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【创新设计】2014年高考数学(理)二轮复习课件 简易通 常考问题7三角恒等变换与解三角形


常考问题7 三角恒等变换与解三角形

知识与方法

热点与突破

审题与答题

[真题感悟]

[考题分析]

知识与方法

热点与突破

审题与答题

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)

sin(α± β)=sin αcos β± cos αsin β. (2)cos(α± β)=cos αcos β?sin αsin β. tan α± tan β (3)tan(α± β)= . 1?tan αtan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α. (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. 2tan α (3)tan 2α= . 1-tan2α
知识与方法 热点与突破 审题与答题

3.正弦定理 a b c sin A=sin B=sin C=2R(2R 为△ABC 外接圆的直径). 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. a b c sin A= ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.

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4.余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C. b2+c2-a2 a2+c2-b2 推论:cos A= ,cos B= , 2bc 2ac a2+b2-c2 cos C= . 2ab

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5.三角形面积公式 1 1 1 S△ABC= bcsin A= acsin B= absin C. 2 2 2 6.三角恒等变换的基本思路 (1)“化异为同”,“切化弦”,“1”的代换是三角恒等变换的 常用技巧.如 1=cos2θ+sin2θ=tan 45° 等. “化异为同”是指“化异名为同名”,“化异次为同次”,“化 异角为同角”. (2)角的变换是三角变换的核心,如 β=(α+β)-α,2α=(α+β)
? α+β ? β ? ?α +(α-β), =?α-2?-?2-β?等. 2 ? ? ? ?
知识与方法 热点与突破 审题与答题

7.解三角形的四种类型及求解方法
(1)已知两角及一边,利用正弦定理求解. (2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解 的情况可能不唯一. (3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解.

(4)已知三边,利用余弦定理求解.
8.利用解三角形的知识解决实际问题的思路 把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中, 通过解这样的三角形即可求出实际问题的答案.注意要检验解 出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,从而得出正确

结果.
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热点与突破
热点一 三角变换及应用

? ?α ? 2 β? π 1 【例 1】 (1)已知 0<β<2<α<π,且 cos?α-2?=-9,sin?2-β?=3, ? ? ? ?

求 cos(α+β)的值; 1 1 (2)已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)=2,tan β=-7,求 2α-β 的值.

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审题与答题

?α ? π π α π π β 解 (1)∵0<β< <α<π,∴- < -β< , <α- <π,∴cos?2-β?= 2 4 2 2 4 2 ? ?

1-sin

2

?α ? ? -β?= ?2 ?

5 3,
2

? β? sin?α-2?= ? ?

1-cos

? β? 4 5 ?α- ?= , 2 9 ? ?

?? α+β β? ?α ?? ∴cos =cos??α-2?-?2-β?? 2 ?? ? ? ?? ? ? β ? ?α ? β ? ?α ? =cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?sin?2-β? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? =?-9?× ? ?

5 4 5 2 7 5 3 + 9 ×3= 27 ,
2α+β

∴cos(α+β)=2cos

49×5 239 2 -1=2× 729 -1=-729.
知识与方法 热点与突破 审题与答题

tan?α-β?+tan β (2)tan α=tan[(α-β)+β]= 1-tan?α-β?tan β 1 1 2-7 1 = = , 1 1 3 1+ × 2 7 1 1 + tan α+tan?α-β? 3 2 tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]= = =1. 1 1 1-tan αtan?α-β? 1- × 3 2 1 π ∵tanα= >0,∴0<α< ,∴0<2α<π. 3 2

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2tan α 3 又 tan 2α= 2 = >0, 1-tan α 4 π 1 π ∴0<2a< .∵tan β=- <0,∴ <β<π,∴-π<2α-β<0.∴2α-β= 2 7 2 3π - . 4 [规律方法] (1)要仔细观察分析所求角与已知条件的关系,灵活使 α+β α-β 用角的变换,如 α=(α+β)-β,α= 2 + 2 等. (2)由于三角函数的多值性,故要对角的范围进行讨论,确定并求 出限定范围内的角.

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【训练 1】 (2013· 广东卷)已知函数 f(x)= (1)求
? π? f?-6?的值; ? ?

? π? 2cos?x-12?,x∈R. ? ?

?3π ? ? π? 3 (2)若 cos θ= ,θ∈? 2 ,2π?,求 f?2θ+3?. 5 ? ? ? ?

解 (1)f =

? π? ?- ?= ? 6?

? π π? 2cos?-6-12? ? ?

? π? 2cos?-4?= ? ?

