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2015年深圳一模理科数学试题答案及评分标准


2015 年深圳市高三年级第一次调研考试
数学(理科)试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1、已知集合 U ? {2,0,1,5} ,集合 A ? {0,2} ,则 CU A =( A. ? B。 {0,2} C。 {1,5} D。 {2,0,1,5} ) y )

>
2、已知复数 z 满足 z (1 ? i ) ? 1 (其中 i 为虚数单位) ,则 z ? ( A.

?1? i 2
x

B。

?1? i 2

C。

1? i 2

D。

1? i 2
1 -1 O 图1 x

3、若函数 y ? a ? b 的部分图象如图 1 所示,则 A. 0 ? a ? 1,?1 ? b ? 0 C. a ? 1,?1 ? b ? 0 B。 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1 D。a?1,0?b

?x ? y ? 3 ? 4、已知实数 x, y 满足不等式组 ? x ? 0 ,则 2 x ? y 的最大值为( ?y ? 0 ?
A.3 B。4 C。6 D。9



5、已知直线 a, b ,平面 ? , ? ,且 a ? ? , b ? ? ,则“ a ? b ”是“ ? // ? ”的( A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 6、执行如图 2 所示的程序框图,则输出 S 的值为( ) A. 16 B。25 C。36 D。49



D.既不充分也不必要条件

7 、 在 ?ABC 中 , a, b, c 分 别 为 ?A, ?B, ?C 所 对 的 边 , 若 函 数

f ( x) ?
A. (0,

?
3

1 3 x ? bx 2 ? (a 2 ? c 2 ? ac) x ? 1 有极值点,则 ?B 的范围是( 3 )
B。 (0,



?

3

]

C。 [

?

3

,? ]

D。 (

?

3

,? )

8、如果自然数 a 的各位数字之和等于 8,我们称 a 为“吉祥数” 。将所有“吉祥数”从小 到大排成一列 a1 , a2 , a3 …,若 an ? 2015 ,则 n ? ( A. 83 B。82 C。39 D。37 ) 图2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。本大题分为必做题和选做题两部分 (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生必须做答。 9、 ( x ? 10、

1 4 ) 的展开式中常数项为 3x

.(用数字表示)

?

3

?3

( x 2 ? 2 sin x)dx ?
1 x

11、已知向量 a ? ( ? 1,1) , b ? (1,

1 ) ( x ? 0, y ? 0) ,若 a ? b ,则 x ? 4 y 的最小值为 y
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12、已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 8x ? ay ? 5 ? 0 经过抛物线 E: x 2 ? 4 y 的焦点,则抛物线 E 的准线与圆 C 相交所得弦长 为 13、设 P 是函数 y ? ln x 图象上的动点,则点 P 到直线 y ? x 的距离的最小值为

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算第一题的得分。 14、(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 C1 : ? cos? ? 2 与曲线 C2 : ? 2 cos2? ? 1 相交于 A,B 两点, 则|AB|= 15、(几何证明选讲选做题)如图 3,在 Rt?ABC 中, ?A ? 30 , ?C ? 90 ,D 是 AB 边
0 0

上的一点,以 BD 为直径的⊙ O 与 AC 相切于点 E。若 BC=6,则 DE 的长为

三、解答题 16、 (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? (1)求 f (

π ) ( ? ? 0 )的最小正周期是 π . 3

图3

5π ) 的值; 12
π 3 ,且 x0 ? (0, ) ,求 f ( x0 ) 的值. 2 3

(2)若 sin x0 ?

17、 (本小题满分 12 分) 空气质量指数(简称 AQI)是定量描述空气质量状况的指数,其数值越大说明空气污染越严重,为了及时了解空气 质量状况,广东各城市都设置了实时监测站.下表是某网站公布的广东省内 21 个城市在 2014 年 12 月份某时刻实时监 测到的数据:
城市 广州 深圳 佛山 AQI 数值 118 94 160 城市 东莞 珠海 惠州 AQI 数值 137 95 113 城市 中山 湛江 汕头 AQI 数值 95 75 88 城市 江门 潮州 汕尾 AQI 数值 78 94 74 城市 云浮 河源 阳江 AQI 数值 76 124 112 城市 茂名 肇庆 韶关 AQI 数值 107 48 68 城市 揭阳 清远 梅州 AQI 数值 80 47 84

(1)请根据上表中的数据,完成下列表格: 空气质量 AQI 值范围 城市个数 (2)统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取 6 个城市,省环保部门再 从中随机选取 3 个城市组织专家进行调研,记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为 ? ” ,求 ? 的分布列和 数学期望. 优质 [0,50) 良好 [50,100) 轻度污染 [100,150) 中度污染 [150,200)

