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2012-2014高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及答案(word版本)


2012 高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题(70 分) 1、当 x ?[?3,3] 时,函数

f ( x) ?| x3 ? 3x | 的最大值为____________. ? 12, AC ? BA ? ?4, 则 AC ? ____________.

2、在 ?ABC 中,已知 AC ? BC 3、从集合


?3,4,5,6,7,8? 中随机选取 3 个不同的数,这 3 个数可以构成等差数列的概率为
2

____________. 4、已知 a 是实数,方程 x ,则 ? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0 的一个实根是 b ( i 是虚部单位)

| a ? bi | 的值为____________.
5、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F ,一条过原点 O 且 12 4

倾斜角为锐角的直线 l 与双曲线 C 交于 A, B 两点.若 ?FAB 的面积为 8 率为____________. 6、已知 a 是正实数, k

3 ,则直线的斜

? alg a 的取值范围是____________.
AC ? AD ? DB ? 5 , BC ? 3 , CD ? 4 该四面体的

7、在四面体 ABCD 中, AB ? 体积为____________. 8 、 已 知 等 差 数



?an ?







数 则



?bn ?







a1 ? b1 ? 3, a2 ? b2 ? 7, a3 ? b3 ? 15, a4 ? b4 ? 35,
( n? N )
*

an ? bn ?

____________.

71, 75 这 7 个数排成一列,使任意连续 4 个数的和为 3 的倍数, 9、将 27,37,47,48,55,
则这样的排列有____________种. 10 、三角形的周长为 31 ,三边 a, b, c 均为整数,且 a ? b ? c ,则满足条件的三元数组

(a, b, c) 的个数为____________.
二、解答题(本题 80 分,每题 20 分) 11、在 ?ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c ,证明: (1) b cos C

? c cos B ? a

(2)

cos A ? cos B ? a?b

2sin 2 c

C 2

12 、 已 知

a, b

为 实 数 ,

a?2

, 函 数

a f ( x)? | l x n ? x

? |b x? (

. 若0

)

f (1) ? e ? 1, f (2) ?
(1)求实数 a, b ;

e ? ln 2 ? 1 . 2
(2)求函数

f ( x) 的单调区间;

(3)若实数 c, d 满足 c ? d , cd

? 1,求证: f (c) ? f (d )

13、如图,半径为1 的圆 O 上有一定点 M , A 为圆 O 上的动 点 . 在射线 OM 上有一动点 B ,

AB ? 1, OB ? 1 . 线段 AB

交圆 O 于另一点 C , D 为线段的 OB 中点.求线段 CD 长的 取值范围.

14、设是 a, b, c, d 正整数, a, b 是方程 x 长是整数且面积为 ab 的直角三角形.

2

? (d ? c) x ? cd ? 0 的两个根.证明:存在边

2012 高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题(70 分) 1、当 x ?[?3,3] 时,函数

f ( x) ?| x3 ? 3x | 的最大值为__18___. ? 12, AC ? BA ? ?4, 则 AC ? ___4____.

2、在 ?ABC 中,已知 AC ? BC 3、从集合

?3,4,5,6,7,8? 中随机选取 3 个不同的数,这 3 个数可以构成等差数列的概率为

_____

3 _______. 10
2

4、已知 a 是实数,方程 x

,则 ? (4 ? i) x ? 4 ? ai ? 0 的一个实根是 b ( i 是虚部单位)

| a ? bi | 的值为_____ 2 2 ___.
x2 y 2 5、在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C : ? ? 1 的右焦点为 F ,一条过原点 O 且 12 4
倾斜角为锐角的直线 l 与双曲线 C 交于 A, B 两点.若 ?FAB 的面积为 8 率为___

3 ,则直线的斜

1 ____. 2
? alg a 的取值范围是___ [1, ??) _____.
AC ? AD ? DB ? 5 , BC ? 3 , CD ? 4 该四面体的

6、已知 a 是正实数, k

7、在四面体 ABCD 中, AB ? 体积为_____ 5 8 、 已 知

3 _______.
等 差 数 列

?an ?











