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说课和模拟课堂 余弦定理 最终(1)(1)


人民教育出版社必修五1.1.2

余弦定理
教学对象:高二学生 ——数学科学学院083班 欧钰微

1

说教材
说教学目标 说教学方法 说教学过程 说板书

2

3

4 5

说教材
一、教材地位 “余弦定理” 是勾股定理的延拓,三 角函数和平面向量知识在三角形中的具体运 用,也是今后解三角形问题、生产和生活实 际问题的重要工具。 余弦定理继正弦定理之后,进一步地揭 示了三角形的边角关系。

说教学目标
一、教学目标 (1)知识与技能目标:掌握余弦定理、定理 变式及推导方法。 (2)过程与方法目标:利用向量与数量积推 导出余弦定理,并通过实践演算掌握运用余弦定 解决两类基本的解三角形的问题。

(3)情感态度价值观目标:在教学中渗透数
学智慧在生活中的应用,激发学生学习数学的兴

趣。

说教学目标
一、教学重点、难点 教学重点:掌握余弦定理公式 及其变式。 教学难点:余弦定理的推导过

程。

说教法
教学方法:我采用的是引导探究法。
通过设置问题情境,引导大家发现问题, 探究出解决方法。

说教学过程
第一:复习巩固

正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角 的正弦的比相等,即
 

a ? b ? c sin A sin B sin C

说教学过程
第二:创设生活情景,导入新课
1、 隧道工程设计,经常要测 算山脚的长度,工程技术人员先在 地面上选一适当的位置A,量出A到 山脚B、C的距离,再利用经纬仪测 出A对山脚B(即线段BC)的张角, 最后通过计算求出山脚的长度BC。

问题能在学生心理上形成 问题缺口,使学生产生学习的 心理动机。

说教学过程
第四:引导探究,形成概念

a
B C

c
A

b

1、将生活问题转化为数学问题,化繁为简。 2、教师逐层引导学生用向量法,共同探讨、求 解问题,得出余弦定理。 3、形成概念。 4、变式学习
b2 + c 2 - a 2 cosA = , 2bc
c2 + a 2 - b 2 cosB = , 2ca

a 2 + b2 - c2 cosC = 2ab

说教学过程
第五:例题讲解 一、基础练习
1、已知三边求三角 0 例1、在△ABC中,已知AC=20m,AB=40m,A=60 , 求山脚BC长。

2、验证三角形形状
a 2 ? b2 ? c 2,那么A是( ) 例2、在△ABC中,
A、钝角 C、锐角 B、直角 D、不能确定

说教学过程
第五:应用概念

二、提高练习
例一、如图,在四边形ABCD中,已知AD?CD, AD=10, AB=14, ?BDA=60?, ?BCD=135? D 求BC的长 C

A

B

说教学过程
第六:小结反思,布置作业
b2 ? c2 ? a2 cos A ? 2bc

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B
c ? a ? b ? 2ab cosC
2 2 2

c2 ? a2 ? b2 cos B ? 2ac a2 ? b2 ? c2 cos C ? 2ab

说教学过程
第六:小结反思,布置作业

在Rt△ABC中,AB=c, BC=a, AC=b 2 2 2 ∠A为直角,a +b =c 能否用勾股定理,证明余弦定理呢?

说板书
11.2余弦定理
余弦定理证 明过程

本节课教学知识点
例题讲解

板书设计可以让学生一目了然本节课 所学的知识。

复习巩固:
正弦定理 在任意一个三角形中,各边和它所 对角的正弦的比相等,即
 

a ? b ? c sin A sin B sin C

(1)已知两角和任意一边,可以求出其他 两边和一角(AAS,ASA); (2)已知两边和其中一边的对角,可以求 出三角形的其他的一边和另外两角(SSA)。

问题:
隧道工程设计,经常要测算山脚的长度,工程 技术人员先在地面上任意选一位置A,量出A到山 脚B、C的距离,再利用经纬仪测出A对山脚BC(即 线段BC)的张角,最后通过计算求出山脚的长度BC。

已知两边及夹 角,求另一边


C B

证明
若△ABC为任意三角形,已知∠A,AC=a, AB=c, 求BC.

? BC ? AC ? AB C 三角形任何一边的平方
? BC ? BC ? ( AC ? AB) ? ( AC ? AB) c 等于其他两边平方的和减去

a
B

? BC ? AC ? AB ? 2 AC ? AB 这两边与它们夹角的余弦的

? ? ? ? ? ?
2 2
2

b
A

2

积的两倍。 ? ? 2 | AC | ? | AB | COSA ? ?AC ? ? ?AB
2

a2=c2+b2-2bc cosA

同理可得: 2 2 2 c =a +b -2ab cosC b =a2+c2-2ac cosB
2

有余弦定理变形得:

b +c -a cosA = , 2bc

2

2

2

c +a -b cosB = , 2ca
a + b -c cosC = 2ab
2 2 2

2

2

2

基础练习
例1、在 ABC中,已知AC=20m,AB=40m,角 A=600 ,求山脚BC长。 证明:已知两边及其夹角 运用余弦定理 a2=c2+b2-2bcCOSA BC2=AC2+AB2-2AC×AB×COSA =202+402-2×20×40×1/2 BC=20 3 (m)

a 例2、在△ABC中, ? b ? c ,那么A是(
2 2 2



A、钝角 C、锐角

B、直角 D、不能确定

b2+c2-a2 解: cosA= 由 2bc

? a2 >b2+c2

? b2+c2-a2 <0
得cosA<0

提高练习
例一、如图,在四边形ABCD中,已知AD?CD, AD=10, AB=14, ?BDA=60?, ?BCD=135? D 求BC的长 C

A

B

小结: 余弦定理及变式
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
b2 ? c2 ? a2 cos A ? 2bc

b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2

c2 ? a2 ? b2 cos B ? 2ac

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC

a2 ? b2 ? c2 cos C ? 2ab

三角形任何一边的平方等于他 1、已知两条边和一个夹角,求第三条边。 应用:

两边平方的和减去这两边与它们夹 2、已知三条边,求三个角。判断三角形的形状。

角的余弦的积的两倍。

作业布置

P16-17 1,5,6,10

探究
在Rt△ABC中,AB=c, BC=a, AC=b 2 2 2 ∠A为直角,a +b =c 能否用勾股定理,证明余弦定理呢?


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