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18、 (本小题满分 14 分) 在三棱锥 P ? ABC 中,已知平面 PBC ? 平面 ABC , AB 是底面△ ABC 最长的边.三棱锥 P ? ABC 的三视图 如图 5 所示,其中侧视图和俯视图均为直角三角形. (1)请在图 6 中,用斜二测画法,把三棱锥 P ? ABC 的直观图补充完整(其中点 P 在

xOz 平面内) ,并指出三棱锥 P ? ABC 的哪些面是直角三角形;
(2)求二面角 B ? PA ? C 的正切值; (3)求点 C 到面 PAB 的距离. z P y

2 3

4
正视图 侧视图 O 图6 x

2

2
俯视图 图5

19、 (本小题满分 14 分) 已知首项大于 0 的等差数列 ?an } 的公差 d ? 1 ,且 (1)求数列 ?an } 的通项公式; (2)若数列 ?bn } 满足: b1 ? ?1 , b2 ? ? , bn ?1 ? ①求数列 ?bn } 的通项 bn ;

1 1 2 ? ? . a1a2 a2 a3 3

1? n (?1)n?1 ,其中 n ? 2 . bn ? n an

②是否存在实数 ? ,使得数列 {bn } 为等比数列?若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

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20、 (本小题满分 14 分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 2 4 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,过左焦点倾斜角为 45 ? 的直线被椭圆截得的弦长为 . 2 a b 2 3

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点,过点 M ?1, 0? 作 l 的垂线垂足为 Q ,求点 Q 的轨迹方程.

21、 (本小题满分 14 分) 已知定义在 [ ?2 , 2] 上的奇函数 f ( x ) 满足:当 x ? (0 , 2] 时, f ( x) ? x( x ? 2) . (1)求 f ( x ) 的解析式和值域; (2)设 g ( x) ? ln(x ? 2) ? ax ? 2a ,其中常数 a ? 0 . ①试指出函数 F ( x) ? g ( f ( x)) 的零点个数;

1 是函数 F ( x) ? g ( f ( x)) 的一个零点时,相应的常数 a 记为 ak ,其中 k ? 1, 2, k 7 * 证明: a1 ? a2 ? ? an ? ( n ? N ) . 6
②若当 1 ?

,n.

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2015 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准 制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决 定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题:本大题每小题 5 分,满分 40 分. 1 2 3 4 5 6 C 7 D 8 A 12. 4 6 ; C D A C B 二、填空题:本大题每小题 5 分,满分 30 分.

2 ; 3 2 13. ; 2
9. 三、解答题 16.解: (1)

10. 18 ; 14. 2 ;

11. 9 ; 15. 4 .

f ( x) 的周期 T ? π ,即



?

? π,

????????????????1 分

π ? ? ? ?2 , 由 ? ? 0 ,得 ? ? 2 ,即 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) . ??????????????3 分 3 5π 7π π π ? f ( ) ? 2sin ? 2sin( ? π) ? ?2sin ? ?1 . ????????????5 分 12 6 6 6 1 3 2 (2)由 sin x0 ? 得 cos 2 x0 ? 1 ? 2sin x0 ? , ????????????7 分 3 3 π 又 x0 ? (0, ) ,? 2x0 ? (0, π) , ?????????????????8 分 2 2 2 , ????????????????9 分 ? sin 2 x0 ? 1 ? cos 2 2 x0 ? 3 π π π 2 2 1 1 3 2 2? 3 2sin(2 x0 ? ) ? 2sin 2 x0 cos ? 2 cos 2 x0 sin . ? 2? ? ? 2? ? ? 3 3 3 3 2 3 2 3 π 2 2? 3 . ????????????????12 分 ? f ( x0 ) ? 2sin(2 x0 ? ) ? 3 3
【说明】 本小题主要考查了三角函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 的图象与性质,同角三角函数的关系式,诱导公式,两角 和与差和二倍角的三角函数公式,考查了简单的数学运算能力. 17、解:(1)根据数据,完成表格如下: 空气质量 AQI 值范围 城市频数 优质 [0,50) 2 良好 [50,100) 12 轻度污染 [100,150) 6 中度污染 [150,200) 1

?????????????2 分 (2)按分层抽样的方法, 从“良好”类城市中抽取 n1 ?

12 ? 6 ? 4 个, 12 ? 6

????????????? 3 分

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从“轻度污染”类城市中抽取 n2 ?

