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第16课时 第二章 函数——函数的图像


福建省 2015 高中数学文科第一轮复习教案

第 16 课时

第二章

函数——函数的图像
月 日星期 )

(授课者:陈江林

时间: 2015 年

一、课标要求:熟记基本函数的图象,掌握函数作图基本方法及函数图象的基本变换,能 结合图象研究函

数的性质. 二、教学背景分析 1、教学内容分析: 1)图象变换法: 作图是学习和研究函数的基本功之一,变换法作图是应用基本函数的图 象,通过平移、伸缩、对称、翻折等变换,作出相关函数的图象.应用变换法作图,要求 我们熟记基本函数的图象及性质,准确把握基本函数的图象特征. 2)数形结合方法:函数的图象可以形象地反映函数的性质.通过观察图形可以确定图象的 变化趋势、对称性、分布情况等,数形结合,借助于图象与函数的对应关系研究应用函数 的性质,其本质是函数图象的性质反映了函数关系;函数关系决定了函数图象的性质. 3)数形结合思想:这是中学数学中的重要的数学思想方法之一.数形结合的应用大致分两 类:一是以数解形,即借助数的精确性、深刻性来阐明形的某些属性;二是以形辅数,即 借助形的几何直观性、形象性来揭示数之间的某种关系,用形作为探求解题途径,获得问 题结果的重要工具,利用函数的图象可研究函数的性质、不等式的解及含参数的有关问题. 2、学情分析(主要方法)描点法的步骤是:列表(尤其注意特殊点,最大值与最小值点与 坐标轴的交点)、描点、连线.提示:作函数图象的步骤:①确定函数的定义域;②化简函 数的解析式;③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势);④描点 连线,画出函数的图象. 三、教学目标: 1、巩固复习基本初等函数的图像及性质,掌握函数图像变换的一般规律。 2、培养学生综合作图及应用图像解决问题能力。 3、体会高中数学中数形结合的思想。 四、重难点分析:基本初等函数的图像及性质及基本函数图像的综合运用。 五、教学策略分析:讲练结合,以导辅练 六、教学媒体选择:黑板、多媒体、自编复习纲要 七、教学过程与手段

(一)知识点扫描
1、描点法的步骤是:列表(尤其注意特殊点,最大值与最小值点 与坐标轴的交点)、描点、 连线。提示:作函数图象的步骤:①确定函数的定义域;②化简函数的解析式;③讨论函
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数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势);④描点连线,画出函数的图象. 2、描绘函数图像的基本要求: (1)标出原点,x 轴、y 轴的方向,长度单位,在定义域范围内作图; (2)图像画成实线或实心点,尤其应注意以下几个方面:①实点:与坐标轴的交点, 最大(小)值点;②虚线:对称轴,渐近线;③图像上升(下降)趋势. (3)若函数图像是由几部分组成,应先弄清各部分是什么曲线,再弄清连接点与间断点. 2、函数图象的变换 1)平移变换 ( 1 )水平平移:函数 y ? f ( x ? a) 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向左

(a ? 0) 或向右 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到;
( 2 )竖直平移:函数 y ? f ( x) ? a 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向上

(a ? 0) 或向下 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到.
2)对称变换 (1)函数 y ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称即可得到; (2)函数 y ? ? f ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称即可得到; (3)函数 y ? ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于原点对称即可得到; (4)函数 y ? f
?1

( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称得到.

(5)函数 y ? f (a ? x) 的图象是由函数 y ? f ( x) 的图象经由 y 轴翻折 180°后(注意是

y ? f ( ? x) ) ,再向右平移 a 个单位而得到的 ( f (a ? x) ? f [ ?( x ? a)]) 。
(6)函数 y ? f (a ? x) 的图象与函数 y ? f (a ? x) 的图象关于 y 轴对称。 ( 7 )函数 y ? f ( x) 满足f (a ? x) ? f (a ? x) 时,函数 y ? f ( x) 的图象本身关于直线

x ? a 成 轴 对 称 图 形 。 这 里 要 注 意 区 别 y ? f (a ? x) 与y ? f (a ? x) 间 的 关 系 ,
y ? f (a ? x) 与y ? f (a ? x) 代表两个不同的函数,而满足 f (a ? x) ? f (a ? x) 时,说明
函数 y ? f ( x) 自身具有的性质,是一个函数而不是两个函数。
2