?bn ?







a1 ? b1 ? 3, a2 ? b2 ? 7, a3 ? b3 ? 15, a4 ? b4 ? 35, 则 an ? bn ? ___ 3n?1 ? 2n ___.
( n? N )
*

71, 75 这 7 个数排成一列,使任意连续 4 个数的和为 3 的倍数, 9、将 27,37,47,48,55,
则这样的排列有___144_____种. 10 、三角形的周长为 31 ,三边 a, b, c 均为整数,且 a ? b ? c ,则满足条件的三元数组

(a, b, c) 的个数为__24___.

二、解答题(本题 80 分,每题 20 分) 11、在 ?ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c ,证明: (1) b cos C

? c cos B ? a

(2)

cos A ? cos B ? a?b

2sin 2 c

C 2

12 、 已 知

a, b

为 实 数 ,

a?2

, 函 数

a f ( x)? | l x n ? x

? |b x? (

. 若0

)

f (1) ? e ? 1, f (2) ?
(1)求实数 a, b ; (2)求函数

e ? ln 2 ? 1 . 2

f ( x) 的单调区间;

(3)若实数 c, d 满足 c ? d , cd

? 1,求证: f (c) ? f (d )

13、如图,半径为 1 的圆 O 上有一定点 M , A 为圆 O 上的动点.在射线 OM 上有一动点

B , AB ? 1, OB ? 1.线段 AB 交圆 O 于另一点 C ,D 为线段的 OB 中点.求线段 CD 长
的取值范围.

14、设是 a, b, c, d 正整数, a, b 是方程 x 长是整数且面积为 ab 的直角三角形.

2

? (d ? c) x ? cd ? 0 的两个根.证明:存在边

2013 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 一.填空题:本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分. 1 .设方程 x 2 ? 2mx ? m2 ? 1 ? 0 的根大于 ?2 ,且小于 4 ,则实数 m 的范围是 (-1,3) .
17 . 33

2.从 6 双不同号码的鞋中取出 4 只,至少配成一双的概率为

3. 设实数 x ,y 满足 x2 ? 4x ? y ? 3 ? 0 , 则 x 2 ? y 2 的最大值与最小值之差是 (似乎出错)



4.若存在正实数 a , b 满足 (a ? bi)n ? (a ? bi)n ( i 是虚数单位, n ? N* ) ,则 n 的 最小值是 3 . 5 .若三角形 ABC 的三边 AB , BC , AC 成等差数列,则 ? A 的取值范围是
0 ? ?A ?

?
3



6.若数列 ?an ? 满足 a4 ? 9 , (an?1 ? an ?1)(an?1 ? 3an ) ? 0 ( n ? N* ) ,则满足条件的

a1 的所有可能值之积是 0


60

7.已知 f ( x) ? x2 ? 94 x ? 2013 ,则 ? ? f (n) ? f (n) ? ? 364 .
n ?30

1 8.设 x , y ??0, 2? ? ,且满足 2sin x cos y ? sin x ? cos y ? ? ,则 x ? y 的最大值为 2
23? . 6

9.已知正四面体 ABCD 的棱长为 9,点 P 是面 ABC 上的一个动点,满足 P 到面 DAB 、 DBC 、 DCA 的 距 离 成 等 差 数 列 , 则 P 到 面 D C A 距 离 的 最 大 值 是 . (未学) 10. 将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数,这个四位 数为完全平方数,再过 31 年,将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个 四位数,这个数仍为完全平方数,小王现在的年龄是 12 . 二.解答题:本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分.
( x ? k )2 x2 2 ? y ? 1 与椭圆 E2 : ? y 2 ? 1 交于点 11.设 k 为实数,0 ? k ? 6 ,椭圆 E1 : 9 9
A 和 C , E1 的左顶点为 B , E2 的右顶点为 D (如图) ,若四边形 ABCD 是正

方形,求实数 k .

