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2016届山西省高考考前质检数学试卷(文科)(三)解析版


2016 年山西省高考考前质检数学试卷(文科) (三)
一、选择题 2 1. (5 分) (2016?山西模拟) 设 U=R, A={x|y=x }, B={y|y=﹣x }, 则 A∩ (?UB) = ( ) A.? B.R C.{x|x>0} D.{0} 2. (5 分) (2016?山西模拟)用 0,1,…,199 给 200 个零件编号,并用系统抽样的方法从 中

抽取 10 件作为样本进行质量检测,若第一段中编号为 5 的零件被取出,则第二段被取出 的零件编号是( ) A.25 B.10 C.15 D.20 3. (5 分) (2016?山西模拟)下列函数中,在其定义域上为增函数的是( ) A.y=x B.y=e
2
﹣x

C.y=x﹣sinx D.y=﹣
2 2 2

4. (5 分) (2016?山西模拟)已知 a,b>0,若圆 x +y =b 与双曲线 则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.[ ,+∞) B. (1, ] C. (1, )



=1 有公共点,

D. (

,2)

5. (5 分) (2016?山西模拟)若实数 x,y 满足

则 z=x﹣2y 的最小值是(



A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.2 6. (5 分) (2016?山西模拟)如图所示,将图(1)中的正方体截去两个三棱锥,得到图(2) 中的几何体,则该几何体的侧视图是( )

A.

B.

C.

D.

7. (5 分) (2016?山西模拟)已知 , 为同一平面内两个不共线的向量,且 =(1,2) , = (x,6) ,若| ﹣ |=2 ,向量 =2 ,则 =( )

A. (1,10)或(5,10) B. (﹣1,﹣2)或(3,﹣2) C. (5,10) D. (1,10) 8. (5 分) (2016?山西模拟)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 的值是( )

A.

B.

C.3

D. =﹣ ,且 α∈( , ) ,则 tan2α 的

9. (5 分) (2016?山西模拟)若 值是( A.﹣ ) B.﹣ C. D.

10. (5 分) (2016?山西模拟)在体积为 的三棱锥 S﹣ABC 中,AB=BC=2,∠ABC=90°, SA=SC,且平面 SAC⊥平面 ABC.若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上,则该球的体积 是( ) A. B. C.12π D. ﹣m 有零点,则实数 m 的取值范围是

11. (5 分) (2016?山西模拟)若函数 f(x)=

( ) A. (0,1] B. (0,1) C. (﹣1,1) D. (﹣1,1] 12. (5 分) (2016?山西模拟) 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 acosA=bsinA, 且 B> A. ,则 sinA+sinC 的最大值是( B. C.1 D. )

二、填空题 13. (5 分) (2016?山西模拟)已知复数 z 满足|z|﹣ =2﹣4i,则 z= . 14. (5 分) (2016?山西模拟)在平面几何中,三角形的面积等于其周长的一半与其内切圆 半径之积,类比之,在立体几何中,三棱锥的体积等于 (用文字表述) 15. (5 分) (2016?山西模拟)函数 f(x)=( 间是 . ﹣tanx)cos x,x∈(
2

,π]的单调减区

16. (5 分) (2016?山西模拟)已知 F1,F2 分别为椭圆 C:

=1(a>b>0)的左、右

焦点,Q 为椭圆 C 上的一点,且△QF1O(O 为坐标原点)为正三角形,若射线 QF1 与椭圆 交于点 P,则△QF1F2 与△PF1F2 的面积的比值是 . 三、解答题 17. (12 分) (2016?山西模拟)已知数列{an}满足 a1=1,且 an+1=2an+3(n∈N ) + (1)设 bn=an+3(n∈N ) ,求证{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 18. (12 分) (2016?山西模拟)如图,AB 为圆 O 的直径,PA 垂直圆 O 所在的平面,点 C 为圆 O 上的一点. (1)求证:BC⊥平面 PAC; (2)若 AB=2,BC= AC,PA=AB,点 M 为 PC 的中点,求三棱锥 B﹣MOC 的体积.
+

19. (12 分) (2016?山西模拟)某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投 入 4 万元广告费,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示) ,由于工作人员 操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从 0 开始计数的. (1)根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度; (2)估计该公司投入 4 万元广告费之后,对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代 表该组的取值) (3)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表: 2 3 4 5 广告投入 x (单位: 万元) 1 销售收益 y(单位:万 2 3 2 7 元) 表格中的数据显示,x 与 y 之间存在线性相关关系,请将(2)的结果填入空白栏,并计算 y 关于 x 的回归方程.

