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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第1章 第1节 集合


第一章

第一节

一、选择题 1.(文)集合 A={-1,0,1},B={y|y=cosx,x∈A},则 A∩B=( A.{0} C.{0,1} [答案] B [解析] ∵cos0=1,cos(-1)=cos1,∴B={1,cos1}, ∴A∩B={1}. (理)(2013· 江苏南通一模)集合 A={-1,0,1},B={y|y=ex,

x∈A},则 A∩B=( A.{0} C.{0,1} [答案] B 1 [解析] ∵x∈A,∴B={ ,1,e},∴A∩B={1}.故选 B. e 2.(文)已知 U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},则?U(A∪B)=( A.{6,8} C.{4,6,7} [答案] A [解析] ∵A={1,3,5,7},B={2,4,5},∴A∪B={1,2,3,4,5,7},又 U={1,2,3,4,5,6,7,8}, ∴?U(A∪B)={6,8}. (理)(2014· 乌鲁木齐地区三诊)已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 A={1,3,4},集合 B={2,4}, 则(?UA)∪B 为( A.{2,4,5} C.{1,2,4} [答案] A [解析] ?UA={2,5},∴(?UA)∪B={2,4,5}. 3.设集合 A={x|y= 3x-x2},B={y|y=2x,x>1},则 A∩B 为( A.[0,3] C.[3,+∞) [答案] B [解析] 由 3x-x2≥0 得,0≤x≤3, ∴A=[0,3], B.(2,3] D.[1,3] ) ) B.{1,3,4} D.{2,3,4,5} B.{5,7} D.{1,3,5,6,8} ) B.{1} D.{-1,0,1} ) B.{1} D.{-1,0,1} )

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∵x>1,∴y=2x>2,∴B=(2,+∞), ∴A∩B=(2,3]. 4.已知集合 P={3,log2a},Q={a,b},若 P∩Q={0},则 P∪Q 等于( A.{3,0} C.{3,0,2} [答案] B [解析] 根据题意 P∩Q={0},所以 log2a=0, 解得 a=1 从而 b=0,可得 P∪Q={3,0,1},故选 B. 5.(2014· 山西大学附中月考)设 A={1,4,2x},若 B={1,x2},若 B?A,则 x 的值为( A.0 C.0 或-2 [答案] C [解析] 当 x2=4 时,x=± 2,若 x=2,则不满足集合中的元素的互异性,∴x≠2;若 x =-2,则 A={1,4,-4},B={1,4},满足题意,当 x2=2x 时,x=0 或 2(舍去),x=0 满足题 意,∴x=0 或-2. 6.(文)(2013· 山东潍坊一模)已知 R 为全集,A={x|(1-x)· (x+2)≤0},则?RA=( A.{x|x<-2,或 x>1} C.{x|-2<x<1} [答案] C [解析] ∵(1-x)(x+2)≤0,即(x-1)(x+2)≥0, ∴x≤-2 或 x≥1.∴A={x|x≤-2,或 x≥1}. ∴?RA={x|-2<x<1},故选 C. (理)(2013· 辽宁大连一模)已知集合 A={x|x2-2x≤0},B={x|x≥a},若 A∪B=B,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,0) C.(0,+∞) [答案] B [解析] 易知 A={x|0≤x≤2}. ∵A∪B=B,∴A?B,∴a∈(-∞,0],故选 B. 二、填空题 7.(文)已知集合 A={(x,y)|x、y 为实数,且 x2+y2=1},B={(x,y)|x、y 为实数,且 y =-x+1},则 A∩B 的元素个数为________. [答案] 2 [解析] 集合 A 表示圆 x2+y2=1 上的所有的点,集合 B 表示直线 y=-x+1 上的所有的 ) B.(-∞,0] D.[0,+∞) B.{x|x≤-2,或 x≥1} D.{x|-2≤x≤1} ) B.-2 D.0 或± 2 ) B.{3,0,1} D.{3,0,1,2} )

