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2014-2015函数模型及其应用教师用


函数模型及其应用
1.三种函数模型性质比较 y=ax(a>1) 在(0,+∞) 上的单调性 增长速度 图象的变化 2.几种常见的函数模型 k (1)一次函数模型:y=ax+b,(a≠0);(2)反比例函数模型:y= (k≠0);(3)二次函数模型:y=ax2+bx+c(a≠0); x (4)指数函数模型:y=N(1+p)x(x>0,p≠0)(增长率问题);(5)对数函数模型 y=blogax(x>0,a>0 且 a≠1); a (6)幂函数模型 y=axn+b(a,b 为常数,a≠0);(7)y=x+ 型(x≠0);(8)分段函数型. x 1.直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么? 提示:直线上升:匀速增长,其增长量固定不变;指数增长:先慢后快,其增长量成倍增 加,常用“指数爆炸”来形容;对数增长:先快后慢,其增长速度缓慢. 2.函数 y1= 1 x 1 e ,y2=100ln x,y3=x100,y4=100×2x 中,随 x 的增大而增大速度最快的函数是哪一个?y1= ex. 100 100 单调递增函数 越来越快 随 x 值增大,图象与 y 轴接近平行 y=logax(a>1) 单调递增函数 越来越慢 随 x 值增大,图象与 x 轴接近平行 y=xn(n>0) 单调递增函数 相对平稳 随 n 值变化而不同

1.下表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据,它最可能的函数模型是( A ) x y 4 15 5 17 6 19 7 21 8 23 9 25 10 27

A.一次函数模型

B.幂函数模型

C.指数函数模型

D.对数函数模型 )

2.某种细菌在培养过程中,每 15 分钟分裂一次(由一个分裂成两个),这种细菌由 1 个繁殖成 4 096 个需经过( A.12 小时 B.4 小时 C.3 小时 D.2 小时选 C 由题意知 24t=4 096,即 16t=4 096,解得 t=3.

3.据调查,苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为 4 000 辆次,其中变速车存车费是每辆一次 0.3 元,普 通车存车费是每辆一次 0.2 元,若普通车存车数为 x 辆次,存车费总收入为 y 元,则 y 关于 x 的函数关系是( D ) A.y=0.1x+800(0≤x≤4 000 ) C.y=-0.1x+800(0≤x≤4 000) B.y=0.1x+1 200(0≤x≤4 000) D.y= -0.1x+1 200(0≤x≤4 000)

4.某类产品按工艺共分 10 个档次,最低档次产品每件利润为 8 元.每提高一个档次,每件利润增加 2 元.用同样工 时,可以生产最低档产品 60 件,每提高一个档次将少生产 3 件产品.则获得利润最大时生产产品的档次是___答案:9 5.某种商品进价为每件 100 元,按进价增加 25%出售,后因库存积压降价,按九折出售,每件还获利___12.5_____元. [典例] 如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米,某炮位于坐标原 1 点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx- (1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹 20 落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击 中它?请说明理由.

第(1)问 1.审结论,明解题方向 观察所求结论:求炮的最大射程
应求出射程的关系式

― ― →

问题转化为求函数图象与 x 轴交点的横坐标的最大值. 1 令y=0,可得图象与x轴交点的横坐标,即射程 (1+k2)x2(k>0) ― ― → x 20

2.审条件,挖解题信息观察条件:炮弹发射后的轨迹方程 y=kx- = 20k . 1+k2

20k 利用基本不等式 20 3.建联系,找解题突破口令 y=0,得 x= ― ― → x= ≤10,从而可求炮的最大射程. 1 1+k2 k+ k 第(2)问 1.审结论,明解题方向观察所求结论:横坐标 a 不超过多少时,炮弹可击中目标 标,即点(a,3.2)满足炮弹发射后的轨迹方程. 1 2.审条件,挖解题信息观察条件:y=kx- (1+k2)x2(k>0). 20 1 即关于k的方程有正根 3.建联系,找解题突破口 炮弹击中目标,即 3.2=ka- (1+k2)a2(k>0)有解 ― ― → 利用 Δ≥0 求得结论. 20
? ?x(x+4),x<0, 1.已知函数 f(x)=? 则函数 f(x)的零点个数为________. ?x(x-4),x≥0. ? 解析:只要画出分段函数的图象,就可以知道图象与 x 轴有三个交点,即函数的零点有 3 个.答案:3 2.根据表格中的数据,可以判定方程 ex-x-2=0 的一个根所在的区间为___.
考虑炮弹击中目标的条件

