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2015-2016学年高中数学 第一章 解三角形复习学案设计 新人教A版必修5


第一章

解三角形

本章复习
学习目标
1.运用正弦定理、余弦定理,解决一些简单的三角形度量问题. 2.能够熟练运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生 活实际问题. 3.培养分析问题、解决问题、自主探究的能力.

合作学习
一、设计问题,创设情境 问题 1:以

上我们学习了正弦定理、 余弦定理及它们的应用,同学们回忆我们所学的基本 知识,然后自己写出来.

二、信息交流,揭示规律 问题 2:应用正弦定理、余弦定理我们可以解决三角形的哪几类问题?

【例 1】在△ABC 中,由已知条件解三角形,其中有两解的是( ) A.b=20,A=45°,C=80° B.a=30,c=28,B=60° C.a=14,b=16,A=45° D.a=12,c=15,A=120° 三、运用规律,解决问题 我们除了可以利用正弦定理、余弦定理直接解决解三角形之外,我们还可以解决判断三 角形的形状的问题: 根据所给条件确定三角形的形状,主要有两条途径:(1)化边为角;(2)化角为边. 常见具体方法有: (1)通过正弦定理实施边角转换; (2)通过余弦定理实施边角转换; (3)通过三角变换找出角之间的关系; (4) 通过三角函数值符号的判断及正弦定理、余弦函数有界性的讨论 ; 另外要注意 2 2 b +c -a2>0?A 为锐角,b2+c2-a2=0?A 为直角,b2+c2-a2<0?A 为钝角. 2 【例 2】已知方程 x -(bcos A)x+acos B=0 的两根之积等于两根之和,且 a,b 为△ABC 的 两边,A,B 为两内角,试判定这个三角形的形状.

四、变式训练,深化提高 在我们掌握了基本的解三角形之外,我们还可以应用它来解决实际应用问题.

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问题 3:请同学们思考我们可以用正弦定理、余弦定理解决实际问题的哪几类?

我们一般的解题思路是: (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或 余弦定理求解. (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形,这时需作出 这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求出其他三角形中的解,有时需设出未知量,从 几个三角形中列出方程,解方程得出所要求的解.

【例 3】如图,测量人员沿直线 MNP 的方向测量,测得塔顶 A 的仰角分别是∠AMB=30°, ∠ANB=45°,∠APB=60°,且 MN=PN=500m,求塔高 AB(结果精确到 0.1m).

【例 4】 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 sin B+sin C=sin A+sin Bsin C, 且=4,求△ABC 的面积 S.

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五、限时训练 (一)选择题 1.在△ABC 中,a=6,B=30°,C=120°,则△ABC 的面积是( ) A.9 B.18 C.9 D.18 2.在△ABC 中,若,则 B 的值为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 3.在△ABC 中,若 b=2asin B,则这个三角形中角 A 的值是( ) A.30°或 60° B.45°或 60° C.60°或 120° D.30°或 150° 4.在△ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( ) A.b=10,A=45°,C=70° B.a=60,c=48,B=60° C.a=7,b=5,A=80° D.a=7,b=8,A=45° 2 5.已知三角形的两边长分别为 4,5,它们夹角的余弦值是方程 2x +3x-2=0 的根,则第三 边长是( ) A. B. C. D. 6.在△ABC 中,如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc,那么角 A 等于( ) A.30° B.60° C.120° D.150°

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7.在△ABC 中,若 A=60°,b=16,此三角形面积 S=220,则 a 的值是( ) A.20 B.75 C.51 D.49 8.在△ABC 中,AB=3,BC=,AC=4,则边 AC 上的高为( ) A. B. C. D.3 9.在△ABC 中,若 b+c=+1,C=45°,B=30°,则( ) A.b=1,c= B.b=,c=1 C.b=,c=1+ D.b=1+,c= 10.如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k 的△ABC 恰有一个,那么 k 的取值范围是( ) A.k=8 B.0<k≤12 C.k≥12 D.0<k≤12 或 k=8 (二)填空题 11.在△ABC 中,若 a∶b∶c=1∶2∶,则最大角的余弦值等于 . 12.在△ABC 中,a=5,B=105°,C=15°,则此三角形的最大边的长为 . 13.在△ABC 中,已知 b=3,c=3,B=30°,则 a= . 14.在△ABC 中,a+b=12,A=60°,B=45°,则 a= ,b= . (三)解答题 15.在△ABC 中,D 在边 BC 上,且 BD=2,DC=1,∠B=60°,∠ADC=150°,求 AC 的长及△ABC 的面积.

