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2014届高中数学步步高大一轮复习讲义第八章8.5


数学

北(理)

§8.5 直线、平面垂直的 判定与性质
第八章 立体几何

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
1.两个平面垂直的性质定理

1.直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法. ②利用判定定理:一条直线和一 个平面

内的两条 相交 直线都垂 直,则该直线和此平面垂直. ③推论:如果在两条平行直线中, 有一条垂直于一个平面,那么另 一条直线也 垂直 这个平面.
基础知识 题型分类

两个平面垂直的性质定 理,即如果两个平面垂 直,那么在一个平面内 垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面是作 点到平面距离的依据, 要过平面外一点 P 作平 面的垂线,通常是先作 (找)一个过点 P 并且和 α 垂直的平面 β,设 β∩α =l, 在 β 内作直线 a⊥l, 则 a⊥α.
练出高分

思想方法

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
1.两个平面垂直的性质定理

(2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面, 则垂直于平面 内 任意 直线. ②垂直于同一个平面的两条直线
平行 .

③垂直于同一条直线的两平面
平行 .

两个平面垂直的性质定 理,即如果两个平面垂 直,那么在一个平面内 垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面是作 点到平面距离的依据, 要过平面外一点 P 作平 面的垂线,通常是先作 (找)一个过点 P 并且和 α 垂直的平面 β,设 β∩α =l, 在 β 内作直线 a⊥l, 则 a⊥α.
练出高分

基础知识

题型分类

思想方法

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
1.两个平面垂直的性质定理

2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的判定方法 ①定义法. ②利用判定定理:一个平面过另 一个平面的 垂线 ,则这两个平 面垂直. (2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直,则一个平面内垂直 于 交线 的直线垂直于另一个 平面.
基础知识 题型分类

两个平面垂直的性质定 理,即如果两个平面垂 直,那么在一个平面内 垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面是作 点到平面距离的依据, 要过平面外一点 P 作平 面的垂线,通常是先作 (找)一个过点 P 并且和 α 垂直的平面 β,设 β∩α =l, 在 β 内作直线 a⊥l, 则 a⊥α.
练出高分

思想方法

基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
2.两平面垂直的判定

3.二面角的有关概念 (1)二面角:从一条直线出发的
两个半平面 所 组 成 的 图 形 叫

(1)两个平面所成的二面 角是直角; (2)一个平面经过另一平 面的垂线.

作二面角. (2)二面角的平面角: 二面角棱上 的一点, 在两个半平面内分别作 与棱 垂直 的射线,则两射线所 成的角叫作二面角的平面角.
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
垂直

解析

4
可填①③④?②与②③④?①中的一个
C D

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 如图所示, 在 四棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD, ∠ABC = 60° , PA = AB=BC,E 是 PC 的中点. 证明:(1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面 ABE.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 如图所示, 在 四棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD, ∠ABC = 60° , PA = AB=BC,E 是 PC 的中点. 证明:(1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面 ABE.

第(1)问通过 DC⊥平面 PAC 证 明;也可通过 AE⊥平面 PCD 得到结论;第(2)问利用线面垂 直的判定定理证明直线 PD 与 平面 ABE 内的两条相交直线 垂直.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 如图所示, 在 四棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD, ∠ABC = 60° , PA = AB=BC,E 是 PC 的中点. 证明:(1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面 ABE.

证明

(1)在四棱锥 P—ABCD 中,

∵PA⊥底面 ABCD,CD 平面 ABCD,

∴PA⊥CD.∵AC⊥CD, PA∩AC =A, ∴CD⊥平面 PAC.

而 AE 平面 PAC,∴CD⊥AE. (2)由 PA=AB=BC,∠ABC=60° ,

可得 AC=PA.

∵E 是 PC 的中点,∴AE⊥PC.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 如图所示, 在 四棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD, ∠ABC = 60° , PA = AB=BC,E 是 PC 的中点. 证明:(1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面 ABE.

由(1), 知 AE⊥CD, 且 PC∩CD =C, ∴AE⊥平面 PCD.

而 PD 平面 PCD,∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面 ABCD,∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD 且 PA∩AD=A,

∴AB⊥平面 PAD,而 PD 平面 PAD, ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A, ∴PD⊥平面 ABE.

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基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】 如图所示, 在 四棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD, AB⊥AD,AC⊥CD, ∠ABC = 60° , PA = AB=BC,E 是 PC 的中点. 证明:(1)CD⊥AE; (2)PD⊥平面 ABE.

破解此类问题的关键在于熟练 把握空间垂直关系的判定与性 质, 注意平面图形中的一些线线 垂直关系的灵活利用, 这是证明 空间垂直关系的基础.由于“线 线垂直” 、 “线面垂直” 、 “面面垂 直”之间可以相互转化,因此整 个证明过程围绕着线面垂直这 个核心而展开, 这是化解空间垂 直关系难点的技巧所在.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 1 西 )(1) 如图 所示, 证明 命题“a 是平面 π 内的 (2012· 陕

(1)证明

方法一 如图,

过直线 b 上任一点作平面 π 的垂线 n,设直线 a,b,c,n 的方向向量分 别是 a,b,c,n,则 b,c,n 共面.

一条直线, b 是 π 外的一 根据平面向量基本定理, 存在实数 λ, μ 使得 条直线(b 不垂直于 π), c c=λb+μn, 是直线 b 在 π 上的投影, 则 a· c=a· (λb+μn)=λ(a· b)+μ(a· n). 若 a⊥b, 则 a⊥c”为真; 因为 a⊥b,所以 a· b=0. n=0. (2)写出上述命题的逆命 又因为 a π,n⊥π,所以 a· 题,并判断其真假(不需 证明).