6 ? 6 ? 2 个, 12 ? 6

???????????4 分

所以抽出的“良好”类城市为 4 个,抽出的“轻度污染”类城市为 2 个. 根据题意 ? 的所有可能取值为: 1, 2, 3 .

P(? ? 1) ?

1 2 C4 C2 1 ? , 3 C6 5

P(? ? 2) ?

2 1 3 0 C4 C2 3 C4 C2 1 , ? P ( ? ? 3) ? ? .???8 分 3 3 C6 5 C6 5

? ? 的分布列为:

?
P
所以 E? ? 1?

1
1 5
1 3 1 ? 2 ? ? 3? ? 2 . 5 5 5

2
3 5

3
1 5
??????????????????11 分

答: ? 的数学期望为 2 个.

???????????????????12 分

【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识,考查运用概率统计知识 解决简单实际问题的能力,数据处理能力. 18、解: (1)三棱锥 P ? ABC 直观图如图 1 所示; z 由三视图知 ?ABC 和 ?PCA 是直角三角形. (2) (法一) :如图 2,过 P 作 PH ? BC 交 BC 于点 H , 由三视图知 ?PBC 为等腰三角形,

????????3 分 P y

BC ? 4 , PH ? 2 3 , ? PB ? PC ? BC ? 4 , 取 PC 的中点 E ,过 E 作 EF ? PA 且交 PA
于点 F ,连接 BE , BF , 因为 BE ? PC ,由三视图知 AC ? 面 PBC , 且 BE ? 面 PBC ,所以 AC ? BE , 又由 AC PC ? C ,所以 BE ? 面 PAC , 由 PA ? 面 PAC ,所以 BE ? PA , BE EF ? E ,所以 PA ? 面 BEF , 由 BF ? 面 BEF ,所以 PA ? BF , 所以 ?BFE 是二面角 B ? PA ? C 的平面角.???6 分 A O(B) 图1 z P F E A O(B) H C x y C x

?PEF ~ ?PAC ,?

PE EF ? , PA AC

图2 8分 PE ? 2, AC ? 4, PA ? 4 2 ,? EF ? 2 , ??????????????

? 在直角 ?CFE 中,有 tan ?BFE ?

BE ? 6. EF
???????????????9 分

所以,二面角 B ? PA ? C 的正切值为 6 .

(法二) :如图 3,过 P 作 PH ? BC 交 BC 于点 H ,由三视图知 ?PBC 为等腰三角形,
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BC ? 4 , PH ? 2 3 ,
由图 3 所示的坐标系,及三视图中的数据得:

z P y

B(0, 0, 0) , C (4, 0, 0) , P(2,0, 2 3) , A(4, 4, 0) ,
则 BA ? (4, 4,0) , BP ? (2,0, 2 3) , CA ? (0, 4,0) ,

A O(B) H C x

CP ? (?2,0, 2 3) ,
设平面 PAB 、平面 PAC 的法向量分别为 m 、 n . 设 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,由 m ? BA ? 0 , m ? BP ? 0 ,得 ?

? ?4 x1 ? 4 y1 ? 0 图 3 , ? ?2 x1 ? 2 3 z1 ? 0
???????6 分

令 z1 ? 1, 得 x1 ? ? 3 , y1 ? 3 ,即 m ? (? 3, 3,1) . 设 n ? ( x2 , y2 , z2 ) ,由 n ? CA ? 0 , n ? PA ? 0 ,得 ?

? ? 4 y2 ? 0 , ? 2 x ? 2 3 z ? 0 ? ? 2 2
?????????7 分

令 z2 ? 1 , 得 x2 ? 3 , y2 ? 0 ,即 n ? ( 3,0,1) .

? cos ? m, n ??

m?n ?2 7 , tan ? m, n ?? ? 6 .???????8 分 ? ?? m n 2 7 7

而二面角 B ? PA ? C 的大小为锐角,所以二面角 B ? PA ? C 的正切值为 6 .?9 分 (3)(法一) :记 C 到面 PAB 的距离为 h ,由(1) 、 (2)知 PA ? AB ? 4 2, PB ? 4 ,

1 4 7 h, ? S?PAB ? 4 7 , VC ? PAB ? S?PAB ? h ? 3 3
三棱锥 P ? ABC 的体积 VP ? ABC ?

????????????12 分

1 16 3 S?ABC ? PH ? , 3 3

????????13 分

由 VP? ABC ? VC ?PAB ,可得: h ?