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(8)函数 y ? f ( x ? a) 的图象与函数 y ? f (a ? x) 的图象关于直线 x ? a 对称。 (9)满足 f ( x ? a) ? f (a ? x) 的函数y ? f ( x) 是偶函数,图象关于 y 轴对称。

f ( x) ? f [( x ? a) ? a] ? f [a ? ( x ? a)] ? f (? x) 或



(10)满足 f (a ? x) ? ? f (a ? x) 的函数y ? f ( x) 的图象关于点(a,0)对称。 4)翻折变换 (1) 函数 y ?| f ( x) | 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像的 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴 上方,去掉原 x 轴下方部分,并保留 y ? f ( x) 的 x 轴上方部分即可得到; (2)函数 y ? f (| x |) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代 原 y 轴左边部分并保留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部分即可得到. 5)伸缩变换 (1)函数 y ? af ( x) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点横坐标不变纵 坐标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的 a 倍得到; (2)函数 y ? f (ax) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点纵坐标不变横 坐标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的

1 倍得到. a

6)周期变换:函数 y ? f ( x) 满足f (a ? x) ? f ( x ? a) 时,说明函数 y ? f ( x) 的图象具有周 期性,且周期为 T ? 2a,这是因为f (2a ? x) ? f [a ? (a ? x)] ? f [( x ? a) ? a] ? f ( x) 。

(二)高考考点训练与课堂演练
【考点 1】函数图象的画法:以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图 象变换法,运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线.要把表 列在关键处,要把线连在恰当处.这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋 势等作一个大概的研究.而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段。用 图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换, 以及确定怎样的变换。 【例 1】作出下列函数的图象: (1)y= (lgx+|lgx|)
1 2

(2)y=

2x ?1 x ?1

(3)y= ( )

1 2

|x|

3

内部精品资料 解: (1)y= ? (2)由 y=
?0 (0 ? x ? 1). ?lg x ( x ? 1).

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1 2x ?1 ,得 y= +2. x ?1 x ?1

作出 y=

1 1 的图象,将 y= 的图象向右平移一个单位,再 x x

向上平移 2 个单位得 y=
1 2
x

1 +2 的图象. x ?1

(3)作出 y=( ) 的图象,保留 y=( ) 图象中 x≥0 的部分,加上 y=( ) 的图象 中 x>0 的部分关于 y 轴的对称部分,即得 y=( )
1 2
|x|

1 2

x

1 2

x

.其图象依次如下:

【训练 1】作出下列各个函数的图象: (1)y=2-2 ; (2)y=|log (1-x)|;
1 2

x

(3)y=
x

2x ?1 . x ?1

解: (1)由函数 y=2 的图象关于 x 轴对称可得到 y=-2 的图象,再将图象向上平移 2 个单 位,可得 y=2-2 的图象.如图甲. (2)由 y=log x 的图象关于 y 轴对称,可得 y=log (-x)的图象,再将图象向右平移 1
1 2 1 2

x

x

个单位, 即得到 y=log (1-x).然后把 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方, 可得到 y=|log (1-x)
1 2 1 2

|的图象.如图乙. (3)y=
2x ?1 3 ? 2? . x ?1 x ?1 3 的图象,如图丙中的虚线部分, x

先作出 y=-

然后将图象向左平移 1 个单位, 向上平移 2 个单位即得到所求图象.如图丙所示的实线部分. 【例 2】已知函数 f(x)= 解: (1)f(x)= x 1+x (1)画出 f(x)的草图; (2)指出 f(x)的单调区间.

x x =1,函数 f(x)的图象是 1+x x+1

1 由反比例函数 y=-x 的图象向左平移 1 个单位后, 再向上平移 1 个单位得到,图象如图所示. (2)由图象可以看出,函数 f(x)有两个单调递增区间:(-∞,-1),(-1,+∞).
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【训练 2】已知函数 f (x ) = ? í

2 ì ? ? 3 - x x ? [ 1, 2] ? x - 3 x (2, 5] ? ? ?

(1)在如图给定的直角坐标系内画出 f(x)的图象; (2)写出 f(x)的单调递增区间. 解: (1)函数 f(x)的图象如图所示., (2)由图象可知,函数 f(x)的单调递增区间为[-1,0],[2,5].

【训练 3】作函数 f(x)= ?

