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【2014-2015学年高中数学(人教A版,必修四) 第一章 三角函数 1.2.2 课时作业


1.2.2
课时目标 和证明.

同角三角函数的基本关系

1.理解同角三角函数的基本关系式.2.会运用平方关系和商的关系进行化简、求值

1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:____________________. π (2)商数关系:____________(α≠kπ+ ,k∈Z). 2 2.同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin2α+cos2α=1 的变形公式: sin2α=________;cos2α=________; (sin α+cos α)2=____________________; (sin α-cos α)2=________________; (sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=______; sin α· cos α=______________________=________________________. sin α (2)tan α= 的变形公式:sin α=________________;cos α=______________. cos α

一、选择题 1.化简 sin2α+cos4α+sin2αcos2α 的结果是( ) 1 1 3 A. B. C.1 D. 4 2 2 2 2 4 2.若 sin α+sin α=1,则 cos α+cos α 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.3 4 3.若 sin α= ,且 α 是第二象限角,则 tan α 的值等于( 5 4 3 3 4 A.- B. C.± D.± 3 4 4 3 1+2sin αcos α 1 4.已知 tan α=- ,则 的值是( ) 2 sin2α-cos2α 1 1 A. B.3 C.- D.-3 3 3 5 1 5.已知 sin α-cos α=- ,则 tan α+ 的值为( ) 2 tan α A.-4 B.4 C.-8 D.8 6.若 cos α+2sin α=- 5,则 tan α 等于( ) 1 1 A. B.2 C.- D.-2 2 2 二、填空题

)

5 7.已知 α 是第四象限角,tan α=- ,则 sin α=________. 12 8.已知 tan θ=2,则 sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ=________. 1 π π 9.已知 sin αcos α= 且 <α< ,则 cos α-sin α=____. 8 4 2 k+1 k-1 10.若 sin θ= ,cos θ= ,且 θ 的终边不落在坐标轴上,则 tan θ 的值为________. k-3 k-3 三、解答题

1-cos4α-sin4α 11.化简: . 1-cos6α-sin6α

1-2sin 2xcos 2x 1-tan 2x 12.求证: 2 = . cos 2x-sin2 2x 1+tan 2x

能力提升 13.证明: 1-cos2α sin α+cos α (1) - =sin α+cos α; sin α-cos α tan2α-1 (2)(2-cos2α)(2+tan2α)=(1+2tan2α)(2-sin2α).

14.已知 sin θ、cos θ 是关于 x 的方程 x2-ax+a=0 的两个根(a∈R). (1)求 sin3θ+cos3θ 的值; 1 (2)求 tan θ+ 的值. tan θ

1.同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律,它的精髓在 sin 8α “同角”二字上,如 sin22α+cos22α=1, =tan 8α 等都成立,理由是式子中的角为“同 cos 8α

角”. 2.已知角 α 的某一种三角函数值,求角 α 的其余三角函数值时,要注意公式的合理选择.一 般是先选用平方关系,再用商数关系.在应用平方关系求 sin α 或 cos α 时,其正负号是由角 α 所在象限来决定,切不可不加分析,凭想象乱写公式. 3.在进行三角函数式的求值时,细心观察题目的特征,灵活、恰当的选用公式,统一角、统 一函数、降低次数是三角函数关系变形的出发点.

1.2.2
知识梳理 1.(1)sin2α+cos2α=1 2.(1)1-cos2α

同角三角函数的基本关系 答案

sin α (2)tan α= cos α ?sin α+cos α?2-1 2

1-sin2α 1+2sin αcos α 1-2sin αcos α 2 (2)cos αtan α sin α tan α

1-?sin α-cos α?2 2 作业设计 1.C 2.B 3.A

1 - +1 2 1+2sin αcos α ?sin α+cos α??sin α+cos α? sin α+cos α tan α+1 1 4.C [ = = = = =- .] 1 3 sin2α-cos2α ?sin α+cos α??sin α-cos α? sin α-cos α tan α-1 - -1 2 1 sin α cos α 1 5.C [tan α+ = + = . tan α cos α sin α sin αcos α 1-?sin α-cos α?2 1 1 ∵sin αcos α= =- ,∴tan α+ =-8.] 2 8 tan α