故 a· c=0,从而 a⊥c.
方法二 如图,

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 1 (2012· 陕 西 )(1) 如图 所示, 证明命题“a 是平 面 π 内的一条直线, b 是 π 外的一条直线(b 不 垂直于 π),c 是直线 b

记 c∩b=A,P 为直线 b 上异于点 A 的任意一 点,过 P 作 PO⊥π,垂足为 O,则 O∈c. 因为 PO⊥π,a π, 所以直线 PO⊥a. 又 a⊥b, b 平面 PAO, PO∩b=P, 所以 a⊥
平面 PAO. 又 c 平面 PAO,所以 a⊥c.

在 π 上的投影, 若 a⊥b, (2)解 逆命题为 a 是平面 π 内的一条直线, b 是 π 外的一条直线(b 不垂直于 π), 则 a⊥c”为真; (2)写出上述命题的逆命 题,并判断其真假(不需 证明).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

c 是直线 b 在 π 上的投影, 若 a⊥c, 则 a⊥b. 逆命题为真命题.

题型分类·深度剖析
题型二 平面与平面垂直的判定与性质
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 (2012· 江苏)如图,在直三棱 柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1=A1C1, D,E 分别是棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点. 求证: (1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 平面与平面垂直的判定与性质
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 (2012· 江苏)如图,在直三棱 柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1=A1C1, D,E 分别是棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点. 求证: (1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE.

(1)证明两个平面垂直, 关键是在 一个平面内找到另一个平面的 一条直线; (2)两个平面垂直的性 质是证明的突破点.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 平面与平面垂直的判定与性质
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 (2012· 江苏)如图,在直三棱 柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1=A1C1, D,E 分别是棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点. 求证: (1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)直线 A1F∥平面 ADE.

证明

(1)因为 ABC-A1B1C1 是

直三棱柱,
所以 CC1⊥平面 ABC.
又 AD 平面 ABC, 所以 CC1⊥AD.
又因为 AD⊥DE,CC1,DE 平面 BCC1B1,CC1∩DE=E, 所以 AD⊥平面 BCC1B1.又 AD 平 面 ADE, 所以平面 ADE⊥平面 BCC1B1. (2)因为 A1B1=A1C1,F 为 B1C1 的 中点,

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 平面与平面垂直的判定与性质
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 (2012· 江苏)如图,在直三棱 柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1=A1C1, D,E 分别是棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点.

所以 A1F⊥B1C1. 因为 CC1⊥平面 A1B1C1, 且 A1F

平面 A1B1C1, 所以 CC1⊥A1F. 又因为 CC1, B1C1 平面 BCC1B1,

求证: (1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; CC1∩B1C1=C1, 所以 A1F⊥平面 BCC1B1. (2)直线 A1F∥平面 ADE. 由(1)知 AD⊥平面 BCC1B1,所以
A1F∥AD. 又 AD 平面 ADE , A1F
ADE, 所以 A1F∥平面 ADE.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

平面

题型分类·深度剖析
题型二 平面与平面垂直的判定与性质
思维启迪 解析 探究提高

【例 2】 (2012· 江苏)如图,在直三棱 D,E 分别是棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点. (2)直线 A1F∥平面 ADE.

柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1=A1C1, 面面垂直的关键是线面垂直,线

面垂直的证明方法主要有判定定 理法、 平行线法(若两条平行线中 一条垂直于这个平面,则另一条 质定理法.

求证: (1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1; 也垂直于这个平面)、 面面垂直性

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 2 (2011· 江苏) 如图,在四 棱锥 P- ABCD 中, 平 面

证明 (1)如图,在△PAD 中,

因为 E,F 分别为 AP,AD 的中点,所以 EF∥PD.

又因为 EF 平面 PCD,

PAD⊥ 平 面 PD 平面 PCD, ABCD , AB = AD , 所以直线 EF∥平面 PCD. ,所 ∠BAD=60° ,E,F 分 (2)连接 BD.因为 AB=AD,∠BAD=60° 别是 AP,AD 的中点. 以△ABD 为正三角形. 因为 F 是 AD 的中点,所以 BF⊥AD. 求证:(1)直线 EF∥平 因为平面 PAD⊥平面 ABCD,BF 平面 ABCD, 面 PCD; 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 所以 BF⊥平面 PAD. (2) 平 面 BEF⊥ 平 面 因为 BF 平面 BEF,所以平面 BEF⊥平面 PAD. PAD.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

线面、面面垂直的综合应用
如图所示,在四棱锥
思维启迪 解析

探究提高

P—ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等 边三角形, 已知 BD=2AD=8, AB=2DC=4 5.

(1)设 M 是 PC 上的一点, 求证: 平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

线面、面面垂直的综合应用
如图所示,在四棱锥
思维启迪 解析

探究提高

P—ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等 边三角形, 已知 BD=2AD=8, AB=2DC=4 5.
(1)因为两平面垂直与 M 点位置无 关,所以在平面 MBD 内一定有一 条直线垂直于平面 PAD,考虑证明 BD⊥平面 PAD. (2)四棱锥底面为一梯形,高为 P 到 面 ABCD 的距离.

(1)设 M 是 PC 上的一点, 求证: 平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

线面、面面垂直的综合应用
如图所示,在四棱锥
思维启迪 解析

探究提高

P—ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等 AB=2DC=4 5.

(1)证明

在△ABD 中,∵AD=4,

BD=8,AB=4 5, 边三角形, 已知 BD=2AD=8, ∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD.

