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2013高考数学(理)一轮复习教案:第七篇


7.4 基本不等式
滕州市第三中学 甘磊 教学目标 重点:利用基本不等式求最值、证明不等式 难点:基本不等式求最值的条件 能力点:培养对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力 自主探究点:自主探究应用基本不等式求最值的环境 易错点:基本不等式求最值时等号成立的条件 学法与教具

【2013 年高考会这样考】 1.考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题.

2.考查应用基本不等式解决实际问题. 【复习指导】 1.突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练. 2.训练过程中注意.

基础梳理 1.基本不等式: ab≤ a+b 2

(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R); b a (2) + ≥2(a,b 同号); a b (3)ab≤? a+b?2 ? 2 ? (a,b∈R);

a2+b2 ?a+b?2 (4) ≥ 2 ? 2 ? (a,b∈R). 3.算术平均数与几何平均数 a+b 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为 ,几何平均数为 ab,基本不等式可叙述为两个正数的算术 2 平均数大于或等于它的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,x+y 有最小值是 2 p.(简记:积定和最小)

p2 (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值是 .(简记:和定积最大) 4

一个技巧 a2+b2 a+b 运用公式解题时, 既要掌握公式的正用, 也要注意公式的逆用, 例如 a +b ≥2ab 逆用就是 ab≤ ; 2 2
2 2

≥ ab(a,b>0)逆用就是 ab≤? 两个变形

a+b?2 ? 2 ? (a,b>0)等.还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等.

a2+b2 ?a+b?2 (1) ≥ 2 ? 2 ? ≥ab(a,b∈R,当且仅当 a=b 时取等号); (2) a2+b2 a+b 2 ≥ ≥ ab≥ (a>0,b>0,当且仅当 a=b 时取等号). 2 2 1 1 + a b

这两个不等式链用处很大,注意掌握它们. 三个注意 (1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本 不等式求最值,这三个条件缺一不可. (2) 在 运 用 基 本 不 等 式 时 , 要 特 别 注 意 “ 拆 ”“ 拼 ”“ 凑 ” 等 技 巧 , 使 其 满 足 基 本 不 等 式 中 “正”“定”“等”的条件. (3)连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致. 双基自测 1 1.(人教 A 版教材习题改编)函数 y=x+ (x>0)的值域为( ). x A.(-∞,-2]∪[2,+∞) C.[2,+∞) 1 解析 ∵x>0,∴y=x+ ≥2, x 当且仅当 x=1 时取等号. 答案 C a+b 1 2.下列不等式:①a2+1>2a;② ≤2;③x2+ 2 ≥1,其中正确的个数是 x +1 ab ( ). A.0 B.1 C.2 D.3 B.(0,+∞) D.(2,+∞)

1 1 解析 ①②不正确,③正确,x2+ 2 =(x2+1)+ 2 -1≥2-1=1. x +1 x +1 答案 B 3.若 a>0,b>0,且 a+2b-2=0,则 ab 的最大值为( ).

1 A. 2

B.1

C.2

D.4

解析 ∵a>0,b>0,a+2b=2, 1 ∴a+2b=2≥2 2ab,即 ab≤ . 2 答案 A 1 4.(2011· 重庆)若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=( ). x-2 A.1+ 2 B.1+ 3 C.3 D.4 1 +2≥2 x-2 1 1 ?x-2?× +2=4,当且仅当 x-2= (x> x-2 x-2

解析 当 x>2 时,x-2>0,f(x)=(x-2)+

2),即 x=3 时取等号,即当 f(x)取得最小值时,x=3,即 a=3. 答案 C t2-4t+1 5.已知 t>0,则函数 y= 的最小值为________. t t2-4t+1 1 解析 ∵t>0,∴y= =t+ -4≥2-4=-2,当且仅当 t=1 时取等号. t t

答案 -2 考向一 利用基本不等式求最值 1 1 【例 1】?(1)已知 x>0,y>0,且 2x+y=1,则 + 的最小值为________; x y (2)当 x>0 时,则 f(x)= 2x 的最大值为________. x2+1