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点,故 A∩B 表示圆与直线的交点.由于直线与圆相交,故这样的点有两个. (理)已知集合 A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则 A∩B =________. [答案] {(0,1),(-1,2)} [解析] A、B 都表示点集,A∩B 即是由集合 A 中落在直线 x+y-1=0 上的所有点组成 的集合,将 A 中点的坐标代入直线方程检验知,A∩B={(0,1),(-1,2)}. 8.(2014· 长春市调研)设集合 A={1,2,4},集合 B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则集合 B 中有________个元素. [答案] 6 [解析] ∵a∈A,b∈A,x=a+b,所以 x=2,3,4,5,6,8,∴B 中有 6 个元素. 1 1 1 - 9.(文)若 A={x|22x 1≤ },B={x|log x≥ },实数集 R 为全集,则(?RA)∩B=________. 4 16 2 1 [答案] {x|0<x≤ } 4 1 1 - [解析] 由 22x 1≤ 得,x≤- , 4 2 1 1 1 由 log x≥ 得,0<x≤ , 16 2 4 1 1 ∴(?RA)∩B={x|x>- }∩{x|0<x≤ } 2 4 1 ={x|0<x≤ }. 4 (理)已知全集 U=R,函数 y= 影部分所表示的集合是________. 1 的定义域为 M,N={x|log2(x-1)<1},则如图所示阴 x -4
2

[答案] (-∞,-2)∪[3,+∞) [分析] 将阴影部分用已知集合表示是关键. [解析] ∵M=(-∞,-2)∪(2,+∞),N=(1,3). 阴影部分为(?UN)∩M. ∴?UN=(-∞,1]∪[3,+∞). (?UN)∩M=(-∞,-2)∪[3,+∞). 三、解答题 10.已知集合 A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}.

-3-

(1)若 A 是空集,求 a 的取值范围; (2)若 A 中只有一个元素,求 a 的值,并把这个元素写出来; (3)若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值范围. [解析] 集合 A 是方程 ax2-3x+2=0 在实数范围内的解组成的集合.
?a≠0, ? 9 (1)A 是空集,即方程 ax2-3x+2=0 无解,得? ∴a> , 2 8 ? Δ = ? - 3 ? - 8 a <0 , ?

9 即实数 a 的取值范围是( ,+∞). 8 2 2 (2)当 a=0 时,方程只有一解 ,此时 A 中只有一个元素 ; 3 3 当 a≠0 时,应有 Δ=0, 9 4 ∴a= ,此时方程有两个相等的实数根,A 中只有一个元素 , 8 3 9 2 4 ∴当 a=0 或 a= 时,A 中只有一个元素,分别是 和 . 8 3 3 (3)A 中至多有一个元素,包括 A 是空集和 A 中只有一个元素两种情况,根据(1),(2)的结 9 9 果,得 a=0 或 a≥ ,即 a 的取值范围是{a|a=0 或 a≥ }. 8 8

一、选择题 11.(文)已知 A、B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集,且 A∩B={3},(?UB)∩A={9},则 A =( ) A.{1,3} C.{3,5,9} [答案] D [解析] 由题意知,A 中有 3 和 9,若 A 中有 7 或 5,则?UB 中无 7 和 5,即 B 中有 7 或 5, 则与 A∩B={3}矛盾,故选 D. (理)已知 M={y|y=x2},N={y|x2+y2=2},则 M∩N=( A.{(1,1),(-1,1)} C.[0,1] [答案] D [解析] ∵M=[0,+∞),N=[- 2, 2], ∴M∩N=[0, 2],故选 D. [点评] 本题特别易错的地方是将数集误认为点集. 12.(文)设全集为 U,集合 A、B 是 U 的子集,定义集合 A 与 B 的运算:A*B={x|x∈A B.{1} D.[0, 2] ) B.{3,7,9} D.{3,9}

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或 x∈B,且 x?(A∩B)},则(A*B)*A 等于( A.A C.(?UA)∩B [答案] B

) B.B D.A∩(?UB)