π 2cos =1. 4

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(2) f

? π? ?2θ+ ?= 3? ?

? ? π π? π? 2cos?2θ+3-12?=2cos?2θ+4? ? ? ? ?

=cos 2θ-sin 2θ,
?3π ? 3 4 又 cos θ=5,θ∈? 2 ,2π?,∴sin θ=-5, ? ?

24 7 2 ∴sin 2θ=2sin θcos θ=- ,cos 2θ=2cos θ-1=- , 25 25 ∴f
? π? ?2θ+ ?=cos 3? ?

7 24 17 2θ-sin 2θ=-25+25=25.

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热点二 正、余弦定理的应用 【例 2】 △ABC 的面积是 30,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, 12 c,cos A=13. (1)求AB· AC; (2)若 c-b=1,求 a 的值.

→ →

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审题与答题

12 解 (1)由 cos A= ,且 0<A<π, 13 得 sin A=
?12? 5 2 1-?13? =13. ? ?

1 又 S△ABC= bcsin A=30, 2 所以 bc=156, 12 所以AB· AC=bccos A=156×13=144.

→ →

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(2)由(1)知 bc=156, 12 又 cos A= ,c-b=1, 13 在△ABC 中,由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A=(c-b)2+2bc(1-cos A)
? 12? =1+2×156×?1-13? ? ?

=25, 所以 a=5

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审题与答题

[规律方法] 求解此类问题,一要注意从问题的不断转化中寻求解

题的突破口, 如求AB· AC, 需要求出 bc, 由三角形的面积及 cos A, 可求出 sin A,二要注意求解本题第(2)问时,应该结合第(1)问中的 结论.

→ →

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【训练 2】 (2013· 山东卷)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别 7 为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cos B=9. (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值. 解 (1)由余弦定理,得

a2+c2-b2 a2+c2-4 7 14 2 2 cos B= 2ac = 2ac =9,即 a +c -4= 9 ac. 14 ∴(a+c) -2ac-4= 9 ac,∴ac=9.
2

? ?a+c=6, 由? ? ?ac=9,

得 a=c=3.
知识与方法 热点与突破 审题与答题

7 (2)在△ABC 中, cos B=9, ∴sin B= 1-cos2B= 4 2 3× 9 asin B 2 2 由正弦定理,得 sin A= = = . b 2 3

?7? 4 2 2 ? ? 1- 9 = 9 . ? ?

π 1 2 又∵a=c,∴A=C,∴0<A<2,∴cos A= 1-sin A=3,∴sin (A 2 2 7 1 4 2 10 2 -B)=sin Acos B-cos Asin B= 3 ×9-3× 9 = 27 .

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热点三 正、余弦定理的实际应用

【例3】 如图,正在海上A处执行任务的渔政船甲和在B处执行任
务的渔政船乙,同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信 号,此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70 km的C处,渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B处.两 艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直 线AC航行前去救援,渔政船乙仍留在B处执行任务,渔政船 甲航行30 km到达D处时,收到新的指令另有重要任务必须执 行,于是立即通知在B处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙

(渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙),此时B,D两处相
距42 km,渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位 置C处实施营救?
知识与方法 热点与突破 审题与答题

知识与方法

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审题与答题

解 设∠ABD=α, 在△ABD 中, AD=30 km, BD=42 km, ∠BAD AD BD AD =60° ,由正弦定理,得 = ,sin α= sin∠BAD= sin α sin∠BAD BD 30 5 3 11 2 = 14 .又 AD<BD, 所以 0° <α<60° , cos α= 1-sin α=14, 42sin 60° 1 cos∠BDC=cos(60° +α)=-7. 在△BDC 中,由余弦定理, 得 BC2=DC2+BD2-2DC· BD· cos∠BDC =402+422-2×40×42cos(60° +α)=3 844,所以 BC=62(km). 答: 渔政船乙要航行 62 km 才能到渔船丙所在位置 C 处实施营救.
知识与方法 热点与突破 审题与答题

[规律方法] 解决实际问题的步骤是:(1)准确理解题意,分清已知 与所求.(2)根据题意,画出示意图,并标出条件.(3)将所求问题 归结到一个或几个相关联三角形中,通过合理运用正、余弦定理 等有关知识正确求解.(4)检验解出的结果是否具有实际意义,得 出正确答案.

