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第一届到第八届周培源力学大赛试题答案


第六届周培源全国大学生力学竞赛样题 第 6 届周培源全国大学生力学竞赛初赛(样题) 时间 3 小时,满分 120 分 一、奇怪的独木桥(25 分) 一位游客在某处发现有座独木桥,上面写着:禁止独自一人过桥。他发现当地居民的确 都是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。他觉得很奇怪,为什么 2 个人可以过桥 而 1 个人却不能。等周围

没有其它人时他想独自试试,结果没走到半程,就把独木桥压断了 而掉入水中。 根据事后他的调查,小河宽 4 米,独木桥长 6 米,如图 1 所示横跨在小河上(支撑点可 以 认 为 是 铰 链 约 束 )。 独 木 桥 采 用 当 地 的 轻 质 木 材 做 成 , 等 截 面 , 允 许 最 大 弯 矩 为 [ ] = 600N m 。 为方便假设每人的体重均为 800N,而独木桥的重量不计。请你分析一下: (1)本问题与力学中的什么内容有关系? (2)如果一个人想过桥,最多能走多远? (3)当地居民过桥时两人需要进行配合,你认为两人应如何配合才能安全过桥?

图 1 奇怪的独木桥 二、模特儿与新型舞台(35 分) a 有位模特儿在一种新型舞台上练习走台步。该舞台类似长方形桌子,长为 2a ,宽为 , 有 6 条等长的桌腿(图 2)。每条桌腿都与水平地面有接触开关,如果接触处有压力就会使 对应的一盏灯亮起来。该模特儿发现,站到舞台不同的位置会有不同数目的灯亮起来,如图 2,她站在舞台右上角附近时,左下角的灯就不亮。 如果把模特儿的重量认为是集中载荷,把舞台认为是刚体且不计质量,则 (1)本问题与力学中的什么内容有关系? 1

第六届周培源全国大学生力学竞赛样题 (2)如果模特儿站在舞台的正中央,会有几盏灯亮起来? (3)模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来,请在长方形舞台上确定各区域的 边界并画出示意图,然后在该区域内写上亮灯的数目(提示,亮灯的数目有可能为 6、5、4、 3、2、1)。

a a a 三、魔术师的表演(25 分) 魔术师要表演一个节目。其中一个道具是边长为 的不透明立方体箱子,质量为a 另一个道具是长为 L 的均质刚性板 AB ,质量为 M2,可绕光滑的 A 铰转动;最后一个道具 是半径为 R 的刚性球,质量为 M3,放在刚性的水平面上。魔术师首先把刚性板 AB 水平放 置在圆球上,板和圆球都可以保持平衡,且圆心 O 和接触点 B 的连线与垂线夹角为? 。然 后魔术师又把箱子固定在 AB 板的中间位置,系统仍可以保持平衡,如图 3 所示。 魔术师用魔棒轻轻向右推了一下圆球,竟然轻易地就把圆球推开了。更令人惊讶的是, 当圆球离开 AB 板后, AB 板及其箱子仍能在水平位置保持平衡。 M1; a 图 2 模特儿的新舞台

A

B

? o

图 3 魔术师的箱子 2

第六届周培源全国大学生力学竞赛样题 (1)为什么在 AB 板上加很重的箱子不会把圆球挤压出去,而魔术师用很小的力却可 以推开圆球?这其中涉及了什么力学内容? (2)根据上述介绍,你能否求出 AB 板与圆球之间的摩擦系数要满足什么关系? (3) AB 板只在 A 处受支撑却仍能在水平位置保持平衡。魔术师让观众来检查,证明 这时平板有且只有 A 点与地面接触,排除了看不见的支撑或悬挂等情况。你认为这可能吗? 请指出其中可能涉及的奥秘,并分析其中可能涉及的参数。 四、出人意料的交线(35 分) 设Oxyz 是固定坐标系。系统由三根不计半径的细杆构成,初始时刻 CD 杆沿 轴;OB 杆长为 ,沿a x 轴正方向; AB 杆长为 l ,开始时先与 轴平行,绕z x 轴负方向转动 β 角后,

把这三根杆件焊成一个整体,如图 4 所示。 假设在 yz 平面内有一张纸存在,为了能让系统持续地绕 轴以匀角速度z 在纸上挖出某种形状的空隙让 AB 杆通过(这里只考虑 AB 杆)。 (1)如果 a = 0 ,求空隙的函数表达式 Γ0,并画出示意图。 (2)如果 a > 0 ,求空隙的函数表达式 Γa,并画出示意图。 Γ0与 Γa有何关系? (3)当 a > 0 时,设 P 点是 AB 杆与 yz 平面的交点,当 P 点位于 AB 杆中点且 时,如果要求 P 点的速度和加速度,你如何考虑?取 a = 1m ,l = 4m ,β = 16π ,ω = 1rad/s , 速度和加速度是多少? z C A β yP> 0 ω 转动,需要

B x

O D

y

图 4 初始时刻的系统位置

3

第六届周培源全国大学生力学竞赛样题 第 6 届周培源全国大学生力学竞赛初赛样题解答 一、奇怪的独木桥 (1)本问题与力学中的什么内容有关系? 关键词:梁的弯曲、弯矩。 (2)如果一个人想过桥,最多能走多远? 该问题简化为下图,设人从 B 向 A 走去,载荷 P 与 B 点距离为 x ,AB 间的距离为 L 。 P A 易求出支座 B 点的约束力为 则 AB 间最大弯矩为 ? M ()= x 根据允许最大弯矩为[ ] = 600N m ,有 ? ≤ [M ] ( )/ ? x B

RB =

(

)/

代入数据,解出

(

)/

x ≤ 1, x ≥ 3 即一个人最远可以向前走 1 米(另一解略去)。 (3)当地居民过桥时两人需要进行配合,你认为两人应如何配合才能安全过桥? P A B P

x2

M2

x1

M1 4

第六届周培源全国大学生力学竞赛样题 若两人同时上桥,一人在右侧外伸段距右端支座为 x 处,另一个人在桥上,行至离左 1 端支座 x 2 RA= P(L ? x1? x2)/ L , 弯矩极大值为 M1= Px1, ( RB= P L x+ +1x2/ M2= P(L ? x1? x2)x2L ) L 处,其弯矩如图所示。这时支座的反力为

欲要安全通过,要求 M1≤ [M ], M2≤ [ ] ,代如数据得

( x? 2 欲使上式恒成立,则需 解得 ( 4?x 1 )
2 2

) 4? x x12 + 3 ≥ 0

? 12

≤ 0

考虑到 M1≤ [M ],得

0.536 ≤ x1≤ x1≤ 0.75m

7.46

所以当一个人立于右侧外伸段离右支座的距离为 (0.536 ? 0.75)m 之间时,另一人可安 全通过独木桥。通过独木桥的人再立于左外伸段离左支座距离为 (0.536 ? 0.75)m 之间,另 一个人亦可安全通过。 (本题改写自:周道祥,《力学与实践》小问题第 120 题,1986,No.3) 二、模特儿与新型舞台 (1)本问题与力学中的什么内容有关系? 关键词:受力平衡,变形的协调条件。 (2)如果模特儿站在舞台的正中央,会有几盏灯亮起来? 利用对称性及反证法。设坐标系及各灯的标号如下。由于结构与载荷对称,如果 1 灯不 亮,则根据左右(y 轴)对称,3 灯也不会亮。又根据上下(x 轴)对称,4 灯和 6 灯不亮。 所以 1、3、4、6 灯的状态总是相同的,而 2 与 5 灯的状态也相同。 灯亮表示对应的桌腿受压,长度变短,而灯不亮表示对应的桌腿不受压,长度不变。如 果假设有部分灯亮,另一部分灯不亮,就会引起矛盾。因此六盏灯全亮。 5

第六届周培源全国大学生力学竞赛样题 y 4 5 6 x o 1 2 3

(3)模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来,请在长方形舞台上确定各区域的 边界并画出示意图,然后在该区域内写上亮灯的数目(提示,亮灯的数目有可能为 6、5、4、 3、2、1)。 y

4

C 5 六 四 五

E 三 D B四

6 G

x F

H

o A(x,y)

1

2 I
()

3 。由于灯亮等同于对应的桌腿是否受压,

设模特儿重量为 P,所在 A 点的坐标为 y 下面就分析桌腿的受力。

(a)设六条腿的受力分别是 Ni(i = 1,L,6) ,有平衡方程 6 ∑ Ni= P (1) i=1 N1+ N4)a + Px = (N3+ N6)a ( ) ( N 1 +N 2
a a

(2)

) + N + Py = 3 2

( N 4 +N 5 +N 6 2 (3)

由刚性桌面变形协调条件,可得三个方程,比如可以列出 N (4) 2 6 3 5 +N =N +N

N (5) 1

+N

=N

+N

5

2

4

N (6) 4

+N

= 2N

6 6

5

第六届周培源全国大学生力学竞赛样题

解上述六个方程,由于桌腿不能提供拉力,令

Ni> 0(i = 1, ,6) ,得到不等式

3x ±4 y

< 2a
2

得到解的区域为菱形 BCHI(不含边界),其中 B 点坐标为 ?? a, 0 ?? 。 ?3 下面设模特儿位于桌面第一象,限讨论其他几种情形。 (b)五腿受力,设腿 1 不受力,令 N1= 0 ,舍去方程(5),求得 N3≥ 0, N5≥ 0, N6≥ 0 均自然满足,根据 N2> 0, N4> 0 得 ? + +3x y 2a > 0 ? ?2x 6 y + 3a > 0 这两个不等式,加上 BC,即得五腿受力区为三角形 BCD(包含 BC,但不包含边界 BD 和 CD),其中 D 点坐标为 ?? a, a ?? 。 ?4 4 ?
3 1

?