又∵面 PAD⊥面 ABCD, 面 PAD∩ 面 ABCD=AD,
BD 面 ABCD,∴BD⊥面 PAD. 又 BD 面 BDM,

(1)设 M 是 PC 上的一点, 求证: ∴面 MBD⊥面 PAD. 平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

线面、面面垂直的综合应用
如图所示,在四棱锥
思维启迪 解析

探究提高

P—ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等 AB=2DC=4 5.

(2)解 过 P 作 PO⊥AD, ∵面 PAD⊥面 ABCD,
即 PO 为四棱锥 P—ABCD 的高.
又△PAD 是边长为 4 的等边三角形,

边三角形, 已知 BD=2AD=8, ∴PO⊥面 ABCD,

∴PO=2 3. 在底面四边形 ABCD 中,
(1)设 M 是 PC 上的一点, 求证: AB∥DC,AB=2DC, ∴四边形 ABCD 为梯形. 平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

线面、面面垂直的综合应用
如图所示,在四棱锥
思维启迪 解析

探究提高

P—ABCD 中, 平面 PAD⊥平面

在 Rt△ADB 中, 斜边 AB 边上的高 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等 4× 8 8 5 边三角形, 已知 BD=2AD=8, 为 4 5 = 5 ,
AB=2DC=4 5.

此即为梯形的高.

2 5+4 5 8 5 ∴S 四边形 ABCD= × 5 =24. 2 1 ∴VP—ABCD=3×24×2 3=16 3.
(1)设 M 是 PC 上的一点, 求证: 平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

线面、面面垂直的综合应用
如图所示,在四棱锥
思维启迪 解析

探究提高

P—ABCD 中, 平面 PAD⊥平面

当两个平面垂直时,常作的辅助线 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等 是在其中一个面内作交线的垂线, 边三角形, 已知 BD=2AD=8, 把面面垂直转化为线面垂直,进而 可以证明线线垂直. AB=2DC=4 5.

(1)设 M 是 PC 上的一点, 求证: 平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 如图所示,已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 为正方形,E 为线段 AD1 的中点,F 为线 段 BD1 的中点, D1D (1)求证:EF∥平面 ABCD;(2)设 M 为线段 C1C 的中点,当 AD 的比 值为多少时,DF⊥平面 D1MB?并说明理由.

(1) 证 明

∵E 为 线 段 AD1 的 中 点 , F 为 线 段 BD1 的 中 点 ,

∴EF∥AB.∵EF 平面 ABCD,AB 平面 ABCD, ∴EF∥平面 ABCD. D1D (2)解 当 AD = 2时,DF⊥平面 D1MB. ∵ABCD 是正方形,∴AC⊥BD. D1D⊥平面 ABC,∴D1D⊥AC.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 如图所示,已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 为正方形,E 为线段 AD1 的中点,F 为线 段 BD1 的中点, D1D (1)求证:EF∥平面 ABCD;(2)设 M 为线段 C1C 的中点,当 AD 的比 值为多少时,DF⊥平面 D1MB?并说明理由.

∴AC⊥平面 BB1D1D,∴AC⊥DF.
∵F,M 分别是 BD1,CC1 的中点,∴FM∥AC.∴DF⊥FM.

∵D1D= 2AD,∴D1D=BD.∴矩形 D1DBB1 为正方形.

∵F 为 BD1 的中点,∴DF⊥BD1.
∵FM∩BD1=F,∴DF⊥平面 D1MB.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型四 线面角、二面角的求法
思维启迪 解析

【例 4】 如图,在四

探究提高

棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD , AB⊥AD, AC⊥CD, ∠ABC=60° ,PA= AB=BC,E 是 PC 的中点. (1)求 PB 和平面 PAD 所成的角 的大小; (2)证明 AE⊥平面 PCD; (3)求二面角 A—PD—C 的正 弦值.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型四 线面角、二面角的求法
思维启迪 解析

【例 4】 如图,在四

探究提高

棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD , AB⊥AD, AC⊥CD, ∠ABC=60° ,PA= AB=BC,E 是 PC 的中点. (1)求 PB 和平面 PAD 所成的角 的大小; (2)证明 AE⊥平面 PCD; (3)求二面角 A—PD—C 的正 弦值.
基础知识 题型分类

(1)先找出 PB 和平面 PAD 所成的 角,线面角的定义要能灵活运用; (2) 可以利用线面垂直根据二面角 的定义作角.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型四 线面角、二面角的求法
思维启迪 解析

【例 4】 如图,在四

探究提高

棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD , AB⊥AD, AC⊥CD, ∠ABC=60° ,PA= AB=BC,E 是 PC 的中点. (1)求 PB 和平面 PAD 所成的角 的大小; (2)证明 AE⊥平面 PCD; (3)求二面角 A—PD—C 的正 弦值.
基础知识 题型分类

(1)解 在四棱锥 P—ABCD 中, 因 PA⊥ 底 面 ABCD , AB 平 面

ABCD,
故 PA⊥AB.又 AB⊥AD, PA∩AD=A,

从而 AB⊥平面 PAD, 故 PB 在平面 PAD 内的投影为 PA, 从而∠APB 为 PB 和平面 PAD 所成 的角.
在 Rt△PAB 中,AB=PA,故∠APB =45° .
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型四 线面角、二面角的求法
思维启迪 解析

【例 4】 如图,在四

探究提高

棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD , AB⊥AD, AC⊥CD, ∠ABC=60° ,PA= AB=BC,E 是 PC 的中点. (1)求 PB 和平面 PAD 所成的角 的大小; (2)证明 AE⊥平面 PCD; (3)求二面角 A—PD—C 的正 弦值.
基础知识 题型分类

所以 PB 和平面 PAD 所成的角的大 小为 45° .
(2)证明 在四棱锥 P—ABCD 中,
因 PA⊥ 底 面 ABCD , CD 平 面 ABCD, 故 CD⊥PA. 由 条 件 CD⊥AC ,

PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC.