4 21 . 7

???????????????14 分

(法二) :由(2)知,平面 PAB 的法向量 m ? (? 3, 3,1) , CA ? (0, 4,0) 记 C 到面 PAB 的距离为 h ,

?h ?

4 3 4 21 m ? CA ? ? . m 7 7

??????????????????14 分

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,三视图及几何体的直观图,二面角,三棱锥的体积,空间坐标系 等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查用向量方法解决数学问题的能力.

第 7 页 共 13 页

19、解: (1) (法一) : 数列 ?an } 的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 1 ,

? an ? a1 ? (n ?1) ,

1 1 1 , ???????????????2 分 ? ? an an ?1 an an ?1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ? , ?????3 分 ? ? ? ( ? )?( ? ) ? ? ? ? a1 a3 a1 a1 ? 2 3 a1a2 a2 a3 a1 a2 a2 a3
???????????4 分 ???????????????5 分 ?????????????1 分 ???????????2 分

整理得 a12 ? 2a1 ? 3 ? 0 解得 a1 ? 1 或 a1 ? ?3 (舍去) . 因此,数列 ?an } 的通项 an ? n . (法二) :由题意得

数列 ?an } 是等差数列,? a1 ? a3 ? 2a2 ,

a ?a 1 1 2 ? ? 1 3? , a1a2 a2 a3 a1a2 a3 3

?


2 a2 2 ? ,即 a1a3 ? 3 . a1a2 a3 3

?????????????????????3 分 ?????????????4 分

因此,数列 ?an } 的通项 an ? n . (2)①

. a1 ? 0, d ? 1 ,? a1 (a1 ? 2) ? 3 ,解得 a1 ? 1 或 a1 ? ?3 (舍去)

???????????????5 分 ??????????6 分

nbn ?1 (n ? 1)bn 1? n (?1)n ?1 bn ? ? ? 1. , ? n ?1 n n (?1) (?1) n (n ? 1)bn 令 cn ? ,则有 c2 ? ? , cn?1 ? cn ? 1 (n ? 2) . (?1) n bn ?1 ?
? 当 n ? 2 时, cn ? c2 ? (n ? 2) ? n ? 2 ? ? , bn ?

??1, ? 因此,数列 ?bn } 的通项 bn ? ? (n ? 2 ? ? )(-1)n . ?????????9 分 , ( n ? 2). ? n ?1 ? 1? ? ② b1 ? ?1, b2 ? ? , b3 ? ? , ???????????????10 分 2 1? ? 1 ) ,解得 ? ? 1 或 ? ? ? . ? 若数列 ?bn } 为等比数列,则有 b2 2 ? b1b3 ,即 ? 2 ? (?1)(? 2 2 n (2n ? 5)(-1) 1 b (n ? 2) , n +1 不是常数,数列 ?bn } 不是等比数列, 当 ? ? ? 时, bn ? 2 ( 2 n ? 1) bn
当 ? ? 1 时, b1 ? ?1 , bn ? (?1)n (n ? 2) ,数列 ?bn } 为等比数列. 所以,存在实数 ? ? 1 使得数列 ?bn } 为等比数列.

(n ? 2 ? ? )(-1)n . ???8 分 n ?1 n ? 1,

???11 分

????????????14 分

【说明】考查了等差数列的基本量的计算、递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、等比数列的定义,考查了学 生的运算能力,以及化归与转化的思想.

a 2 ? b2 2 2 2 2 20、解: (1)因为椭圆 E 的离心率为 ,所以 ,解得 a ? 2b , ? 2 a 2 2 2 x y 故椭圆 E 的方程可设为 2 ? 2 ? 1 ,则椭圆 E 的右焦点坐标为 ? b, 0 ? , 过右焦点倾斜角为 45 ? 的直线方程为 2b b ? l : y ? x ?b. ???????????????2 分
? x2 y2 ? ? 1, ? 2 设直线 l ? 与椭圆 E 的交点记为 A, B ,由 ? 2b 2 b 2 消去 y ,得 3x ? 4bx ? 0 , ? y ? x ? b, ?

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4b 4 2b 4 2 , 因为 AB ? 1 ? 12 x1 ? x2 ? ,解得 b ? 1 . ? 3 3 3 x2 ? y 2 ? 1. ????????????????????4 分 故椭圆 E 的方程为 2 (2) (法一) (i)当切线 l 的斜率存在且不为 0 时,设 l 的方程为 y ? kx ? m , ? y ? kx ? m ? 联立直线 l 和椭圆 E 的方程,得 ? x 2 , ??????????????5 分 2 ? ? y ?1 ?2 2 2 2 消去 y 并整理,得 2k ? 1 x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0 , ??????????6 分
解得 x1 ? 0, x2 ?