[分析] 本题考查对集合新运算的理解,在韦恩图中,先画出 A*B 所表示的部分,再画出 (A*B)*A 表示的部分. [解析] 画一个一般情况的 Venn 图, 如图所示, 由题目的规定, 可知(A*B)*A 表示集合 B. (理)(2013· 青岛一模)设 A,B 是两个非空集合,定义运算 A×B={x|x∈A∪B,且 x?A∩B}, 已知 A={x|y= 2x-x2},B={y|y=2x,x>0},则 A×B=( )

A.[0,1]∪(2,+∞) C.[0,1] [答案] A

B.[0,1)∪(2,+∞) D.[0,2]

[解析] 由 2x-x2≥0 解得 0≤x≤2,则 A=[0,2]. 又 B={y|y=2x,x>0}=(1,+∞), ∴A×B=[0,1]∪(2,+∞),故选 A. x2 3y2 13.(2014· 巢湖质检)设集合 A={x| + =1},B={y|y=x2},则 A∩B=( 4 4 A.[-2,2] C.[0,+∞) [答案] B [解析] A={x|-2≤x≤2},B={y|y≥0}, ∴A∩B={x|0≤x≤2}=[0,2]. 14.(文)(2014· 湖北八校第二次联考)设集合 A={x|x2-(a+3)x+3a=0},B={x|x2-5x+4 =0},集合 A∪B 中所有元素之和为 8,则实数 a 的取值集合为( A.{0} C.{1,3,4} [答案] D [解析] 由题意,若 a≠3,则 A={3,a},B={1,4}. ∵1+3+4=8,∴a=0,1 或 4. 若 a=3,则 A={3}满足题意,故 a 的取值集合为{0,1,3,4}. (理)(2014· 北京顺义第一次统考)设数集 M 同时满足条件:
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)

B.[0,2] D.{(-1,1),(1,1)}

)

B.{0,3} D.{0,1,3,4}

①M 中不含元素-1,0,1; 1+a ②若 a∈M,则 ∈M. 1-a 则下列结论正确的是( )

A.集合 M 中至多有 2 个元素 B.集合 M 中至多有 3 个元素 C.集合 M 中有且仅有 4 个元素 D.集合 M 中有无穷多个元素 [答案] C 1+a 1 1+ 1- 1-a a a-1 1+a 1 [解析] 由条件②可知,若 a∈M,则 ∈M,则 =- ∈M, = ∈M, a 1 a+1 1-a 1+a 1 + 1- a 1-a a-1 1+ a+1 2a 则 = =a∈M; a-1 2 1- a+1 1+a 1+a 1 1-a 1 1-a 由条件①可知 a、 、- 、 互不相等,故集合 M={a, ,- , },有且 a 1+a a 1+a 1-a 1-a 仅有 4 个元素. 二、填空题 15.(文)(2013· 湘潭模拟)设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a =________. [答案] 1 [解析] ∵3∈B,又 a2+4≥4,∴a+2=3,∴a=1. (理)已知集合 A={0,2,a2},B={1,a},若 A∪B={0,1,2,4},则实数 a 的值为________. [答案] 2 [解析] ∵A∪B={0,1,2,4},∴a=4 或 a2=4,若 a=4,则 a2=16,但 16?A∪B, ∴a2=4,∴a=± 2,又-2?A∪B,∴a=2. 16.(文)已知集合 A={x|x≤a},B={x|1≤x≤2},且 A∪(?RB)=R,则实数 a 的取值范围 是________. [答案] [2,+∞) [解析] ∵?RB=(-∞,1)∪(2,+∞)且 A∪(?RB)=R, ∴{x|1≤x≤2}?A,∴a≥2. (理)(2014· 兰州模拟)已知集合 A={2,3},B={x|mx-6=0},若 B?A,则实数 m 的值为 ________.

