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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查07 二次函数与幂函数


开卷速查(七)
1 3

二次函数与幂函数

A 级 基础巩固练 1.函数 y=x-x 的图像大致为( )

A

B

C

D 解析:函数 y=x-x x
1 3 1 3

为奇函数.排除 C、D;当 x>0 时,由

x-

>0,即 x3>x 可得 x2>1,即 x>1,结合选项,选 A.

-1-

答案:A 2.幂函数 y=x ( ) m2-4m (m∈Z)的图像如图所示,则 m 的值为

A.0 B.1 C.2 D.3 m2-4m 解析:∵y=x (m∈Z)的图像与坐标轴没有交点,

∴m2-4m<0,即 0<m<4. 又∵函数的图像关于 y 轴对称,且 m∈Z, ∴m2-4m 为偶数,因此 m=2. 答案:C 3.已知函数 y=ax2+bx+c,如果 a>b>c 且 a+b+c=0,那么它 的图像可能是( )

-2-

A

B

C

D 解析:∵a>b>c,且 a+b+c=0, ∴a>0,c<0.∴图像开口向上与 y 轴交于负半轴. 答案:D 4.已知 f(x)=x
1 2

,若 0<a<b<1,则下列各式中正确的是(

)

?1? ?1? A.f(a)<f(b)<f?a?<f?b? ? ? ? ? ?1? ?1? B.f?a?<f?b?<f(b)<f(a) ? ? ? ? ?1? ?1? C.f(a)<f(b)<f?b?<f?a? ? ? ? ?

-3-

?1? ?1? D.f?a?<f(a)<f?b?<f(b) ? ? ? ?

解析:因为函数 f(x)=x
?1? ?1? 故 f(a)<f(b)<f?b?<f?a?. ? ? ? ?

1 2

1 1 在(0, +∞)上是增函数, 又 0<a<b<b<a,

答案:C 5.已知 f(x)=x2+bx+c 且 f(-1)=f(3),则(
?5? A.f(-3)<c<f?2? ? ? ?5? B.f?2?<c<f(-3) ? ? ? ? ?5? C.f?2?<f(-3)<c ?5? D.c<f?2?<f(-3) ? ?

)

解析:由已知可得二次函数图像关于直线 x=1 对称,则 f(-3)= f(5),c=f(0)=f(2),二次函数在区间(1,+∞)上单调递增,故有 f(-3)
?5? =f(5)>f?2?>f(2)=f(0)=c. ? ?

答案:D 6.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2+2x, 若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) )

-4-

解析:∵f(x)是奇函数,∴当 x<0 时,f(x)=-x2+2x,作出 f(x)的大 致图像如图中实线所示,结合图像可知 f(x)是 R 上的增函数,由 f(2- a2)>f(a),得 2-a2>a,即-2<a<1. 答案:C 7. 已知幂函数 f(x)=(m2-5m+7)xm-2 为奇函数, 则 m=__________. 解析:由 f(x)=(m2-5m+7)xm-2 为幂函数得: m2-5m+7=1,解得 m=2 或 m=3, 又因为该函数为奇函数,所以 m=3. 答案:3 8.若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a,b∈R)是偶函数,且它的 值域为(-∞,4],则该函数的解析式 f(x)=__________. 解析:由 f(x)的定义域为 R,值域为(-∞,4],可知 b≠0,∴f(x) 为二次函数,f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2. ∵f(x)为偶函数,∴其对称轴为 x=0,∴-(2a+ab)=0,解得 a=0 或 b=-2.若 a=0,则 f(x)=bx2,与值域是(-∞,4]矛盾,∴a≠0,b =-2,又 f(x)的最大值为 4,∴2a2=4,∴f(x)=-2x2+4.

-5-

答案:-2x2+4 9.二次函数 f(x)的二次项系数为正,且对任意 x 恒有 f(2+x)=f(2 -x),若 f(1-2x2)<f(1+2x-x2),则 x 的取值范围是__________. 解析:由 f(2+x)=f(2-x),知 x=2 为对称轴,由于二次项系数为 正的二次函数中距对称轴较近的点的纵坐标较小,∴|1-2x2-2|<|1+ 2x-x2-2|,即|2x2+1|<|x2-2x+1|,∴2x2+1<x2-2x+1,∴-2<x< 0. 答案:(-2,0) 10.已知函数 f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab(a≠0),当 x∈(-3,2)时, f(x)>0;当 x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0. (1)求 f(x)在[0,1]内的值域; (2)若不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立,求 c 的取值范围. 解析:由题意,得 x=-3 和 x=2 是函数 f(x)的零点,且 a<0,则

?0=a×?-3?2+?b-8?×?-3?-a-ab, ? 2 ?0=a×2 +?b-8?×2-a-ab. ?a=-3, 解得? ?b=5.
∴f(x)=-3x2-3x+18.