16.在△ABC 中,已知角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bcos B+ccos C=acos A,试判断 △ABC 的形状.

17.如图,海中有一小岛,周围 3.8 海里内有暗礁.一军舰从 A 地出发由西向东航行,望见 小岛 B 在北偏东 75°,航行 8 海里到达 C 处,望见小岛 B 在北偏东 60°.若此舰不改变舰行的 方向继续前进,问此舰有没有触礁的危险?

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18.如图,货轮在海上以 35n mile/h 的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线 的水平角)为 152°的方向航行.为了确定船的位置,在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为 122°. 半小时后,货轮到达 C 点处,观测到灯塔 A 的方位角为 32°.求此时货轮与灯塔之间的距离.

19. 如图 , 航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内 , 已知飞机的高度为海拔 10000m,速度为 180km/h,飞机先看到山顶的俯角为 15°,经过 420s 后又看到山顶的俯角为 45°,求山顶的海拔高度(取≈1.4,≈1.7,结果精确到 1m).

20.如图,a 是海面上一条南北方向的海防警戒线,在 a 上点 A 处有一个水声监测点,另两 个监测点 B,C 分别在 A 的正东方 20km 处和 54km 处.某时刻,监测点 B 收到发自静止目标 P 的一个声波,8s 后监测点 A,20s 后监测点 C 相继收到这一信号.在当时气象条件下,声波在水 中的传播速度是 1.5km/s. (1)设 A 到 P 的距离为 x km,用 x 表示 B,C 到 P 的距离,并求 x 值; (2)求静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离(结果精确到 0.01km).

六、反思小结,观点提炼 1.(1)两类正弦定理解三角形的问题:

(2)两类余弦定理解三角形的问题:

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2.判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式. 3.解题中利用△ABC 中 A+B+C=π ,以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算, 如:sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tanC, sin=cos,cos=sin. 4.求解三角形应用题的一般步骤: (1)分析: (2)建模: (3)求解: (4)检验:









一、设计问题,创设情境 问题 1:1.正弦定理:在△ABC 中,=2R. 注:①R 表示△ABC 外接圆的半径;②正弦定理可以变形成各种形式来使用. 2.余弦定理:在△ABC 中, a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C; 也可以写成第二种形式 cos A=,cos B=,cos C=. 3.△ABC 的面积公式,S=absin C=bcsin A=acsin B. 二、信息交流,揭示规律 问题 2: 已知条件 一边和两角 (如 a,B,C) 两边和夹角 (如 a,b,C) 三边 (a,b,c) 两 边和 其中 一 边的对角 (如 a,b,A) 应 用 定理 正 弦 定理 余 弦 定理 余 弦 定理 正 弦 定理 一般解法 由 A+B+C=180°求出角 A;由正弦定理求出 b 与 c; S△=acsin B. 在有解时只有一解. 由余弦定理求出第三边 c; 由正弦定理求出小边所对的角 ; 再由 A+B+C=180°求出另一角,S△=absin C. 在有解时只有一解. 由余弦定理求出角 A,B,再利用 A+B+C=180°,求出角 C, S△=absin C. 在有解时只有一解. 由正弦定理求出角 B,由 A+B+C=180°,求出角 C,再利用正弦定理求 出 c,S△=absin C.可有两解、一解或无解.

【例 1】 解析:方法一:A 中已知两角及一边有唯一解;B 中已知两边及夹角有唯一解;C 中,bsin A=8<14 有两解;D 中,A 是最大角,但 a<c,所以无解. 方法二:由 a=14,b=16,A=45°及正弦定理得,,所以 sin B=,因为 a<b,A=45°,所以角 B 有两解. 答案:C 三、运用规律,解决问题
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【例 2】解:方法一:设方程的两根为 x1,x2,由韦达定理知 x1+x2=bcos A,x1x2=acos B, 由题意得 bcos A=acos B,根据余弦定理,得 b·=a·. 2 2 2 2 2 2 ∴b +c -a =a +c -b , 化简得 a=b,∴△ABC 为等腰三角形. 方法二:同方法一得 bcos A=acos B, 由正弦定理,得 2Rsin Bcos A=2Rsin Acos B, ∴sin Acos B-cos Asin B=0,即 sin(A-B)=0, ∵A,B 为三角形的内角, ∴A=B,故△ABC 为等腰三角形. 四、变式训练,深化提高 问题 3:测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题. 【例 3】解:设 AB=x, ∵AB 垂直于地面, ∴△ABM,△ABN,△ABP 均为直角三角形, ∴BM=x,BN==x,