(c)四腿受力有两种情况,第一种情况是 2、3、5、6 腿受力。舍去方程(5)、(6),并 N 令 1 =N
0

= 4 ,再令 N2> 0 ,得 xya 0

即知三角形 BDF 为四腿(2,3,5,6)受力区(包含 BD,但不包含边界 DF),其中 F 点的坐 标为 ( ),0 。 =N 1 N4> 0 ,得 ? ?6x 2 y + 5a > 0
0

四腿受力的第二种情况是 3、4、5、6 受力。舍去方程(4)、(5),且令 N

= 2 ,令

即知三角形 CDE 为四腿(3,4,5,6)受力区(包含 CD,但不包含边界 DE),其中 E 点的坐标为 2 ??a, ?? ?3 2 ? 1 a 。

(d)剩下的四边形 DEGF 为三腿(3,5,6)受力区。另外对于桌子的边界,CE 表示亮三盏 灯的区域(不含 E 点)。 (e)如果要两盏灯亮,则是不稳定平衡。在第一象限内,两盏灯亮对应的区域是 和 GF 边表示亮两盏灯的区域(不含 G 点)。 7 EG

第六届周培源全国大学生力学竞赛样题 (f)一盏灯亮对应的区域是 G 点。 最后根据 x 轴和 y 轴的对称性,即可作出整个桌面的亮灯数目区域图。 (本题改写自:陈嘉,《力学与实践》小问题第 29 题,1982,No.3;秦寿珪,《力学与 实践》小问题第 100 题,1985,No.4) 三、魔术师的表演 (1)为什么在 AB 板上加很重的箱子圆球不会被挤压出去,而魔术师用很小的力却可 以推开圆球?这其中涉及了什么力学内容? 关键词:摩擦,自锁。 当 AB 板压在圆球上时,圆球在自重,地面反力和 B 处反力作用下平衡。这时圆球处 于摩擦自锁,再增加箱子不破坏圆球的平衡条件。但是魔术师用水平力推圆球时,这时圆球 从受三个力变为受四个力。如果摩擦力已达最大值,水平力虽然很小,仍可破坏圆球的平衡。 (2)根据上述介绍,你能否求出 AB 杆与圆球之间的摩擦系数要满足什么关系? 利用三力平衡条件,圆球受力如图。 R RB B ? o C 利用几何法,有 1 ∠OBC =2? ,由于 RB要在摩擦角θ 内,有 μ = tanθ ≥ tan ( ) 由于魔术师用很小的水平力就可以破坏圆球的平衡,所以 RB要在摩擦角的边缘,因此 μ = tan ( ) (3) AB 板只在 A 处受支撑却仍能在水平位置保持平衡。魔术师让观众来检查,证明 这时平板有且只有 A 点与地面接触,排除了看不见的支撑或悬挂等情况。你认为这可能吗? 请指出其中可能涉及的奥秘,并分析其中可能涉及的参数。 系统只有 A 铰而平衡,这从静力学角度是难以想象的,但是从动力学角度就可以实现。 其中一种可能是:箱子中有一个转子,圆球离开时接通开关使圆轮加速转动。 8 RC

第六届周培源全国大学生力学竞赛样题 设飞轮转动惯量为 J ,可在箱内电机驱动下以角加速度 ε 顺时针转动。为说明问题,暂 时设 B 处是铰链。

用动静法,飞轮上作用有力矩 Ms= Joε 系统对 A 点取矩,有 (M 1 可以看出,如果 M ε= ( + M gL 1 2J 2) + M g) 2 ? 2 1 s LM B ? N L? =0

B 处的约束反力就为零(由于转子的转动与电流有关,而 ε 是常数,因此事先设计好电流 的大小即可),这时撤去 B 处的约束不影响 AB 板的平衡。 在表演魔术时,可以让 B 点与圆球接触时不通电,而圆球离开时通电。 四、出人意料的交线 (1)如果 a = 0 ,求空隙的函数表达式 Γ0,并画出示意图。 容易看出, a = 0 时 AB 杆在一个圆锥上运动,圆锥与 yz 平面的交线为 yp= ±zptan β ( Γ0) zp∈[0, cos ]β (2)如果 a > 0 ,求空隙的函数表达式 Γa,并画出示意图。 Γ0与 Γa有何关系? 设 AB 与 yz 平面的交点是 P , BP 的长度为 ξ 。则根据几何关系, P 点的坐标为 2β

cos zp= ξ 消去参变量ξ ,有 β , yp=

2

2

a +ξ

sin

yp2 ? z ptan2

2

β = a ( Γa) 9

2

第六届周培源全国大学生力学竞赛样题 zp∈[0, cos ]β 所以 P 点的轨迹是抛物线(的一部分),这也就是空隙的方程。而曲线 Γ0是 Γa的渐进线。

z o x B β

P

A

C

y

(3)当 a > 0 时,设 P 点是 AB 杆与 yz 平面的交点,当 P 点位于 AB 杆中点且 yP> 0 时,如果要求 P 点的速度和加速度,你如何考虑?如果取 a = 1m , L = 4m , ω = 1rad/s ,速度和加速度是多少?

1 β =6π ,

思路:采用点的复合运动关系,以 P 为动点, AB 杆为动系。相对运动沿 AB 杆,牵连 运动作定轴转动,绝对运动是在 yz 平面内的抛物线上运动。 当 P 为 AB 杆中点时,设 P 点的坐标为 ( ,x y zPP, )P ∠BOC = θ 。其中 ?x P ??? yP ?= = 0
=

, B 点的坐标为 ( ,x y zBB, )B



? ?xB= a sin θ 2β ?y , ? B ?= ?z B = a cosθ , ? ? 0 cos ?? θ=
l

1

β

sinθ = 2 sin ??

2+1 2 a 4 l sin

yP a

z

1lcos β

y P

?? P 2 (i)速度分析, va= +vevr 其中

10

第六届周培源全国大学生力学竞赛样题

ω ve= 所以有 vr= ζ [(x B ? xP = [ζ ( x v a B ? xP P )?ωy k × ( yPj

+ zPk ) = ?ω yPi

)i + ( yB? yP) j + (zB? zP)k ] ]i + ζ ( y B ? yP ) j + ζ (z ?z )k ]

B

P

由于 P 点在 yz 平面内运动,因此有 ζ = ωy P ( xB? xP) (ii)加速度分析: a B P B ? zP , v =ζ (y ?y ) j + ζ (z

)k

其中

aa= ae+ +arac 2 ae= ? yPω ar= η [(x B ? xP ac= 2ωk × ζ [( x ) j + ( zB? zP)k ] B ? xP )i + ( y B ? yP )?yω2 + 2ωζ (x B ? xP ) )] j + η(z ?z )]k ) 2ωζ ( y B ? xP B ? yP j )i + ( yB? yP) j + (zB? zP)k]

因此

a a

= [ (x

)]i +[ ( y B ? yP
2 ω yy

P

B

P

由于 P 点在 yz 平面内运动,因此有 y η= 2ωζ ( B ( xB? xP) ?y ) P = 2

( P B ? yP 2 ( xB? xP) ,

a = [ ( yB? yP) ? yPω2+ 2ωζ ( x a 代入数据,有 ζ = 2, 4= ? va= ? 2 j ? 2 3k B ? xP

)] j +η (zB? zP)]k

aa= 3 2 j + 4 3k

11

第六届全国周培源大学生力学竞赛试题 出题学校:清华大学 满分:120 分 一、声东击西的射击手(30 分) 射击的最高境界,不仅是指哪打哪,还要知道往哪儿指。欢迎来到这个与众不 同的射击场。在这里,共有 10 个小球 Pi(号码从 0 到 9),你需要把某个小球放在 圆弧的适当位置上,然后静止释放小球即可。 假设系统在同一竖直平面内(如图所示),不考虑摩擦。圆弧 AB 的半径为 R , B 点与地面的高度为 H 。均质细杆 CD 的质量为 M ,长为 L = 0.5H ,悬挂点C 与 B 处于同一水平位置,BC 距离为 S 。小球 Pi质量均为 m ,不计半径,小球 Pi与 CD 杆或地面碰撞的恢复因数均为 ei,且满足 ei= i/9 (i = 0,1, 2, ,9) 。 时间:3 小时

(1)为使小球 P1击中杆上 D 点,试确定静止释放时的θ ,距离 S 有何限制? (2)假设某小球击中 CD 杆上的 E 点,为使 E 点尽可能远离 D 点,试确定该 小球的号码及静止释放时的θ ,此时 CE 的距离是多少? (3)假设某小球击中 CD 杆上的 E 点,为使悬挂点 C 处的冲量尽可能小,试 确定该小球的号码及静止释放时的θ ,此时 CE 的距离是多少?冲量有多大? A Pi θ B H E C D O

