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广东省湛江市第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文


湛江一中 2015-2016 学年度第一学期期末考试 高二级数学(文科)试卷
考试时间:120 分钟 满分 150 分 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1、在建立两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型,他们的相关指数 R 如下,其中拟合的最好的模型是( A.模型 1 的相关

指数 R 为 0.98 C.模型 3 的相关指数 R 为 0.50 2 4 6 8 2、数列 , , , ??的第 10 项是( 3 5 7 9 16 A. 17 18 B. 19 )
2

2

) B.模型 2 的相关指数 R 为 0.80 D.模型 4 的相关指数 R 为 0.25 ) 20 C. 21 22 D. 23
2 2

2 2

3、下列有关命题的说法正确的是(
2

A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x =1,则 x ? 1 ” B.若 p ? q 为真命题,则 p , q 均为真命题
2 2 C.命题“ ?x ? R, 使得 x +x+1 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R ,均有 x +x+1 ? 0 ”

D.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 ? ? 60 ? 90 x ,下列 4、工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为 y 判断正确的是( ) A.劳动生产率为 1000 元时,工资为 50 元 B.劳动生产率提高 1000 元时,工资提高 150 元 C.劳动生产率提高 1000 元时,工资提高 90 元 D.劳动生产率为 1000 元时,工资为 90 元 5、在△ABC 中, 角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=2,c=4,B=60°,则 b 等于( A.28 B.2 7 C.12 D.2 3 6、曲线 f ( x) ? x ln x 在点 (1, 0) 处的切线方程为( ) A. y ? ? x ? 1
2



B. y ? x ? 1
2

C. y ? ex ? e

D. y ? ?ex ? e )条件
1

7、 m ? 0 是方程 x ? y ? 4 x ? 2 y ? m ? 0 表示圆的(

A.充分不必要 C.充要

B.必要不充分 D.既不充分也不必要 )

8、 用反证法证明 “若 a+b+c<3, 则 a, b, c 中至少有一个小于 1” 时, “假设” 应为 ( A.假设 a,b,c 至少有一个大于 1 B.假设 a,b,c 都大于 1 C.假设 a,b,c 至少有两个大于 1 D.假设 a,b,c 都不小于 1 9、在下列函数中,最小值是 2 的是( A.y= ) B.y=lgx+

x 5 ? (x∈R,x≠0) 5 x
x -x

1 (1<x<10 ) lg x
1 ? (0<x< ) sin x 2

C.y=3 +3 (x∈R)

D.y=sinx+

10、设 f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数, y ? f ?( x) 的图象如右图所示,则 y ? f ( x) 的图象最 有可能的是( )

11、数列 {an } 满足: a1 ? 2, an ?1 ? A. ?6

1 ? an , (n ? N ? ) 其前 n 项积为 Tn ,则 T2014 =( 1 ? an
1 6
C.



B. ?

1 6

D. 6

12、椭圆 C 的两个焦点分别是 F1 , F2 ,若 C 上的点 P 满足 | PF1 |? 离心率 e 的取值范围是( A. e ? C. ) B. e ?

3 | F1 F2 | ,则椭圆 C 的 2

1 2

1 4 1 1 或 ? e ?1 4 2

1 1 ?e? 4 2
2 2

D. 0 ? e ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13、双曲线 4 x ? y ? 16 的渐近线方程是________________ 14、在等差数列 ?an ? 中,若 a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450 ,则 a2 ? a8 ? .
2

15、已知 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ? 1 ,则

1 1 ? 的最小值是 a b

.

