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13级:1.2(7)导数的运算法则及复合函数的导数


1.2.2(7)导数的运 算法则及复合函数的导数

一、复习回顾
1、求导四则运算法则

法则1:

[ f ( x ) ? g ( x ) ]? ? f ?( x ) ? g ?( x ).
? u 1 ( x ) ? u 2 ( x ) ? ? ? u n ( x )) ? ? ?
<

br />推广:( ?

u 1 (x) ? u 2 (x) ? ? ? u n (x)
法则2:

(u(x)v(x))’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x)
2

特:(cu)’=cu’(c为常数) 推广:f f ? f ) ? ? f ? f ? f (
1 2 n 1 2

n

? ?

f 1 f 2 f 3 ? f n ? f 1 f 2 ? f n ?1 f n 法则三:

?

( )? ? v
3

u

u ?v ? u v ? v
2

( v ? 0 ).

2.导数概念再分析
1)、函数 f(x)区间 (a,b) 有定义, x0 ?(a,b) .如果x在x0有增量?x,相应的y也 有增量?y=f(x0+?x)-f(x0),那么从x0到x0+?x的 平均变化率为 ?y f ( x ? ?x ) ? f ( x )
?x 若 lim ?y ?x
?x ?0

?

0

0

? lim

?x f (x 0 ? ?x) ? f (x 0 ) ?x

.

?x ?0

记为
4

我 们 就 说 函 数 y ? f ( x )在 点 x0处 可 导
x?x0

y?

? f (x 0 ) ? lim
'

?y ?x

?x ?0

? lim

f (x 0 ? ?x) ? f (x 0 ) ?x

?x ?0

说明:定义中明确指出的是函数对x0的导数 2)、若f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都 可导,即x?(a,b)时,对应着一个确定的导数 f‘(x),这样就把f’(x) 叫做f(x)在开区间(a,b) 内的导函数,也简称为导数,记作



说明:定义中明确指出的是函数对x的导数
5

二、新课教学
1、复合函数的概念 对于函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y 可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f (u)和u=g(x)的复合函数. 记作y=f(g(x))
函 数
复合函数 内层函数 外层函数
6

定义域
x∈A x∈A U∈D





y=f(g(x))

y∈B U∈D y∈B

u=g(x) y=f(u)

例题
y u У= Уx ’ Уu ’ Ux ’ Уu’?ux’ (3x-2)2 3x-2 U2 18x-12 (sinx)2 sinx U2 2sinxcosx 2U cosx 2sinxcosx (x+1)3 X+1 U3 3(x+1)2

2U 3 18x-12

3U2 1 3(x+1)2

7

说明:1)、这几个函数都是由最基本一次函 数、三次函数、三角函数复合而成 2)、一般地对复合函数求导有以下结论

2、复合函数求导法则 复合函数 y ? f ? g ( x ) ? 的导数和函数 y ? f ( u ) 和 u ? g ( x ) 的导数间的关系为 y x ? ? y u ? ? u x ? ,即 y 对 x 的导数 等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
若 y ? f ? g ( x ) ? ,则 y ? ? ? f ? g ( x ) ? ? ? ? f ? ? g ( x ) ? ? g ? ( x ) ? ?
分析论证:已知函数 y ? f ( ? ) , ? ? g ( x ) 的导数分别 为 f ? ( ? ) , g ? ( x ) ,则复合函数 y ? f ? g ( x ) ? 的导数为:
y x ? ? lim △y △x
△ x? 0

又∵ y ? ? ? lim
8

△y △?

△??0

,

? x ? ? lim

△? △x

△ x? 0

2、复合函数求导法则 复合函数 y ? f ? g ( x ) ? 的导数和函数 y ? f ( u ) 和 u ? g ( x ) 的导数间的关系为 y x ? ? y u ? ? u x ? ,即 y 对 x 的导数 等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
若 y ? f ? g ( x ) ? ,则 y ? ? ? f ? g ( x ) ? ? ? ? f ? ? g ( x ) ? ? g ? ( x ) ? ?
△ y △? ? ? 又注意到 △ x △? △ x △y

∴ y x? ? y ? ? ? ? x?

? ? ? f ? g( x)? ?? ? f ? ? g( x)? ? g?( x) 即 yx ? ?
9

注:复合函数求导法则的关键在于: (1) 将复合函数分解成若干个基本初等函数; (2) 由外及里分别求出这些函数的导数并相乘; (3) 将所设中间变量还原. (4)法则还可以推广到两个以上的中间变量.

y ? f ( g ( u ( x )))

y ? fg ? g u ? u x
'

?

?

?

三、例题选讲
例1:求下列函数的导数:
(1 ) y ? ( 2 x ? 1 ) ( 2 ) y ?
5

1 (1 ? 3 x )
4

( 3 ) y ? (1 ? sin x )
2

4

10

例1:求下列函数的导数:
(1 ) y ? ( 2 x ? 1 )
5

(2) y ?

