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1.平面直角坐标系的伸缩变换


一分耕耘

一分收获

平面直角坐标系的伸缩变换

平面直角坐标系的伸缩变换
课前思考:

(1)怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线y=sin2x?

(2)怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx?

(3)怎样由正弦曲线y=sinx

得到曲线y=3sin2x?

平面直角坐标系中的伸缩变换
思考: (1)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
y

y=sin2x ?
2?
x

O

y=sinx

在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐标不变, 将横坐标x缩为原来的 1 ,就得到正弦曲线y=sin2x. 2 上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换,即:

设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持纵坐标
不变,将横坐标x缩为原来的 1 ,得到点 2 坐标对应关系为:? 1

p? ? x?, y??

? x? ? x 2 ? ① ? ? y? ? y

通常把 ①叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。

(2)怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线 y=3sinx?写出其坐标变换。

y

y=3sinx y=sinx 2?

O

?

x

在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持横坐标不变, 将纵坐标y伸长为原来的3倍,就得到正弦曲线y=3sinx. 上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换,即:

设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持横坐标
不变,将纵坐标y伸长为原来的3倍,得到点 坐标对应关系为:? x?

p? ? x?, y??

?x ② ? ? y ? ? 3y

通常把 ②叫做平面直角坐标系中的一个 伸长变换。

(3)怎样由正弦曲线 y=sinx 得到曲线 y=3sin2x?写出其坐标变换。

y

y=3sin2x y=sinx 2?
O

?

x

(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵 1 坐标不变,将横坐标x缩为原来的 ,在此基 2 础上,将纵坐标变为原来的3倍,就得到正弦 曲线y=3sin2x. 1 ? 设点P(x,y)经变换得到点为 ? x? ? x

2 ? ? ? y? ? 3 y



通常把 ③叫做平面直角坐标系中的 一个坐标伸缩变换。

定义:设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点, 在变换 (? ? 0) ?x' ? ? x ? :? 4 ( ? ? 0) ? y' ? ? y 的作用下,点P(x,y)对应 p? ? x?, y?? 称

? 为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注 (1) ? ? 0, ? ? 0 (2)把图形看成点的运动轨迹,平面图 形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到; (3)在伸缩变换下,平面直角坐标系不变, 在同一直角坐标系下进行伸缩变换。

例2:在直角坐标系中,求下列方程所对应的图 形经过伸缩变换 ? x? ? 2 x 后的图形。

? ? y? ? 3 y

(1)2x+3y=0; (2)x2+y2=1

1 ? ? x ? x ? x ? 2 x ? ? ? 2 解: 得? ?1?由伸缩变换 ? ? ? y ? 3y ? y ? 1 y? ? 3 ? 代入2x+3y=0 得x?+y?=0

例2:在直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过 伸缩变换 ? x? ? 2 x 后的图形。

你 (1)2x+3y=0; 1 ? 有 ? x ? x ? x? ? 2 x ? 什 ? 2 得? ? 2 ?由伸缩变换 ? ? ? y ? 3 y ? y ? 1 y? 么 发 ? 3 ? 2 2 ? ? 2 2 x y 现 代入x +y =1得 + =1 ? 4 9
(2)x2+y2=1

? ? y? ? 3 y

结论分析:
由上所述可以发现,在伸缩变换下,直 线仍然变成直线,而圆可以变成椭圆。

思考:
在伸缩变换下,椭圆是否可以变成圆? 抛物线、双曲线变成什么曲线?

完成课本练习P8.第4题

1.在同一直角坐标系下,求满足下列图形的伸缩变换: 曲线4x2+9y2=36变为曲线

x? ? y? ? 1
2 2

? x? ? ? x 1解:设伸缩变换 ? ?,? ? 0? ? ? y? ? ? y

代入x? +y? =1得
2 2

? x ? ? y ?1
2 2 2 2

又4 x ? 9 y ? 36
2 2

1 ? ? 1 ? x ? x ?? ? ? ? 3 3 得? 则? ? ? y? ? 1 y ?? ? 1 ? ? ? 2 ? 2

x? ? 3x ? 2.在同一直角坐标系下经过伸缩变换? 后, ? y? ? y 曲线C变为x?2 ? 9 y?2 ? 9 ,求曲线C的方程并画出 图形。

? x? ? 3x 2.解:将 ? 代入 ? y? ? y

x? -9y? =9
2 2

得9x -9y =9

2

2

即x -y =1

2

2

? x? ? 2 x ? 3.将曲线C经过伸缩变换 ? ? 1 后对应图形的方程 y ? y ? 3 ? 为x2-y2=1,则曲线C的焦点为____________.
1 解析:由条件知点(2x, y)在曲线x2-y2=1上, 3
2 y 1 2 2 ∴4x - =1,∵a = ,b2=9, 9 4

37 ∴c =a +b = , 4
2 2 2

37 37 ∴c= ,∴焦点坐标为(± ,0). 2 2

1 ? ? x? ? x 4.设平面上的伸缩变换 的坐标表达式为 ? 2 ? 则在这一坐标变换下正弦曲线 ? y? ? 3 y y=sinx的方程变为____________. 1 ? x ? 2 x? ? 解: ? ? x? ? 2 x ? ? 1 ? ? ? y ? y ? ? 3 ? y? ? 3 y ?
代入y=sinx 得y? ? 3 sin 2 x?

课堂小结:

(1)运用坐标系中的伸缩变换解决 问题的关键是什么? (2)掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。


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