1 1 [审题视点] 第(1)问把 + 中的“1”代换为“2x+y”,展开后利用基本不等式; x y 第(2)问把函数式中分子分母同除“x”,再利用基本不等式. 解析 (1)∵x>0,y>0,且 2x+y=1, 1 1 2x+y 2x+y ∴ + = + x y x y y 2x =3+ + ≥3+2 2. x y y 2x 当且仅当 = 时,取等号. x y (2)∵x>0, 2x 2 2 ∴f(x)= 2 = ≤ =1, 1 2 x +1 x+ x 1 当且仅当 x= ,即 x=1 时取等号. x 答案 (1)3+2 2 (2)1

利用基本不等式求函数最值时,注意“一正、二定、三相等,和定积最大,积定和最小”.常 用的方法为:拆、凑、代换、平方. 1 【训练 1】 (1)已知 x>1,则 f(x)=x+ 的最小值为________. x-1 2 (2)已知 0<x< ,则 y=2x-5x2 的最大值为________. 5 (3)若 x,y∈(0,+∞)且 2x+8y-xy=0,则 x+y 的最小值为________. 1 解析 (1)∵x>1,∴f(x)=(x-1)+ +1≥2+1=3 当且仅当 x=2 时取等号. x-1 1 (2)y=2x-5x2=x(2-5x)= · (2-5x), 5x· 5 2 ∵0<x< ,∴5x<2,2-5x>0, 5 ∴5x(2-5x)≤?

?

5x+2-5x?2 2 ? =1,

1 ∴y≤ ,当且仅当 5x=2-5x, 5 1 1 即 x= 时,ymax= . 5 5 (3)由 2x+8y-xy=0,得 2x+8y=xy, 2 8 ∴ + =1, y x 8 2 8y 2x ∴x+y=(x+y)? x+y?=10+ + ? ? x y 4y x =10+2? x +y?≥10+2×2× ? ? 4y x ·=18, x y

4y x 当且仅当 = ,即 x=2y 时取等号, x y 又 2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6, ∴当 x=12,y=6 时,x+y 取最小值 18. 1 答案 (1)3 (2) (3)18 5

考向二 利用基本不等式证明不等式 bc ca ab 【例 2】?已知 a>0,b>0,c>0,求证: + + ≥a+b+c. a b c [审题视点] 先局部运用基本不等式,再利用不等式的性质相加得到. 证明 ∵a>0,b>0,c>0, bc ca ∴ + ≥2 a b bc ca · =2c; a b

bc ab + ≥2 a c ca ab + ≥2 b c

bc ab · =2b; a c ca ab · =2a. b c

bc ca ab 以上三式相加得:2? a + b + c ?≥2(a+b+c), ? ? bc ca ab 即 + + ≥a+b+c. a b c 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,证明思路是从已证不等式和问题 的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题. 【训练 2】 已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1. 1 1 1 求证: + + ≥9. a b c 证明 ∵a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1, 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ∴ + + = + + a b c a b c b c a c a b =3+ + + + + + a a b b c c b a c a c b =3+?a+b?+?a+c?+?b+ c? ? ? ? ? ? ? ≥3+2+2+2=9, 1 当且仅当 a=b=c= 时,取等号. 3 考向三 利用基本不等式解决恒成立问题 x 【例 3】?(2010· 山东)若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是________. x +3x+1 x x x [审题视点] 先求 2 (x>0)的最大值,要使得 2 ≤a(x>0)恒成立,只要 2 (x>0)的最大 x +3x+1 x +3x+1 x +3x+1 值小于等于 a 即可. x x 解析 若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,只需求得 y= 2 的最大值即可,因为 x>0,所以 y= x +3x+1 x +3x+1 x 1 = ≤ 1 x +3x+1 x+ +3 2 x
2

1

1 1 = ,当且仅当 x=1 时取等号,所以 a 的取值范围是?5,+∞? ? ? 1 5 x· x

1 答案 ?5,+∞? ? ? 当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时,可直接求出这个最值(最值可能含有参数), 然后建立关于参数的不等式求解. 【训练 3】(2011· 宿州模拟)已知 x>0, y>0, xy=x+2y, xy≥m-2 恒成立, 若 则实数 m 的最大值是________. 解析 由 x>0,y>0,xy=x+2y≥2 m 的最大值为 10. 2xy,得 xy≥8,于是由 m-2≤xy 恒成立,得 m-2≤8,m≤10,故