回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 =

, = ﹣



20. (12 分) (2016?山西模拟)已知圆 O:x +y =9 及点 C(2,1) . (1)若线段 OC 的垂直平分线交圆 O 于 A,B 两点,试判断四边形 OACB 的形状,并给予 证明; (2)过点 C 的直线 l 与圆 O 交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求直线 l 的方程. 2 21. (12 分) (2016?山西模拟)设函数 f(x)=(2x ﹣4ax)lnx,a∈R. (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞) ,f(x)+x ﹣a>0 恒成立,求实数 a 的取值范围. [选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分) (2016?山西模拟)如图,AB 是⊙O 的切线,ADE 是⊙O 的割线,AC=AB,连 接 CD、CE,分别与⊙O 交于点 F,点 G. (1)求证:△ADC~△ACE; (2)求证:FG∥AC.

2

2

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 23. (2016?山西模拟)在平面直角坐标系中,圆 C 的方程为 (θ 为参数) ,

以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的单位长 度,直线 l 的极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ=m(m∈R) . (I)当 m=3 时,判断直线 l 与 C 的位置关系; (Ⅱ)当 C 上有且只有一点到直线 l 的距离等于 时,求 C 上到直线 l 距离为 2 的点的 坐标. [选修 4-5:不等式选讲] 24. (2016?山西模拟)已知|x﹣1|≤1,|y﹣2|≤1. (1)求 y 的取值范围; (2)若对任意实数 x,y,|x﹣2y+2a﹣1|≤3 成立,求实数 a 的值.

2016 年山西省高考考前质检数学试卷(文科) (三)
参考答案与试题解析

一、选择题 1. (5 分) (2016?山西模拟) 设 U=R, A={x|y=x }, B={y|y=﹣x }, 则 A∩ (?UB) = ( ) A.? B.R C.{x|x>0} D.{0} 【分析】根据描述法表示集合的意义得集合 A 为函数 y=x 的定义域,集合 B 为函数 y= 2 ﹣x 的值域,求出集合 B 的补集,然后与集合 A 进行交集运算可答案. 【解答】解:∵函数 y=x 的定义域为{x|x≥0},∴A={x|x≥0}; 2 ∵函数 y=﹣x 的值域为{y|y≤0},∴B={y|y≤0},∴CUB={y|y>0}, ∴A∩(?UB)={x|x>0}. 故选:C. 【点评】本题考查了集合的交集、补集运算,解答本题的关键是熟练掌握描述法表示集合. 2. (5 分) (2016?山西模拟)用 0,1,…,199 给 200 个零件编号,并用系统抽样的方法从 中抽取 10 件作为样本进行质量检测,若第一段中编号为 5 的零件被取出,则第二段被取出 的零件编号是( ) A.25 B.10 C.15 D.20 【分析】根据已知计算出组距,可得答案 【解答】解:因为是从 200 个零件中抽取 10 个样本, ∴组距是 20, ∵第一段中编号为 5 的零件被取出, 则第二段被取出的零件编号是 5+20=25. 故选:A. 【点评】本题考查系统抽样的应用,是基础题,解题时要认真审题,注意熟练掌握系统抽样 的概念 3. (5 分) (2016?山西模拟)下列函数中,在其定义域上为增函数的是(
2
﹣x

