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柱锥台表面积和体积


1.3.1 柱体、锥体、 台体的表面积和体积

柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱 正方体、 以前学过特殊的棱柱 正方体 的体积公式,它们的体积公式可以统一为: 的体积公式,它们的体积公式可以统一为: 为底面面积, 为高 为高). ( 为底面面积 V = Sh S为底面面积,h为高).

一般棱柱体积也是: 一般棱柱体积也是:

V = Sh
其中S为底面面积, 为棱柱的高 为棱柱的高. 其中 为底面面积,h为棱柱的高. 为底面面积

圆锥体积

圆锥的体积公式: 圆锥的体积公式:

1 圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 . 3

1 V = Sh 3

其中S为底面面积 为底面面积, 为高 为高) (其中 为底面面积,h为高)

棱锥体积
探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系. 探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系.

三棱锥与同底等高的三棱柱的关系

锥体体积
经过探究得知, 经过探究得知,棱锥也是同底等高的棱柱体积 1 即棱锥的体积: 的 .即棱锥的体积: 3

1 其中S为底面面积 为底面面积, 为高 为高) V = Sh(其中 为底面面积,h为高) 3
由此可知,棱柱与圆柱的体积公式类似, 由此可知,棱柱与圆柱的体积公式类似,都是底 面面积乘高;棱锥与圆锥的体积公式类似, 面面积乘高;棱锥与圆锥的体积公式类似,都是等于 1 底面面积乘高的 . 3

台体体积
根据台体的特征,如何求台体的体积? 根据台体的特征,如何求台体的体积? 由于圆台(棱台)是由圆锥( 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱 截成的, 锥)截成的,因此可以利用两个锥 体的体积差.得到圆台(棱台) 体的体积差.得到圆台(棱台)的 体积公式(过程略) 体积公式(过程略).
A′

P
D′

S′

C′

B′

h
A
S

D

V = VP ? ABCD ? VP ? A′B′C ′D′
1 = ( S ′ + S ′S + S )h 3

C
B

台体体积

棱台(圆台) 棱台(圆台)的体积公式

1 V = (S′ + S′S + S)h 3 分别为上、下底面面积, 为圆台 其中 S , S ′ 分别为上、下底面面积,h为圆台
(棱台)的高. 棱台)的高.

台体体积
柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系? 柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系?

上底扩大

上底缩小

V = Sh

S′ = 0

S为底面面积, 为底面面积, 为底面面积 h为锥体高 为锥体高

S′ = S 1 1 V = Sh V = (S′ + S′S + S)h 3 3 S为底面面积, 为底面面积, 为底面面积 S分别为上、下底面 分别为上、 分别为上 h为柱体高 为柱体高 面积, 面积,h 为台体高

典型例题
有一堆规格相同的铁制( 例1 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8 g / cm 3 )六角螺帽共重 六角螺帽共重5.8kg,已知底面是正六边 , 边长为12mm,内孔直径为 形,边长为 ,内孔直径为10mm,高为 ,高为10mm, , 问这堆螺帽大约有多少个( 问这堆螺帽大约有多少个( π 取3.14)? )? 解:六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差, 的体积与圆柱体积之差,即: 3 10 2 2 V= ×12 × 6 ×10 ? 3.14 × ( ) ×10 4 2 ≈ 2956(mm3 )
= 2.956(cm3 )

所以螺帽的个数为 5.8 ×1000 ÷ (7.8 × 2.956) ≈ 252 个) ( 这堆螺帽大约有252 252个 答:这堆螺帽大约有252个.

圆柱的表面积
r O′

l
O

2r π

圆柱的侧面展开图是矩形

S圆柱表面积 = 2πr + 2πrl = 2πr (r + l )
2

圆锥的表面积

2r π

l

r

O
2

圆锥的侧面展开图是扇形

S圆锥表面积 = πr + πrl = πr (r + l )

圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图, 参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象圆台的侧 面展开图是什么 .

r'O’
l

2πr'

2r π

r

O
2 2

圆台的侧面展开图是扇环

S圆台表面积 = π (r ′ + r + r ′l + rl )

三者之间关系
圆柱、圆锥、 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系?

r O′

r'O’

l
O

r’=r =
上底扩大

l

r’=0 =
上底缩小

l

r

O

r

O

S柱 = 2πr (r + l )

′2 + r 2 + r ′l + rl ) S 锥 = πr (r + l ) S台 = π (r

典型例题
如图,一个圆台形花盆盆口直径20 cm, 例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径20 cm,盆 底直径为15cm 底部渗水圆孔直径为1.5 cm, 15cm, 底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米( 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米( π 取 3.14,结果精确到1 3.14,结果精确到1 cm 2 )? 20cm 解:由圆台的表面积公式得 花盆的表面积: 花盆的表面积:
2 15cm ?? 15 ? 2 15 ? 20 ? 1.5 ? S = π ?? ? + ×15 + × 15? ? π ? ? 2 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? ? ?

15cm

≈ 999(cm 2 )
cm 2 . 花盆的表面积约是999 答:花盆的表面积约是999

提出问题
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积, 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积,你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗? 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗?

几何体表面积

展开图

平面图形面积 平面问题

空间问题

正方体、长方体是由多个平面围成的几何体, 正方体、长方体是由多个平面围成的几何体,它 们的表面积就是各个面的面积的和. 们的表面积就是各个面的面积的和. 因此,我们可以把它们展成平面图形, 因此,我们可以把它们展成平面图形,利用平面 图形求面积的方法,求立体图形的表面积. 图形求面积的方法,求立体图形的表面积.

棱柱、棱锥、 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 它们的展开图是什么?如何计算它们的表面积? 体,它们的展开图是什么?如何计算它们的表面积?

棱柱的展开图
棱柱的侧面展开图是什么? 棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积? 面积?

h

正棱柱的侧面展开图

棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么? 棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积? 面积?

正棱锥的侧面展开图

h

/

h

/

棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么? 棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积? 面积?

侧面展开

h'

正棱锥的侧面展开图

h'

棱台的展开图
棱台的侧面展开图是什么? 棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积? 面积?

侧面展开
h'

h'

正棱台的侧面展开图

棱柱、棱锥、 棱柱、棱锥、棱台的表面积

h'

h'

棱柱、棱锥、 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 它们的侧面展开图还是平面图形,计算它们的表面 体,它们的侧面展开图还是平面图形,计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和. 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和.

典型例题
已知棱长为a, 例3 已知棱长为 ,各面均为等边三角形的四面 和体积. 体S-ABC,求它的表面积 和体积. , 分析: 分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成. 组成. S 的面积,过点S作 解:先求 ?ABC的面积,过点 作 SD ⊥ BC, 于点D. 交BC于点 . 于点 A B D C

3 因为BC=a,SD = SB ? sin 60 = a 因为 , 2
o

S 所以: 所以: ?ABC

1 1 3 3 2 a= a = BC ? SD = a × 2 2 2 4

因此,四面体S - ABC的表面积为 3a 2

知识小结
柱体 V = Sh

S = S'
柱体、锥体、台体的体积 柱体、锥体、
1 台体 V = (S′ + S′S + S)h 3

S'= 0

1 锥体V = Sh 3

知识小结
圆柱 S = 2πr (r + l )

r = r′
柱体、锥体、 柱体、锥体、台体的表面积 圆台S = π (r ′2 + r 2 + r ′l + rl )

r′ = 0
展开图 圆锥 S = πr (r + l )

各面面积之和



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