?

?

?? ? 16k 2 m 2 ? 4 ? 2k 2 ? 1?? 2m 2 ? 2 ? ? 0 ,
化简并整理,得 m2 ? 2k 2 ? 1 .

因为直线 l 和椭圆 E 有且仅有一个交点,

???????????????7 分 ????????????????8 分

因为直线 MQ 与 l 垂直,所以直线 MQ 的方程为: y ? ?

1 ? x ? 1? , k

1 ? km ? x? , ? ? 1? k 2 解得 ? ?????????9 分 k ? m ?y ? , ? 1? k 2 ? (1 ? km)2 ? (k ? m)2 k 2 m2 ? k 2 ? m2 ? 1 (k 2 ? 1)(m2 ? 1) m2 ? 1 ,把 m2 ? 2k 2 ? 1 代入上式得 ? x2 ? y 2 ? ? ? ? (1 ? k 2 )2 (1 ? k 2 )2 (1 ? k 2 )2 1? k 2 ① ?????????????11 分 x2 ? y 2 ? 2 . (ii)当切线 l 的斜率为 0 时,此时 Q(1,1) ,符合①式. ??????????12 分

1 ? ? y ? ? ? x ? 1? , 联立 ? k ? ? y ? kx ? m,

(iii)当切线 l 的斜率不存在时,此时 Q( 2, 0) 或 (? 2,0) ,符合①式. ???13 分 综上所述,点 Q 的轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? 2 . ???????????????14 分 (法二) :设点 Q 的坐标为 Q( x0 , y0 ) , (i)当切线 l 的斜率存在且不为 0 时,设 l 的方程为 y ? kx ? m ,
2 2 同解法一,得 2k ? m ? 1 ? 0 ,



????????????????8 分

因为直线 MQ 与 l 垂直,所以直线 MQ 的方程为: y ? ?

1 ? x ? 1? , k

1 ? ? y ? ? ? x ? 1? , 联立 ? k ? ? y ? kx ? m,

②代入①并整理,有 y0 4 ? 2 x0 2 ? 2 x0 ? 1 y0 2 ? x0 2 ? 2 x0 ? 1 x0 2 ? 2 ? 0 ,?10 分 即 y0 2 ? x0 2 ? 2

?

?? y

2 0

? x0 2 ? 2 x0 ? 1? ? 0 ,

?

1 ? x0 ? ?k ? y , ? 0 解得 ? ② 2 2 ? m ? x0 ? x0 ? y0 , ? y0 ?

???????9 分

?

?

??
2

?

2 2 2 由点 Q 与点 M 不重合, ? y0 ? x0 ? 2 x0 ? 1 ? y0 ? ? x0 ? 1? ? 0 ,

? x02 ? y02 ? 2 ? 0 , ③

????????????????????11 分 ??????????12 分

(ii)当切线 l 的斜率为 0 时,此时 Q(1,1) ,符合③式.
2 2

(iii)当切线 l 的斜率不存在时,此时 Q( 2, 0) 或 (? 2,0) ,符合③式. ???13 分 综上所述,点 Q 的轨迹方程为 x ? y ? 2 . ???????????????14 分 (法三) :设点 Q 的坐标为 Q( x0 , y0 ) , (i)当切线 l 的斜率存在且不为 0 时,设 l 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,整理,得 l 的方程为 y ? kx ? kx0 ? y0 ,5 分

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? y ? kx ? kx0 ? y0 ? 联立直线 l 和椭圆 E 的方程,得 ? x 2 , 消去 y 并整理, 2 ? y ? 1 ? ?2
得 2k ? 1 x ? 4k ? y0 ? kx0 ? x ? 2 ? y0 ? kx0 ? ? 2 ? 0 ,
2 2 2

?

?

????????6 分

2 2 ?? ? 16k 2 ? y0 ? kx0 ? ? 8 ? 2k 2 ? 1? ?? y0 ? kx0 ? ? 1? ? 0 , ?????????7 分 ? ? 2 2 2 化简并整理,得 ? y0 ? x0 ? 2kx0 y0 ? 2k ? 1 ? 0 , ① ?????????8 分 1 ? x0 因为 MQ 与直线 l 垂直,有 k ? , ②??????????????9 分 y0

因为直线 l 和椭圆 E 有且仅有一个交点,

②代入①并整理,有 y0 4 ? 2 x0 2 ? 2 x0 ? 1 y0 2 ? x0 2 ? 2 x0 ? 1 x0 2 ? 2 ? 0 ,?10 分 即 y0 2 ? x0 2 ? 2

?