2



A.y=x B.y=e C.y=x﹣sinx D.y=﹣ 【分析】根据基本函数的单调性逐项判断即可得到答案. 2 【解答】解:y=x 在(﹣∞,0)单调递减,在[0,+∞)上单调递增,并不是在其定义域是 增函数.故 A 不符合题意; y=e 在(﹣∞,+∞)上单调递减,故 B 不符合题意, y=x﹣sinx,所以 y′=1﹣cosx≥0 恒成立,所以 y=x﹣sinx 在 R 上单调递增,故 C 符合, y=﹣ 在[0,+∞)上单调递减,故 D 不符合题意; 故选 C. 【点评】本题考查函数单调性的判断问题,属基础题,要熟练掌握基本函数的单调性.
﹣x

4. (5 分) (2016?山西模拟)已知 a,b>0,若圆 x +y =b 与双曲线 则该双曲线的离心率的取值范围是( )

2

2

2



=1 有公共点,

A.[

,+∞) B. (1,

] C. (1,
2 2 2



D. (

,2)

【分析】由题意可得 b≥a,由 b =c ﹣a 和离心率公式 e= ,解不等式即可得到所求范围.
2 2 2

【解答】解:由圆 x +y =b 与双曲线 b≥a,即有 b ≥a , 2 2 2 2 2 即 c ﹣a ≥a ,即有 c ≥2a , 由 e= ,可得 e≥ .
2 2



=1 有公共点,可得

故选:A. 【点评】本题考查双曲线的离心率的范围,注意运用转化思想和双曲线的基本量的关系,考 查运算能力,属于基础题.

5. (5 分) (2016?山西模拟)若实数 x,y 满足

则 z=x﹣2y 的最小值是(



A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.2 【分析】 画出满足条件的平面区域, 求出角点的坐标, 结合函数的图象求出 z 的最小值即可. 【解答】解:画出满足条件的平面区域,如图示:

, 由 ,解得 A(1,1) ,

由 z=x﹣2y 得:y= x﹣ , 显然直线过 A(1,1)时,z 最小, z 的最小值是﹣1, 故选:B. 【点评】本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,是一道中档题.

6. (5 分) (2016?山西模拟)如图所示,将图(1)中的正方体截去两个三棱锥,得到图(2) 中的几何体,则该几何体的侧视图是( )

A.

B.

C.

D.

【分析】根据三视图的定义判断棱 AD1 和 C1F 的位置及是否被几何体遮挡住判断. 【解答】解:从几何体的左面看,对角线 AD1 在视线范围内,故画为实线,右侧面的棱 C1F 不在视线范围内,故画为虚线,且上端点位于几何体上底面边的中点. 故选 B. 【点评】本题考查了三视图的定义与画法,属于基础题.

7. (5 分) (2016?山西模拟)已知 , 为同一平面内两个不共线的向量,且 =(1,2) , = (x,6) ,若| ﹣ |=2 ,向量 =2 ,则 =( )

A. (1,10)或(5,10) B. (﹣1,﹣2)或(3,﹣2) C. (5,10) D. (1,10) 【分析】计算 ﹣ 的坐标,根据| ﹣ |=2 再计算 的坐标. 【解答】解: ∵ =(1﹣x,﹣4) ,∴| |= ,解得 x=﹣1 或 x=3. 列方程解出 x,利用向量不共线进行验证,

不共线,∴x≠3.即 x=﹣1.

∴ =(﹣1,6) , ∴ =(2,4)+(﹣1,6)=(1,10) .

故选:D. 【点评】本题考查了平面向量的数量级运算,向量的坐标运算,属于基础题. 8. (5 分) (2016?山西模拟)执行如图所示的程序框图,则输出的 S 的值是( )

A.

B.

C.3

D.

【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 c,a,b,k 的值,由题意当 i=9 时, 满足条件 i>8,退出循环,输出 S 的值为 ,从而得解. 【解答】解:模拟执行程序,可得 a=2,i=1,S=0 执行循环体,a= ,S= ,i=2 不满足条件 i>8,执行循环体,a=﹣1,S=﹣ ,i=3 不满足条件 i>8,执行循环体,a=2,S= ,i=4 不满足条件 i>8,执行循环体,a= ,S=2,i=5 不满足条件 i>8,执行循环体,a=﹣1,S=1,i=6 不满足条件 i>8,执行循环体,a=2,S=3,i=7 不满足条件 i>8,执行循环体,a= ,S= ,i=8 不满足条件 i>8,执行循环体,a=﹣1,S= ,i=9 满足条件 i>8,退出循环,输出 S 的值为 . 故选:B. 【点评】算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程 序填空也是重要的考试题型, 这种题考试的重点有: ①分支的条件②循环的条件③变量的 赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解 流程图的含义而导致错误.

