到所求; (Ⅲ)运用二次函数的对称轴和 c∈,对 c 讨论,结合数列 的单调性,即可得到所求最小值. 解答: 解: (Ⅰ)由 an+1=2Sn+1 可得 an=2Sn﹣1+1(n≥2) , 两式相减得 an+1﹣an=2an,an+1=3an(n≥2) 又 a2=2S1+1=3,∴a2=3a1 故{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列. ∴ ;

(Ⅱ)设{bn}的公差为 d, 由 T3=15 得,可得 b1+b2+b3=15,可得 b2=5, 故可设 b1=5﹣d,b3=5+d, 又 a1=1,a2=3,a3=9, 2 由题意可得(5﹣d+1) (5+d+9)=(5+3) 解得 d1=2,d2=﹣10, ∵等差数列{bn}的各项为正,∴d>0, ∴d=2,b1=3, ∴
2

; ,

(Ⅲ)由已知得:g(n)=n +2n﹣cn,对称轴 c∈,∴ ,

①若 c∈,此时 g(n)最小值为 g(2)=8﹣2c. 点评: 本题考查等比数列和等差数列的通项和求和公式的运用, 同时考查数列的通项和求 和的关系,以及数列的单调性的运用:求最值,属于中档题.

19. (13 分)设椭圆 F2 到右准线 l 的距离为 (Ⅰ)求 a、b 的值;

=1(a>b>0)的左、右焦点分别是 F1 和 F2,离心率 e= .

,点

(Ⅱ)设 M、N 是右准线 l 上两动点,满足 N 两点关于 x 轴对称.

=0.当|MN|取最小值时,求证:M,

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)运用离心率公式和准线方程,结合 a,b,c 的关系,可得 a,b; (Ⅱ)求出椭圆的左右焦点坐标,求出右准线方程,设出 M,N 的坐标,运用向量的数量 积的坐标表示,可得 y1y2=﹣6,由基本不等式求出|MN|的最小值,即可得证.

解答: 解: (1)因为

,F2 到 l 的距离



所以由题设得



解得, 由 (Ⅱ)证明:由 则 l 的方程为 故可设 =(2 由 +

. . ,a=2 得 . . ,y1) , × =(2 ﹣ ,y2) , .

=0 知,3

+y1y2=0,

得 y1y2=﹣6,所以 y1y2≠0, ,| |=|y1﹣y2|=|y1+ |=|y1|+ ,

当且仅当

时,上式取等号,此时 y1=﹣y2.

即 M,N 两点关于 x 轴对称. 点评: 本题考查椭圆的方程和性质, 主要考查椭圆的离心率和准线方程的运用, 同时考查 向量的数量积的坐标表示和基本不等式的运用,属于中档题. 20. (14 分)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 的图象经过原点,且在 x=1 处取得极大值. (Ⅰ)求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若方程 f(x)=﹣ 恰好有两个不同的根,求 f(x)的解析式;
3 2

(Ⅲ)对于(2)中的函数 f(x) ,若对于任意实数 α 和 β 恒有不等式|f(2sinα)﹣f(2sinβ) |≤m 成立,求 m 的最小值. 考点: 利用导数研究函数的极值;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 导数的综合应用. 2 分析: (Ⅰ)先求得 f(x)的导数,f'(x)=3x +2ax﹣(2a+3)=(x﹣1) (3x+2a+3) , 根据取得极大值点求得 a 的取值范围.

(Ⅱ)将方程 f(x)=﹣

看作两个函数,利用导数得到函数 f(x)的大体图象,

而函数 y=﹣

为一条平行于 x 轴的直线,利用交点个数说明 a 的值

(Ⅲ)依题意有:函数 f(x)在区间上的最大值与最小值的差不大于 m,转换思路,求最 值. 2 解答: 解: (Ⅰ)f(0)=0?c=0,f'(x)=3x +2ax+b,f'(1)=0?b=﹣2a﹣3,…2 分 2 ∴f'(x)=3x +2ax﹣(2a+3)=(x﹣1) (3x+2a+3) , 由 f'(x)=0?x=1 或 因为当 x=1 时取得极大值,所以 所以 a 的取值范围是: (﹣∞,﹣3) ;…4 分 (Ⅱ)由下表: x f'(x) f(x) x<1 + 递增 x=1 0 ﹣ 极大值﹣a﹣2 递增 …7 分 画出 f(x)的简图: 0 递减 ﹣ 极小值 ,

依题意得: 解得:a=﹣9,



所以函数 f(x)的解析式是:f(x)=x ﹣9x +15x;… 9 分 (Ⅲ)对任意的实数 α,β 都有﹣2≤2sinα≤2,﹣2≤2sinβ≤2, 依题意有:函数 f(x)在区间上的最大值与最小值的差不大于 m,…10 分 在区间上有:f(﹣2)=﹣8﹣36﹣30=﹣74f(1)=7, f(2)=8﹣36+30=2f(x)的最大值是 f(1)=7, f(x)的最小值是 f(﹣2)=﹣8﹣36﹣30=﹣74,…13 分 所以 m≥81 即 m 的最小值是 81.…14 分. 点评: 本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值, 利用函数得极值画函数图象的能 力,属于中档题,2015 届高考经常涉及.

3

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