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全国高中数学联赛模拟试题(十)


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全国高中数学联赛模拟试题(十)
(命题人:杨建忠 审题人:李潜)

第一试
一、选择题: (每小题 6 分,共 36 分)
1、设集合 M={?2,0,1},N={1,2,3,4,5},映射 f:M→N 使对任意的 x∈

M,都 有 x+f(x)+xf(x)是奇数,则这样的映射 f 的个数是 (A)45 (B)27 (C)15 (D)11 2、已知 sin2?=a,cos2?=b,0<?< ① ⑤
b

?
4

,给出 tan ? ? ?
?

?

? ?

? 值的五个答案: 4 ?

1? a a ?b ?1 a ? b ?1



② .

a 1? b





1? b a





1? a b



其中正确的是: (A)①②⑤ (B)②③④ (C)①④⑤ (D)③④⑤ 3、若干个棱长为 2、3、5 的长方体,依相同方向拼成棱长为 90 的正方体, 则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是 (A)64 (B)66 (C)68 (D)70 4、递增数列 1,3,4,9,10,12,13,?,由一些正整数组成,它们或者是 3 的幂, 或者是若干个 3 的幂之和,则此数列的第 100 项为 (A)729 (B)972 (C)243 (D)981 5、 C 1n ? C 5 ? C 9 ? ? ? C 4 m ? 1(其中 m ? ? [x]表示不超过 x 的最大整数) n n n ?, ? 4 ? 的值为 (A) 2 n cos
1? 2?

? n ? 1?

n? 4

(B) 2 n sin
n? ? ? 4 ? 1? 2?

n? 4

(C) ? 2 n ?1 ? 2 n cos

(D) ? 2 n ?1 ? 2 n sin

n? ? ? 4 ?

6、一个五位的自然数 abcde 称为“凸”数,当且仅当它满足 a<b<c,c>d >e(如 12430,13531 等) ,则在所有的五位数中“凸”数的个数是 (A)8568 (B)2142 (C)2139 (D)1134

二、填空题: (每小题 9 分,共 54 分)
1、过椭圆
x
2

?

y

2

3

2

? 1 上任意一点 P, 作椭圆的右准线的垂线 PH 为垂足) (H ,

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并延长 PH 到 Q,使得 HQ=?PH(?≥1) .当点 P 在椭圆上运动时,点 Q 的轨迹的离心率的取值范围是 . 2、已知异面直线 a、b 所成的角为 60°,过空间一点 P 作与 a、b 都成角? (0<?<90°)的直线 l,则这样的直线 l 的条数是 f(?)= . 3、不等式
4x
2 2

?1 ?

1? 2x ?

? 2x ? 9

的解集为


? ? 2i ?
? z z ? 2i

4、设复数 z 满足条件|z?i|=1,且 z≠0,z≠2i,又复数?使得 实数,则复数??2 的辐角主值的取值范围是 5、设 a1,a2,?,a2002 均为正实数,且
1 2 ? a1 ? 1 2 ? a2 ?? ?




1 2 ? a 2002 ? 1 2

,则

a1a2?a2002 的最小值是 . 6、在一个由十进制数字组成的数码中,如果它含有偶数个数字 8,则称它为 “优选”数码(如 12883,787480889 等) ,否则称它为“非优选”数码 (如 2348756,958288 等) ,则长度不超过 n(n 为自然数)的所有“优 选”数码的个数之和为 .

三、 (20 分)
已知数列{an}是首项为 2,公比为 (1) 用 Sn 表示 Sn+1; (2) 是否存在自然数 c 和 k,使得
S k ?1 ? c Sk ? c

1 2

的等比数列,且前 n 项和为 Sn.

>2 成立.

四、 (20 分)
设异面直线 a、b 成 60°角,它们的公垂线段为 EF,且|EF|=2,线 段 AB 的长为 4,两端点 A、B 分别在 a、b 上移动.求线段 AB 中点 P 的 轨迹方程.

五、 (20 分)
已知定义在 R+上的函数 f(x)满足 (i)对于任意 a、b∈R+,有 f(ab)=f(a)+f(b); (ii)当 x>1 时,f(x)<0; (iii)f(3)=?1. 现有两个集合 A、B,其中集合 A={(p,q)|f(p2+1)?f(5q)?2>0,p、q∈ R+},集合 B={(p,q)|f(
p q

)+

1 2

=0,p、q∈R+}.试问是否存在 p、q,使

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A? B ? ?

,说明理由.

第二试
一、 (50 分)
如图,AM、AN 是⊙O 的切线,M、N 是切点,L 是劣弧 MN 上异于 M、N 的点,过点 A 平行于 MN 的直线分别交 ML、NL 于点 Q、P.若
S ⊙O ? 2? 3 S △ POQ

,求证:∠POQ=60°. M P

O N

L

A

Q

二、 (50 分)
已知数列 a1=20,a2=30,an+2=3an+1?an(n≥1) .求所有的正整数 n, 使得 1+5anan+1 是完全平方数.

三、 (50 分)
设 M 为坐标平面上坐标为(p· 2002,7p· 2002)的点, 其中 p 为素数. 求 满足下列条件的直角三角形的个数: (1) 三角形的三个顶点都是整点,而且 M 是直角顶点; (2) 三角形的内心是坐标原点.

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参考答案
第一试
一、选择题: 题号 答案 二、填空题:
? 0 , 0 ? ? ? ? 30 ? ? 1, ? ? 30 ? ? ? f ?? ? ? ? 2 , 30 ? ? ? ? 60 ? ; ? 3 , ? ? 60 ? ? ? 4 , 0 ? ? ? ? 90 ? ?
? ? ? ,? ? 3 ? 4

1 A

2 C

3 B

4 D

5 D

6 B

1、 ?

?

? ,1 ? ? ? 3 ? 3



2、

3、 ? ?
?

?

1

? ? 45 ? ,0 ? ? ? 0 , ?; 2 ? ? 8 ?
2002

4、 ? ? ? arctan



5、4002



n ?1 n ?1 1 ? 10 8 142 ? ? ? ? ? 6、 ? 2? 9 7 63 ? ?



三、 (1) S n ? 1 ?

1 2

Sn ? 2



(2)不存在.

四、

x

2

? y

2

?1.

9

五、不存在.

第二试
一、证略; 二、n=3. 三、 p≠2,7,11,13 时,324 个;p=2 时,162 个;p=7,11,13 时,180 个.

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