9. (5 分) (2016?山西模拟)若 值是( )

=﹣

,且 α∈(



) ,则 tan2α 的

A.﹣

B.﹣

C.

D.

【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系,二倍角公式,以及三角函数在各个象限中的 符号求得 sin2α、cos2α 的值,可得 tan2α 的值. 【解答】解:∵ = = (cosα﹣sinα)=﹣ ,且 α

∈(



) , ,

∴cosα﹣sinα=﹣

∴平方可得 sin2α= . 结合 2α∈( 则 tan2α= ,π) ,可得 cos2α=﹣ =﹣ , =﹣ ,

故选:B. 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,二倍角公式,以及三角函数在各个象限中 的符号,属于基础题.

10. (5 分) (2016?山西模拟)在体积为 的三棱锥 S﹣ABC 中,AB=BC=2,∠ABC=90°, SA=SC,且平面 SAC⊥平面 ABC.若该三棱锥的四个顶点都在同一球面上,则该球的体积 是( ) A. B. C.12π D.

【分析】求出底面三角形的面积,利用三棱锥的体积求出 S 到底面的距离,求出底面三角 形的所在平面圆的半径,通过勾股定理求出球的半径,即可求解球的体积. 【解答】解:∵AB=BC=2,∠ABC=90°, ∴△ABC 外接圆半径 AC= ,

∵S△ ABC= ×2×2=2,三棱锥 S﹣ABC 的体积为 , ∴S 到底面 ABC 的距离 h=2, ∴球心 O 到平面 ABC 的距离为|2﹣R|, 2 2 由平面 SAC⊥平面 ABC,利用勾股定理可得球的半径为:R =(2﹣R) +( ∴R= 球的体积: πR = π. 故选:A.
3

),

2

【点评】本题考查球的体积的求法,球的内含体与三棱锥的关系,考查空间想象能力以及计 算能力.

11. (5 分) (2016?山西模拟)若函数 f(x)= ( ) A. (0,1]

﹣m 有零点,则实数 m 的取值范围是

B. (0,1) C. (﹣1,1)

D. (﹣1,1]

【分析】由题意可得,可得奇函数 y=

=

的图象(图中红色曲线)和直

线 y=m 有交点,数形结合可得实数 m 的取值范围. 【解答】解:根据函数 f(x)= ﹣m 有零点,

可得奇函数 y=

=

的图象和直线 y=m 有交点,如图所示:

数形结合可得,﹣1<m<1, 故选:C.

【点评】 本题主要考查函数的零点个数的判断方法, 体现了等价转化、 数形结合的数学思想, 属于中档题. 12. (5 分) (2016?山西模拟) 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 acosA=bsinA, 且 B> A. ,则 sinA+sinC 的最大值是( B. C.1 D. )

【分析】利用正弦定理化简得出 A,B 的关系,用 A 表示出 C,利用三角函数恒等变换化简 得出 sinA+sinC 关于 sinA 的函数,求出此函数的最大值即可. 【解答】解:∵acosA=bsinA,∴ ,

又由正弦定理得 ∴sinB=cosA=sin( ∵B ∴π﹣B= ∴B=A+ . . , .