又 AE 平面 PAC,∴AE⊥CD. 由 PA=AB=BC,∠ABC=60° ,可
得 AC=PA.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型四 线面角、二面角的求法
思维启迪 解析

【例 4】 如图,在四

探究提高

棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD , AB⊥AD, AC⊥CD, ∠ABC=60° ,PA= AB=BC,E 是 PC 的中点. (1)求 PB 和平面 PAD 所成的角 的大小; (2)证明 AE⊥平面 PCD; (3)求二面角 A—PD—C 的正 弦值.
基础知识 题型分类

∵E 是 PC 的中点,∴AE⊥PC. 又 PC∩CD=C,综上得 AE⊥平面 PCD. (3)解 过点 E 作 EM⊥PD,垂足为 M, 连接 AM,如图所示.

由(2)知,AE⊥平面 PCD,AM 在平 面 PCD 内的投影是 EM, 则 AM⊥PD. 因此 ∠AME 是二面角 A—PD—C 的平面角.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型四 线面角、二面角的求法
思维启迪 解析

【例 4】 如图,在四

探究提高

棱锥 P—ABCD 中,

由已知,可得∠CAD=30° . 设 AC=a,可得 PA⊥底面 ABCD , 2 3 21 PA=a, AD= a,PD= a, AB⊥AD, AC⊥CD, 3 3 ∠ABC=60° ,PA= AB=BC,E AE= 2a. 2 是 PC 的中点. 在 Rt△ADP 中, (1)求 PB 和平面 PAD 所成的角 ∵AM⊥PD,∴AM· PD=PA· AD, 的大小; 2 3 a· 3 a (2)证明 AE⊥平面 PCD; PA· AD 2 7 则 AM= PD = = 7 a. 21 (3)求二面角 A—PD—C 的正 3 a 弦值.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型四 线面角、二面角的求法
思维启迪 解析

【例 4】 如图,在四

探究提高

棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD , AB⊥AD, AC⊥CD, ∠ABC=60° ,PA= AB=BC,E 是 PC 的中点. (1)求 PB 和平面 PAD 所成的角 的大小; (2)证明 AE⊥平面 PCD; (3)求二面角 A—PD—C 的正 弦值.
基础知识 题型分类

AE 在 Rt△AEM 中,sin∠AME=AM 14 = . 4

所以二面角 A—PD—C 的正弦值为 14 4 .

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型四 线面角、二面角的求法
思维启迪 解析

【例 4】 如图,在四

探究提高

棱锥 P—ABCD 中, PA⊥底面 ABCD , AB⊥AD, AC⊥CD, ∠ABC=60° ,PA= AB=BC,E 是 PC 的中点. (1)求 PB 和平面 PAD 所成的角 的大小; (2)证明 AE⊥平面 PCD; (3)求二面角 A—PD—C 的正 弦值.
基础知识 题型分类

(1)求直线与平面所成的角的一般步骤: ①找直线与平面所成的角,即通过找直 线在平面上的投影来完成; ②计算,要把直线与平面所成的角转化 到一个三角形中求解. (2) 作二面角的平面角可以通过垂线法 进行,在一个半平面内找一点作另一个 半平面的垂线,再过垂足作二面角的棱 的垂线,两条垂线确定的平面和二面角 的棱垂直,由此可得二面角的平面角.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 4 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BB1 与平面 ACD1 所成角的 余弦值为 2 A. 3
解析

( D ) 3 B. 3 2 C. 3 6 D. 3

如图,连接 BD 交 AC 于 O,连接 D1O,由于

BB1∥DD1,∴DD1 与平面 ACD1 所成的角就是 BB1 与 平面 ACD1 所成的角. 易知∠DD1O 即为所求. 设正方
2 6 则 DD1=1,DO= 2 ,D1O= 2 , DD1 2 6 ∴cos ∠DD1O=D O= = 3 . 6 1

体的棱长为 1,

6 ∴BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为 3 .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
答题规范 2.解答过程要规范

典 例 : (12 分 ) 如 图 所 示 , M , N , K 分 别 是 正 方 体

ABCD—A1B1C1D1 的棱 AB,CD,C1D1 的中点. 求证:(1)AN∥平面 A1MK;(2)平面 A1B1C⊥平面 A1MK.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题规范 2.解答过程要规范

典 例 : (12 分 ) 如 图 所 示 , M , N , K 分 别 是 正 方 体

ABCD—A1B1C1D1 的棱 AB,CD,C1D1 的中点. 求证:(1)AN∥平面 A1MK;(2)平面 A1B1C⊥平面 A1MK.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)要证线面平行,需证线线平行.(2)要证面面垂直,需证线面垂直,要证 线面垂直,需证线线垂直.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题规范 2.解答过程要规范

典 例 : (12 分 ) 如 图 所 示 , M , N , K 分 别 是 正 方 体

ABCD—A1B1C1D1 的棱 AB,CD,C1D1 的中点. 求证:(1)AN∥平面 A1MK;(2)平面 A1B1C⊥平面 A1MK.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

证明 (1)如图所示,连接 NK. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, ∵四边形 AA1D1D,DD1C1C 都为正方形,

∴AA1∥DD1,AA1=DD1,C1D1∥CD,C1D1=CD. ∵N,K 分别为 CD,C1D1 的中点, ∴DN∥D1K,DN=D1K,
∴四边形 DD1KN 为平行四边形.
基础知识 题型分类 思想方法

2分

3分

练出高分

题型分类·深度剖析
答题规范 2.解答过程要规范

典 例 : (12 分 ) 如 图 所 示 , M , N , K 分 别 是 正 方 体

ABCD—A1B1C1D1 的棱 AB,CD,C1D1 的中点. 求证:(1)AN∥平面 A1MK;(2)平面 A1B1C⊥平面 A1MK.