答案 10 考向三 利用基本不等式解实际问题 【例 3】?某单位建造一间地面面积为 12 m2 的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长 度 x 不得超过 5 m.房屋正面的造价为 400 元/m2,房屋侧面的造价为 150 元/m2,屋顶和地面的造价费用 合计为 5 800 元,如果墙高为 3 m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低? [审题视点] 用长度 x 表示出造价,利用基本不等式求最值即可.还应注意定义域 0<x≤5;函数取最小值 时的 x 是否在定义域内,若不在定义域内,不能用基本不等式求最值,可以考虑单调性. 16 12 解 由题意可得,造价 y=3(2x×150+ ×400)+5 800=900?x+ x ?+5 800(0<x≤5), ? ? x 16 则 y=900?x+ x ?+5 800≥900×2 ? ? 16 x× +5 800=13 000(元), x

16 当且仅当 x= ,即 x=4 时取等号. x 故当侧面的长度为 4 米时,总造价最低. 解实际应用题要注意以下几点: (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数; (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值; (3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 【训练 3】 (2011· 广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为 10 万件,每件水晶产品的销售价 格为 100 元,固定成本为 80 元.从今年起,工厂投入 100 万元科技成本.并计划以后每年比上一年多投 入 100 万元科技成本.预计产量每年递增 1 万件,每件水晶产品的固定成本 g(n)与科技成本的投入次数 n 的关系是 g(n)= 80 .若水晶产品的销售价格不变,第 n 次投入后的年利润为 f(n)万元. n+1

(1)求出 f(n)的表达式; (2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元? 解 (1)第 n 次投入后, 产量为(10+n)万件, 销售价格为 100 元, 固定成本为 万元. 所以,年利润为 f(n)=(10+n)?100- (2)由(1)知 f(n)=(10+n)?100- 80 元, 科技成本投入为 100n n+1

? ?

80 ? ?-100n(n∈N*). n+1?

? ?

80 ? ?-100n n+1?

? =1 000-80? n+1+ ?
当且仅当 n+1=

9 ? ?≤520(万元). n+1?

9 , n+1

即 n=8 时,利润最高,最高利润为 520 万元. 所 以 , 从 今 年 算 起 第 8 年 利 润 最 高 , 最 高 利 润 为 520 万

元. 阅卷报告 8——忽视基本不等式成立的条件致误 【问题诊断】 利用基本不等式求最值是高考的重点,其中使用的条件是“一正、二定、三相等”,在使 用时一定要注意这个条件,而有的考生对基本不等式的使用条件理解不透彻,使用时出现多次使用不等式 时等号成立的条件相矛盾.,【防范措施】 尽量不要连续两次以上使用基本不等式,若使用两次时应保证两 次等号成立的条件同时相等. 1 2 【示例】?已知 a>0,b>0,且 a+b=1,求 + 的最小值. a b 错因 两次基本不等式成立的条件不一致. 实录 ∵a>0,b>0,且 a+b=1, ∴ab≤? a+b?2 1 ? 2 ? =4. 2 1 1 ,而 ab≤ ,∴ ≥4, ab 4 ab

1 2 又 + ≥2 a b

1 2 1 2 ∴ + ≥2 8=4 2,故 + 的最小值为 4 2. a b a b 正解 ∵a>0,b>0,且 a+b=1, 1 2 1 2 b 2a ∴ + =?a+b?(a+b)=1+2+ + ≥3+2 ? a b ? a b b 2a · =3+2 2. a b

?a+b=1, ? ?a= 2-1, 当且仅当?b 2a 即? 时, ?b=2- 2 ? ?a= b ,
1 2 + 的最小值为 3+2 2. a b 1 1 【试一试】 (2010· 四川)设 a>b>0,则 a2+ + 的最小值是( ). ab a?a-b? A.1 B.2 C.3 D.4

1 1 [尝试解答] a2+ + ab a?a-b? 1 1 =a2-ab+ab+ + ab a?a-b? 1 1 =a(a-b)+ +ab+ ab a?a-b? ≥2 1 a?a-b?· +2 a?a-b? 1 ab· ab

=2+2=4. 1 1 当且仅当 a(a-b)= 且 ab= , ab a?a-b? 即 a=2b 时,等号成立.

答案 D


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