, ) ,

∴C=π﹣A﹣B=

∴sinA+sinC=sinA+cos2A=﹣2sin A+sinA+1=﹣2(sinA﹣ ) + . ∵0 ∴0 ∴0<sinA , , . ,

2

2

∴当 sinA= 时,sinA+sinC 取得最大值 . 故选:B. 【点评】本题考查了三角函数的恒等变换,正弦定理,二次函数的最值,属于中档题. 二、填空题 13. (5 分) (2016?山西模拟)已知复数 z 满足|z|﹣ =2﹣4i,则 z= 3﹣4i . 【分析】设 z=a+bi(a,b∈R) ,由于复数 z 满足|z|﹣ =2﹣4i,可得 =2﹣4i,利用复数相等即可得出. 【解答】解:设 z=a+bi(a,b∈R) , ∵复数 z 满足|z|﹣ =2﹣4i, ∴ ﹣(a﹣bi)=2﹣4i, ﹣(a﹣bi)



,解得 b=﹣4,a=3.

∴z=3﹣4i. 故答案为:3﹣4i. 【点评】本题考查了复数的运算性质、复数模的计算公式、复数相等,考查了推理能力与计 算能力,属于基础题.

14. (5 分) (2016?山西模拟)在平面几何中,三角形的面积等于其周长的一半与其内切圆 半径之积,类比之,在立体几何中,三棱锥的体积等于 其表面积的 与其内切球半径之积 (用文字表述) 【分析】由题意画出图形,把三棱锥的体积转化为四个三棱锥的体积,可得三棱锥的体积等 于其表面积的 与其内切球半径之积. 【解答】解:如图,

设三棱锥 A﹣BCD 的内切球球心为 O, 连接 OA,OB,OC,OD, 则 O 到三棱锥四个面的距离为球的半径 r, ∴ = .

故答案为:其表面积的 与其内切球半径之积. 【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积,训练了等积法,考查了类比推理的应用,是基 础题.
2

15. (5 分) (2016?山西模拟)函数 f(x)=( 间是 [ ,π] .

﹣tanx)cos x,x∈(

,π]的单调减区

【分析】使用三角函数恒等变换化简 f(x) ,根据余弦函数的单调性求出 f(x)的单调减区 间,与定义域取交集即可. 【解答】解:f(x)= 令 2kπ≤2x+ ∴( cos x﹣sinxcosx=
2

cos2x﹣ sin2x +kπ. ,π].

=cos(2x+

)+



≤π+2kπ,解得﹣ , ,π].

+kπ≤x≤ ]= [

,π]∩[﹣

故答案为:[

【点评】本题考查了三角函数的恒等变换,余弦函数的图象与性质,属于中档题.

16. (5 分) (2016?山西模拟)已知 F1,F2 分别为椭圆 C:

=1(a>b>0)的左、右

焦点,Q 为椭圆 C 上的一点,且△QF1O(O 为坐标原点)为正三角形,若射线 QF1 与椭圆 交于点 P,则△QF1F2 与△PF1F2 的面积的比值是 .

【分析】作图,结合图象可得 c+

=2a,从而可得椭圆 C 的方程为

+

=1,

再直线方程联立消元可得 的纵坐标为﹣

y ﹣2cy﹣ c =0,从而可得点 Q 的纵坐标为

2

2

c,点 P

,从而解得.

【解答】解:由题意作图如右图, ∵△QF1O(O 为坐标原点)为正三角形, ∴△QF1F2 是直角三角形, ∴c+ =2a, ∴a= c,b =a ﹣c =
2 2 2

c,

2

∴椭圆 C 的方程为

+

=1,

设直线 PQ 的方程为 y= 故 x= y﹣c,

(x+c) ,

代入消 x 化简可得, y ﹣2cy﹣ c =0, 即(y﹣ c) ( y+ )=0, ,
2 2

故点 Q 的纵坐标为

c,点 P 的纵坐标为﹣

故△QF1F2 与△PF1F2 的面积的比值为

=



故答案为:



【点评】 本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及数形结合的思想方法应用, 属于中 档题. 三、解答题 + 17. (12 分) (2016?山西模拟)已知数列{an}满足 a1=1,且 an+1=2an+3(n∈N ) + (1)设 bn=an+3(n∈N ) ,求证{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 【分析】 (1)首先对数列的递推关系式进行恒等变换,进一步求出数列是等比数列. (2)利用等比数列进一步求出数列的通项公式,在求出数列的前 n 项和. 【解答】解: (1)数列{an}满足 a1=1,且 an+1=2an+3(n∈N ) 则:an+1+3=2(an+3) , 即: (常数) ,
+ +