S

二、骄傲自满的大力士(35 分) 有位大力士总是自命不凡,他夫人决定找机会教训他一下。正好附近足球场的 球门坏了一半,剩下的半边球门如图:立柱 OA 垂直固定于水平地面上,沿 x 轴方 向,高为 H = 2.4m ,横梁 AB 平行于地面,沿 z 轴负方向,长为 L H 。立柱和 横梁均为实心圆柱,直径均为 D = 0.06m 。夫人经过计算后想出了主意:和丈夫 比赛,看谁能把球门拉倒。比赛规则是:通过系在横梁 B 端中点的绳索,只能用 静力拉球门;绳索上有且只有 B 点系在与地面固定的物体上。绳索的重量不计, 长度不限。球门不计自重,采用第三强度理论,材料的屈服应力σs= 57MPa 。 大力士认为自己肯定不会输,因为他知道两人鞋底与地面摩擦系数都是 μ = 0.5 ,自己重量为 G1= 700N ,夫人重量为 G2= 510N 。为了显示自己的大 度,他允许夫人享受一点点优惠条件。于是夫人以 B 在地面的投影 C 为圆心,在 地面上画了一个半径 R = 0.8m 的圆圈,要求丈夫身体在地面的投影不能进该圆圈, 但她自己不受限制。大力士认为这么个小圆圈没什么了不起,就同意了。 大力士抽签先上场,他决定让绳索与 xy 平面平行,但绳索与地面的夹角θ 不 知多大为好,于是他在不同的角度试了多次,尽管每次都用了最大力气,但是球门 居然纹丝不动,也看不出有明显的变形。而夫人上场后一用力就把球门拉倒了…… (1)当大力士让绳索与地面成θ 角度,绳索中的拉力最大为多大?该最大拉 力与大力士拉绳的姿势有无关系? (2)当大力士让绳索与地面成θ 角度,球门中最危险点的坐标值是多少? (3)在限制条件下,θ 角为多少时大力士最接近把球门拉倒?夫人可能采用 什么方式把球门拉倒? B θ L x C R y O z H A

三、顾此失彼的挑战者(30 分) 魔术正式开始前,魔术师邀请观众上台了解道具,并体验如何让水晶球在板上 平衡,有位观众自告奋勇要挑战魔术师的问题。 魔术师首先介绍道具(如图所示):两个透明的水晶圆球 O1和 O2;一个滚轴 D ; 一个透明的水晶平板 AB ,A 端水平固定在墙中,不考虑自重时 AB 板与水平面平 行。在表演时,滚轴 D 可以根据需要安装在 AB 板的任意位置,且 A 与 D 总在同 一高度。假设水晶板是均质等截面板,长度为 l ,单位长度重量为 q ,弯曲刚度为 EI 。两均质水晶圆球的半径均为 r ,重量均为 P ql 。 假设表演中板的挠度和转角都是小量,球与板之间有滑动摩擦,但不考虑球与 板的接触变形和滚动摩擦。观众发现,水晶板由于自重而微微弯曲,如果不安装滚 轴 D ,水晶球在板上可以摆放的任意位置都不能平衡。 魔术师的问题如下: (1)如果把滚轴 D 安装在 AB 板的 B 处,此时 AB 板由于自重所导致的最大 挠度在何处? (2)如果把滚轴 D 安装在 AB 板之间的某处,有可能使水晶球 O1在板上静止, 且球与板的接触点恰好是 B 点。如果不需要具体计算,如何说明滚轴 D 是更靠近 A 点还是更靠近 B 点?定性画出此时 AB 板挠度的示意图。 (3)如果把滚轴 D 安装在 AB 板的中点,能否让水晶球O1在 AD 之间某位置 平衡,接触点为 C1;同时让水晶球 O2在 DB 之间某位置平衡,接触点为 C2。观众 试着摆弄了很久,总是顾此失彼,最终也没有成功。如果你认为本问题有解, AC1 和 AC2的水平距离是多少?如果没有解,如何证明? O2 O1 A D B

四、技高一筹的魔术师(25 分) 魔术正式开始,仍用上一题中的道具(板和球的具体参数见第三题)。 魔术师首先撤去了滚轴 D ,观众看到两个水晶球在板上任意位置静止释放, 都会从板的 B 端掉下去。但是细心的观众发现,即使两水晶球放在板的相同位置, 掉下去所需时间却明显不同。 魔术师解释说,虽然两水晶球的尺寸和重量完全相同,但有一个水晶球的表面 涂了透明的新型材料,很光滑。说完在后落下的水晶球 O1表面贴上了小纸片以示 区别(假设小纸片的尺寸和重量相对水晶球均是小量)。 只见魔术师对两个水晶球吹了吹,声称已经把魔力注入其中,然后小心地把贴 有纸片的 O1球静止放在板上(接触点为 B 点),同时让纸片远离接触位置,松手后 水晶球 O1竟然真的可以一直稳稳地停留在板上 B 点。 在观众的掌声中,魔术师撤走了 O1球,把 O2球拿了起来。“这个水晶球不太 听话,我的魔力只能管 1 分钟。”魔术师说完把 O2球转了转,然后更加小心地把 O2 球也放在板上(接触点为 B 点)。观众发现, O2球在 B 点停留了大约 1 分钟,然 后在没有外界干扰的情况下突然从板上 B 端掉了下来…… (1)根据题目叙述,试判断哪个水晶球涂了新型材料? (2)水晶球 O1可在 B 点一直稳稳地停留,简要叙述其原理,分析其中所涉及 的关键参数,以及各参数应满足的必要条件或关系。 (3)水晶球 O2只能在 B 点停留很短的时间,简要叙述其原理,分析其中所涉 及的关键参数,以及各参数应满足的必要条件或关系。 注:第四题解答中所用的参数都应在第三、第四题中提及过。

O2 A B O1 D

第六届全国周培源大学生力学竞赛团体赛 比赛内容和规则

第一轮比赛:攻防对抗赛 一、内容

在一些描写古代战争的电影中,常可见到一方用抛石机抛掷石头攻击对方城堡 的场面。进攻者当然希望抛石机威力巨大;而防守者自然希望城堡固若金汤。 本次竞赛各队既要做出“抛石机”,又要造出“城堡”。然后各队之间相互比较 谁的“抛石机”威力大,谁的“城堡”更结实? 二、要求 ? 发射装置由各队事先准备好,应能由一名队员不借助工具搬动,且最大尺寸不 超过 2m。 ? 发射装置的动力方式不限,不限制初始释放的速度,但不能由人直接投掷,可 以手扶发射装置以保持稳定。 ? 先确定一点为靶心,画一系列同心圆,每个半径增加 20cm。最里面的圆标 100 分,向外依次为 80、60、40、20、0 分。 ? ? 发射装置的出口距地面不超过 1m(误差不超过 10cm)。 在距离靶心 2.5m(误差不超过 10cm)处有一横线,发射装置出口的投影不能 超过该横线,最多可后退 0.5m(限制最大发射距离不超过 3m 以保证安全)。 ? 利用组委会统一发放的工具和材料(牙签、棉签、木筷、胶水、纸张),设计 制造保护装置,防止鸡蛋被对方击碎。每个保护装置内部要能放置 1 枚生鸡蛋。

保护装置加鸡蛋的质量不超过 250g。每队设计制作 3 个保护装置用于比赛,并 标明队名和号码。 ? 所发射重物由哑铃的圆盘组成,每次发射的重量限制在 2kg 至 4kg 之间,允许 误差为 0.1kg。 ? 发射时圆盘的具体的数目可自行决定。多个圆盘可以绑在一起发生,如果发射 时脱落导致多个落点,精度取成绩最差的一个,但是任意一片打碎鸡蛋均有效。 ? ? ? 直接击碎鸡蛋与落地后滚动击碎鸡蛋同样计分。 障碍物基本处于保护装置与横线的中间位置,高约 0.8 米。 某队发射时,操作者 1-3 人均可,其余人员应在发射口的后面。

A队的发射装置

障碍 图 1 攻防示意图

B队的保护装置

三、比赛规则与流程(约 60min) ? 17 日中午抽签获得比赛用的鸡蛋。准备设计制作保护装置。并可在适当地方 进行发射调试。 ? 比赛开始后,在 10 分钟时间内抽签分组,并测量保护装置加鸡蛋的重量,如 果明显超重(超 50%以上),将不能参加比赛。 ? 20 个队分为 10 组。抽到 Ai与 Bi的队为同一组(i=1,2,…,10)。两队并列 排列,正式比赛前每队有 5 分钟进行调试。 ? 每队有 3 次机会攻击对方的鸡蛋,A 先发射 1 次,B 再发射 1 次,然后交替进 行。一队发射时,另一队把自己的保护装置放在靶心。 ? 每次发射前,裁判提醒并开始计时。各队每次发射的时间不超过 3 分钟。裁判

在最后 30 秒时有义务提醒。若超时而未发射,该次发射算 0 分。 ? 一队发射后,裁判应让另一队队员在 30 秒内把自己的保护装置拿开放在指定 位置。等本轮比赛结束后统一查看鸡蛋破损情况。 ? 比赛中,如果出现分歧,由裁判长进行最终判决。

四、评判标准 ? 本轮比赛根据鸡蛋的完好率和射击精度给分。事先制定好表格,标明各项内容 和评分值,由各组裁判负责纪录,比赛结束后裁判和队长要签字。 ? ? 如果装置的质量或尺寸不符合要求,(在每次发射中)每一项不合格扣 10 分。 如果保护装置的质量或尺寸不符合要求,(在本次发射中)每一项不合格扣 10 分。 ? 在某次射击中,满分为 200 分。计分包括落点成绩和鸡蛋破碎成绩: 如果未直接击中对方的保护装置,以落点的位置值为射击准确得分,压线时取 两区域的平均分。如果直接击中对方的保护装置,射击准确得分为 100 分。 如果多片圆盘分散落下,成绩以最差的计算。 对鸡蛋,不论是直接击中还是落地后滚动击中,计分情况如下: 鸡蛋未出现肉眼可见的裂纹,得 0 分。 鸡蛋出现肉眼可见的裂纹,但无液体流出,得 50 分。 鸡蛋有液体流出,得 100 分。 ? ? 如果本队队员人为损坏了已方的鸡蛋,对方按上述标准加分。 每队取 3 次成绩中较好的 2 次进行排名,前 12 名将直接进入第三轮比赛,后 8 名则进入第二轮比赛争夺继续比赛的权力。 ? 对于第 12 名附近成绩相同的队,将根据全部的成绩进行排名。如果根据成绩 仍不能区分,考虑三个保护装置及鸡蛋的质量总和,轻者排名在前。 ? 如有争议,由裁判长负责解决。