― ― →

炮弹击中目

x ex x+2

-1 0.37 1

0 1 2

1 2.72 3

2 7.39 4

3 20.09 5

解析:据题意令 f(x)=ex-x-2,由于 f(1)=e1-1-2=2.72-3<0,f(2)=e2-4=7.39-4>0,故函数在区间(1,2)内 存在零点,即方程在相应区间内有根. 答案:(1,2) 3.偶函数 f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且 f(0)· f(a)<0,则方程 f(x)=0 在区间[-a,a]内根的个数是__________. 解析:由题意函数 f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且 f(0)· f(a)<0,根据零点存在定理知:在区间[0,a]内函数 f(x)一定存在惟一零点且 f(0)≠0,又函数 f(x)是偶函数,故其在[-a,0]也惟一存在一个零点,所以方程 f(x)=0 在区间[- a,a]内根的个数为 2.答案:2 4. (2009 年高考浙江卷)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价. 该地区的电网销售电价表如下: 高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰电价 低谷电价 高峰月用电量 低谷月用电量 (单位:元/千 (单位:元/千瓦 (单位:千瓦时) (单位:千瓦时) 瓦时) 时) 0.568 0.288 50 及以下的部分 50 及以下的部分 超过 50 至 200 的部 0.598 0.318 超过 50 至 200 的部分 分 超过 200 的部分 0.668 超过 200 的部分 0.388 若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时,低谷时间段用电量为 100 千瓦时,则按这种计费方式该家庭 本月应付的电费为________元 解析:高峰时段电费 a=50×0.568+(200-50)×0.598=118.1(元). 低谷时段电费 b=50×0.288+(100-50)×0.318=30.3(元). 故该家庭本月应付的电费为 a+b=148.4(元).答案:148.4 5.(原创题)已知 f(x)=|x|+|x-1|,若 g(x)=f(x)-a 的零点个数不为 0,则 a 的最小值为________.

解析:作 f(x)的图象,如图,g(x)=f(x)-a=0,即 f(x)=a,当 a=1 时,g(x)有无数个零点;当 a>1 时,g(x)有 2 个零点; ∴a 的最小值为 1.答案:1 6.(2010 年安徽省江南十校模拟)函数 f(x)=2x+x-7 的零点所在的区间是____. ①(0,1) ②(1,2) ③(2,3) ④(3,4) 解析:因为 f(0)=-6<0,f(1)=2+1-7=-4<0,f(2)=22+2-7=-1<0,f(3)=23+3-7=4>0,所以函数的零点 在区间(2,3)内.答案:③ 1 7.已知函数 f(x)=x+log2x,则 f(x)在[ ,2]内的零点的个数是______. 2 1 解析:易知 g(x)=x 与 h(x)=log2x 均为增函数,故函数 f(x)为增函数,且 f(2)· f( )<0,故函数有且只有一个零点.答 2 案:1 8.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产.已知该生产线连续生产 n 年的累计 1 产量为 f(n)= n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超过 150 吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这 2 条生产线拟定最长的生产期限是________年. 1 1 1 解析:由题知第一年产量为 a1= ×1×2×3=3;以后各年产量分别为 an=f(n)-f(n-1)= n· (n+1)(2n+1)- n· (n 2 2 2 -1)(2n-1)=3n2(n∈N*),令 3n2≤150,得 1≤n≤5 2?1≤n≤7,故生产期限最长为 7 年.答案:7 9.(2010 年苏、锡、常、镇四市调研)某市出租车收费标准如下: 起步价为 8 元, 起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付费); 超过 3 km 但不超过 8 km 时, 超过部分按每千米 2.15 元收费;超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.85 元收费,另每次乘坐需付燃油附加费 1 元.现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了________km. 解析:设乘客每次乘坐出租车需付费用为 f(x)元,由题意可得:

f(x) =

8+ 1 , x ∈(0,3] 9+( x-3)×2.15 , x ∈(3,8] 9+5 ×2.15 +( x-8)×2.85 , x ∈(8 , +∞ )

