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【创新方案】2013年高考数学一轮复习 第十三篇 推理证明、算法、复数 第5讲 复 数教案 理 新人教版


第5讲 复 数
【2013 年高考会这样考】 复数的基本概念、 复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点, 并且一般在前三 题的位置,主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算,难度较小. 【复习指导】 1.复习时要理解复数的相关概念如实部、虚部、纯虚数、共轭复数等,以及复数的几何意 义. 2.要把复数的基本运算作为复习的重点,尤其是复数的四则运算与共轭复数的性质等.因 考题较容易,所以重在练基 础.

基础梳理 1.复数的有关概念 (1)复数的概念 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中 a,b 分别是它的实部和虚部.若 b=0,则 a+bi 为实数,若 b≠0,则 a+bi 为虚数,若 a=0 且 b≠0,则 a+bi 为纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+di?a=c 且 b=d(a,b,c,d∈R). (3)共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?a=c;b=-d(a,b,c,d∈R). (4)复数的模 → 向量OZ的模 r 叫做复数 z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=

a2+b2.
2.复数的四则运算 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 (1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; (2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; (3)乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; (4)除法: =

z1 a+bi ? a+bi? ? c-di? = z2 c+di ? c+di? ? c-di?

? ac+bd? +? bc-ad? i = (c+di≠0). c2+d2

一条规律 任意两个复数全是实数时能比较大小,其他情况不能比较大小.
1

两条性质 (1)i =1,i
4n 4n+1

=i,i

4n+2

=-1,i

4n+3

=-i,i +i

n

n+1

+i

n+2

+i

n+3

=0(各式中 n∈N).

1+i 1-i 2 (2)(1±i) =±2i, =i, =-i. 1-i 1+i 双基自测 -i 1.(人教 A 版教材习题改编)复数 (i 是虚数单位)的实部是( 1+2i 1 A. 5 1 B.- 5 1 C.- i 5 2 D.- 5 ).

i i? 1-2i? -2-i 解析 - =- = 1+2i ? 1+2i? ? 1-2i? 5 2 1 =- - i. 5 5 答案 D 1-3i 2.(2011·天津)设 i 是虚数单位,复数 =( 1-i A.2-i 解析 B.2+i C.-1-2i ). D.-1+2i

1-3i 1 1 = (1-3i)(1+i)= (4-2i)=2-i. 1-i 2 2

答案 A 3.(2011·湖南)若 a,b∈R,i 为虚数单位,且(a+i)i=b+i,则( A.a=1,b=1 C.a=1,b=-1 B.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1 ).

解析 由(a+i)i=b+i,得:-1+ai=b+i,根据复数相等得:a=1,b=-1. 答案 C 4.(2011·广东)设复数 z 满足(1+i)z=2,其中 i 为虚数单位,则 z=( A.2-2i B.2+2i C.1-i D.1+i ).

2 2? 1-i? 2? 解析 z= = = 1+i ? 1+i? ? 1-i? 答案 C 5.i (1+i)的实部是________. 解析 i (1+i)=-1-i. 答案 -1
2 2

1-i? =1-i. 2

考向一 复数的有关概念

2

1+ai 【例 1】? (2011·安徽)设 i 是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数 a 为( 2-i A.2 B.-2 1 C.- 2 1 D. 2

).

[审题视点] 利用纯虚数的概念可求. 解析 1+ai ? 1+ai? ? 2+i? 2-a 2a+1 = = + i, 2-i ? 2-i? ? 2+i? 5 5

2-a 2a+1 由纯虚数的概念知: =0, ≠0,∴a=2. 5 5 答案 A 复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条 件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部、虚部满足的方程即可. 【训练 1】已知 a∈R, 复数 z1=2+ai,2=1-2i, 为纯虚数, z 若 则复数 的虚部为________. 解析

z1 z2

z1 z2

z1 2+ai ? 2+ai? ? 1+2i? = = z2 1-2i ? 1-2i? ? 1+2i?

2-2a a+4 = + i, 5 5

z1 2-2a a+4 z1 ∵ 为纯虚数,∴ =0, ≠0,∴a=1.故 的虚部为 1. z2 5 5 z2
答案 1 考向二 复数的几何意义 【例 2】? 在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点分别为 A,B,若 C 为线段 AB 的中点, 则点 C 对应的复数是( A.4+8i ). C.2+4i D.4+i

B.8+2i

[审题视点] 利用中点坐标公式可求. 解析 复数 6+5i 对应的点为 A(6,5),复数-2+3i 对应的点为 B(-2,3).利用中点坐标 公式得线段 AB 的中点 C(2,4),故点 C 对应的复数为 2+4i. 答案 C 复数的几何意义可以让我们运用数形结合思想把复数、向量、解析几何有机的结 合在一起, 能够更加灵活的解决问题. 高考中对复数几何意义的考查主要集中在复数对应点 的位置、加减法的几何意义、模的意义等. 1+i 2 012 【训练 2】 (2011·徐州一检)复数 +i 对应的点位于复平面内的第________象限. 1-i 解析 1+i 2 012 +i =i+1.故对应的点(1,1)位于复平面内第一象限. 1-i

答案 一
3

考向三 复数的运算 【例 3】 (2011·上海)已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i, ? 复数 z2 的虚部为 2, z1·z2 且 是实数,求 z2. [审题视点] 利用复数的乘除运算求 z1,再设 z2=a+2i(a∈R),利用 z1·z2 是实数,求 a. 1-i 解 由(z1-2)(1+i)=1-i,得 z1-2= =-i, 1+i ∴z1=2-i. 设 z2=a+2i(a∈R), ∴z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i. ∵z1·z2∈R. ∴a=4. ∴z2=4+2i. 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法关键是分子分母同乘以 分母的共轭复数,注意要把 i 的幂写成最简形式. 【训练 3】 (2011·湖北)i 为虚数单位,则? A.-i B.-1 C.i

?1+i?2011=( ? ?1-i?
D.1

).

1+i ? 1+i? ? 1+i? 2011 4×502+3 3 解析 因为 = =i,所以原式=i =i =i =-i. 1-i 2 答案 A

难点突破 27——复数的几何意义问题 复数的几何意义是复数中的难点, 化解难点的关键是对复数的几何意义的正确理解. 对于复 数的几何意义的理解可以从以下两个方面着手: (1)复数 z=a+bi(a,b∈R)的模|z|= a +b ,实际上就是指复平面上的点 Z 到原点 O 的 距离;|z1-z2|的几何意义是复平面上的点 Z1、Z2 两点间的距离. → → (2)复数 z、复平面上的点 Z 及向量OZ 相互联系,即 z=a+bi(a,b∈R)?Z(a,b)?OZ. 【示例 1】? (2011·山东)复数 z= ( ). B.第二象限 D.第四象限 2-i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 2+i
2 2

A.第一象限 C.第三象限

4

3+i 【示例 2】? (2010·全国新课标)已知复数 z= ? 1- 3i? 则|z|=( 1 A. 4 ). 1 B. 2 C.1 D.2

2



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