第二轮比赛:纸条拉力赛 一、内容

生活中我们经常可以看到,很多塑料包装袋上有个小切口,它可以方便撕开包 装袋;但是如果手提袋上已经有了小切口,有什么办法尽量避免手提袋破坏呢? 下面就让参加比赛的队来回答吧。用纸作为试件进行拉伸试验,但是试件上有 缺陷。 二、要求 ? 试件只能由 A4 纸、2 根筷子和胶水制作而成。如图 a 所示,各队用一张 A4 纸,沿长边裁剪出 3cm 宽的纸条(允许误差为 1mm),然后在两头用胶水与竹 筷(非木筷)相连。两筷子之间纸条长度至少为 15cm,且不能涂胶水。 ? 将两筷子之间的纸张分为三等份,在中间一份的任意位置用裁纸刀划出垂直于 纸条的一个切口(切口可以完全在纸中间,也可以一端与边接触),切口长度 不小于 1cm。 ? 试件做好后给裁判检查是否符合要求,符合要求的试件才能进行比赛。参加本 轮比赛的各队可多做几个试件备用,但比赛时只需要 2 个合格的试件。 ? 对于允许参加比赛的试件,各队不能再在试件上增加物质,但可以减少物质。 例如不能用胶水把切口再粘起来,但是可以挖去试件上适当的部分以降低应力 集中。2 个试件处理方式可以不同。 ? 拉力试验如图 b 所示:某队把试件的一端筷子放在固定物(如桌子)上,用胶 带粘好。把弹簧秤悬挂在试件的另一端筷子上,弹簧秤下端挂容器,逐渐向容 器中注水或沙子。在纸片断裂前弹簧秤的最大读数为该队的成绩。 ? 如弹簧接近最大值而试件未破坏,可在弹簧秤与筷子之间增加重物(如哑铃)。

切口 ~15cm 3cm 两头与筷子相连 裁出切口

A4纸的一部分

图 2a 试件制作示意图 固定物

试件

切口

弹簧秤

注水

图 2b

拉力试验示意图

三、比赛规则与流程(约 40min) ? 在比赛开始前的休息时间内抽签分组分为 4 组,每组 2 个队。弹簧秤也抽签选 取。各队自行检查弹簧秤,如有问题可找裁判员。 ? ? 比赛开始后,各队有 5 分钟时间同时进行调试准备。 裁判示意后,各队同时开始操作。各队要在 30 分钟内完成操作并得到两试件 的最大承重量。由裁判员负责记时和纪录成绩。 ? 裁判员示意后,队员可以向容器内加水(或沙)。每个试件加注的次数最多为 10 次(在弹簧秤与筷子之间增加重物算 1 次),但每次的加注量由各队自行决 定。加注时手不能接触试件。 ? 某次加注结束后,队员可让裁判记下弹簧秤的读数(精确到最小刻度)。本队 队员可以在旁监测。裁判员应在 30 秒内读出读数。如有可能,队员可以利用

数码相机拍下读数以节省时间,但是要注意读数应能清楚分辨。裁判可在获得 读数后允许队员继续加注。 ? ? 加注过程中试件如断裂,或者筷子与纸张脱落,成绩按加注前的成绩记。 如果规定时间已到,或加注次数已满,而试件仍未破坏,以试件的当前加载量 为该试件的成绩。 ? ? ? 在规定时间还差一分钟时,裁判员有义务提醒参赛队员。 比赛结束后,读出相机中的成绩。裁判和队长要签字。 比赛中如有争议可找裁判长,裁判长的裁决为最终裁决。

四、评判标准 ? ? 事先制定好表格,标明各项内容和评分值,由裁判负责纪录。 本轮比赛根据各队 2 个试件的承载量中较大者进行比较。前 4 名进入第三轮比 赛,后 4 名被淘汰退出比赛,获纪念奖。 ? 对于成绩相同的队,将根据另一根试件的成绩进行排名。如果还不能区别,考 虑试件的质量,轻者优先。 ? 如有争议,由裁判长负责解决。

第三轮比赛:不倒翁 一、内容

设计制作一个不倒翁,要求其摇摆的频率尽量给定值。 二、要求 ? 利用组委会提供的工具和材料,或者自行购买部分材料,设计制作一个装置, 类似不倒翁可以往复运动。 ? ? ? ? ? 最大尺寸要超过 10cm 为好,质量不限。 外部可以有装饰。 能在 10 次摆动后仍能明显看出较大的摆幅。 尽量让摆动周期接近 3s(比赛中将测 10 次摆动周期)。 不倒翁上允许有移动装置用于调节摆动周期。

三、比赛规则与流程(约 40min) ? 在比赛前的休息时间进行抽签,16 个队分为 4 组。抽到 A、B、C、D 的队为 同一组。 ? ? ? 比赛开始后,每队有 5 分钟进行调试,同时裁判可以试着计时。 每队有 2 次机会,顺序为 ABCDABCD。每次摆动要在 3 分钟内完成。 每次有 8 位裁判同时记时,队员示意开始,裁判负责计时。各队让不倒翁运动 起来,裁判测量 10 个周期并记录。由于释放时间不易确定,记录从第 2 到第 11 个周期的时间。1 个周期定义为:摆动时同一侧角速度两次为零的时间间隔。 ? 根据 8 位裁判的计时,去掉最大和最小的 2 个计时,把其余的计时进行平均, 为某队的比赛成绩。 ? 比赛中如有争议可找裁判长,裁判长的裁决为最终裁决。

四、评判标准 ? 本轮比赛根据不倒翁的周期精度给分。事先制定好表格,标明各项内容和评分

值,由裁判负责纪录,比赛结束后裁判和队长要签字。 ? ? ? ? 在测周期时,幅度自行确定,以能明显看出并测量为准。 每队取 2 次成绩中误差最小的 1 次进行排名。 如有争议,由裁判长负责解决。 根据第三轮比赛的成绩排名,前 4 名进入第四轮比赛争夺一等奖;第 5-10 名 获第三等奖,后 6 名的队获纪念奖。 第三轮比赛 II:混合加载 (由于时间关系未进行) 一、内容 用 A4 纸设计制作一个装置,使其在承受压、弯、扭的载荷下不易破坏。 二、要求 ? ? 利用 4 张 A4 纸和胶水,设计制作一个装置,可以承受尽可能大的载荷。 装置由 OA、AB、BC 三段组成,各段两两相互垂直,OA 段可以粘在底板上且垂 直于底板(底板统一由组委会提供,允许在其上挖孔)。三段纵向尺寸均要大 于等于 20cm,径向尺寸均要小于等于 3cm。在接头处(O、A、B 点)直径要小 于等于 4cm。各段形式、重量不一定要相同。 ? 悬空的容器 G 通过 2 根细绳与装置相联,其中一根细绳要系在 C 端附近 1cm 的 范围内,另一根细绳可系在 AB、BC 的任何位置上。绳子系好后不能再移动。 两绳子长度均小于 10cm。 ? ? 在加容器之前,装置的质量不超过 4 张 A4 纸总质量的 20%。 容器 G 内可以逐渐加沙子。

B A C

O 图 3 混合加载示意图 三、比赛规则与流程(40min) ?

G

装置的尺寸和质量可以在比赛前一天称量,不合格者要重做,合格者可以与底 部相连。

? ? ?

按前一轮分组比赛。 参赛开始,各队同时进行比赛,时间限制是 30 分钟。 各队需要把容器挂上,然后在容器内加沙子(为方便测量,把沙子包在纸内成 为沙包,可准备多个沙包,可以事先准备,也可以临时准备)。

?

每次加载要经过裁判同意。但是最多允许加载 10 次,每次增加沙包的数码不 超过 2 个。

?

如果装置被破坏,称量容器及重物的质量 W。装置破坏定义为:C 点的垂直位 移变化超过 2cm。

? ? ? ?

如果绳子断而装置未坏,允许换绳子重新开始。 如果时间已到,或者加注次数已到,而装置未坏,以当时的重量计算。 如果装置 C 点的垂直位移未达 2cm 时已失稳破坏,以破坏前的质量计算。 由各队自行称量沙包质量,并由裁判记录。如有泄漏,自行负责。

四、评判标准

?

本轮比赛根据容器及重物的质量 W 给分。事先制定好表格,标明各项内容和评 分值,由裁判负责纪录,比赛结束后裁判和队长要签字。

? ?