?2 x ? y ? 2 ? 16、设 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,则目标函数 z ? x ? y 的最大值为 ? x ? 0, y ? 0 ?
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、(本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 b sin A ? 3a cos B . (1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 3 , sin C ? 2sin A ,求 a , c 的值. 18. (本题满分 12 分) 在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了 120 人,其中女性 70 人,男性 50 人.女性 中有 45 人主要的休闲方式是看电视,另外 25 人主要的休闲方式是运动;男性中有 20 人 主要的休闲方式是看电视,另外 30 人主要的休闲方式是运动. (1)根据以上数据建立一个 2 ? 2 的列联表; (2)判断性别与休闲方式是否有关系. 下面的临界值表供参考: p( k ≥ x0) K0 0.45 5 0.70 8 1.32 3 2.07 2 2.70 6 3.84 1
2

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.02 5 5.02 4

0.01 0 6.63 5

0.00 5 7.87 9

0.001

10.828

2 ? ? n?ad ? bc? 2 ? 参考公式: ? ? , 其中 n ? a ? b ? c ? d . K ? ? ? ?? ?? ?? ? a ? b c ? d a ? c b ? d ? ?

19. (本题满分 12 分) 已知命题 P : 函数 f ? x? ? loga x 在区间 ? 0, ??? 上是单调递增函数;命题 Q : 不等式

?a ? 2?x2 ? 2?a ? 2?x ? 4 ? 0 对任意实数 x 恒成立.若 P ? Q 是真命题,且 P ? Q 为假命
题,求实数 a 的取值范围. 20、 (本题满分 12 分) 已知 ?an ? 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12
3

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)记数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,求正整数 k 的值

21. (本题满分 12 分)
2 已知 a 为实数, f ( x) ? x ? 4

?

?? x ? a? 。

(1)求导数 f (2)若 f

?(x)

?(?1) ? 0 ,求 f ( x) 在 ? ?2,2? 上的最大值和最小值;

(3)若 f ( x ) 在 ? ??, ?2? 和 ?2, ??? 上都是递增函数,求 a 的取值范围。

22. (本题满分 12 分) 过直角坐标平面 xOy 中的抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 的焦点 F 作一条倾斜角为 物线相交于 A、B 两点. (1)求直线 AB 的方程(用含 p 的方程表示) ; (2)试用 p 表示 A、B 之间的距离; (3)当 p ? 2 时,求 ?AOB 的余弦值. 参考公式: xA2 ? yA2

? 的直线与抛 4

?

?? x

2

B

2 ? yB2 ? ? xA xB ? ? xA xB ? 2 p ? xA ? xB ? ? 4 p ? ?.

湛江一中 2015-2016 学年度第一学期期末考试 高二级数学(文科)试卷答案

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 1、A 2、C 3、D 4、C 5、D 6、B 7、A 8、D 9、C 10、C 11、A 12、C
4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。共 20 分 13、 y ? ?2 x 14、180 15、4 16、7

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.( 本题 10 分) 解: (I)由 b sin A ? 3a cos B 及正弦定理 得 sin B ? 3cos B ,??(1 分) 所以 tan B ? 3 ,? B ? (0, ? ) ,? B ? (Ⅱ)由 sin C ? 2sin A 及

a b ? , sin A sin B

?
3

??(4 分)

a b ? ,得 c ? 2a ,??(6 分) sin A sin B

由 b ? 3 及余弦定理 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2a cos B , 得 9 ? a 2 ? c 2 ? ac ,??(8 分) 所以 a ?

3 , c ? 2 3 ??(10 分)

18. ( 本题 12 分) .(1) 2 ? 2 的列联表: 休闲方式 性别 女 男 总计 45 20 65 25 30 55 70 50 120
5

看电视

运动

总计

???6 分

120 ? (45 ? 30 ? 25 ? 20) 2 ? 6.93 (2)计算 k ? 70 ? 50 ? 65 ? 55
(K2 ? 6.635 )=0.01 , 因为 k ? 6.635 ,而 P
分 即有 99% 的把握认为“休闲方式与性别有关” 。

???9 分

???11

??12 分

19. (本题满分 12 分) 解:若命题 P 为真,则 a ? 1 , 若命题 Q 为真,则 a ? 2 ? 0 或 ? 即 ?2 ? a ? 2 ∵ P ? Q 是真命题,且 P ? Q 为假命题 ∴ P 真 Q 假或 P 假 Q 真 . . . . . . . . . . .8 分 . . . . . . . . . . .2 分

a?2?0 2 ?? ? 4(a ? 2) ? 14(a ? 2) ? 0 ?
. . . . . . . . . . .6 分

∴?

a ?1 ? a ?1 或? ?a ? ?2或a ? 2 ??2 ? a ? 2 ?