?? y

2 0

? x0 2 ? 2 x0 ? 1? ? 0 ,

?

?

?

??

?

2 2 2 x0 ? 1 ? y02 点 Q 与点 M 不重合, ? y0 ? x0 ?

??

x0 1 ??
2

0 ? ,

? x02 ? y02 ? 2 ? 0 , ③????????????????????????11 分 (ii)当切线 l 的斜率为 0 时,此时 Q(1,1) ,符合③式. ??????????12 分
(iii)当切线 l 的斜率不存在时,此时 Q( 2, 0) 或 (? 2,0) ,符合③式. ???13 分 综上所述,点 Q 的轨迹方程为 x 2 ? y 2 ? 2 . ???????????????14 分 【说明】本题主要考查轨迹方程和椭圆的定义、直线方程、直线与椭圆相切的位置关系,弦长问题,考查学生运算 能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力,考查数形结合、化归与转化思想. 21、解: (1)

当 x ?? ?2,0? 时, ? x ? ? 0, 2? ,则 f ( x) ? ? f (? x) ? ?(? x)(? x ? 2) ? ? x( x ? 2) ,

f ( x) 为奇函数,? f (0) ? 0 .

? f ( x) 的值域为 ? ?1,1? .

? ? x( x ? 2) x ? ? 0, 2? , ???????????????2 分 ? f ( x) ? ? ? x ( x ? 2) x ? ? 2, 0 , ? ? ? ? x ? [0, 2] 时, f ( x) ???1,0? , x ?? ?2,0? , f ( x) ??0,1? ,
???????????????????3 分

(2)①函数 f ( x) 的图象如图 a 所示,当 t ? 0 时,方程 f ( x) ? t 有三个实根;当 t ? 1 或 t ? ?1 时,方程 f ( x) ? t 只有一个实 根;当 t ? (0,1) 或 t ? (?1,0) 时,方程 f ( x) ? t 有两个实根. (法一) :由 g ( x) ? 0 ,解得 a ?

y 1 ?2 ?1 o ?1
图a

ln( x ? 2) 在 ? ?1,1? 上的图象特征. x?2 1 ? ln( x ? 2) ln( x ? 2) ( x ? [?1,1]) , h(?1) ? 0 , h?( x) ? 设 h( x ) ? , x?2 ( x ? 2) 2 1 令 h?( x) ? 0 ,得 x ? e ? 2 ? (0,1) , h(e ? 2) ? . e 当 ?1 ? x ? e ? 2 时, h?( x) ? 0 ,当 e ? 2 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 , ln 2 ln 3 ln 2 ln 3 3 2 ? 又 ln 2 ? ln 3 ,即 ,由 h (0) ? , h(1) ? ,得 h(0) ? h(1) , 2 3 2 3 ? h( x) 的大致图象如图 b 所示. ln 2 ln 2 ln 3 1 、 ?a? 、a ? 时, 根据图象 b 可知,当 0 ? a ? 2 2 3 e 直线 y ? a 与函数 y ? h( x) 的图像仅有一个交点,则函数 g ( x) 在 [ ?1,1] 上仅有一个零点,记零点为 t ,则 t 分别在区间 (?1, 0) 、
f ( x) 的值域为 ? ?1,1? ,? 只需研究函数 y ?
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ln( x ? 2) , x?2

1

2

x

1 e
ln 2 2

y

?1 o

1
图b

x

(0,1) 、 (0,1) 上,根据图像 a ,方程 f ( x) ? t 有两个交点,因此 函数 F ( x) ? g ( f ( x)) 有两个零点. ????????????????5 分 ln 2 类似地,当 a ? 时 , 函 数 g ( x) 在 [ ?1,1] 上 仅 有 零 点 0 , 因 此 函 数 F ( x ) 有 ?1 、 0 、 1 这 三 个 零 2
点. 当a ? 零点. 当 点. 当a ? ????????????????????????6 分

ln 3 时,函数 g ( x) 在 [ ?1,1] 上有两个零点,一个零点是 1 ,另一个零点在 (0,1) 内,因此函数 F ( x ) 有三个 3
??????????????????????7 分

ln 3 1 ? a ? 时,函数 g ( x) 在 [ ?1,1] 上有两个零点,且这两个零点均在 (0,1) 内,因此函数 F ( x) 有四个零 3 e
???????????????????????8 分