BP=x. 2 2 2 在△MNB 中,BM =MN +BN -2MN·BN·cos∠MNB, 2 2 ∴3x =250000+x -2×500x·cos∠MNB. ① 2 2 2 在△BNP 中,BP =NP +BN -2NP·BN·cos∠BNP, 2 ∴=250000+x -2×500x·cos∠BNP. ② ∵∠MNB+∠BNP=180°, ∴cos∠MNB=-cos∠BNP. ③ 2 由①②③,得 x =,解得 x≈612.4m. ∴塔高 AB 为 612.4m. 2 2 2 【例 4】解:由已知得 b +c =a +bc, 2 2 2 ∴bc=b +c -a =2bccos A,∴cos A=,sin A=. 由=4,得 bccos A=4,∴bc=8. ∴S=bcsin A=2.
五、限时训练 1.C 2.B 3.D 4.D 5.B 6.B 7.D 8.B 9.A 10.D 11.- 12. 13.6 或 3 14.36-12 12-24

15. 解 : 在 △ ABC 中 , ∠ BAD=150°-60°=90°, ∴ 在 Rt △ ABD 中,AD=2sin60°=,AB=2cos60°=1. 2 2 2 在△ACD 中,AC =() +1 -2××1×cos150°=7,∴AC=. ∴S△ABC=×1×3×sin60°=. 16.解:∵bcos B+ccos C=acos A,由正弦定理,得 sin Bcos B+sin Ccos C=sin Acos A, 即 sin2B+sin2C=2sin Acos A, ∴2sin(B+C)cos(B-C)=2sin Acos A. ∵A+B+C=π ,
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∴sin(B+C)=sin A. 而 sin A≠0,∴cos(B-C)=cos A,即 cos(B-C)+cos(B+C)=0, ∴2cos Bcos C=0. ∵0<B<π ,0<C<π , ∴B=或 C=,即△ABC 是直角三角形.

17.解:过点 B 作 BD⊥AE 交 AE 于点 D. 由题意,知 AC=8 海里,∠ABD=75°,∠CBD=60°. 在 Rt△ABD 中, AD=BD·tan∠ABD=BD·tan75°. 在 Rt△CBD 中, CD=BD·tan∠CBD=BD·tan60°. ∴AD-CD=BD(tan75°-tan 60°)=AC=8(海里), ∴BD==4(海里). ∵4>3.8,∴该军舰没有触礁的危险. 18. 解 : 在 △ ABC 中 , ∠ B=152°-122°=30°, ∠ C=180°-152°+32°=60°, ∠ A=180°-30°-60°=90°,BC=n mile,则 AC=sin30°=(n mile). 答:货轮与灯塔之间的距离为 n mile.

19.解:如图,∵∠A=15°,∠DBC=45°,∴∠ACB=30°. AB=180×=21(km)=21000(m), 在△ABC 中,由正弦定理,得, ∴BC=·sin 15°=10500(). ∵CD⊥AD, ∴CD=BCsin∠CBD=BCsin 45° =10500()× =10500(-1)≈10500×(1.7-1) =7350(m). ∴山顶的海拔高度=10000-7350=2650(m). 20.解:(1)依题意,PA-PB=1.5×8=12(km),PC-PB=1.5×20=30(km). 因此 PB=(x-12)km,PC=(18+x)km. 在△PAB 中,AB=20km, cos∠PAB=. 同理,在△PAC 中,cos∠PAC=. 由于 cos∠PAB=cos∠PAC, 即,解得 x=.

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(2)如图,作 PD⊥a,垂足为 D.在 Rt△PDA 中, PD=PAcos∠APD=PAcos∠PAB=x· ≈17.71(km). 答:静止目标 P 到海防警戒线 a 的距离约为 17.71km. 六、反思小结,观点提炼 1.(1)①已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)①已知三边求三角. ②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角. 4.求解三角形应用题的一般步骤: (1)分析题意,弄清已知和所求; (2)将实际问题转化为数学问题,写出已知与所求,并画出示意图; (3)正确运用正弦定理、余弦定理求解; (4)检验上述所求是否符合实际意义.

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