. . . . . . . . . . .10 分 . . . . . . . . . . .12 分

即 a ? 2 或 ?2 ? a ? 1

20(本题满分 12 分)

6

解:(I)设数列 ?an ? 的公差为 d , ?

? 2a1 ? 2d ? 8 解得 a1 ? 2 , d ? 2 ??(2 分) ?2a1 ? 4d ? 12

所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n ??(4 分) (Ⅱ)由(1)可得 Sn ?

n(a1 ? an ) n(2 ? 2 n) ? ? n(n ? 1) ??(6 分) 2 2

2 2 因 a1 , ak , Sk ?2 成 等 比 数 列 , 所 以 ak ,即 ? 2( k ? 2)( k ? 3) ? a1Sk ?2 , 从 而 ( 2k )

k 2 ? 5k ? 6 ? 0,??(10 分)
解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去) ,因此 k ? 6 ??(12 分)

21、解析:由原式 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 4 x ? 4a ,∴ f ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? 4 ,??(2 分) (2)由 f ' (?1) ? 0 得 a ?

1 ,??(3 分) 2

此时有 f ( x) ? x 2 ? 4 ? x ? 由 f ' ( x) ? 0 得 x ?

?

?? ?

1? ' 2 ? ,∴ f ( x) ? 3x ? x ? 4 ,??(4 分) 2?

4 或 x ? ?1 , 3 4 50 9 又 f( )?? , f ( ?1) ? , f (?2) ? 0 , f (2) ? 0 ,??(7 分) 3 27 2 9 50 所以 f ( x ) 在 ? ?2,2? 上的最大值为 ,最小值为 ? 。 2 27
分) (3) f ( x) ? 3x ? 2ax ? 4 的图象为开口向上且过 ? 0, ?4? 的抛物线,
' 2

??(8

由条件得 f ' (?2) ? 0 , f ' (2) ? 0 ,则 ?

?4a ? 8 ? 0 , ??(10 分) ?8 ? 4a ? 0

∴ ?2 ? a ? 2 。∴ a 的取值范围是 ? ?2,2? 。??(12 分)

p ? p 22.解: (1)焦点 F ( , 0) ,过抛物线焦点且倾斜角为 的直线方程是 y ? x ? . ?(3 2 2 4 分)
7



2





? y2 ? 2 p x p2 p2 ? 2 ? AB ? xA ? xB ? p ? 4 p . ? x ? 3 px ? ? 0 ? x ? x ? 3 p , x x ? ? p A B A B 4 4 ?y ? x ? ? 2

??(7 分)
? y ? 4x ? x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 ? xA ? xB ? 6, xA xB ? 1 . (3)由 ? y ? x ? 1 ?
2

cos ?AOB ?

AO ? BO ? AB 2 AO BO

2

2

2

?

x A 2 ? y A 2 ? xB 2 ? y B 2 ? ? x A ? x B ? ? ? y A ? y B ?
2

2

2

?x

2 A

? y A2 ?? xB 2 ? yB 2 ?

?

?x

x A xB ? y A y B
2 A

? yA

2

?? x

2 B

? yB

2

?

?

p p2 2 x A xB ? ? x A ? x B ? ? 3 41 2 4 ?? 2 41 x A xB ? ? x A xB ? 2 p ? x A ? x B ? ? 4 p ? ?

??(11 分) ∴ ?AOB 的大小是与 p 无关的定值. ??(12 分)

8


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