审 题 视 角
∴KN∥DD1,KN=DD1,
∴AA1∥KN,AA1=KN.

规 范 解 答

温 馨 提 醒

∴四边形 AA1KN 为平行四边形.∴AN∥A1K.

4分

∵A1K 平面 A1MK,AN 平面 A1MK,

∴AN∥平面 A1MK. (2)如图所示,连接 BC1.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,
基础知识 题型分类 思想方法

6分

练出高分

题型分类·深度剖析
答题规范 2.解答过程要规范

典 例 : (12 分 ) 如 图 所 示 , M , N , K 分 别 是 正 方 体

ABCD—A1B1C1D1 的棱 AB,CD,C1D1 的中点. 求证:(1)AN∥平面 A1MK;(2)平面 A1B1C⊥平面 A1MK.

审 题 视 角
AB∥C1D1,AB=C1D1.

规 范 解 答

温 馨 提 醒

∵M,K 分别为 AB,C1D1 的中点,∴BM∥C1K,BM=C1K. ∴四边形 BC1KM 为平行四边形.∴MK∥BC1.
8分

在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,A1B1⊥平面 BB1C1C,
BC1 平面 BB1C1C,∴A1B1⊥BC1.

∵MK∥BC1,∴A1B1⊥MK. ∵四边形 BB1C1C 为正方形,∴BC1⊥B1C.
基础知识 题型分类 思想方法

10分

练出高分

题型分类·深度剖析
答题规范 2.解答过程要规范

典 例 : (12 分 ) 如 图 所 示 , M , N , K 分 别 是 正 方 体

ABCD—A1B1C1D1 的棱 AB,CD,C1D1 的中点. 求证:(1)AN∥平面 A1MK;(2)平面 A1B1C⊥平面 A1MK.

审 题 视 角
∴MK⊥B1C.

规 范 解 答

温 馨 提 醒

∵A1B1 平面 A1B1C,B1C 平面 A1B1C,A1B1∩B1C=B1, ∴MK⊥平面 A1B1C.又∵MK 平面 A1MK,

∴平面 A1MK⊥平面 A1B1C.

12分

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基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题规范 2.解答过程要规范

典 例 : (12 分 ) 如 图 所 示 , M , N , K 分 别 是 正 方 体

ABCD—A1B1C1D1 的棱 AB,CD,C1D1 的中点. 求证:(1)AN∥平面 A1MK;(2)平面 A1B1C⊥平面 A1MK.

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)步骤规范是答题得满分的最后保证,包括使用定理的严谨性,书写过程 的流畅性. (2)本题证明常犯错误: ①定理应用不严谨. 如: 要证 AN∥平面 A1MK, 必须强调 AN 平面 A1MK. ②解题过程不完整,缺少关键步骤,如第 (1)问中,应先证四边形 ANKA1 为平行四边形.第(2)问中,缺少必要的条件,使思维不严谨,过程不流畅.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义: a 与 α 内任何直线都垂直?a⊥α; m、n α,m∩n=A? ? ??l⊥α; (2)判定定理 1: ? l⊥m,l⊥n ? (3)判定定理 2:a∥b,a⊥α?b⊥α; (4)面面平行的性质:α∥β,a⊥α?a⊥β; (5)面面垂直的性质: α⊥β, α∩β=l, a α, a⊥l?a⊥β.
2.证明线线垂直的方法 (1)定义:两条直线所成的角为 90° ; (2)平面几何中证明线线垂直的方法; (3)线面垂直的性质:a⊥α,b α?a⊥b; (4)线面垂直的性质:a⊥α,b∥α?a⊥b.
题型分类 思想方法 练出高分

方 法 与 技 巧

基础知识

思想方法·感悟提高
3.证明面面垂直的方法 (1)利用定义:两个平面相交,所成的二面角是直二 面角; (2)判定定理:a α,a⊥β?α⊥β.

方 法 与 技 巧

4.转化思想:垂直关系的转化

在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平 面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅 助线来解决.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高

1.在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线

失 误 与 防 范

与平面垂直定义、判定定理和性质定理的联合交替 使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.

2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我 们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的 一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确 的是 A.若 l⊥m,m α,则 l⊥α C.若 l∥α,m α,则 l∥m ( ) B.若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α D.若 l∥α,m∥α,则 l∥m

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.设 l,m 是两条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确 的是 A.若 l⊥m,m α,则 l⊥α C.若 l∥α,m α,则 l∥m ( B ) B.若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α D.若 l∥α,m∥α,则 l∥m

解 析
若 l⊥m,m α,则 l 与 α 可能平行、相交或 l α;若 l⊥α,l∥m, 则 m⊥α;若 l∥α,m α,则 l 与 m 可能平行或异面;若 l∥α, m∥α,则 l 与 m 可能平行、相交或异面,故只有 B 选项正确.