1 时,函数 g ( x) 在 ? ?1,1? 上没有零点,因此函数 F ( x ) 没有零点. ???9 分 e 1 1 ? a ,令 g ?( x0 ) ? 0 ,得 x0 ? ? 2 , (法二) : g ?( x ) ? x?2 a a ? 0 ,? x0 ? ? ?2, ??? . 1 1 当 x ? (?1, ? 2) 时, g ?( x) ? 0 ,当 x ? ( ? 2, ? ? ) 时, g ?( x) ? 0 , a a 1 ? 当 x ? x0 时, g ( x) 取得极大值 g ( x0 ) ? ln ? 1 . a 1 1 (Ⅰ)当 g ( x) 的极大值 ln ? 1 ? 0 ,即 a ? 时,函数 g ( x) 在区间 ? ?1,1? 上无零点,因此函数 F ( x) ? g ( f ( x)) 无 a e y 零点. 1 1 1 (Ⅱ)当 g ( x) 的极大值 ln ? 1 ? 0 ,即 a ? 时, a e ?2 ?1 o x0 1 2 x x0 ? e ? 2 ? (0,1) ,函数 g ( x) 的图像如图 c 所示,函数 g ( x) 有零点 e ? 2 . ?1 由图 a 可知方程 f ( x) ? e ? 2 有两不等的实根,因此函数 F ( x) ? g ( f ( x)) 有两个零点. 1 1 (Ⅲ)当 g ( x) 的极大值 ln ? 1 ? 0 且 x0 ? ? 2 ? 1 , 图c a a y 1 即 0 ? a ? 时 , g ( x) 在 [ ?1,1] 上 单 调 递 增 , 因 为 g ? ?1? ? ?a ? 0 , 1 3 2 2 2 2 2 1x0 2 x g (0) ? ln 2 ? 2a ? ln 2 ? ? ln ? ln1 ? 0 ,函数 g ( x) 的图像如图 d 所示, ?2 ?1 o 3 3 e 3 ?1 函数 g ( x) 在 ? ?1,1? 存在唯一零点 t1 ,其中 t1 ? (?1,0) .
由图 a 可知方程 f ( x) ? t1 有两不等的实根,因此函数 F ( x) ? g ( f ( x)) 有两个 零点.

y 1 ?2 ?1 o x0 1 ?1

图d

1 1 1 1 (Ⅳ)当 g ( x) 的极大值 ln ? 1 ? 0 且 x0 ? ? 2 ? 1 ,即 ? a ? 时: a a 3 e ln 2 ln 3 由 g (0) ? ln 2 ? 2a ? 0 ,得 a ? ,由 g (1) ? ln 3 ? 3a ? 0 ,得 a ? , 3 2
1 ln 2 ln 3 1 ? ? . 根据法一中的证明有 ? 3 2 3 e 1 ln 2 (ⅰ)当 ? a ? 时, g (0) ? ln 2 ? 2a ? 0 , 3 2 g (1) ? ln 3 ? 3a ? 0 ,函数 g ( x) 的图像如图 e 所示, 函数 g ( x) 在区间 [?1,1] 有唯一零点 t 2 ,其中 t2 ? (?1,0) .
由图 a 可知方程 f ( x) ? t2 有两不等的实根,因此
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x

图e

y 1 ?2 ?1 o ?1

x0 1

x

图f

函数 F ( x) ? g ( f ( x)) 有两个零点.