如果载荷相同,改由高精度天平测量。若再相同,可根据装置重量,轻者优先。 如有争议,由裁判长负责解决。 第四轮比赛,姜太公钓鱼

一、内容 姜太公钓鱼的故事人人皆知。我们今天就来学学姜太公,看看谁能钓到最多的 鱼。 今天的鱼就是空啤酒瓶,而“姜太公”有四位,谁是真正的姜太公呢? 二、要求 ? ? 利用组委会提供的工具和材料,制作一个钓鱼台,同时制作钩钓装置。 钓鱼台的形状不限制,但台面应高于 1 米。钓鱼台与地面接触处应在半径为 1 米的圆周内(该圆称为本队的得分区),其它部分的投影不限制是否一定要在 圆周之内。 ? ? ? 钓鱼台的台面上至少能容纳 1 名队员,各队自行决定上钓鱼台的人数。 鱼杆及具体的垂钓装置的尺寸和质量不限制。 5 个空啤酒瓶在另一半径为 0.3m 的圆周内(该圆称为本队的钓鱼区)。如图放 置。 ? 在各队钓鱼区的中间为公共钓鱼区,放 10 个瓶子。

D队得分区 1m A队得分区 0.3m A B 2.5m 0.6m D C C队得分区

B队得分区

图 4 各队位置及瓶子分布示意图 三、比赛规则与流程(2 小时) ? ? ? 各队抽签决定位置。 首先把各队的酒瓶放置好,然后各队同时开始进行设计制作。 某队可以开始垂钓的必要条件是:钓鱼台能承受至少一位队员的重量。且要经 过裁判同意。裁判如认为尺寸不合要求,有义务指出。 ? 队员应在钓鱼台面上进行垂钓,本队其他队员可以提供一些帮助,如保护、遮 阳、平衡等。 ? 某队首先在本队的钓鱼区内钓鱼,并放在自己的得分区。如果本钓鱼区已无鱼 可钓,可到公共钓鱼区中钓。如果本钓鱼区和公共钓鱼区已无鱼,可到他队的

钓鱼区中去钓(但不能去他队的得分区中钓)。 ? ? ? ? 如果在钓的过程中瓶子倒地且在得分区内,裁判可以把瓶子立起来。 如果在钓的过程中瓶子倒地且在得分区外,裁判将把瓶子撤走。 如果某队在比赛过程中钓鱼台倒塌,该队将停止垂钓,至到修好钓鱼台为止。 垂钓过程中允许队员替换,也允许重新放置钓鱼台的位置。但是裁判要重新测 量台面的高度。 ? ? ? ? 当所有的鱼都被钓完后,或者比赛已经超过了 2 小时,结束比赛。 在钓鱼时,如果某队已经在钓某个瓶子,其他队不能进行干扰。 故意干扰者,裁判第一次提出警告,以后每次要扣分。 无故放弃者,或恶意捣乱者,将做降级处理,由后续队补上,并且其平台和所 钓成果直接转给补进的队。 四、评判标准 ? ? 当比赛结束后,统计各队得分区的瓶子数目。 如果钓鱼台的尺寸不符合要求,台面每低 10cm 扣 1 个瓶子。不足 10cm 时四 舍五入。 ? 如有其他犯规(如先钓他队的鱼、故意干扰等等),第一次裁判应提醒,再犯 时扣 0.2 个瓶子。 ? ? ? 将各队的实际瓶子数目减去扣除的数目,最多者获一等奖,其他获二等奖。 如果一等奖数目超过 2 名,比较钓鱼台台面的高度,高者获胜。 如有争议,由裁判长负责解决。

第六届全国周培源大学生力学竞赛试题 出题学校:清华大学 满分:120 分 时间:3小时

一、声东击西的射击手(30 分) 射击的最高境界,不仅是指哪打哪,还要知道往哪儿指。欢迎来到这个与众不同的射击场。在这里,共有 10 个小球 Pi(号码从0 到9) ,你需 要把某个小球放在圆弧的适当位置上,然后静止释放小球即可。 假设系统在同一竖直平面内(如图所示) ,不考虑摩擦。圆弧 AB的半径为R,B点与地面的高度为H 。均质细杆CD的质量为M ,长为 L=0.5H ,悬挂点C与B处于同一水平位置,BC距离为S 。小球 Pi质量均为m,不计半径,小球 iP与CD杆或地面碰撞的恢复因数均为 ei ,且满足 。 (1)为使小球 1 P击中杆上D点,试确定静止释放时的θ ,距离S 有何限制? (2)假设某小球击中CD杆上的E点,为使E点尽可能远离D点,试确定该小球的号码及静止释放时的θ ,此时CE的距离是多少? (3)假设某小球击中CD杆上的E点,为使悬挂点C处的冲量尽可能小,试确定该小球的号码及静止释放时的θ ,此时CE的距离是多少?冲量有多大?

二、骄傲自满的大力士(35 分) 有位大力士总是自命不凡,他夫人决定找机会教训他一下。正好附近足球场的球门坏了一半,剩下的半边球门如图:立柱OA垂直固定于水平地面 上,沿x轴方向,高为 H =2.4m ,横梁 AB平行于地面,沿z轴负方向,长为L=H 。立柱和横梁均为实心圆柱,直径均为 D = 0.06m 。夫人经过计算 后想出了主意:和丈夫比赛,看谁能把球门拉倒。比赛规则是:通过系在横梁B端中点的绳索,只能用静力拉球门;绳索上有且只有B点系在与地面固 定的物体上。绳索的重量不计,长度不限。球门不计自重,采用第三强度理论,材料的屈服应力 σ
S

=57MPa 。

大力士认为自己肯定不会输,因为他知道两人鞋底与地面摩擦系数都是μ =0.5 ,自己重量为 G1 = 700N ,夫人重量为 G2 = 700N。为了显示自己 的大度,他允许夫人享受一点点优惠条件。于是夫人以B在地面的投影C为圆心,在地面上画了一个半径 R =0.8m 的圆圈, 要求丈夫身体在地面的投 影不能进该圆圈,但她自己不受限制。大力士认为这么个小圆圈没什么了不起,就同意了。 大力士抽签先上场,他决定让绳索与xy平面平行,但绳索 与地面的夹角θ 不知多大为好,于是他在不同的角度试了多次,尽管每次都用了最大力气,但是球门居然纹丝不动,也看不出有明显的变形。而夫人 上场后一用力就把球门拉倒了?? (1)当大力士让绳索与地面成θ 角度,绳索中的拉力最大为多大?该最大拉力与大力士拉绳的姿势有无关系? (2)当大力士让绳索与地面成θ 角度,球门中最危险点的坐标值是多少? (3)在限制条件下,θ 角为多少时大力士最接近把球门拉倒?夫人可能采用什么方式把球门拉倒?

三、顾此失彼的挑战者(30 分) 魔术正式开始前,魔术师邀请观众上台了解道具,并体验如何让水晶球在板上平衡,有位观众自告奋勇要挑战魔术师的问题。 魔术师首先介绍道具 (如图所示) : 两个透明的水晶圆球 O1 和 O2 ; 一个滚轴D;一个透明的水晶平板 AB,A端水平固定在墙中,不考虑 自重时 AB板与水平面平行。在表演时,滚轴D可以根据需要安装在 AB板的任意位置,且 A与D总在同一高度。假设水晶板是均质等截面板,长度为 l,单位长度重量为q,弯曲刚度为EI 。两均质水晶圆球的半径均为r,重量均为P=ql 。 假设表演中板的挠度和转角都是小量,球与板之间有滑动摩擦,但不考虑球与板的接触变形和滚动摩擦。观众发现,水晶板由于自重而微微弯曲, 如果不安装滚轴D,水晶球在板上可以摆放的任意位置都不能平衡。

魔术师的问题如下: (1)如果把滚轴D安装在 AB板的B处,此时 AB板由于自重所导致的最大挠度在何处? (2) 如果把滚轴D安装在 AB板之间的某处, 有可能使水晶球 O1 在板上静止,且球与板的接触点恰好是B点。 如果不需要具体计算, 如何说 明滚轴D是更靠近 A点还是更靠近B点?定性画出此时 AB板挠度的示意图。

(3)如果把滚轴D安装在 AB板的中点,能否让水晶球 O1 在 AD之间某位置平衡,接触点为 C1;同时让水晶球 O2 在DB之间某位置平衡,接触 点为 C2。观众试着摆弄了很久,总是顾此失彼,最终也没有成功。如果你认为本问题有解, AC1和 AC2 的水平距离是多少?如果没有解,如何证 明?

四、技高一筹的魔术师(25 分) 魔术正式开始,仍用上一题中的道具(板和球的具体参数见第三题) 。 魔术师首先撤去了滚轴D,观众看到两个水晶球在板上任意位置静止释 放,都会从板的B端掉下去。但是细心的观众发现,即使两水晶球放在板的相同位置,掉下去所需时间却明显不同。 魔术师解释说,虽然两水晶球的尺寸和重量完全相同,但有一个水晶球的表面涂了透明的新型材料,很光滑。说完在后落下的水晶球 O1 表面贴 上了小纸片以示区别(假设小纸片的尺寸和重量相对水晶球均是小量) 。 只见魔术师对两个水晶球吹了吹,声称已经把魔力注入其中,然后小心地把 贴有纸片的 O1 球静止放在板上(接触点为B点) ,同时让纸片远离接触位置,松手后水晶球O1竟然真的可以一直稳稳地停留在板上B点。 在观众的掌声中,魔术师撤走了 O1球,把 O2球拿了起来。 “这个水晶球不太听话,我的魔力只能管 1分钟。 ”魔术师说完把 O2球转了转, 然后更加小心地把 O2球也放在板上(接触点为B点) 。观众发现,O2球在B点停留了大约 1 分钟,然后在没有外界干扰的情况下突然从板上B端掉了 下来?? (1)根据题目叙述,试判断哪个水晶球涂了新型材料? (2)水晶球 O1可在B点一直稳稳地停留,简要叙述其原理,分析其中所涉及的关键参数,以及各参数应满足的必要条件或关系。 (3)水晶球 O2只能在B点停留很短的时间,简要叙述其原理,分析其中所涉及的关键参数,以及各参数应满足的必要条件或关系。 注:第四题解答中所用的参数都应在第三、第四题中提及过。

第六届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案 清华大学航天航空学院 高云峰

一、声东击西的射击手(30 分)

二、骄傲自满的大力士(35 分)

(1)

;大力士拉绳的姿势不影响绳中最大拉力的大小。

(2)危险点坐标 (3)大力士在 0 θ = 时最接近拉坏球门: σ 1 -σ 2 =56.0Mpa ;夫人进入圆圈内, θ =90 °时可以有 σ 1 -σ 3= 57.9MPa . 三、顾此失彼的挑战者(30 分)

(1)最大挠度处: (2)滚轴D更靠近B点;挠度示意图如下:

(3)解不存在,证明见解题过程。 四、技高一筹的魔术师(25 分) (1)水晶球 O2涂了新型材料。

(2)关键参数:

