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2013年高中数学联赛几何题(潘成华)


2013 年高中数学联赛几何题

2013年高中数学联赛
P E F B

已知 O的弦AB,点E、F在AB上,AE=EF=FB,点P是AB上方 O上一点, PE、PF交 O于D、C. 求证 AD?BC=EF?DC 证明(一)(文武光华数学工作室 南京 潘成华)因为AE=EF=BF, AD sin?ACD 所以APsin?APE=

PFsin?EPF, = DC sin?DAC sin?APE PF BF = = ,所以AD?BC=BF?DC=EF?DC sin?EPF AP BC

A

D

O

C

2013年高中数学联赛
已知 O的弦AB,点E、F在AB上,AE=EF=FB,点P是AB上方 O上一点, PE、PF交 O于D、C. 求证 AD?BC=EF?DC
P

A

F E

B

证明(二)(文武光华数学工作室 南京 潘成华)延长AD到K, 使AD=DK,所以?AKF=?ADE=?ACF所以A、K、C、F AD DK BF EF 四点共圆,因此 KDC? FBC,所以 = = = ,所以 DC DC BC BC AD?BC=EF?DC

O D

K C

2013年高中数学联赛
已知 O的弦AB,点E、F在AB上,AE=EF=FB,点P是AB上方 O上一点, PE、PF交 O于D、C. 求证 AD?BC=EF?DC 证明(三)(文武光华数学工作室 南京 潘成华)延长AB到Q, 使BQ=BF,所以PF?FC=BF?AF=EF?FQ,所以P、E、C、Q四点共圆, 于是?ACD=?APD=?PEB-?PAB=?PCQ-?PCB=?BCQ,?QBC= P EF BQ AD ?ADC,所以 ADC?QBC,于是 = = ,即AD?BC=EF?DC BC BC DC
A E F B Q

O D

C


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