? x(1 ? x), ( x ? 1), 的图象,并写出它的单调递增区间和递减区间. log x , ( x ? 1 ), ? 2
1 ),(1,+∞); 2

解析:图象如右图所示,单调增区间为(-∞, 单调减区间为(

1 ,1]. 2
2

【训练 4】设函数 f(x)=x -2|x|-1 (-3≤x≤3). (1)证明:f(x)是偶函数; (2)画出函数的图象; (3)指出函数 f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上 f(x) (4)求函数的值域. (1)证明 f(-x)=(-x) -2|-x|-1
2 2 2 2 2

=x -2|x|-1=f(x),
2

即 f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.

(2)解: 当 x≥0 时,f(x)=x -2x-1=(x-1) -2, 当 x<0 时,f(x)=x +2x-1=(x+1) -2, 即 f (x ) = ? í
2 ì ? (0 #x ? (x - 1) - 2 2 ? (x + 1) - 2 (- 3 ? x ? ? ?

3) 0)

根据二次函数的作图方法,可得函数图象如图所示. (3)解: 函数 f(x)的单调区间为[-3,-1) , [-1,0) , [0,1) , [1,3]. f(x)在区间[-3,-1)和[0,1)上为减函数,在[-1,0) , [1,3]上为增函数.(4) 解: 当 x≥0 时,函数 f(x)=(x-1) -2 的最小值为-2,最大值为 f(3)=2; 当 x<0 时,函数 f(x)=(x+1) -2 的最小值为-2,最大值为 f(-3)=2; 故函数 f(x)的值域为[-2,2].
5
2 2

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【考点 2】函数图象的识别:通过对函数解析式的形式了解函数的图象的特点,在识别上可 以采用特殊的原则,去寻找特殊点和特殊位置等方法;在图象变换的问题上,需要依据变 换的方法对函数的图象进行变换,而得到函数的图象;现在有一类很常见的的题型是和实 际的生活相联系的问题,对于这样的问题首先需要我们把它转化成数学问题去进行思考。 1 【例 3】 (1)函数 f(x)= -x 的图象关于( x A、y 轴对称 B、直线 y=-x 对称 ) D、直线 y=x 对称

C、坐标原点对称

解析:选 C.∵f(x)的定义域{x∈R|x≠0},关于原点对称, 又 f(-x)= 1 1 -(-x)=-(x-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数,其图象关于原点对称.故选 C. -x

?2 x ( x ? 1), ? (2)已知函数 f(x)= ?log x( x ? 1), 则函数 y=f(1-x)的图象是图中的( 1 ? ? 2



解析:当 1-x≤1 即 x≥0 时,f(1-x)=21-x; 当 1-x>1 即 x<0 时,f(1-x)= log 1 (1-x).
2

1 x ? 1? x ?2 ? 2 ? ( 2 ) ( x ? 0), ∴f(1-x)= ? 故选 D. log ( 1 ? x )( x ? 0 ). ? 1 ? 2
【训练 5】 (1)设 a<b,函数 y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( )

解析:由已知条件可知: x y (-∞,a) - a 0 (a,b) - b 0 (b,+∞) +

答案:C

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(2)设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],若当 x∈[0,5]时, f(x)的图象如图,则不等式 f(x)<0 的解集是________. 解析:由奇函数图象的特征可得 f(x)在 [-5,5]上的图象. 由图象可解出结果. 答案:{x|-2<x<0 或 2<x≤5} (3)函数 y=ln(1-x)的图象大致为( )

解析:选 C.本题中由于我们比较熟悉 y=lnx 的图象,它的图象是位于 y 轴右边过点(1,0)且 有上升趋势的图象.接着 y=ln(-x)的图象是由 y=lnx 的图象关于 y 轴翻折到 y 轴左边所 得.再将所翻折图象向右移一个单位即得 y=ln[-(x-1)]=ln(1-x)的图象. (4)如下图所示,向高为 H 的水瓶 A, B, C , D 同时以等速注水,注满为止;

( A)

(B)

(C )

( D)
; ; ;