;纸片重量

(3)关键参数:

;初始角速度

第七届全国周培源大学生力学竞赛试题 出题学校:西北工业大学 满分:120分 时间:3 小时 一、小球在高脚玻璃杯中的运动(20 分) 一半球形高脚玻璃杯, 半径 r =5cm, 其质量 m1=0.3 kg, 杯底座半径 R =5 cm,厚度不计,杯脚高度 h =10 cm。如果有一个质量 1 . 0 2 = m kg 的光滑小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯的内侧滑下,小球的半径忽略不计。已知杯子底座与水平面之间的静摩擦因数 fs = 0.5。试分析小球在运动 过程中: (1)高脚玻璃杯会不会滑动; (2)高脚玻璃杯会不会侧倾(即一侧翘起) 。

二、杂耍圆环(40 分) 1.杂技演员将一个刚性圆环沿水平地面滚出,起始圆环一跳一跳地向前滚动,随后不离开地面向前滚动,为什么? 2.杂技演员拿出一个匀质圆环,沿粗糙的水平地面向前抛出,不久圆环又自动返回到演员跟前。设圆环与地面接触瞬时圆环中心 O 点的速度大小为 v0 ,圆环的角速度为 ω 0 ,圆环半径为 r,质量为 m,圆环与地面间的静摩擦因数为 s f ,不计滚动摩阻,试问: (1)圆环能自己滚回来的条件是什么? (2)圆环开始向回滚动直到无滑动地滚动,在此运动过程中,圆环所走过的距离是多少?

(3)当圆环在水平地面上无滑动地滚动时,其中心的速度大小为 v1,圆环平面保持在铅垂平面内。试分析圆环碰到高为 后, 能不脱离接触地爬上该台阶所应满足的条件。

的无弹性台阶

3.演员又用细铁棍推动题 2中匀质圆环在水平地面上匀速纯滚动,假设圆环保持在铅垂平面内滚动,如图所示。又知铁棍与圆环之间的静摩擦因数为 ft ,圆环与地面间的滚动摩阻系数为 δ 。试求为使铁棍的推力(铁棍对圆环的作用力)最小,圆环上与铁棍的接触点的位置。

三、趣味单杠(30 分) 单杠运动是奥运会、世界体操锦标赛、世界杯体操比赛中男子体操比赛项目之一。单杠是体操比赛中最具观赏性的项目,也是观众最喜欢的运动,在学 校和健身场所拥有众多的爱好者,小李和小张就是其中之一。一天,他们准备在单杠上进行大回环比赛。假设单杠的横杆和立柱均为直径 D=28mm的 钢杆,弹性模量E=200GPa,许用应力[σ ]=160MPa,横杆长 L=2.4m,立柱高 H=2.6m。立柱与地面、横杆与立柱之间均为固定联结。假设两人旋转到 单杠所在平面内时的惯性载荷均为 F=1000N,不计人的自重。 1. 试分析两人同步旋转到单杠所在平面内时,结构中的最大应力。 2. 若两人相差 180°旋转到单杠所在平面内, 对结构中的最大应力有什么影响。 3. 为提高结构承载能力,有人提出在单杠距地面 0.6m 处增加一个直径 20mm的拉杆。试定性分析该杆对上述两种情况的影响。

四、跳板跳水(30 分) 举世瞩目的第 29 届北京奥林匹克运动会上,具有“梦之队”之称的中国跳水队获得了跳水比赛8枚金牌中的7枚, 囊括了3m跳板跳水的4枚金牌。 Duraflex 的 Maxiflex Model B 跳水板是奥林匹克跳水比赛和国际级跳水比赛唯一指定使用的产品,它的具体尺寸如图所示,其中横截面尺寸为 b=0.5m, h= 0.05m,跳板的弹性模量E=70GPa ,比重γ = 25kN/m3 , a=3.2m , l=m 1.6 。运动员从跳板上上跃至距地面最高点后落至跳板端点C, 再从跳板上弹起至空中完成动作后落水。若运动员体重 G=700N ,最大弹跳高度H= 0.6m ,取 g =9.8m/s2。 1. 根据所学知识,建立相应的力学分析模型。 2. 为保证运动员落水安全,运动员从空中落入水中时,在跳板所在平面处,运动员质心距跳板 C端最小距离s应大于 0.5m。 试求运动员从跳板上跃时 所需最小水平速度(假设水平方向为匀速运动)? 3. 不计跳板质量,将运动员视为刚体时,运动员冲击跳板时,跳板中的最大动应力为多少? 4. 如运动员为弹性体,定性说明在冲击时跳板中的最大动应力增大还是减小? 5. 如考虑跳板质量,试计算跳板中的最大动应力。

第七届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案 一、小球在高脚玻璃杯中的运动(20 分) 当小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯子的内侧滑下到与铅垂方向夹角 二、杂耍圆环(40 分) 1. 圆环不是匀质的,质心不在圆环的中心。开始滚动角速度大,圆环一跳一跳地向前滚动;随后角速度减小,所以圆环不离开地面向前滚动。 时,高脚玻璃杯侧倾(一侧翘起) 。

2.(1)圆环自己滚回的条件为:

方向如图所示。

(2)距离: (3)圆环能不脱离接触地爬上台阶所应满足的条件为 :

3.当接触点 A与圆环中心 C 的连线与铅垂线间的夹角 三、趣味单杠(30 分) (1)结构中的最大应力

时,推力 F 取最小值。

(2)结构中的最大应力 (3)在结构中增加拉杆后, (2)中为反对称结构,在对称面上只有反对称内力,故 AB 杆轴力为零,无影响; (1)中为对称结构,在对称面上只 有对称内力,故 AB杆轴力不为零,有影响。 四、跳板跳水(30 分) (1)根据跳板的受力情况,可以将其简化为下图所示外伸梁。

(2)最小水平速度为

(3)跳板的最大动应力为 (4)如运动员为弹性体,冲击时跳板中的最大动应力将减小。

(5)跳板的最大动应力为

第八届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案

一、看似简单的小试验(30 分) (1)小球 P1不可能直接击中 A 点,证明见详细解答。 (2)小球 P2与圆盘开始分离时的角度 ? = arcsin( 3 1) 47° 。 (3)碰撞结束后瞬时小球 P3与半圆盘的动能之比为 5:4。 二、组合变形的圆柱体(20 分) (1)
T 32

1
s

3

M = πD τ 。

σ=

τ 的轴向拉伸应力不产生屈服。
s

(2)在柱 B 端同时施 3 加 ΔV =
(3)圆柱体的体积改变量
1

2

(

ν) E


DL12/ 4σ π

三、顶部增强的悬臂梁(30 分) (1)组合截面形心的位置: zC=

y = 0.592h 。
C 1

0 ,
(2)使梁 B 端下表面刚好接触 C 台面所需的竖向力为
P top

3
1

3

F = 0.4E bh 1 Δ / L 。 2 (3)不使增强材料层下表面与梁上表面相对滑动的剪力为 F = 2 Q E bh L。 ( ) 0.28 1 Δ / τ = 3EΔ y 2 ? y 2/L
1 3

(4)梁的剪应力为

2

1

C

,沿梁截面高度的分布图见详细解答。

四、令人惊讶的魔术师(20 分) (1)力学原理:沿不同方向推动木条时,需要的推力大小不同,木条运动的方式也不同:沿 AB 推,推力 F1最大,木条平动;垂直 AB 在不同位置推动木条,木条绕不同的点转动, 且推力 F2的大小、转动位置均与推力位置有关。 ( 2 ) 根 据 滚 动 小 球 的 号 码 信 息 , 推 力 位 置 位 于 间 , 且

[num num,

1+

]

号 小 球 之

?
2

num = 2n

max
max

Q 取整。(注 Q N or N,


2

1,

1or N +

均算正确)。

4n ? 2Q
(3)设 F F2/1= η ,η ∈[0,
1 2

0.414) 不可能出现。当η ∈[0.414, 0.828) 时,观众如果故意把

F 错报为 2F2 ,一定会被魔术师发现。若η ∈[0.828, 1]时,观众故意报错不会被发现。
五、对称破缺的太极图(20 分) (1) Ix= Iz= Ix'=Iz' 成立,见详细解答。

(2)在 x = ?

,= 处粘上质量为 4m的配重,图形就可以在空中绕 Z 轴稳定地转动。
1

0

1

详细解答及评分标准 总体原则: (1) 计算题的某一小问,只要最后结果正确且有适当的步骤,就给全分。 (2) 如结果不正确,则参考具体的评分标准。 (3) 如结果不正确且方法与参考答案不一样,各地自行统一酌情给分。 (4) 证明题需要看过程。

一、看似简单的小试验(30 分) 【解】:(1)小球出手后开始作抛物线运动,可以证明,在题目所给条件下,小球击中 A 结论 3 分 点之 前,一定会和圆盘边缘上其它点碰撞,即小球不可能直接击中 A 点。 证 明 方 法 不 限。 证明:如果想求出抛物线与圆的交点表达式,会很复杂。下面采用很简单的方法。 结 论 错 误 , 0 圆盘的边界轨迹为 x + y = r ,在 A 点右边的 x = ? + Δr x 处(设 Δx 为一阶小量),圆
2 2 2

2

2

2 2 +y =r , y = Δ ? Δ2r x x ,略去高阶小量, y ?
2 1 1

盘的高度为 ( ? + Δr x)
1

0.5



Δx ;

分; 结论正确且能 够证明,3 分; 结论正确但证 明 不 完 善 , 1 分。

小球的抛物线轨迹方程一定可以写 y = ? ( ? )2+ c 的形式(a、b、c 与初始条件有 为 2 关且均为正值)。在 x = ? + Δr x 处,抛物线 y = ? ? + Δ ?( x b) + c 。假设抛物线过 2 的高为
2

= ? ? ?(
有 A 点,则有 0

) + c 。因此 y
2

2

a r b x a x+ Δ ? Δ
=

,略去高阶小量,即 y2?

