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2017优化方案高考总复习·数学·理(北师大版)第三章第8讲知能训练轻松闯关


1.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站南偏 西 40°,灯塔 B 在观察站南偏东 60°,则灯塔 A 在灯塔 B 的( ) A.北偏东 10° B.北偏西 10° C.南偏东 80° D.南偏西 80° 解析:选 D.由条件及题图可知,∠A=∠B=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°, 所以∠DBA=10°,因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80°. 2.(2016· 郑州模拟)已知 A、B 两地间的距离为 10 km,B、C 两地间的距离为 20 km,现测 得∠ABC=120°,则 A,C 两地间的距离为( ) A.10 km B.10 3 km C.10 5 km D.10 7 km 解析:选 D.如图所示,由余弦定理可得: AC2=100+400-2×10×20×cos 120°=700, 所以 AC=10 7(km). 3.(2016· 唐山模拟)在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=2BC=2CD,则 cos∠DAC=( ) A. C. 10 10 5 5 3 10 B. 10 2 5 D. 5 解析:选 B.由已知条件可得图形,如图所示,设 CD=a,在△ACD 中,CD2=AD2+AC2- 2AD×AC×cos∠DAC,所以 a2=( 2a)2+( 5a)2-2× 2a× 5a×cos∠DAC, 3 10 所以 cos∠DAC= . 10 4.(2016· 淮北质检) 如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB,CD 的高度分别为 20 m、50 m,BD 为水平面,则从建 筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 解析:选 B.依题意可得 AD=20 10(m),AC=30 5(m),又 CD=50(m), 所以在△ACD 中,由余弦定理得 AC2+AD2-CD2 cos∠CAD= 2AC·AD (30 5)2+(20 10)2-502 = 2×30 5×20 10 = 6 000 2 = , 2 6 000 2 又 0°<∠CAD<180°,所以∠CAD=45°,所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45°. 5.如图, 一条河的两岸平行,河的宽度 d=0.6 km,一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河对岸的码头 B. 已知 AB=1 km,水的流速为 2 km/h,若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短时间为 6 min, 则客船在静水中的速度为( ) A.8 km/h B.6 2 km/h C.2 34 km/h D.10 km/h 解析: 选 B.设 AB 与河岸线所成的角为 θ, 客船在静水中的速度为 v km/h, 由题意知, sin θ 2 1 ?2 ? 1 0.6 3 4 1 4 v = ×2? +12-2× ×2×1× ,解 = = ,从而 cos θ= ,所以由余弦定理得? ?10 ? ?10 ? 1 5 5 10 5 得 v=6 2. 6.(2014· 高考四川卷)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B, C 的俯角分别为 75°, 30°,此时气球的高是 60 m,则河流的宽度 BC 等于( ) A.240( 3-1)m C.120( 3-1)m 解析: B.180( 2-1)m D.30( 3+1)m 选 C.如图,在△ACD 中,∠CAD=90°-30°=60°,AD=60 m,所以 CD=AD· tan 60° =60 3(m). 在

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