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吉林省延边州2017届高三下学期复习质量检测试题 数学(文) Word版含答案


延边州2017年高考复习质量检测

文科数学
注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的 姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非 选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题前,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号 涂黑。 第Ⅰ卷 (选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的,请将正确选项填写在答题卡上。 1、已知集合 A ?

?a A. ? 2 , 4 ?

, 4 ,B ?

?2, B. ? ?2 , 4 ?
4 5

?

?B? a 2 ,且 A∩ ? B ? ?4?,则 A ∪
C. ? 2 , 2 , 4

?

?

?

D. ? 4 , 2 , 4

?

?

2、若复数 z 满足 (3 ? 4i )z ? 5 ,则 z 的虚部为 A. ? 4 B. ?

C.

4 5

D. 4

3、下列说法中正确的是 A. 命题“ p ? q ”为假命题,则 p, q 均为假命题;
x?o ; ? 1” B. 命题“ ?x ? (0,??) , 2 ? 1 ”的否定是“ ?xo ? ? (0,??) , 2

x

2 2 2 2 ; C. 命题“若 a ? b ,则 a ? b ”的逆否命题是“若 a ? b ,则 a ? b ”

D. 设 x ? R ,则“ x ?

1 2 ”是“ 2 x ? x ? 1 ? 0 ”的必要而不充分条件. 2

4、已知 m , n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是 A. m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ? ? // ? B. ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n C. m ? ? , m ? n ? n // ? D. m // n , n ? ? ? m ? ?

5、执行如图所示的算法程序框图,输出的结果是 A. 2
11

开始

-2

B. 2

11

-1
-1-

s=0, k=1 k≤10?
是 否

s=s+2k k=k+1

输出 S 结束

C. 2

10

-2

D. 2

10

-1

6、已知向量 a ? (2 ,?1) , b ? (1 , 7) ,则下列结论正确的是 A. a ? (a ? b) B. a ? (a ? b)

C. a ? b D. a // b 7、如图为某几何体的三视图,则该几何体的外接球的直径为 4
\ 4

A. 10 C. 5

B.

34
34 2

4
\ 4

D.

3
正视图

侧视图

3

俯视图

1 8、已知等比数列 ?a n ? 中,各项都是正数,且 3a 1 , a 3 ,2a 2 成等差数列,则等比数列 ?a n ? 2
公比 q 等于 A. 3 B. 9 C. 2 7 D. 81

9、下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生 产能耗 y (吨)的几组对应数据,根据下表提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归直线方 程为 y ? 0.7 x ? 0.35,则下列结论错误的是
?

x
y

3 2.5

4 t

5 4

6 4.5

A.线性回归直线一定过点(4.5,3.5) B.产品的生产能耗与产量是正相关 C.t 的取值是 3.15 D.A 产品每多生产 1 吨,则相应的生产能耗约增加 0.7 吨
2 2 10、如果圆 ( x ? a ) ? ( y ? a ) ? 8 上存在一点 P 到直线 y ? ? x 的最短距离为 2 ,则实数

a 的值为
A. ? 3 B. 3 C. 3 2 D. ? 3 或 3

x2 y2 11、设 F1 , F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, P 是双曲线右支上一 a b
-2-

点,满足 PF 1 ? PF 2 ? 0 ,且 3 PF1 ? 4 PF2 ,则双曲线的离心率为 A. 2 B.

3

C.

2

D. 5

? x 2 , x ? ?0,1? 1 12、已知定义在 R 上函数 f ( x ) ? ? ,且 f ( x ? 2) ? f ( x ), g( x ) ? , 2 x?2 ? ? x , x ? ?? 1,0?
则方程 f ( x ) ? g( x ) 在区间 ? 7,3 上的所有实根之和为( A. ? 9 B. ? 10 C. ? 11

?

?

) D. ? 12

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答, 第 22 题、23 题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上。 13、曲线 f ( x ) ? x 3 ? x 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 .

?x ? 0 ? 14、记不等式组 ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域为 D,若直线 y ? a( x ? 1) 与 D 有公共点, ?3 x ? y ? 4 ?
则 a 的取值范围是 .

15、已知等差数列 ?a n ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,其前 n 项和为 S n ,若直线 y ? a1 x ? m 与 在 y 轴上的截距为 1 的直线 x ? 2 y ? d ? 0 垂直,则数列 ? . 16、已知函数 f ( x ) ? cos x sin2 x ,下列结论中正确的是 确的序号都写出). ① y ? f ( x ) 的图象关于 (? ,0) 中心对称;② y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ?

? 1 ? ? 的前 100 项的和为 ? Sn ?

(你认为正

?
2

对称;

③ y ? f ( x ) 的最大值为

3 ;④ y ? f ( x ) 既是奇函数,又是周期函数. 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、(本小题满分 12 分)

-3-

已知函数 f ( x ) ? c o s ?(x ?