Δx 。

2(

)
可以用不同的 方法求解。系 统水平方向动 量守恒

即在 A 点之前( x = ? + Δr 是 0.5 阶小量,

x 处),抛物线的高度是 1 阶小量,而圆盘的高

所以圆盘比抛物线高。因此小球在击中 A 点前一定会先与圆盘上某点发生碰撞,不可能直 接 击中 A 点。 (2)建立惯性坐标系与初始时刻的 Oxy 重合。

sin ) 0=
2

(1-1)

1 分

系统机械能守恒
1 2

mx

2

+ 1(
2

2

? 2xr? sin

? + ? ) + mgr
r2
2

? = mgr

(1-2)

1 分

sin
(1-3) 1 分

拆开系统,对小球由水平方向质心运动定理

mx = ?N cos?
由(1-1)和(1-2)得到

x = ? 2 ? sin ? ,
1

r

?g
4(1 sin )
2

(1-4)

得到速度或角 速度,1 分

? = (2 sin
对(1-4)中的速度和角速度求导有

2

? )r
2

??

?g
(1-5)

?
x = ?r
1

? ? r? cos?
1 2

? = ? 2cos (2 sin

2 2

2sin )

得到加速度或 角 加 速 度 , 2 分 得到压力与角 度的正确表达 式,3 分

2

sin

2

(2 sin mg (4 sin ? ? 6sin ?
3

?) r

把(1-5)代入(1-3)有

N=

)

(1-6)

(
2
2

)
?

2 sin

下面求小球正好脱离圆盘的位置,即求 4 sin3? ? 6sin? = 0 的解。设 x = sin? , y x= 3 ? 6x + 4 。一般情况下三次方程的解不好求,但是本题比较好求。把 x=-3,-2,-
1,0,1,2,3 代入,可以看出 x 在(-3,-2)之间、(0,1)之间以及 x=2 处有三个解(见

下图)。

根据三角函数的特点,( 0,1)之间的解有意义。注意到
3 2

x=2 是一个解,所以设

得到角度的正 确 表 达 式 , 3

x ? 6x + =4 (x ? 2)( x +

ζx
2

? 2) ,容易求出ζ = 2 ,问题变为求 x + 2 x ? =2 0 在 (0,1) 之间的解,为 x = 3 1,因此? = arcsin( 3 1) 47° 时,小球与圆盘压力为零,正好分离。
(3)为了求出碰撞后的速度,可以用不同的方法。以碰撞点处的法向 n 和切向τ为坐 标 轴构成 x y' ' 。



T

碰撞前小球的绝对速度在 x y' ' 坐标系中为 v?x y' ' = ?( 。设碰撞后小球
T

v sin ,
0

? v cos ) 2 分,可以带入
0

的绝对速度为 vx y+' '= (vx y+' 'n, v x y' 'τ)。 碰撞时以小球为研究对象,由于圆盘光滑,小球切向速度不变有
+



= ?v cos?
0

(1-7)

v

角度。如果坐 标 系 选 取 不 同,或符号不 同,只要正确 即可。下面类 似处理

xy

''

法 向 速 度 满 足 恢 复 系 数 关 系 , 设 圆 盘 以 速 度 u 后 退 运 动 , 在 x y' ' 坐 标 系 中 为

(
+

? ) 。根据碰撞定义,有
T

= ?u cos , sin
''

+n

cos?
(1-8) 2 分

u

xy

e=v
同时根据系统水平动量守恒, 有

xy

+ '' u

v sin ?
0

+n

? vτ
+

?
sin
(1-9) 1 分 2 分+2 分 (1-10)

uv v
+=

x y'

'

cos

?

xy
''

联立(1-7),(1-8),(1-9),解出
2

v (1+ e)sin cos?
0 2

v

n

sin (e ? cos ? ) 0 1 cos 2 ? , u=
2

xy ''

1 cos
1

?
2

()
小球的动能: T = 1 m vn
1 2

()
+1mv
2

2

,半圆盘的动 能:

T = mu
2 2

xy ''

xy ''

代入 e = 1 和? = 45° ,所以碰撞后瞬时小球的动能与半圆盘的动能之比为

T T:=5 : 4
1 2

(1-11) 3 分

二、组合变形的圆柱体(20 分) 【解】:(1)在扭矩作用下,圆柱外表面产生最大剪应力,其值为 50%是剪切屈服应力。由扭 转内力和应力公式计算得到

τ= M=
T

M
T



s

2 分

W

P

π D2
3

16

D M =π
(2-1)
T32s

3

τ

4 分

(2)在圆柱外表面有最大应力,在剪切和轴向拉伸作用下,平面应力状态的主应力表达式为
4

σ
? =+1

σ
2+ 2

σ
2

σ
= 0,
3

σ
= 2 ?

1

σ
2+

τ
4
2

σ
? ?
1

4,

3 分

2

2

2

应用第三强度理论(最大剪应力强度理论),有

σσ τ
max

=
1

?
3

1 σ τ =2 2 + 4
2

1 分

2


(2-2)

以剪应 τ = τs和拉伸应力σ 代入(2-2)式,屈服将发生在当拉伸应力σ 达到

2

σ τ
=
max s

2

τ

2

τ

?? ?? = ?? +?? ? ?2 ? ?2
s

(2-3)

故,

σ = 3τ
(2-4)

s

2 分 方法不限制,

(3)根据圆柱扭转变形后截面保持平面的假定,扭转作用不引起体积改变。仅考虑轴 向 拉伸作用下的体积改变量,利用功的互等定理,建立另一均匀压强 p 作用下的圆柱体(考 虑小 变形)。圆柱轴向拉伸力为 F = σ πD2/ 4 ,与另一圆柱的伸长变形 ΔL p( 功的互 等关系,

)

功共轭,由

?

( ) =? Δ ( )
Lp pVF
(2-5) 1 分

Δ
F
式中, ΔL p(

) = εL
1

。均匀压强 p 作用下的圆柱体,三个主应力均为:

σ =σ =σ =?p
轴向伸长应变为
1 2 3

1 分

1

(

) )

p

(

ν)
(2-6) 2 分

ε =
1

? σνσ E? 1

+σ ? =? 12 E 2 3 ?


? FpL (1 2ν ) = ? Δ ( 代入(2-5)式,有: E pVF
从而得到体积改变量:

Δ

()

FL

(
ν)

σπ

VF
三、紧密结合的复合梁(30 分) 【解】

D ( ν) L = E 12 =

2

4E

12

(2-7)

4 分

注意:计算结果保留小数点后 2 位即可以。答案中保留了小数点后 3 位。 答案如包含中间过程的参数,只要正确,也同样给分。 (1)建立如下坐标系(如果坐标系不同,只要结论正确,不扣分)

5

先计算折算面积和截面几何性质,换算为同样模量 E1材料的 T 形截面,求截面形心的位 置, 1 分 由于截面对称,故 zC= 0 ,仅求 yC。
2

hb +2
1

? + bh h 1
2

h ? ? ? 0.71h 2 = 1 = 0.592h
2

y = 2
C

? h b + bh 1 2 2

5 分

(3-1)

1.2

1

(2)叠合梁粘接共同工作,先计算折算面积和截面几何性质,换算为同样模量 E1材料的 形截面,

T

bh I =
z

3

((
+ bh
1

) )
h
1

2

2bh + 12

3

((
+ 2bh
2

)
h + 0.5h
1 2

)

2

1

0.592 0.5

2

1 0.592

12

(
= 0.083 0.008

)
3

()
bh + 0.167 0.1
1
1

3

(
h + 0.2bh
3 3

)

2

0.458
1

(3-2) 4 分

1

= (0.091 0.0 0.042)bh 3
3

= 0.133bh 3
1

由梁端位移计算:

Δ= FL
p

,得到所需的竖向力为:

EI 3z
1

3E I Δ
F =
p 1 z 3

0.4E bh Δ
3

4 分 (3-3)

=

1 3

1

L

L

(3)求此时不使增强材料层下表面与梁上表面相对滑动的剪力。 由沿梁长度方向的剪力为常数,有 FQ= Fp,得到梁上表面的剪应力为 1 分

Δ

τ

FS

3E I S1z L
3

3E Δ ?

?

()

1

? ?
top

=

Q

=

=

1 3

2bh ? h? ?

?y + h
c 2

? ?

4 分 (3-4)

2 1

bI bI = 3E Δ ( h [
z z

bL ? h

h ]) =

2 ? ? E hΔ
2

1
3

0.2
1

0.28 0.408 + 0.05
1 1

11 3

L
乘以梁上表面的面积,即为剪力值:

L

6

=τ F
(4)计算剪应力的分布公式:
top

=

0.28

2Δ E bh 1
1

1 分 (3-5)

topbL 2

Q

L ? ? )?