1 (1 ? 3 x )
4

( 3 ) y ? (1 ? sin x )
2

4

(1)解:设y=u5,u=2x+1,则:
? y ? ? y u ? u ? ? ( u ) ? ? (2 x ? 1) ?x ? 5 u ? 2 x x u
5 4

? 5(2 x ? 1) ? 2 ? 10(2 x ? 1)
4

4

(2)解:设y=u-4,u=1-3x,则:
? ? y u ? u ? ? ( u ? 4 ) ? ? (1 ? 3 x ) ?x ? yx x u ? ? 4u
11
?5

? ( ? 3) ? 1 2 u

?5

?

12 (1 ? 3 x )
5

例1:求下列函数的导数:
(1 ) y ? ( 2 x ? 1 )
5

(2) y ?

1 (1 ? 3 x )
4

( 3 ) y ? (1 ? sin x )
2

4

(3)解:设y=u-4,u=1+v2,v=sinx,则:
? ? y ? ? y u ? u v ? v ? ? ( u ) ? ? (1 ? v ) ? ? (sin x ) ?x x x u v
4 2

? 4 u ? 2 v ? co s x
3

? 4 (1 ? sin x ) ? 2 sin x ? co s x
2 2 3 3

? 4 (1 ? sin x ) sin 2 x .

说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中 间步骤.
12

例2:求下列函数的导数:

?1 ? y ? (2 x
解:?1 ? y ? ?
3

3

?x?
3

1 x

)

4

? 2 ? y ? sin
1 x ) ? (2 x ? x ?
3 3 2

2

(2 x ?
)?

?
3

)

4(2 x ? x ? 1 x
3

1 x

? 4(2 x ? x ?

) (6 x ?

1 x
2

? 1)

? 2 ? y ? ? 2 sin(2 x ?
? 2 sin(4 x ?
13

?
3

) ? cos(2 x ?

?
3

)?2

2? 3

)

例2:求下列函数的导数:

?3? y ?

5

x 1? x
1 5 1? x (1 ? x )
2
? 6 5

?4? y
? 4 5

? ( 2 x ? 3) 1 ? x
2

2

解:? 3 ? y ? ?
? 1 5
? 4 5

(

x

)

?(

x 1? x

)? ?

1

5 1? x

(

x

?

4 5

)

?

1 (1 ? x )
2

x

4 ? y ? (2 x ? 3) 1 ? x ? (2 x ? 3)(1 ? x ) 2 ?
2 2 2
1

1

? y ? ? 4 x (1 ? x )
2

2

? ( 2 x ? 3) ?
2 2

1 2
3

(1 ? x )
2

?

1 2

? 2x

? 4x 1? x
14

2

?

x ( 2 x ? 3) 1? x
2

?

6x ? x 1? x
2

练习
求下列函数的导数:
(1) y ?
3

ax ? bx ? c
2 2

(2) y ? (4) y ? (

1 1? 2x 3x ? 4 6x ? 7
2x
2

(3) y ? x
答案:
(1 ) y ? ?

x?
3 2

x

)

3

( 2 ax ? b ) ax ? bx ? c 3 ( ax ? bx ? c )
2

(2) y? ?
7

(1 ? 2 x ) 1 ? 2 x
2

2

(3) y? ?
15

1 2

2

(x ? x )
5 9

?

1 2

(5 x ?
4

2 9

x )

2

( 4 ) ? 135

(3 x ? 4) (6 x ? 7 )

2 4

三、小结 :
(一)、关于复合函数的求导
⑴复合函数的求导,要注意分析复合函数 的结构,引入中间变量,将复合函数分解成为 较简单的函数,然后再用复合函数的求导法则 求导; ⑵复合函数求导的基本步骤是: 分解——求导——相乘——回代

(3)若 y=f(u), u ? g ( x ) 则 y x ? ? y u? ? u x ?
即 y ? ? ? f ? g ( x ) ? ? ? ? f ? ? g ( x ) ? ? g ?( x ) ? ?
16

(二)、基本初等函数的导数公式 ' 1. 若 f ?x ? ? c,则 f ?x ? ? 0 ; n ? ' n?1 2. 若 f ?x ? ? x ?n ? N ? 则 f ?x ? ? nx ; , ' 3. 若 f ?x ? ? sin x,则 f ?x ? ? cos x ; ' 4. 若 f ?x ? ? cos x,则 f ?x ? ? ? sin x ; x ' x 5. 若 f ?x ? ? a ,则 f ?x ? ? a ln a ; x ' x 6. 若 f ?x ? ? e ,则 f ?x ? ? e ;
7. 若 f ?x ? ? loga x, 则 f ?x ? ?
'

1

;

17

x ln a 1 ' 8. 若 f ?x ? ? ln x, 则 f ?x ? ? . x

作业:《红对勾》P13

第7课


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