基础知识

题型分类

思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.已知平面 α 与平面 β 相交,直线 m⊥α,则 A.β 内必存在直线与 m 平行,且存在直线与 m 垂直

(

)

B.β 内不一定存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直 C.β 内不一定存在直线与 m 平行,但必存在直线与 m 垂直 D.β 内必存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

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练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.已知平面 α 与平面 β 相交,直线 m⊥α,则 A.β 内必存在直线与 m 平行,且存在直线与 m 垂直

( C

)

B.β 内不一定存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直 C.β 内不一定存在直线与 m 平行,但必存在直线与 m 垂直 D.β 内必存在直线与 m 平行,不一定存在直线与 m 垂直

解 析
如图,在平面 β 内的直线若与 α,β 的交 线 a 平行,则有 m 与之垂直.但却不一 定在 β 内有与 m 平行的直线,只有当 α⊥β 时才存在.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.已知 m 是平面 α 的一条斜线,点 A?α,l 为过点 A 的一条动直 线,那么下列情形可能出现的是 A.l∥m,l⊥α C.l⊥m,l∥α B.l⊥m,l⊥α D.l∥m,l∥α ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.已知 m 是平面 α 的一条斜线,点 A?α,l 为过点 A 的一条动直 线,那么下列情形可能出现的是 A.l∥m,l⊥α C.l⊥m,l∥α B.l⊥m,l⊥α D.l∥m,l∥α ( C )

解 析
设 m 在平面 α 内的投影为 n, 当 l⊥n 且与 α 无公共点时, l⊥m,l∥α.

基础知识

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思想方法

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A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.正方体 ABCD—A′B′C′D′中,E 为 A′C′的中点, 则直线 CE 垂直于 A.A′C′ B.BD C.A′D′ ( D.AA′ )

解 析

基础知识

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思想方法

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专项基础训练
5 6 7 8 9

4.正方体 ABCD—A′B′C′D′中,E 为 A′C′的中点, 则直线 CE 垂直于 A.A′C′ B.BD C.A′D′ ( D ) D.AA′

解 析

连接 B′D′,

∵B′D′⊥A′C′,B′D′⊥CC′, 且 A′C′∩CC′=C′,

∴B′D′⊥平面 CC′E. 而 CE 平面 CC′E, ∴B′D′⊥CE.

又∵BD∥B′D′,∴BD⊥CE.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5. 如图,∠BAC=90° ,PC⊥平面 ABC,则在△ABC, △PAC 的 边 所 在 的 直 线 中 : 与 PC 垂 直 的 直 线 有 ______________; 与 AP 垂直的直线有______________.

解 析

基础知识

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思想方法

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专项基础训练
5 6 7 8 9

5. 如图,∠BAC=90° ,PC⊥平面 ABC,则在△ABC, △PAC 的 边 所 在 的 直 线 中 : 与 PC 垂 直 的 直 线 有 AB,BC,AC ; AB ______________ 与 AP 垂直的直线有______________ .

解 析
∵PC⊥平面 ABC,∴PC 垂直于直线 AB,BC,AC;
∵AB⊥AC,AB⊥PC,∴AB⊥平面 PAC, ∴AB⊥PC.与 AP 垂直的直线是 AB.

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专项基础训练
5 6 7 8 9

6. 如图,PA⊥圆 O 所在的平面,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上的 一点,E、F 分别是点 A 在 PB、PC 上的正投影,给出下 列结论:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平 面 PBC. 其中正确结论的序号是________.

解 析

基础知识

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专项基础训练
5 6 7 8 9

6. 如图,PA⊥圆 O 所在的平面,AB 是圆 O 的直径,C 是圆 O 上的 一点,E、F 分别是点 A 在 PB、PC 上的正投影,给出下 列结论:①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平 面 PBC.

①②③ . 其中正确结论的序号是________ 解 析
由题意知 PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC.

又 AC⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC. ∴BC⊥AF.∵AF⊥PC,BC∩PC=C, ∴AF⊥平面 PBC,∴AF⊥PB,AF⊥BC.
又 AE⊥PB,AE∩AF=A,∴PB⊥平面 AEF. ∴PB⊥EF.故①②③正确.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7. 已知平面 α, β 和直线 m, 给出条件: ①m∥α; ②m⊥α; ③m α; ④α∥β.当满足条件________时,有 m⊥β.(填所选条件的序号)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

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4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7. 已知平面 α, β 和直线 m, 给出条件: ①m∥α; ②m⊥α; ③m α; ②④ 时,有 m⊥β.(填所选条件的序号) ④α∥β.当满足条件________

解 析
若 m⊥α,α∥β,则 m⊥β.

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)如图所示,在斜三棱柱 A1B1C1—ABC 中, 底面是等腰三角形, A1B1=A1C1, 侧面 BB1C1C⊥ 底面 A1B1C1. (1)若 D 是 BC 的中点,求证:AD⊥CC1; (2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M,若 AM= MA1,求证:截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C.

解 析

基础知识

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思想方法

练出高分

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专项基础训练
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8.(10 分)如图所示,在斜三棱柱 A1B1C1—ABC 中, 底面是等腰三角形, A1B1=A1C1, 侧面 BB1C1C⊥ 底面 A1B1C1. (1)若 D 是 BC 的中点,求证:AD⊥CC1; (2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M,若 AM= MA1,求证:截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C.

解 析
∴AD⊥BC.

证明

(1)∵AB=AC,D 是 BC 的中点,

∵底面 ABC⊥侧面 BB1C1C, ∴AD⊥侧面 BB1C1C,

∴AD⊥CC1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
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8.(10 分)如图所示,在斜三棱柱 A1B1C1—ABC 中, 底面是等腰三角形, A1B1=A1C1, 侧面 BB1C1C⊥ 底面 A1B1C1. (1)若 D 是 BC 的中点,求证:AD⊥CC1; (2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M,若 AM= MA1,求证:截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C.

解 析
连接 C1N.

(2)如图,延长 B1A1 与 BM 的延长线交于点 N,

1 ∵AM=MA1,∴MA1 綊2BB1, ∴NA1=A1B1. ∵A1B1=A1C1,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
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专项基础训练
5 6 7 8 9

8.(10 分)如图所示,在斜三棱柱 A1B1C1—ABC 中, 底面是等腰三角形, A1B1=A1C1, 侧面 BB1C1C⊥ 底面 A1B1C1. (1)若 D 是 BC 的中点,求证:AD⊥CC1; (2)过侧面 BB1C1C 的对角线 BC1 的平面交侧棱于 M,若 AM= MA1,求证:截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C.