令 f(x)=22.6,解得 x=9.答案:9
1. 甲、乙两店出售同一商品所得利润相同,甲店售价比市场最高限价低 10 元,获利为售价的 10%,而乙店售价比限价低 20 元, 获利为售价的 20%,那么商品的最高限价是 ( (A) 30 元 (B) 40 元 A ) (D) 100 元

(C) 70 元

2. 一种产品的成品是 a 元,今后 m 年后,计划使成本平均每年比上一年降低 p%,成本 y 是经过年数 x 的函数(0<x<m),其关系 式是 ( B )

( A) y ? a(1 ? p%) x (0 ? x ? m) (C ) y ? a? p%? (0 ? x ? m)
x

( B) y ? a(1 ? p%) x (0 ? x ? m) ( D ) y ? a ? ? p % ? ( 0 ? x ? m)
x

3. 在 x 克 a%的盐水中,加入 y 克 b%的盐水,浓度变为 c%,若,则 x 与 y 的函数关系式是 (
a?c x b?c
c?b x c?a c?a x b?c
b?c x c?a

C

)

( A) y ?

( B) y ?

(C ) y ?

( D) y ?

4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运,据市场分析,每辆客车营运的总利润 y 万元与营运年数 x(x∈N)的关系

为 y =- x2 + 12x - 25 ,则每辆客车营运多少年报废可使其营运年平均利润最大 ( C ) B .4 C.5 D.6

A.2

5.某种放射性元素,100 年后只剩原来质量的一半,现有这种元素 1 克,3 年后剩下 (D ) 100

A.

3×0.5 克 100

B.(1-0.5%)3 克

C.0.925 克

D.

0.125克

6.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时

间 t(小时)成正比;药物释放完毕后,y 与 t 的函数关系式为 y=?

?1? ?t-a(a 为常数),如右图所示: ?16?

据图中提供的信息,回答下列问题: (1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系式为________; (2)据测定, 当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下时, 学生方可进教室, 那么, 药物释放开始, 至少需要经过________

0≤t≤0.1) ? ?10t( 小时后,学生才能回到教室.(1)y=?? 1 ? 1 ? ?t- (t>0.1) ? ??16? 10

(2)0.6

7. 函数

f ( x) ? 2 x ? 3 的零点所在区间为[m,m+1]( m ? N ),则 m=____1______.

8.某种蔬菜基地种植西红柿由历年市场行情得知,从 2 月 1 日起的 300 天内,西红柿市场售价 p 与上市时间 t 的关系图是一 条折线(如图(1)) ,种植成本 Q 与上市时间 t 的关系是一条抛物线(如图(2)) (1) 写出西红柿的市场售价与时间的函数解析式 p=f(t). (2) 写出西红柿的种植成本与时间的函数解析式 Q=g(t). (3) 认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?

2. (1)f(t)= ? (2)g(t)=

? ? t ? 300,0 ? t ? 200, ?2t ? 300,200 ? t ? 300.

1 (t ? 150 ) 2 ? 100 , (0 ? t ? 300 ) . 200

(3)纯收益 h(t)=f(t)-g(t)

1 ? 2 ? ? 200 (t ? 50) ? 100,0 ? t ? 200, =? 1 ?? (t ? 350) 2 ? 100,200 ? t ? 300. ? 200
当 t=50 时,h(t)的最大值为 100,即从 2 月 1 日开始的第 50 天西红柿的纯收益最大.


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