?
3

,函数 )?co? s x ( x ? R, ? 为常数,且 1 ? ? ? 2 )

f ( x ) 的图象关于直线 x ? ? 对称.
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)在 ? ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a ? 1, f ( 求 ? ABC 面积的最大值. 18、(本小题满分 12 分) 微信是现代生活进行信息交流的重要工具,随机对使用微信的 60 人进行了统计,得 到如下数据统计表,每天使用微信时间在两小时以上的人被定义为“微信达人” ,不 超过两小时的人被定义为“非微信达人” 。已知“非微信达人”与“微信达人”人数 比恰为 3 : 2 。 (Ⅰ)确定 x , y , p , q 的值,并补全频率分布直方图; (Ⅱ)为进一步了解使用微信对自己的日常工作和生活是否有影响,从“非微信达人” 和“微信达人” 60 人中用分层抽样的方法确定 5 人,若需从这 5 人中随机选取 2 人进 行问卷调查,求选取的 2 人中恰有 1 人为“微信达人”的概率.
频率

3 1 A) ? , 5 2

使用微信时间 (单位:小时) (0,0.5] (0.5,1] (1,1.5] (1.5,2] (2,2.5] (2.5,3] 合计

频数 3

频率 0.05

组距 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 时间(小时) 19、 (本小题满分 12 分)

x
9 15 18

p
0.15 0.25 0.30

y
60

q
1.00

如图,三棱柱 A B C? A1 B1 C 1 中, D 是 AA1 的中点, E 为 BC 的中点.
B1 A1 C1 D

(Ⅰ)求证:直线 AE ∥平面 BC 1 D ; (Ⅱ)若三棱柱 ABC ? A1 B1 C 1 是正三棱柱,

AB ? 2 , AA1 ? 4 ,求点 E 到平面 BC 1 D 的距离.

B E C

A

20、(本小题满分 12 分) 已知三角形 ABC 中,B(-1,0) ,C(1,0) ,且 AB ? AC ? 4 .
-4-

(Ⅰ)求动点 A 的轨迹 M 的方程; (Ⅱ) P 为轨迹 M 上动点,? PBC 的外接圆为⊙ O1( O1 为圆心) , 当 P 在 M 上运动时, 求点 O1 到 x 轴的距离的最小值.

21、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x, g( x) ? f ( x) ? ax2 ? 3 x ,函数 g ( x ) 的图像在点 (1, g(1)) 处 的切线平行于 x 轴. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 g ( x ) 的极小值; (III)设斜率为 k 的直线与函数 f ( x ) 的图象交于两 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), ( x1 ? x 2 ) 证明:

1 1 . ?k? x2 x1

请考生在题 22、23 中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。做题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22、 (本小题满分 10 分)选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,直线 l 的方程为 x ? y ? 3 ? 0 ,以直角坐标系中 x 轴的正半轴为极 轴的极坐标系中, 圆 M 的极坐标方程为 ? ? 2 sin? . (Ⅰ)写出圆 M 的直角坐标方程及过点 P(2,0)且平行于 l 的直线 l 1 的参数方程; (Ⅱ)设 l 1 与圆 M 的两个交点为 A,B,求

1 1 ? 的值. PA PB

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设 f ( x) ? x ? a , a ? R .
-5-

(Ⅰ)当 a ? 5 时,解不等式 f ( x ) ? 3 ; (Ⅱ)当 a ? 1 时,若 ? x ? R ,使得不等式 f ( x ? 1) ? f (2 x ) ? 1 ? 2m 成立, 求实数 m 的取值范围.

文科数学试题参考答案及评分标准 一、选择填空题 题号 答案 1 C 2 B 3 B 4 D 5 A 6 A 7 B 8 A 9 C 10 D 11 D 12 C

二、填空题 13、 4 x ? y ? 2 ? 0 14、 ? ,4? 2

?1 ? ? ?
3

15、 100

101

16、①②④(多选、少选、错选不给分)

17、解: (Ⅰ) f ( x) ? cos( ?x ? ? ) ? cos ?x ?

3 sin ?x ? 1 cos ?x ? sin(?x ? ? ) (3 分) 2 2 6

由函数 f ( x) 的图象关于直线 x ? ? 对称,可得

?? ? ? ? k? ? ? (k ? Z )
6 2 3
5 3 5
(5 分) (6 分)

∴ ? ? k ? 2 (k ? Z ),?? ? (1,2) ,∴ k ? 1, ? ? 5

3

∴ f ( x) ? sin(5 x ? ? ) ,则函数 f ( x) 最小正周期 T ? 2? ? 6?