解 析

∴A1C1=A1N=A1B1,

∴NC1⊥C1B1. ∵底面 NB1C1⊥侧面 BB1C1C,∴C1N⊥侧面 BB1C1C,
∴截面 C1NB⊥侧面 BB1C1C,
即截面 MBC1⊥侧面 BB1C1C.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 CD、A1D1 的中点. (1)求证:AB1⊥BF;(2)求证:AE⊥BF;(3)棱 CC1 上是否存在点 P,使 BF⊥平面 AEP?若存在,确定 点 P 的位置,若不存在,说明理由.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 CD、A1D1 的中点. (1)求证:AB1⊥BF;(2)求证:AE⊥BF;(3)棱 CC1 上是否存在点 P,使 BF⊥平面 AEP?若存在,确定 点 P 的位置,若不存在,说明理由.

解 析

(1)证明

连接 A1B,则 AB1⊥A1B,

又∵AB1⊥A1F,且 A1B∩A1F=A1,
∴AB1⊥平面 A1BF.又 BF 平面 A1BF,∴AB1⊥BF.
(2)证明 取 AD 中点 G, 连接 FG, BG, 则 FG⊥AE, 又∵△BAG≌△ADE, ∴∠ABG=∠DAE.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

9.(12 分)如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 CD、A1D1 的中点. (1)求证:AB1⊥BF;(2)求证:AE⊥BF;(3)棱 CC1 上是否存在点 P,使 BF⊥平面 AEP?若存在,确定 点 P 的位置,若不存在,说明理由.

∴AE⊥BG.又∵BG∩FG=G, ∴AE⊥平面 BFG. 又 BF 平面 BFG,∴AE⊥BF. (3)解 存在.取 CC1 中点 P,即为所求.连接 EP,AP,C1D, ∵EP∥C1D,C1D∥AB1,∴EP∥AB1. 由(1)知 AB1⊥BF,∴BF⊥EP. 又由(2)知 AE⊥BF,且 AE∩EP=E, ∴BF⊥平面 AEP.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

解 析

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升

7 3 4 6 5 1.已知 l,m 是不同的两条直线,α,β 是不重合的两个平面,则

下列命题中为真命题的是 A.若 l⊥α,α⊥β,则 l∥β B.若 l∥α,α⊥β,则 l∥β C.若 l⊥m,α∥β,m β,则 l⊥α D.若 l⊥α,α∥β,m β,则 l⊥m

(

)

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升

7 3 4 6 5 1.已知 l,m 是不同的两条直线,α,β 是不重合的两个平面,则

下列命题中为真命题的是 A.若 l⊥α,α⊥β,则 l∥β B.若 l∥α,α⊥β,则 l∥β C.若 l⊥m,α∥β,m β,则 l⊥α D.若 l⊥α,α∥β,m β,则 l⊥m

( D )

解 析
∵l⊥α,α∥β,∴l⊥β.又∵m β,∴l⊥m.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2.(2012· 浙江)已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2,将△ABD 沿矩形 的对角线 BD 所在的直线进行翻折,在翻折过程中( A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D. 对任意位置, 三对直线“AC 与 BD”, “AB 与 CD”, “AD 与 BC”均不垂直 )

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

解 析

找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量.

对于选项 A,过点 A 作 AE⊥BD,垂足 为 E,过点 C 作 CF⊥BD,垂足为 F,

在图(1)中,由边 AB,BC 不相等可知点 E,F 不重合.
在图(2)中,连接 CE,若直线 AC 与直线 BD 垂直, 又∵AC∩AE=A,∴BD⊥面 ACE, ∴BD⊥CE,与点 E,F 不重合相矛盾,故 A 错误. 对于选项 B,若 AB⊥CD,又∵AB⊥AD,AD∩CD=D,

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

解 析
∴AB⊥面 ADC,∴AB⊥AC,由 AB<BC 可知存在这样的等腰 直角三角形,使得直线 AB 与直线 CD 垂直,故 B 正确.
对于选项 C, 若 AD⊥BC, 又∵DC⊥BC, AD∩DC=D, ∴BC⊥面 ADC,
∴BC⊥AC.已知 BC= 2,AB=1,BC>AB,

∴不存在这样的直角三角形.∴C 错误.

由上可知 D 错误,故选 B.

答案

B

基础知识

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思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3. 已知三棱锥 S-ABC 中, 底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形, SA 垂直于底面 ABC,SA=3,那么直线 AB 与平面 SBC 所成角 的正弦值为 3 A. 4 ( 5 B. 4 7 C. 4 3 D. 4 )

解 析

基础知识

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思想方法

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练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3. 已知三棱锥 S-ABC 中, 底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形, SA 垂直于底面 ABC,SA=3,那么直线 AB 与平面 SBC 所成角 的正弦值为 3 A. 4 ( 5 B. 4 7 C. 4 3 D. 4 )

解 析
如图所示,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,连接 SD; 作 AG⊥SD 于点 G,连接 GB.

∵SA⊥底面 ABC,△ABC 为等边三角形,∴BC⊥SA, BC⊥AD. ∴BC⊥平面 SAD.

又 AG 平面 SAD,∴AG⊥BC.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

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B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

3. 已知三棱锥 S-ABC 中, 底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形, SA 垂直于底面 ABC,SA=3,那么直线 AB 与平面 SBC 所成角 的正弦值为 3 A. 4 ( D ) 5 B. 4 7 C. 4 3 D. 4

解 析

又 AG⊥SD,∴AG⊥平面 SBC.