-6-

(1)由图像知,函数在[0,1]内单调递减, ∴当 x=0 时,y=18; 当 x=1 时,y=12. ∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]. (2)令 g(x)=-3x2+5x+c.
?5 ? ∵g(x)在?6,+∞?上单调递减, 要使 g(x)≤0 在[1,4]上恒成立, 则需 ? ?

要 g(1)≤0. 即-3+5+c≤0,解得 c≤-2. ∴当 c≤-2 时,不等式 ax2+bx+c≤0 在[1,4]上恒成立. B级 能力提升练

a 11.已知 x∈[-1,1]时,f(x)=x2-ax+2>0 恒成立,则实数 a 的 取值范围是( A.(0,2) C.(0,+∞) ) B.(2,+∞) D.(0,4)

a 解析:二次函数图像开口向上,对称轴为 x=2,又 x∈[-1,1]时,
-7-

a f(x)=x2-ax+2>0 恒成立,即 f(x)最小值>0. a a 2 ①当2≤-1,即 a≤-2 时,f(-1)=1+a+2>0,解得 a>-3, 与 a≤-2 矛盾; a a ②当2≥1,即 a≥2 时,f(1)=1-a+2>0, 解得 a<2,与 a≥2 矛盾; a a ③当-1<2<1,即-2<a<2 时,Δ=(-a)2-4· 2<0,解得 0<a <2. 综上得实数 a 的取值范围是(0,2). 答案:A 12.已知函数 f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),对任意的 x1∈[- 1,2]都存在 x0 ∈ [ - 1,2],使得 g(x1) = f(x0) ,则实数 a 的取值范围是 ________. 解析:当 x0∈[-1,2]时,由 f(x)=x2-2x 得 f(x0)∈[-1,3],又对任意 的 x1∈[-1,2]都存在 x0∈[-1,2],使得 g(x1)=f(x0),∴当 x1∈[-1,2]时,

?-a+2≥-1, g(x1)∈[-1,3].当 a>0 时,? ?2a+2≤3,
1? ? 数 a 的取值范围是?0,2?.
? ?

1 解得 a≤2.综上所述,实

1? ? 答案:?0,2?
? ?

13.已知函数 f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若 f(x)在区间[2,3]上有
-8-

最大值 5,最小值 2. (1)求 a,b 的值; (2)若 b<1,g(x)=f(x)-mx 在[2,4]上单调,求 m 的取值范围. 解析:(1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a. 当 a>0 时,f(x)在[2,3]上为增函数,

?f?3?=5, 故? ?f?2?=2,

?9a-6a+2+b=5, ?? ?4a-4a+2+b=2,

?a=1, ?? ?b=0.

当 a<0 时,f(x)在[2,3]上为减函数,

?f?3?=2, 故? ?f?2?=5,

?9a-6a+2+b=2, ?? ?4a-4a+2+b=5,

?a=-1, ?? ?b=3.

(2)∵b<1,∴a=1,b=0,即 f(x)=x2-2x+2. g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2, 2+m m+2 ∵g(x)在[2,4]上单调,∴ 2 ≤2 或 2 ≥4. ∴m≤2 或 m≥6. 故 m 的取值范围为(-∞,2]∪[6,+∞). 14.[2015· “江淮十校”联考]设二次函数 f(x)=x2-ax+b,集合 A ={x|f(x)=x}. (1)若 A={1,2},求函数 f(x)的解析式; (2)若 F(x)=f(x)+2-a-a2 且 f(1)=0,且|F(x)|在[0,1]上单调递增, 求实数 a 的取值范围. 解析:(1)由 f(x)=x,得 x2-(a+1)x+b=0.
-9-

∵A={x|f(x)=x}={1,2}, ∴1,2 是关于 x 的一元二次方程 x2-(a+1)x+b=0 的两个实数根.

?a+1=3, ∴? ?b=2.

?a=2, ?? ?b=2.

∴f(x)=x2-2x+2. (2)∵f(1)=0,∴1-a+b=0,b=a-1. ∴F(x)=f(x)+2-a-a2=x2-ax+(1-a2). 2 5 2 5 ①当 Δ≤0,即(-a)2-4(1-a2)≤0,- 5 ≤a≤ 5 时,

?2≤0, 应满足? 2 5 2 5 - ≤ a ≤ ? 5 5

a

2 5 ?- 5 ≤a≤0.

2 5 2 5 ②当 Δ>0,即 a<- 5 或 a> 5 时,设方程 F(x)=0 的两个实 数根分别为 x1,x2(x1<x2). a ? ? a 2≥1, 若2≥1,则 x1≤0,即? ? ?F?0?=1-a2≤0 a ? ? a 2≤0, 若2≤0,则 x2≤0,即? ? ?F?0?=1-a2≥0. 2 5 ?-1≤a<- 5 .

?a≥2;

- 10 -

综上,实数 a 的取值范围是-1≤a≤0 或 a≥2.

- 11 -


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