3

6

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? sin(5 x ? ? ) ,

3

6

∴ f ( 3 A) ? sin( A ? ? ) ? 1 , (7 分)

5

6

2

? 0 ? A ? ? ,∴ ? ? ? A ? ? ? 5? ,∴ A ? ? ? ? , A ? ? 6 6 6 6 6 3

(9 分)

由余弦定理及 a ? 1 ,得 1 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos ? ? 2bc ? bc ? bc ,即 bc ? 1 (11 分)

3

∴ S ?ABC ? 1 bc sin A ?

2

3 3 3 bc ? ,∴ ?ABC 面积的最大值为 。 4 4 4

(12 分)

方法不一样,只要过程正确,答案准确给满分 18、解: (Ⅰ) “非微信达人”与“微信达人”人数比恰为 3:2, 所以

3 ? x ? 9 ? 15 ? 3 ,又 3 ? x ? 9 ? 15 ? 18 ? y ? 60, (2 分) 18 ? y 2 x?9 p ? 0.15 ,从而可得 ? (4 分) ?q ? 0.10 。 ?y ? 6 ?
-6-

解这个方程组得 ? ?

补全频率分布直方图如图所示: (6 分) (Ⅱ)选出的 5 人中, “微信达人”有 2 人,分别记为 m,n, “非微信达人” 有 3 人,分别记为 a,b,c, 从中任选取 2 人的方法为:mn,ma,mb,mc,na,nb,nc,ab,ac,bc 共有 10 种, 其中恰有 1 人为“微信达人”的方法为:ma,mb,mc,na,nb,nc 有 6 种。 所以选取的 2 人中恰有 1 人为“微信达人”的概率 P ? 6 ? 3 。

(8 分) (10 分) (12 分)

10

5

方法不一样,只要过程正确,答案准确给满分 19、 (Ⅰ)证明:设 BC1 的中点为 F,连接 EF,DF,则 EF 是△BCC1 的中位线, 根据已知得 EF∥DA,且 EF=DA, (2 分) ∴四边形 ADFE 是平行四边形,所以 AE∥DF, ∵DF ? 平面 BDC1,AE ? 平面 BDC1 ∴直线 AE∥平面 BDC1。 (6 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)的结论可知直线 AE∥平面 BDC1, 所以点 E 到平面 BDC1 的距离等于点 A 到平面 BDC1 的距离,设为 h 。 ∴ VE ?BC1D ? VA? BC1D ? VB? AC1D , ∴ 1 S ?BC1D ? h ? 1 S ?AC1D ? 3 , (8 分) (10 分)

3 3 1 1 1 1 ∴ ? ?2 5 ? 3 ?h ? ? ?2?2? 3 3 2 3 2
所以解方程得, h ?

2 5 。 5 2 5 。 (12 分) 5

所以点 E 到平面 BDC1 的距离为

方法不一样,只要过程正确,答案准确给满分 20、解: (Ⅰ)根据题意知,动点 A 满足椭圆的定义, (1 分) 所以,有 F1 F2 ? BC ? 2c ? 2 , AF (2 分) 1 ? AF 2 ? AB ? AC ? 2a ? 4 , 且 a 2 ? b 2 ? c 2 解得 a ? 2, b ? 3 (3 分)

所以,动点 A 的轨迹 C 满足的方程为

x2 y2 ? ? 1, ( y ? 0) (4 分) 4 3

没有写出约束条件的扣 1 分
(Ⅱ)设 P( x0 , y0 ) ,不妨设 0 ? y0 ? 3 线段 PB 的垂直平分线方程为 y ?

y0 x ?1 x ?1 ?? 0 (x ? 0 ) 2 y0 2
-7-

(6 分)

线段 BC 的垂直平分线方程为 x=0,两条垂线方程联立求得

y ? (?

2 x0 ? 1 x0 ? 1 y 0 x0 ? 1 y0 (8 分) )(? )? ? ? y0 2 2 2 y0 2

2 2 x0 y0 y 3 ? ? 1∴ y ? ∵ ? 0 (9 分) 4 3 2 y0 6

∴⊙ O1 的圆心 O1 到 x 轴的距离 d ?

y 3 ? 0 (10 分) 2 y0 6

又知 y ?

y 3 ? 0 在 (0, 3 ) 上是单调递减函数 2 y0 6
3 3 , ∴ d min ? (12 分) 3 3

∴当 y0 ? 3 时, y min ?

方法不一样,只要过程正确,答案准确给满分 21、解: (Ⅰ)依题意得 g ( x) ? ln x ? ax2 ? 3x ,则 g '( x) ?

1 ? 2ax ? 3 x

由函数 g ( x) 的图象在点 (1, g (1)) 处的切线平行于 x 轴得: g '(1) ? 1 ? 2a ? 3 ? 0 ∴a ?1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 g '( x) ? (4 分)

2 x 2 ? 3x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? x x
1 或 x ?1 2

∵函数 g ( x) 的定义域为 (0, ??) ,令 g '( x) ? 0 得 x ?