∴∠ABG 即为直线 AB 与平面 SBC 所成的角. ∵AB=2,SA=3,∴AD= 3,SD=2 3.
SA· AD 3 在 Rt△SAD 中,AG= SD =2, 3 AG 2 3 ∴sin∠ABG= = = . AB 2 4
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练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.已知 P 为△ABC 所在平面外一点,且 PA、PB、PC 两两垂直 则下列命题: ①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC. 其中正确的个数是________.

解 析

基础知识

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思想方法

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3

专项能力提升
4 5 6 7

4.已知 P 为△ABC 所在平面外一点,且 PA、PB、PC 两两垂直 则下列命题: ①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC.
3 其中正确的个数是________ .

解 析
如图所示.∵PA⊥PC、PA⊥PB,PC∩PB=P,
∴PA⊥平面 PBC. 又∵BC 平面 PBC, ∴PA⊥BC.
同理 PB⊥AC、PC⊥AB.但 AB 不一定垂直于 BC.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.在正四棱锥 P—ABCD 中,PA=

3 AB,M 是 BC 的中点,G 是 2

△PAD 的重心,则在平面 PAD 中经过 G 点且与直线 PM 垂直的 直线有________条.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.在正四棱锥 P—ABCD 中,PA=

3 AB,M 是 BC 的中点,G 是 2

△PAD 的重心,则在平面 PAD 中经过 G 点且与直线 PM 垂直的 直线有________条.

解 析
3 设正四棱锥的底面边长为 a,(如图)则侧棱长为 a. 2
由 PM⊥BC,

∴PM=

? ? ? ?

? ? 2 3 ? ?2 ?a?2 - 2 = 2 a. 2 a? ? ? ?

连接 PG 并延长与 AD 相交于 N 点,
则 PN= 2 a,MN=AB=a, 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.在正四棱锥 P—ABCD 中,PA=

3 AB,M 是 BC 的中点,G 是 2

△PAD 的重心,则在平面 PAD 中经过 G 点且与直线 PM 垂直的
无数 直线有________ 条.

解 析
∴PM2+PN2=MN2,∴PM⊥PN,
又 PM⊥AD,PN∩AD=N,∴PM⊥面 PAD,
∴在平面 PAD 中经过 G 点的任意一条直线都与 PM 垂直.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.已知 a、b、l 表示三条不同的直线,α、β、γ 表示三个不同的平 面,有下列四个命题: ①若 α∩β=a,β∩γ=b,且 a∥b,则 α∥γ; ②若 a、b 相交,且都在 α、β 外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β, 则 α∥β; ③若 α⊥β,α∩β=a,b β,a⊥b,则 b⊥α; ④若 a α,b α,l⊥a,l⊥b,l α,则 l⊥α. 其中正确命题的序号是________.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

解 析
①在正方体 A1B1C1D1—ABCD 中, 可令平面 A1B1CD 为 α,平面 DCC1D1 为 β,平面 A1B1C1D1 为 γ,又平 面 A1B1CD∩平面 DCC1D1=CD, 平面 A1B1C1D1∩平 面 DCC1D1=C1D1,则 CD 与 C1D1 所在的直线分别 表示 a,b,因为 CD∥C1D1,但平面 A1B1CD 与平面 A1B1C1D1 不 平行,即 α 与 γ 不平行,故①错误.

②因为 a、b 相交,假设其确定的平面为 γ,根据 a∥α,b∥α,可 得 γ∥α.同理可得 γ∥β,因此 α∥β,②正确.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

解 析
③由两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面 垂直,易知③正确.
④当 a∥b 时, l 垂直于平面 α 内两条不相交直线, 不可得出 l⊥α, ④错误.

答案

②③

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
2

B组
3

专项能力提升
4 5 6

7

7. (13 分)如图, 在三棱柱 ABC—A1B1C1 中, AA1⊥BC, ∠A1AC=60° ,A1A=AC=BC=1,A1B= 2. (1)求证:平面 A1BC⊥平面 ACC1A1; (2)如果 D 为 AB 中点,求证:BC1∥平面 A1CD.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7. (13 分)如图, 在三棱柱 ABC—A1B1C1 中, AA1⊥BC, ∠A1AC=60° ,A1A=AC=BC=1,A1B= 2. (1)求证:平面 A1BC⊥平面 ACC1A1; (2)如果 D 为 AB 中点,求证:BC1∥平面 A1CD.

解 析

证明

(1)因为∠A1AC=60° ,A1A=AC=1,

所以△A1AC 为等边三角形.所以 A1C=1.

因为 BC=1, A1B= 2, 所以 A1C2+BC2=A1B2. 所以∠A1CB=90° ,即 A1C⊥BC. 因为 BC⊥A1A,BC⊥A1C,AA1∩A1C=A1,
所以 BC⊥平面 ACC1A1.

因为 BC 平面 A1BC,所以平面 A1BC⊥平面 ACC1A1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7. (13 分)如图, 在三棱柱 ABC—A1B1C1 中, AA1⊥BC, ∠A1AC=60° ,A1A=AC=BC=1,A1B= 2. (1)求证:平面 A1BC⊥平面 ACC1A1; (2)如果 D 为 AB 中点,求证:BC1∥平面 A1CD.

解 析

(2)连接 AC1 交 A1C 于点 O, 连接 OD.

因为 ACC1A1 为平行四边形,

所以 O 为 AC1 的中点.
因为 D 为 AB 的中点, 所以 OD∥BC1. 因为 OD 平面 A1CD,BC1 所以 BC1∥平面 A1CD.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

平面 A1CD,


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