?cos α+2sin α=- 5 6.B [方法一 由? 2 联立消去 cos α 后得(- 5-2sin α)2+sin2α=1. ?cos α+sin2α=1
化简得 5sin2α+4 5sin α+4=0 2 5 ∴( 5sin α+2)2=0,∴sin α=- . 5 5 ∴cos α=- 5-2sin α=- . 5 sin α ∴tan α= =2. cos α 方法二 ∵cos α+2sin α=- 5, ∴cos2α+4sin αcos α+4sin2α=5, cos2α+4sin αcos α+4sin2α ∴ =5, cos2α+sin2α 1+4tan α+4tan2α ∴ =5, 1+tan2α 2 ∴tan α-4tan α+4=0, ∴(tan α-2)2=0,∴tan α=2.] 5 7.- 13 4 8. 5

sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ tan2θ+tan θ-2 解析 sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ= = , sin2θ+cos2θ tan2θ+1 4+2-2 4 又 tan θ=2,故原式= = . 5 4+1 3 9.- 2 3 解析 (cos α-sin α)2=1-2sin αcos α= , 4 π π 3 ∵ <α< ,∴cos α<sin α.∴cos α-sin α=- . 4 2 2 3 10. 4 ?k+1?2+?k-1?2=1, 解析 ∵sin2θ+cos2θ=? ? ? ? ?k-3? ?k-3? 2 ∴k +6k-7=0, ∴k1=1 或 k2=-7. 当 k=1 时,cos θ 不符合,舍去. 3 4 3 当 k=-7 时,sin θ= ,cos θ= ,tan θ= . 5 5 4 4 4 ?1-cos α?-sin α 11.解 原式= ?1-cos6α?-sin6α ?1-cos2α??1+cos2α?-sin4α = ?1-cos2α??1+cos2α+cos4α?-sin6α sin2α?1+cos2α?-sin4α = 2 sin α?1+cos2α+cos4α?-sin6α 1+cos2α-sin2α = 1+cos2α+cos4α-sin4α 2cos2α = 2 2 1+cos α+?cos α+sin2α??cos2α-sin2α? 2cos2α 2cos2α 2 = = 2 = . 1+cos2α+cos2α-sin2α 3cos α 3 cos2 2x+sin2 2x-2sin 2xcos 2x 12.证明 左边= cos22x-sin22x 2 ?cos 2x-sin 2x? = ?cos 2x-sin 2x??cos 2x+sin 2x? cos 2x-sin 2x 1-tan 2x = = cos 2x+sin 2x 1+tan 2x =右边. ∴原等式成立. sin α+cos α sin2α 13.证明 (1)左边= - sin2α sin α-cos α -1 cos2α sin α+cos α sin2 α = - 2 sin α-cos α sin α-cos2α cos2α cos2α?sin α+cos α? sin2α = - sin α-cos α sin2α-cos2α 2 sin α cos2α = - sin α-cos α sin α-cos α sin2α-cos2α = sin α-cos α

=sin α+cos α=右边. ∴原式成立. (2)∵左边=4+2tan2α-2cos2α-sin2α=2+2tan2α+2sin2α-sin2α=2+2tan2α+sin2α, 右边=(1+2tan2α)(1+cos2α)=1+2tan2α+cos2α+2sin2α=2+2tan2α+sin2α ∴左边=右边,∴原式成立. 14.解 (1)由韦达定理知: sin θ+cos θ=a,sin θ· cos θ=a. ∵(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ, ∴a2=1+2a. 解得:a=1- 2或 a=1+ 2 ∵sin θ≤1,cos θ≤1, ∴sin θcos θ≤1,即 a≤1, ∴a=1+ 2舍去. ∴sin3θ+cos3θ=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ)=(sin θ+cos θ)(1-sin θcos θ) =a(1-a)= 2-2. 2 2 1 sin θ cos θ sin θ+cos θ 1 1 1 (2)tan θ+ = + = = = = =-1- 2. tan θ cos θ sin θ sin θcos θ sin θcos θ a 1- 2



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