由于设 bn=an+3(n∈N ) , 所以: ,

数列{bn}是等比数列; (2)由(1)得:数列{bn}是等比数列, 所以: 由于:a1=1, 所以: 则:Sn=a1+a2+…+an 2 3 n+1 =2 ﹣3+2 ﹣3+…+2 ﹣3 2 3 n+1 =2 +2 +…+2 ﹣(3+3+…+3) ,

= =2 ﹣3n﹣4 【点评】本题考查的知识要点:利用定义法证明数列是等比数列,求数列通项公式,利用分 组法求出数列的前 n 项和. 18. (12 分) (2016?山西模拟)如图,AB 为圆 O 的直径,PA 垂直圆 O 所在的平面,点 C 为圆 O 上的一点. (1)求证:BC⊥平面 PAC; (2)若 AB=2,BC= AC,PA=AB,点 M 为 PC 的中点,求三棱锥 B﹣MOC 的体积.
n+2

【分析】 (1)由直径所对圆周角为直角可得 BC⊥AC,再由 PA 垂直圆 O 所在的平面,得 PA⊥BC,最后结合线面垂直的判定得答案; (2)由点 M 到平面 ABC 的距离等于点 P 到平面 ABC 的距离的 ,把三棱锥 B﹣MOC 的 体积转化为三棱锥 M﹣BOC 的体积求解. 【解答】 (1)证明:如图, ∵C 为圆 O 上的一点,AB 为圆 O 的直径, ∴BC⊥AC, 又 PA 垂直圆 O 所在的平面, ∴PA⊥BC, 则 BC⊥平面 PAC; (2)解:∵AB=2,BC= AC, ∴在 Rt△ABC 中,可得 又 PA=AB=2,点 M 为 PC 的中点, ,

∴点 M 到平面 ABC 的距离等于点 P 到平面 ABC 的距离的 , ∴ .

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定,训练了利用等积法求三棱锥的体积,考查空间想 象能力和思维能力,是中档题.

19. (12 分) (2016?山西模拟)某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投 入 4 万元广告费,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示) ,由于工作人员 操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从 0 开始计数的. (1)根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度; (2)估计该公司投入 4 万元广告费之后,对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代 表该组的取值) (3)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表: 2 3 4 5 广告投入 x (单位: 万元) 1 销售收益 y(单位:万 2 3 2 7 元) 表格中的数据显示,x 与 y 之间存在线性相关关系,请将(2)的结果填入空白栏,并计算 y 关于 x 的回归方程.

回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 =

, = ﹣



【分析】 (1)由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1,建立方程,即可求得结论; (2)利用组中值,求出对应销售收益的平均值; (3)利用公式求出 b,a,即可计算 y 关于 x 的回归方程. 【解答】解: (1)设长方形的宽度为 m,由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1, 可知(0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02)m=1,∴m=2; (2)由(1)可知个小组依次是[0,2) ,[2,4) ,[4,6) ,[6,8) ,[8,10) ,[10,12) , 其中点分别为 1,3,5,7,9,11,对应的频率分别为 0.16,0.20,0.28,0.24,0.08,0.04, 故可估计平均值为 1×0.16+3×0.20+5×0.28+7×0.24+9×0.08+11×0.04=5; (3)空白处填 5. 由题意, =3, =3.8, xiyi=69, =55,∴b= =1.2,a=3.8﹣1.2

×3=0.2, ∴y 关于 x 的回归方程为 y=1.2x﹣0.2. 【点评】本题考查频率分布直方图,考查线性回归方程的求法和应用,本题解题的关键是看 出这组变量是线性相关的,进而正确运算求出线性回归方程的系数,本题是一个中档题. 20. (12 分) (2016?山西模拟)已知圆 O:x +y =9 及点 C(2,1) .
2 2