τ=

FS=
Q

F
Q

? b y( ? y)
C

+ 1(

??y bI bI ? F = Q =
z z

y ? y ?? ? 2 ?? F 2 4 分,最后三个
C

Q

( )
2

? b y?y y+y? ? C bI ? 2 = 3E Δ
z

)()?
C

y ?y ? 2I
C
z

( 3 6)

等号中的任意 一个均可以

(y

2

2

?y

)= 3E Δ (
1 3

h

?
2y2

)

1 3 C

(0.592 )
1

2L
获得剪应力为二次曲线分布,讨论:

2L

图 2 分,定性 对即可。两个 结果都可以。

在梁的下表面,即 y = ? y ,有τ = 0
C

1 分

在梁的中性轴处有最大剪应力,即 y = 0 ,有

τ
max

F (0.592h ) F = Q =
2 1

E h2Δ
Q

3

1.32 bh
1



τ
max

= 0.53
3

11

1 分 (3-7)

2 0.133bh
1

L

在梁的上表面,即 y h= ?1yC,有

τ=

F
Q

(
C

(
1

) )=
2

F
Q

(2h y

?h

2

)

y 2? h ? y

2I
z

C

2I
z
2

1 C

1

(
3

)

或 τ=

E h2Δ
11

2 分 (3-8)

0.28

3

=F
Q

? h 2 0.592 1 1=0.69 2 0.133bh
1

F
Q

L

bh
1

四、令人惊讶的魔术师(20 分) 【解】:(1)魔术的力学原理:沿不同方向推动木条时,需要的推力大小不同,木条运动 木条平动 2 分; 木条转动时推 的方 力 与 位 置 有 式也不同:沿 AB 推,推力 F 最大,木条平动;垂直 AB 在不同位置推动木条,木条绕不同 关,2 分。
1

7

的点转动,且推力 F2的大小、转动位置均与推力位置有关。 (2)设木条质量为 M ,长度为 L ,与桌子摩擦因数为 μ 。若沿 AB 动,临界推 力为 1 分 推,木条平

F = μ Mg
1

(4-1)

(侧视图) 建立坐标系 Axy,设垂直推 AB 的力 F2 与 A 端距离为 a(由对称性,设推力在左 半部分), 杆绕 C 点转动,AC 距离为 ξ 。 木条垂直推时 受力图,2 分

(俯视图)

Mg 对均质杆,对桌面压力分布为 q x( ) = ,垂直杆推时,由 y 方向力的平衡和对 D 点的力
矩 平衡关系,有

1 分

L
ξ L

F ? ∫ ( )d + ∫ ( )d
2

=0 ? )d = 0

(4-2)

0 ξ L

ξ


0

( )( ? )d + ∫ ( )(
ξ

(4-3)

1 分,对 A 点 取矩也可以。

解出

La

2

ξ = +a

2(

a (2ξ ? L ) ,或 a = ) +2 ξ?L 2 2(2 )
2 2 2

(4-4)

3 分,任意一个 均可以 作用力在左 边;如果

n >1 ,
min

n = N ,则
max

表示作用力在 右边;如果 以已知 N 个小球平均分配在长度为 L 的区间(不一定相互紧挨着),分为 Q 段 (注)。木
条绕 C 点运动时,AC 部分小球运动,CB 部分小球不动。如果 n = 1 , n < N ,则表示
min max

n =1 ,
min

n =N ,
max

段,Q=N、N -1、N+1,均 可以。

注:按不同的 摆法,N 个小 球可能把木条 平 均 分 为 Q

则表示作用力在中间。 设作用力在左边,则 nmin= 1 ,杆转动后 AC 部分 n 个小球运动,有

n= n ( ?n
max

+ =1) n
max
min

(4-5)

则 AC 长度ξ =

/

,把ξ 和 n 代入(4-4),得

2

?Q

2

num = 2n

max
max

(Q N or N,

1,

1or N +


(4-6)

4 分

4n ? 2Q

[

由 于 小 球 运 动 的 号 码 是 整 数 , 所 以 上 式 还 需 要取 整 数 。 最 后 得 到 作 用 力 的 位 置 在

,

+ 1]号码的小球之间。

(3)沿 AB 方向的推力 F1= μ Mg ;垂直 AB 推时,从(4-2)和(4-3)中还可以解出

μ Mg( (? ?L
F=
2

2 ) + (L ? 2 ) + L )
2 2

L F
2

(4-7)
2 2

2 分

把 F1 与 F2 的比值算出 来,设

(L ? 2 ) + L ? (L ? 2 ) = L

η
= ,可以得到
(4-8)

F
1

η ∈[ 2 1, 1] [0.414, 1]
即η ∈[0, 众
的数据有否有问题。若η ∈[ 2 1,

2 1) [0, 0.414) 是不可能出现的。因此魔术师根据η 值的范围就可以肯定观
2 2 2) [0.414, 0.828) 时,观众故意报错一半就会被

2 分,不必考虑 区间的开闭。

发现。若η ∈[2 2 2,

1] [0.828, 1] 时,观众故意报错一半不会被发现,

五、对称破缺的太极图(20 分) 【解】:(1)由于惯性矩和惯性积的定义:
2

I =∫ x
z

I

2

x

= ∫ z dA , I = ∫ x zdA
xz

(5-1)

2 分

dA ,
A

A

A

直接积分不方便,下面采用简便的方法处理。为便于后面的分析,可以认为半太极图是这 样得到的:把半圆裁成 I、II 两部分,再把 I 旋转后当作 III 与 II 拼接。

9

对半圆,因 z 轴为半圆的对称轴,故有

I=I
xz

xz

( )+Ixz( )=0



()

()

()

()

I =I
且易知
x z

+I
x x

, I =I
z z

=I

(5-2)

z

x

I = I (半圆)
其中 I ,
x xz
()

(5-3)

, I ( i I II

() ()

,)
类似(5-1)中的定义,只是积分的区域分别为 AI和 AII。

从半圆到半太极图的变换,是将 I 中的点 由于变换前 后 x z , x2, z2的符号均保持不变。于是有
()
III=

(

,

)

()

变为 III 中的(? ?x,

z)

()

III



()

()

()

I
x

, =I
()

, =I
()

因此有
xz

I

x

I I
()

z

z

I

xz

(5-4) (5-5) 2 分

xz

I = I( )xz + I
III

()

xz

=

xz

+

I

()

xz

≡ 0 (半太极图)
() ()
x
x

( )III

()

I= I
x z

x

+I
()

x

= I+ I
() ()

()
z

且有

I= I

z

+I

z

= I+ I
z

2 分

Ix= Iz(半太极图) 在太极图中,由坐标旋转变换下的转轴公式: ? =I I
??
x' x z

+I +

I ?I

α
xz z

α
? I sin 2
2 分

x

cos 2

2 +I ?
x z x

2 I ?I
z

? ? =I I
知: ??
z′

α+
cos 2

α
I xz sin 2

2
x'

2 I =I =I =I
z' x z

2 分 (2)图形能

够绕 z 轴稳定旋转的前提:z 轴过质心,且为主轴。 第一种解法(简单的解法):假设图形粘上钢珠后可以绕 z 轴转动,考虑惯性力的平衡, 把对 称部分去掉后,只留下钢珠和右边的小圆,且小圆的直径为 r,质量为 0.5m。钢珠与小圆 位置 2 分 之间
10

的连接为不计质量的杆。

z

M S2 (x,z) r/2
图 2 分

S1 m/2
很明显,惯性力与 z 轴垂直,由惯性力矩平衡,钢珠必在 x 轴上,即 Z 方向位置 1

z=0 。
由惯性力平衡: S + S = 0
1 2

1

mr

1

2

S=2
1 2 1

ω , S = Mxω
2

2

即 Mx = ? 4mr,考虑到在 AO 之间没有地方可以粘钢珠,只有在尖点处( x = ?r ),粘上
1

X 方向位置 2 分 质量 3 分

M = m 的钢珠,可以绕 z 轴稳定地转动。
4

(注:如果已经得到
4

1
2

1
2

1

办法用胶水把钢珠粘在这个空档位置,扣 2 分)

Mx = mr ,但是最后答案不同,如 x = r , M = m ,因为这时没有

第二种解法(重新计算分数): 在不加配重时,对均质半圆有 rC= 4 / (3π) 。采用面积法求重心。 对 I 部分,质量为 mI= ? 1 m ,质心坐标为
4
CI 2 3

T

r = ?( 1 r,0, 2 r / π) ;
T

对 I+II 部分,质量为 mI II m ,质心坐标 rCI II+=(0,0,3r / π) 为 1 对 III 部分,质量为 rCI = 12r ? 2r mIII=4m ,质心坐标为 3 / π) 因此图形的质心为

=

4

T

; ;

mr +m r =
C I CI

r m

+

+

mr
III CIII

I II CI II

=

1r 4

r

π)

T

(5-6)

设配重质量为 M,位置为 ( ,0, )zT,则图形加配重后新的质心为

=
根据 z 轴过质心的要求,有

(
mr

4

+ mrπ Mz

)

T

r

+

C

4( m M My)

,0, π(m M+
)

(5-7) (5- 类似前面 惯性矩的

mr + 4Mx = 0
8)

计算方法,太极图形与配重的转动惯量分别为
11

2 分

J1
O

? 1 2 ? 4 mr =? ? 0

0
1 2 2

? 0 ?

? Mz =?
O

2

0 +
2 2

?Mxz? ? z ) 0 ? ? Mx
2

mr
1

0 ? , J2 ? 0 ? ?
2

( 0

? ?Mxz

? 0
图形加上配重后,

0

4

mr ?
2 1 4 2

? ?Mxz 0
1 2

? J =J
O O1

? ? ? ?
2

+ J O2

mr + Mz =? 0 ? ? ? ? Mxz

mr +

2

(
2

+
2

0 z )
2

0 xz = 0

z 要求是主轴,则 现在同时考虑(5-8)、(5-9),以 M = m = 1 m i i, 及 出
i 16

1 4

mr + Mx ?
(5-9) 2 分

( = 1, 2,...,16) ,可以得

4r z = 0, x = ?
可以加 。注意到在半太极图上的左边尖点(设为 A 点)到 O 点之间都没有地方 位置 3 分

i
配重,因此只能在 z = 0, x = ?r (尖点处)加配重,且配重的质量是 M = m = 1m时,可以

绕 z 轴稳定地转动。

12

4

4

质量 3 分


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