ln 2 时, g (0) ? ln 2 ? 2a ? 0 , 2 g (1) ? ln 3 ? 3a ? 0 ,函数 g ( x) 的图像如图 f 所示, 函数 g ( x) 在区间 [?1,1] 有唯一零点 0 . 由图 a 可知方程 f ( x) ? 0 有三个不等的实根,因此函数 F ( x) ? g ( f ( x)) 有三个零点. y ln 2 ln 3 ?a? (ⅲ)当 时, g (0) ? ln 2 ? 2a ? 0 , g (1) ? ln 3 ? 3a ? 0 ,函数 g ( x) 的 1 2 3 图像如图 g 所示,函数 g ( x) 在区间 [?1,1] 有唯一零点 t3 ,其中 t3 ? (0,1) . ?2 ?1 o x01 由图 a 可知方程 f ( x) ? t3 有两个不等的实根,因此函数 ?1 F ( x) ? g ( f ( x)) 有两个零点. ln 3 (ⅳ)当 a ? 时, g (0) ? 0 , g (1) ? ln 3 ? 3a ? 0 , 3 图g 函数 g ( x) 的图像如图 h 所示,函数 g ( x) 在区间 [?1,1] 有 y 两个零点,分别是 1和 t 4 ,其中 t4 ? (0,1) . 1 由图 a 可知方程 f ( x) ? 1 有一个实根 ?1,方程 f ( x) ? t4 有两个非 ?1的不等实根,因此函数 F ( x) ? g ( f ( x)) 有三个零点. ?2 ?1 o x0 1 ln 3 1 ?1 ? a ? 时, g (0) ? 0 , g (1) ? ln 3 ? 3a ? 0 , (ⅴ)当 3 e 函数 g ( x) 的图像如图 i 所示,函数 g ( x) 在区间 [?1,1] 有两个 零点 t5 、 t 6 ,其中 t5 , t6 ? (0,1) .
(ⅱ)当 a ? 由图 a 可知方程 f ( x) ? t5 、 f ( x) ? t6 都有两个不等的实根, 且这四个根互不相等,因此函数 F ( x) ? g ( f ( x)) 有四个零点. 综上可得:

x

x

图h

y 1 ?1 o x0 1 ?1
图i

ln 2 ln 2 ln 3 1 、 ?a? 、a ? 时,函数 F ( x) 有两个零点;??????5 分 ?2 2 2 3 e ln 2 ln 3 当a ? 、a ? 时,函数 F ( x ) 有三个零点; ????????????7 分 3 2 ln 3 1 ? a ? 时,函数 F ( x) 有四个零点; 当 ??????????????8 分 3 e 1 当 a ? 时,函数 F ( x ) 无零点. ??????????????????9 分 e 1 1 ②因为 1 ? 是函数 F ( x) ? g ( f ( x)) 的一个零点,所以有 g ( f (1 ? )) ? 0 , k k 1 1 1 1 ? ? ? 0, 2 ? ,? f (1 ? ) ? 2 ? 1 , k k k 1 1 1 1 ? g ( f (1 ? )) ? g ( 2 ? 1) ? ln( 2 ? 1) ? ak ( 2 ? 1) ? 0 , k k k k 1 ln( 2 ? 1) ? ak ? k , k ? 1, 2, , n . ????????????????10 分 1 ? 1 k2 1 ?x ?1 ? 记 m( x) ? ln( x ? 1) ? x , m?( x) ? , x ?1 x ?1 当 x ? ? 0,1? 时, m?( x) ? 0 ,
当0 ? a ?

x

? 当 x ? ? 0,1? 时, m( x) ? m(0) ? 0 ,即 ln( x ? 1) ? x .

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故有 ln(

1 1 ? 1) ? 2 ,则 ak ? 2 k k
1 7 ? ; 2 6

ln(

1 1 ? 1) 2 2 1 k ? k ? 2 ? k ? 1, 2, ???, n? . ?11 分 1 1 k ? 1 ?1 ?1 k2 k2

当 n ? 1 时, a1 ? 当 n ? 2 时, (法一) :
2

1 1 2 2 , ????????????13 分 ? ? ? k ? 1 k 2 ? 1 2k ? 1 2k ? 1 4 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ?a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 2 n ?1 1 ?1 2 ?1 3 ?1 1 2 2 2 2 2 2 ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 2 2 7 2 7 ? ? ? ? ? ? . 2 3 2n ? 1 6 2n ? 1 6 7 * 综上,有 a1 ? a2 ? ? ? a n ? , n ? N . ???????????????14 分 6 1 1 7 7 ? ; (法二) :当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? ? ? 2 5 10 6 1 1 1 1 1 ? 2 ? ( ? ), 当 n ? 3 时, ?????????13 分 2 k ? 1 k ?1 2 k ?1 k ? 1 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ?a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? 2 n ?1 1 ?1 2 ?1 3 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? [( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )] 2 5 2 2 4 3 5 n ?1 n ?1 1 1 1 1 1 1 1 67 1 1 1 67 7 ? ? ? [ ? ? ? ]? ? ( ? )? ? . 2 5 2 2 3 n n ? 1 60 2 n n ? 1 60 6 7 * 综上,有 a1 ? a2 ? ? ? a n ? , n ? N . ???????????????14 分 6

【说明】本题主要考查函数的性质、分段函数、导数应用、一元二次方程的求解、连续函数的零点存在性定理, 放缩法证明数列不等式,考查学生数形结合、分类讨论的数学思想,以及计算推理能力及分析问题、解决问题的能力 及创新意识.

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