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[答案] 0 或 2 或 3 [解析] 当 m=0 时,B=??A; 6 当 m≠0 时,由 B={ }?{2,3}可得 m 6 6 =2 或 =3, m m 解得 m=3 或 m=2, 综上可得实数 m=0 或 2 或 3. 三、解答题 17.(文)(2014· 南昌模拟)已知集合 A={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},B={x|x2+4x=0},若 A∪B=B,求实数 a 的取值范围. [分析] 由 A∪B=B,可以得出 A?B, 而 A?B 中含有特例 A=?,应注意. [解析] 由 x2+4x=0 得:B={0,-4},由于 A∪B=B, (1)若 A=?,则 Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,得 a<-1. (2)若 A≠?,则 0∈A 或-4∈A, 当 0∈A 时,得 a=± 1;当-4∈A,得 a=1 或 a=7; 但当 a=7 时 A={-4,-12},此时不合题意. 故由(1)(2)得实数 a 的取值范围是:a≤-1 或 a=1. (理)(2014· 临川模拟)已知集合 A={x|x2-6x+8<0},B={x|(x-a)· (x-3a)<0}. (1)若 A?B,求 a 的取值范围; (2)若 A∩B=?,求 a 的取值范围; (3)若 A∩B={x|3<x<4},求 a 的取值范围. [解析] ∵A={x|x2-6x+8<0}, ∴A={x|2<x<4}. (1)当 a>0 时,B={x|a<x<3a},要使 A?B,
?a≤2 ? 4 应满足? ? ≤a≤2, 3 ?3a≥4 ?

当 a<0 时,B={x|3a<x<a}.要使 A?B,
? ?3a≤2 应满足? 不等式组无解,即不存在符合条件的 a, ?a≥4 ?

4 ∴综上可知,当 A?B 时,a 的取值范围是 ≤a≤2. 3

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(2)要满足 A∩B=?, 当 a>0 时,B={x|a<x<3a}, 若 A∩B=?,则 a≥4 或 3a≤2, 2 ∴0<a≤ 或 a≥4; 3 当 a<0 时,B={x|3a<x<a}, 4 若 A∩B=?,则 a≤2 或 a≥ , 3 ∴a<0; 验证知当 a=0 时也成立. 2 综上所述,a≤ 或 a≥4 时,A∩B=?. 3 (3)要满足 A∩B={x|3<x<4},显然 a>0 且 a=3 时成立, ∵此时 B={x|3<x<9}, 而 A∩B={x|3<x<4}, 故所求 a 的值为 3. 18.(文)(2013· 衡水模拟)设全集 I=R,已知集合 M={x|(x+3)2≤0},N={x|x2+x-6=0}. (1)求(?IM)∩N; (2)记集合 A=(?IM)∩N,已知集合 B={x|a-1≤x≤5-a,a∈R},若 B∪A=A,求实数 a 的取值范围. [解析] (1)∵M={x|(x+3)2≤0}={-3}, N={x|x2+x-6=0}={-3,2}, ∴?IM={x|x∈R 且 x≠-3}, ∴(?IM)∩N={2}. (2)A=(?IM)∩N={2}, ∵B∪A=A,∴B?A, ∴B=?或 B={2}. 当 B=?时,a-1>5-a,∴a>3;
?a-1=2, ? 当 B={2}时,? 解得 a=3. ?5-a=2, ?

综上所述,所求 a 的取值范围是{a|a≥3}. (理)设集合 A={(x,y)|y=2x-1,x∈N*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,x∈N*},问是否存 在非零整数 a,使 A∩B≠??若存在,请求出 a 的值;若不存在,说明理由. [解析] 假设 A∩B≠?,则方程组

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? ?y=2x-1, ? 有正整数解,消去 y 得, 2 ?y=ax -ax+a, ?

ax2-(a+2)x+a+1=0.(*) 由 Δ≥0,有(a+2)2-4a(a+1)≥0, 2 3 2 3 解得- ≤a≤ . 3 3 因 a 为非零整数,∴a=± 1, 当 a=-1 时,代入(*),解得 x=0 或 x=-1, 而 x∈N*.故 a≠-1. 当 a=1 时,代入(*),解得 x=1 或 x=2,符合题意. 故存在 a=1,使得 A∩B≠?, 此时 A∩B={(1,1),(2,3)}.

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