(1)若线段 OC 的垂直平分线交圆 O 于 A,B 两点,试判断四边形 OACB 的形状,并给予 证明; (2)过点 C 的直线 l 与圆 O 交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求直线 l 的方程. 【分析】 (1)OC 的中点为(1, ) ,设 OC 的垂直平分线为 y=﹣2x+ ,代入圆 x +y =9, 得 =0,由韦达定理及中点坐标公式得到 AB 的中点为(1, ) ,再由 OC
2 2

⊥AB,推导出四边形 OACB 为菱形. (2) 当直线 l 的斜率不存在时, S△ OPQ=2 (x﹣2) , (k

, 当直线 l 的斜率存在时, 设 l 的方程为 y﹣1=k ,由平面几何知识得

) ,圆心到直线 PQ 的距离为 d=
2

|PQ|=2

,推导出当且仅当 d = 时,S△ OPQ 取得最大值 ,由此能求出直线 l 的方

程. 【解答】解: (1)四边形 OACB 为菱形,证明如下: OC 的中点为(1, ) ,设 A(x1,y1) ,B(
2 2

,y2) , =0,

设 OC 的垂直平分线为 y=﹣2x+ ,代入圆 x +y =9,得





=﹣2×

= ,

∴AB 的中点为(1, ) , ∴四边形 OACB 为平行四边形, 又 OC⊥AB,∴四边形 OACB 为菱形. (2)当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程为 x=2,则 P、Q 的坐标为(2, ∴S△ OPQ= =2 , ) ,

) , (2,﹣

) ,

当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y﹣1=k(x﹣2) , (k

则圆心到直线 PQ 的距离为 d=



由平面几何知识得|PQ|=2



∴S△ OPQ=
2 2

=
2

d=



= ,

当且仅当 9﹣d =d ,即 d = 时,S△ OPQ 取得最大值 , ∵ ,∴S△ OPQ 的最大值为 ,

此时,由

= ,解得 k=﹣7 或 k=﹣1.

此时,直线 l 的方程为 x+y﹣3=0 或 7x+y﹣15=0. 【点评】 本题考查四边形形状的判断及证明, 考查△OPQ 的面积最大时直线 l 的方程的求法, 是中档题,解题时要认真审题,注意韦达定理、均值定理的合理运用. 21. (12 分) (2016?山西模拟)设函数 f(x)=(2x ﹣4ax)lnx,a∈R. (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞) ,f(x)+x ﹣a>0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【分析】 (1)求出函数的导数,计算 f(1) ,f′(1) ,代入切线方程即可; (2)g(x)=f(x)+x ﹣a,求出函的导数,通过讨论 a 的范围,得到函数 g(x)的单调性, 求出 g(x)的最小值,从而求出 a 的范围即可. 【解答】解: (1)a=1 时,f(1)=0, f′(x)=(4x﹣4)lnx+(2x﹣4) ,f′(1)=﹣2, ∴切线方程是:y=﹣2(x﹣1) , 即 2x+y﹣2=0; (2)设 g(x)=f(x)+x ﹣a=(2x ﹣4ax)lnx+x ﹣a,x∈[1,+∞) , 则 g′(x)=4(x﹣a) (lnx+1) , (x≥1) , a≤1 时,g(x)在[1,+∞)递增, ∴对? x≥1,有 g(x)≥g(1)=1﹣a>0, ∴a<1; a>1 时,g(x)在[1,a)递减,在(a,+∞)递增, 2 ∴g(x)min=g(a)=a (1﹣2lna)﹣a, 2 由 a (1﹣2lna)>a,得:a(1﹣2lna)﹣1>0, 设 h(a)=a(1﹣2lna)﹣1,a>1, 则 h′(a)=﹣1﹣2lna<0, (a>1) , ∴h(a)在(1,+∞)递减, 又 h(1)=0, ∴h(a)<h(1)=0 与条件矛盾, 综上:a<1. 【点评】本题考查了切线方程问题,考查函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分 类讨论思想,是一道中档题. [选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分) (2016?山西模拟)如图,AB 是⊙O 的切线,ADE 是⊙O 的割线,AC=AB,连 接 CD、CE,分别与⊙O 交于点 F,点 G. (1)求证:△ADC~△ACE; (2)求证:FG∥AC.
2 2 2 2 2