1)若水深 h 与注水时间 t 的函数图象是下图中的 a ,则水瓶的形状是 C 2)若水量 v 与水深 h 的函数图像是下图中的 b ,则水瓶的形状是

A

3)若水深 h 与注水时间 t 的函数图象是下图中的 c ,则水瓶的形状是 D

4)若注水时间 t 与水深 h 的函数图象是下图中的 d ,则水瓶的形状是 B . v h t h

( A)

t

(B)

h

(C )

t

( D)

h

(5)一水池有 2 个进水口,1 个出水口,进出水速度如下图甲、乙所示.某天 0 点到 6 点, 该水池的蓄水量如下图丙所示.(至少打开一个水口) 给出以下 3 个论断: ① 0 点到 3 点只进水不出水; ② 3 点到 4 点不进水只出水;
7

内部精品资料 ③ 4 点到 6 点不进水不出水;

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则一定能确定正确的论断序号是________.

解析:由题中图丙,可知 0 点到 3 点时水增加速度等于 2 个进水口的进水速度,则①正确; 3 点到 4 点时“一进一出”,所以②错误;③与已知(至少打开一个水口)不符.答案:① 【考点 3】函数图象的应用:有关函数图象的应用在前面的几个知识点当中有适当的涉及, 函数的图象在我们函数有关问题的解决中是有着相当重要的作用,起着直观,简洁,化繁 为简的作用。 【例 4】若 1<x<3,a 为何值时,x2-5x+3+a=0 有两解、一解、无解? 解:原方程化为:a=-x2+5x-3,①,作出函数 y=-x2+5x-3(1<x<3)的图象如图. 显然该图象与直线 y=a 的交点的横坐标是方程①的解, 由图可知:当 3<a< 当 1<a≤3 或 a= 13 时,原方程有两解; 4

13 时,原方程有一解; 4

13 当 a> 或 a≤1 时,原方程无解. 4 【训练 6】 (1)若曲线|y|=2x+1 与直线 y=b 没有公共点, 则 b 的取值范围是________. 解析:曲线|y|=2x+1 与直线 y=b 的图象如图所示. 由图象可得|y|=2x+1 与直线 y=b 没有公共点, 则 b 应满足的条件是 b∈[-1,1]. (2)已知函数 y=f(x)(x∈R)满足 f(x+2)=f(x),且 x∈(-1,1]时,f(x)=|x|, 则 y=f(x)与 y=log7x 的交点的个数为( A、4 B、5 C、6 D、7 )

解析:y=f(x)与 y=log7x 的交点即为图象的交点如图, 由图象可知有 6 个交点. 答案:C

【训练 7】已知函数 y=f(x)的定义域为 R,并且满足 f(2+x)=f(2-x). (1)证明函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称; (2)若 f(x)又是偶函数,且 x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,求 x∈[-4,0]时的 f(x)的表达式. (1)证明:设 P(x0,y0)是函数 y=f(x)的图象上任意一点,则 y0=f(x0).
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点 P 关于直线 x=2 的对称点 P′的坐标应为(4-x0,y0). ∵f(4-x0)=f[2+(2-x0) ]=f[2-(2-x0)]=f(x0)=y0. ∴点 P′也在函数 y=f(x)的图象上 ∴函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称.

(2)解析:由 f(x)=2x-1,x∈[0,2]及 f(x)为偶函数,得 f(x)=f(-x)=-2x-1,x∈[-2,0] ; 当 x∈[2,4]时,由 f(x)图象关于 x=2 对称,用 4-x 代入 f(x)=2x-1, 得 f(4-x)=f(x)=2(4-x)-1=-2x+7,x∈[2,4],再由 f(x)为偶函数, 得 f(x)=2x+7,x∈[-4,-2] (三)课堂小结 故 f(x)= ?

? 2 x ? 7 x ? [?4,?2], ?? 2 x ? 1 x ? (?2,0].

(四)高考演练 1、 (09 福建文科)定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 的部分图像如右图所示, 则在 ? ?2,0 ? 上,下列函数中与 f ? x ? 的单调性不同的是( A、 y ? x ? 1
2



B、 y ?| x | ?1
x ? ?e , x ? o y ? D、 ? ?x ? ?e , x ? 0

?2 x ? 1, x ? 0 C、 y ? ? 3 ? x ? 1, x ? 0

9

内部精品资料 2、 (2010 山东)函数 y ? 2 x ? x 2 的图像大致是(

嘴里说的人生,就是自己以后的人生!