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【训练 3】 在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域 被设为警戒水域,点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某 时刻测得一艘匀速直线行驶的船位于点 A 北偏东 45° 且与点 A 相距 40 2海里的位置 B,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 26 A 北偏东 45° +θ(其中 sin θ= 26 ,0° <θ<45° )且与点 A 相距 10 13海里的位置 C. (1)求该船的行驶速度(单位:海里/时); (2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断 它是否会进入警戒水域,并说明理由.
知识与方法 热点与突破 审题与答题

解 (1)如图 1,在△ABC 中,AB=40 2海里,AC=10 13海里, 26 ∠BAC=θ,sin θ= 26 . 由于 0° <θ< 45° ,所以 cos θ = 由余弦定理得 BC= AB2+AC2-2AB· AC· cos θ=10 5(海里) 10 5 所以该船的行驶速度为 2 =15 5(海里/时). 3
? 1-? ? ?

26? ?2 5 26 = . 26 26 ? ?

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(2)如图 2,以 A 为原点建立平面直角坐标系,设点 B,C 的坐标 分别是(x1,y1),(x2,y2),设 BC 的延长线与 x 轴的交点为 D.由题 2 意得,x1=y1= 2 AB=40,

图1
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图2
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x2=ACcos∠CAD=10 13cos(45° -θ)=30. y2=ACsin∠CAD=10 13sin(45° -θ)=20. 所以过点 B,C 的直线 l 的斜率为 k=2, 故直线 l 的方程为 y=2x-40. 又点 E(0,-55)到直线 l 的距离为 |0+55-40| d= =3 5<7. 1+4 所以船会进入警戒水域.

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审题示例(三) 化解三角形与其他知识的交汇性问题

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(1)法一 由已知,得 A+C=2B,又 A+B+C=π,所以 B=

π 2π ,A+C= ,由 sin C=2sin A 得 3 3
?2π ? sin? 3 -A?=2sin ? ?

3 1 3 A, 2 cos A+2sin A=2sin A,所以 tan A= 3 ,

2π π π 因为 0<A< 3 ,所以 A=6,C=2. 法二 π 由已知,得 A+C=2B,又 A+B+C=π,所以 B=3,又由
2 2 2

π sin C=2sin A,得 c=2a,所以 b =a +4a -2a· 2acos =3a2,c2 3 π 2π π π =a +b ,即△ABC 为直角三角形,所以 C=2,A= 3 -2=6.
2 2
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? ?0,n为奇数, n π n n (2)an=2 |cos nC|=2 |cos 2 |=? n 所以 S2k+1=S2k=0 ? ?2 ,n为偶数,
2k 2k+2 2k+2 4 ? 1 - 2 ? 2 - 4 2 -4 2 4 2k * +2 +0+2 +?+0+2 = = 3 ,k∈N .由 3 1-4

=340,得 22k 2=1 024,所以 k=4.所以 n=8 或 n=9.


方法点评

本题亮点在于以等差数列为载体,将数列内容与解三

角形相结合,其求解策略是:三角形中的三角恒等变换是关于三 角形的内角的三角函数之间的恒等变换,三角形内角和为 π 在其 中起关键作用,用好这个关系是破解难点的重要环节.

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[针对训练 ] 已知函数 f(x) = sin 1 -2.

2

?x π? ? + ?+ ?2 12?

?x ?x π? π? 3sin ?2+12?· cos ?2+12? ? ? ? ?

3 (1)在△ABC 中,若 sin C=2sin A,B 为锐角且有 f(B)= 2 ,求 角 A,B,C; 1 (2)若 f(x)(x>0)的图象与直线 y=2交点的横坐标由小到大依次是 x1,x2,?,xn,求数列 xn 的前 2n 项和,n∈N*.
? ? ? ? ? ?

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解 f(x)=

? π? 1-cos?x+6? ? ?

2

3 ? π? 1 + 2 sin?x+6?-2= ? ?

3 ? π? 1 ? π? π π sin?x+6?- cos?x+6?=sinx+ - =sin x. 2 6 6 ? ? 2 ? ? 3 3 π (1)因为 f(B)= ,故 sin B= .又 B 为锐角,所以 B= .由 sin C 2 2 3 π =2sin A,得 c=2a,所以 b =a +4a -2a· 2acos3=3a2.所以 c2=
2 2 2

π 2π π π a +b .所以△ABC 为直角三角形,C=2,A= 3 -2=6.
2 2

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x1+x2 π x3+x4 (2)由正弦曲线的对称性、周期性,可知 = , =2π+ 2 2 2 x2n-1+x2n π π =2(n-1)π+2,所以 x1+x2+?+x2n-1+x2n=π 2,?, 2 1 +5π+9π+?+(4n-3)π=nπ+2n(n-1)4π=(2n2-n)π.

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