函数 g ( x) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( ,1) 单调递减;在 (1, ??) 上单调递增.故函数 g ( x) 的极小值为 g (1) ? ?2 (III)证法一:依题意得 k ? (8 分)

1 2

1 2

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 , ? x2 ? x1 x2 ? x1

要证

1 1 1 ln x2 ? ln x1 1 ? k ? ,即证 ? ? x2 x1 x2 x2 ? x1 x1 x2 ? x1 x x ?x ? ln 2 ? 2 1 x2 x1 x1

因 x2 ? x1 ? 0 ,即证



1 x2 ,即证 1 ? ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 ) (9 分) ? t ( t ? 1) t x1
-8-

令 k (t ) ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 )则 k '(t ) ? ? 1 ? 0 ∴ k (t ) 在(1,+ ? )上单调递减, (10 分) ∴ k (t ) ? k ?1? ? 0 即 ln t ? t ? 1 ? 0 ,? ln t ? t ? 1 --------------①

1 t

令 h(t ) ? ln t ? ? 1( t ? 1 )则 h '(t ) ? ?

1 t

1 1 t ?1 ? 2 ?0 t t2 t

∴ h(t ) 在(1,+ ? )上单调递增, (11 分) ∴ h(t ) ? h(1) =0,即 ln t ? 1 ? ( t ? 1 )--------------② 综①②得 1 ? ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 ) ,即

1 t

1 t

1 1 ? k ? . (12 分) x2 x1

【证法二:依题意得 k ?

y2 ? y1 ln x2 ? ln x1 ? ? ln x2 ? kx2 ? ln x1 ? kx1 , x2 ? x1 x2 ? x1

1 ? k, x 1 1 1 由 h?( x) ? 0 得 x ? ,当 x ? 时, h?( x) ? 0 ,当 0 ? x ? 时, h?( x) ? 0 , k k k 1 1 ? h( x) 在 (0, ) 单调递增,在 ( , ??) 单调递减,又 h( x1 ) ? h( x2 ), k k
令 h( x) ? ln x ? kx, 则 h?( x) ?

? x1 ?

1 1 1 ? x2 , 即 ? k ? (12 分) k x2 x1

方法不一样,只要过程正确,答案准确给满分

22、解: (Ⅰ)极坐标方程 ? ? 2 sin ? 两边同乘 ? ,得 ? ? 2? sin ? (1 分)
2

其中 ? ? x ? y , y ? ? sin ? , x ? ? cos? (2 分)
2 2 2

所以⊙M 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 y ? 0 ?①(3 分)
2 2

又直线 x+y+3=0 的倾斜角为

3? ,所以过点 P(2,0)且平行于 x+y+3=0 4

3? ? 2 ? x ? 2 ? t cos t ?x ? 2 ? ? ? ? 4 2 的直线的参数方程为 ? 即? , (t 为参数)?②(5 分) 2 ? y ? t sin 3? ?y ? t ? ? 4 ? 2 ?

直线的参数方程不唯一,只要符合条件给分
-9-

(Ⅱ)把(Ⅰ)中的②代入①整理得 t ? 3 2t ? 4 ? 0 (6 分)
2

设方程的两根为 t1 , t 2 ,则有 t1 ? t 2 ? 3 2 , t1t 2 ? 4 (7 分) 由参数 t 的几何意义知 PA+PB= t1 ? t 2 ,PA*PB= t1t 2 (8 分) 所以

1 1 PA ? PB t1 ? t 2 3 2 (10 分) ? ? ? ? PA PB PA ? PB t1t 2 4

若直线的参数方程不是标准型,没有利用几何意义,但通过其他方法 得出结论的给分

23、解: (Ⅰ) a ? 5 时原不等式等价于 x ? 5 ? 3 即 ?3 ? x ? 5 ? 3, 2 ? x ? 8 , 所以解集为 x 2 ? x ? 8 . (5 分) (Ⅱ)当 a ? 1 时, f ( x) ?| x ? 1 | ,

?

?

1 ? ? ?3 x ? 3( x ? 2 ) ? 1 ? 令 g ( x) ? f ( x ? 1) ? f (2 x) ? x ? 2 ? 2 x ? 1 ? ? x ? 1( ? x ? 2) , (8 分) 2 ? ? 3 x ? 3( x ? 2) ? ?
3 1 3 时, g ( x) 取得最小值 ,由题意知: ? 1 ? 2m , 2 2 2 1 所以实数 m 的取值范围为 m ? ? .(10 分) 4
由图像知:当 x ? 方法不一样,只要过程正确,答案准确给满分

- 10 -



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