【解析】因为当 x=2 或 4 时,2 - x =0,所以排除 B、C;当 x=-2 时,2 - x =

x

2

x

2

1 ? 4<0 , 4

故排除 D,所以选 A。由题意知 2、4 是函数的零点,所以排除 B、C;当 x ??? 时,根据 指数函数与幂函数图象的变换趋势知 y ? 0 ,故选 A。 本题考查函数的图象,考查同学们 对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力。 3、函数 f ? x ? ?

4x ? 1 的图象( 2x

) C、关于 x 轴对称 D、关于 y 轴对称

A、关于原点对称

B、关于直线 y=x 对称

4?x ? 1 1 ? 4 x ? ? f ( x) 解析: f (? x) ? 2?x 2x
4、函数 y=log2

? f ( x) 是偶函数,图像关于 y 轴对称

2? x 的图象( 2? x

) C、关于 y 轴对称 D、关于直线 y=x 对称

A、关于原点对称 B、关于直线 y =x 对称 解析:∵f(x)=log2

2? x 2? x 2? x , ∴f(-x)=log2 =-log2 ,∴f(-x)=-f(x), 2? x 2? x 2? x
答案:A
2

∴f(x)是奇函数,关于原点对称.

5、把函数 y=f(x)=(x-2) +2 的图象向左平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图 象对应的函数的解析式是 ( A、y =(x-3)2+3 ) C、y =(x-1)2+3 D、y =(x-1)2+1

B、y =(x-3)2+1

解析: 把函数 y=f(x)的图象向左平移 1 个单位, 即把其中 x 换成 x+1, 于是得 y=[(x+1) - 2]2+2=(x-1)2+2,再向上平移 1 个单位,即得到 y=(x-1)2+2+1=(x-1)2+3 答:C 6、 (05 福建文科)把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题: 若函数 f ( x) ? 3 ? log2 x 的图象与 g ( x) 的图象关于 对称,则函数 g ( x) =

7、要得到 y ? lg(3 ? x) 的图像,只需作 y ? lg x 关于_____轴对称的图像,再向____平移 3
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个单位而得到。

答案: (1) y (2)右 (2)y=x-|x-1|.

8、作出下列函数的图象: (1)y=10|lgx|; 解: (1)因 log x ? ?

?log x,log, x ≥ 1, ? ? log,0 ? x ? 1,
1 ? lg x = .故 y ? 10 ? ?1 x ? , 0 ? x ? 1.

? x , x ≥ 1, ?x

当 x≥1 时,10

|lgx|

=10 =x;当 0<x<1 时,y=10

lgx

-lgx

根据直线与反比例函数直接作出该分段函数的图象,如图(1)所示. (2)根据绝对值的意义,可将函数式化为分段函数 y ? ? 可见其图象是由两条射线组成,如图(2)所示.

?1 ?2 x ? 1

x ≥ 1, x ? 1.

9、 (1)作函数 y=|x-x2|的图象; (2)作函数 y=x2-|x|的图象. 1 1 -(x- )2+ ,0≤x≤1, ?x-x2,0≤x≤1, 2 4 ? 解:(1)y=? 即 y= 2 1 1 ?-(x-x ),x>1或x<0, ? (x- )2- ,x>1或x<0, 2 4

? ? ?

其图象如图①所示.

2 ? ?x -x,x≥0, ? (2)y= 2 即 y= ?x +x,x<0, ?

?(x-2) -4,x≥0, ? 1 1 ?(x+2) -4,x<0,
2 2

1

1

其图象如图②所示. 1 10、已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+x+2 的图象关于点 A(0,1)对称. (1)求 f(x)的解析式; a (2)若 g(x)=f(x)+ ,且 g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围 x 解:(1)设 f(x)图象上任一点 P(x,y),则点 P 关于(0,1)点的对称点 P′(-x,2-y)在 h(x)的图 1 1 象上,即 2-y=-x-x+2,∴y=f(x)=x+x(x≠0).
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a+1 a+1 a (2)g(x)=f(x)+x=x+ x ,g′(x)=1- 2 .∵g(x)在(0,2]上为减函数, x a+1 ∴1- 2 ≤0 在(0,2]上恒成立,即 a+1≥x2 在(0,2]上恒成立,∴a+1≥4, x 即 a≥3,a 的取值范围是[3,+∞).

八、教学反思:

12


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一次函数 中考复习教案附练习试卷(含答案)

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