解:BD=6-k=AC

36 ? k 2 又 AC= 3
得 k= 4.8 12.如图,梯形 ABCD 中, B 、 D 关于对角线 AC 对称的点分别是 B ' 、 D ' , A 、 C 关于对角线 BD 对称的点分别是 A ' 、C ' . 证明: 四边形 A ' B ' C ' D ' 是梯形. 连 A’O,B’O,C ’O,D’O 易证 A’,O,C ’; B’,O,D’共线(角度) ,由比例线段证毕。

13.设实数 a , b 满足 0 ? a ? 解: 记 f(x)= cos ? x ? 2 x 则 f ’(x)= ?? sin ? x ? 2

1 ? b ? 1 .证明: 2(b ? a) ? cos ? a ? cos ? b . 2

arcsin
令 f ’(x)=0 ,则 x=

2

?

? ? 0.2196

所以 x<0.2196 时 f ’(x)>0 , x>0.2196 时 f ’(x)<0 所以 f(a)≥min{f(0),f(1)}=1 f(b)≤f(0.5)=1 所以 f(b)≤f(a) ,证毕。 14.正 100 边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一.证明:必存在四个同色点, 恰为某等腰梯形的顶点. 根据抽屉原理,必定存在 34 个点同色。该 34 个点连成 34*33/2=561 条线段。 考虑这 561 条线段的垂直平分线,显然它们都是正 100 边形的对称轴。正 100 边形的对称轴有 200 条,所以必定存在 3 条线段它们的垂直平分线重合。 所以这 3 条线段两两平行, 其中必有两条不等长,于是构成等腰梯形四个顶点且 同色,证毕。

2014 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 (4 月 20 日 8:00 至 10:00)

一.填空题(本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分) 1.若 x ≥ 2 ,则函数 f ( x ) ? x ?

1 的最小值是 x ?1



2.已知函数 f ( x) ? e x .若 f (a ? b) ? 2 ,则 f (3a) ? f (3b) 的值是



3. 已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列, 公差为 d , 且满足 an 2 ? S2n?1 , Sn 为前 n 项和,

n ? N* ,则数列 ?an ? 的通项 an ?



4.若函数 f ( x) ? ?

2 ? ?2 x ? 3x, x ≥ 0, 是奇函数,则实数 a 的值是 2 ? 2 x ? ax , x ? 0 ? ?



5. 已知函数 f ( x) ? lg | x ? 则 f ( m) 的值是

10 若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? 5 f ( x) ? 6 ? 0 的实根之和为 m , |. 3


6.设 ? 、 ? 都是锐角,且 cos ? ?

3 5 , sin(? ? ? ) ? ,则 cos ? 等于 5 5



7. 四面体 ABCD 中,AB ? 3 ,CD ? 5 , 异面直线 AB 和 CD 之间的距离为 4, 夹角为 60 , 则四面体 ABCD 的体积为 .
o

8 .若满足 ?ABC ? 是 .

?
3

, AC ? 3 , BC ? m 的 △ ABC 恰有一解,则实数 m 的取值范围

9.设集合 S ? ?1, 2,

,8? , A , B 是 S 的两个非空子集,且 A 中的最大数小于 B 中的最小 数,则这样的集合对 ( A, B) 的个数是 .

10. 如果正整数 m 可以表示为 x 2 ? 4 y 2 ( x , y ? Z ), 那么称 m 为 “好数” . 问 1, 2, 3, ?, 2014 中“好数”的个数为 .

二.解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知 a , b , c 为正实数, a ? b ? c ,
x y z

1 1 1 ? ? ? 0 ,求 abc 的值. x y z

12 .已知 F 1 , F2 分别是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,点 B 的坐标为 a 2 b2 (0, b) ,直线 F1B 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P ,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分 1 线与 x 轴交于点 M .若 MF2 ? F1F2 ,求双曲线 C 的离心率. 2

13.如图,已知 ?ABC 是锐角三角形,以 AB 为直径的圆交边 AC 于点 D ,交边 AB 上的 高 CH 于点 E .以 AC 为直径的半圆交 BD 的延长线于点 G .求证: AG ? AE .

14. (1)正六边形被 3 条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成 4 个三角形.将每个三 角形区域涂上红、蓝两种颜色之一,使得有公共边的三角形涂的颜色不同.怎样分割并 涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大? (2)凸 2016 边形被 2013 条互不交叉(端点可以重合)的对角线分割成 2014 个三角 形.将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一,使得有公共边的三角形涂的颜色不 同. 在上述分割并涂色的所有情形中, 红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值 是多少?证明你的结论.


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