【分析】 (1)根据已知和切割线定理可得 AC =AD?AE,即

2

=

,又∠CAD=∠EAC,

即可证明△ADC∽△ACE. (2)由 F,G,E,D 四点共圆,可得∠CFG=∠AEC,利用三角形相似可得∠ACF=∠AEC, 通过证明∠CFG=∠ACF,即可得解 FG∥AC. 【解答】 (本题满分为 10 分) 证明: (1)根据题意,可得:AB =AD?AE, ∵AC=AB, ∴AC =AD?AE,即
2 2

=



又∵∠CAD=∠EAC, ∴△ADC∽△ACE.…5 分 (2)∵F,G,E,D 四点共圆, ∴∠CFG=∠AEC, 又∵∠ACF=∠AEC, ∴∠CFG=∠ACF, ∴FG∥AC.…10 分

【点评】本题主要考查了切割线定理的应用,考查了相似三角形的判断和性质,考查了数形 结合思想的应用,属于中档题. [选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 23. (2016?山西模拟)在平面直角坐标系中,圆 C 的方程为 (θ 为参数) ,

以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的单位长 度,直线 l 的极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ=m(m∈R) . (I)当 m=3 时,判断直线 l 与 C 的位置关系; (Ⅱ)当 C 上有且只有一点到直线 l 的距离等于 时,求 C 上到直线 l 距离为 2 的点的 坐标. 【分析】 (I)将曲线方程化成直角坐标方程,计算圆心到直线的距离与圆的半径比较大小得 出结论; (II) 由题意可知直线与圆相离, 且圆心到直线 l 的距离为 2 , 故到直线 l 的距离等于 2 的点在过圆心且与直线 l 平行的直线上, 求出此直线的参数方程代入圆的方程求出该点对应 的参数,得出该点的坐标. 2 2 【解答】解: (I)圆 C 的普通方程为(x﹣1) +(y﹣1) =2, ∴圆心坐标为(1,1) ,半径 r= . m=3 时,直线 l 的直角坐标方程为 x+y﹣3=0. ∴圆心 C 到直线 l 的距离 d= = <r.

∴直线 l 与圆 C 相交. (II)直线 l 的普通方程为 x+y﹣m=0. ∵C 上有且只有一点到直线 l 的距离等于 , ∴直线 l 与圆 C 相离,且圆心到直线的距离为 . ∴圆 C 上到直线 l 的距离等于 2 的点在过圆心 C(1,1)且与直线 l 平行的直线上.

∴过圆心 C(1,1)且与直线 l 平行的直线的参数方程为:

(t 为参数) .

将:

(t 为参数)代入圆 C 的普通方程得 t =2,

2

∴t1= 当 t=

,t2=﹣ 时,

. ,当 t=﹣ 时, .

∴C 上到直线 l 距离为 2 的点的坐标为(0,2) , (2,0) . 【点评】本题考查了参数方程,极坐标方程与普通方程的转化,直线与圆的位置关系,属于 中档题. [选修 4-5:不等式选讲] 24. (2016?山西模拟)已知|x﹣1|≤1,|y﹣2|≤1. (1)求 y 的取值范围; (2)若对任意实数 x,y,|x﹣2y+2a﹣1|≤3 成立,求实数 a 的值. 【分析】 (1)去掉绝对值,可求 y 的取值范围; (2)若对任意实数 x,y,|x﹣2y+2a﹣1|≤3 成立,则 3+2|a﹣2|≤3,即可求实数 a 的值. 【解答】解: (1)由|y﹣2|≤1,可得﹣1≤y﹣2≤1, ∴1≤y≤3. (2)|x﹣2y+2a﹣1|=|x﹣1﹣2y+4+2a﹣4|≤|x﹣1|+2|y﹣2|+2|a﹣2|≤1+2+2|a﹣2|, ∴3+2|a﹣2|≤3, ∴|a﹣2|≤0, ∴a=2. 【点评】本题考查绝对值三角不等式,考查学生的计算能力,属于中档题.


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