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2016届江苏省南通市高考数学一模试卷(解析版)


2016 年江苏省南通市高考数学一模试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.已知集合 A={x|﹣1<x<2},B={﹣1,0,1},A∩B= . 2.若复数 z=a+2i(i 为虚数单位,a∈R)满足|z|=3,则 a 的值为 . 3.从 1,2,3,4 这四个数中依次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为偶数的概率 是 .

4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 S 为

5.为了了解居民家庭网上购物消费情况,某地区调查了 10000 户家庭的月消费金额(单位: 元) ,所有数据均在区间[0,4500]上,其频率分布直方图如图所示,则被调查的 10000 户家 庭中,有 户月消费额在 1000 元以下

6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15,则 S6= 7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线

. 过点 P(1,1) ,其

一条渐近线方程为 ,则该双曲线的方程为 . 8.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,点 E 是棱 B1B 的中点,则三棱锥 B1﹣ADE 的体积为 . 9. = 若函数 f (x) b∈R) (a, 为奇函数, 则f (a+b) 的值为 .

10.已知

,则

的值是



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11.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(1,0) ,B(4,0) .若直线 x﹣y+m=0 上存在点 P 使 得 PA= PB,则实数 m 的取值范围是 12.已知边长为 6 的正三角形 ABC, . ,AD 与 BE 交点 P,则

的值为 . 13.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 1 与曲线 y=x2(x>0)和 y=x3(x>0)均相切,切点 分别为 A(x1,y1)和 B(x2,y2) ,则 的值为 .

14.已知函数 f(x)=2ax2+3b(a,b∈R) ,若对于任意 x∈[﹣1,1],都有|f(x)|≤1 成 立,则 ab 的最大值是 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请作答,解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 15.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, (a+b﹣c) (a+b+c)=ab. (1)求角 C 的大小; (2)若 c=2acosB,b=2,求△ABC 的面积. 16.如图,在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 底面 ABCD 是菱形,点 E 是 A1C1 的中点.求 证: (1)BE⊥AC; (2)BE∥平面 ACD1.

17.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

过点 A(2,1) ,离

心率为



(1)求椭圆的方程; (2)若直线 l:y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于 B,C 两点(异于点 A) ,线段 BC 被 y 轴平 分,且 AB⊥AC,求直线 l 的方程.

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18.如图,阴影部分为古建筑物保护群所在地,其形状是以 O1 为圆心,半径为 1km 的半圆 面.公路 l 经过点 O,且与直径 OA 垂直,现计划修建一条与半圆相切的公路 PQ(点 P 在 直径 OA 的延长线上,点 Q 在公路 l 上) ,T 为切点. (1)按下列要求建立函数关系: ①设∠OPQ=α(rad) ,将△OPQ 的面积 S 表示为 α 的函数; ②设 OQ=t(km) ,将△OPQ 的面积 S 表示为 t 的函数. (2)请你选用(1)中的一个函数关系,求△OPQ 的面积 S 的最小值.

19.已知函数 f(x)=a+ lnx(a∈R) . (1)求 f(x)的单调区间; (2)试求 f(x)的零点个数,并证明你的结论. 20.若数列{an}中存在三项,按一定次序排列构成等比数列,则称{an}为“等比源数列” (1)已知数列{an}中,a1=2,an+1=2an﹣1. ①求{an}的通项公式; ②试判断{an}是否为“等比源数列”,并证明你的结论. (2)已知数列{an}为等差数列,且 a1≠0,an∈Z(n∈N*) ,求证:{an}为“等比源数列” 【选做题】在 21、22、23、24 四小题中只能选做两题,每小题 10 分,共计 20 分.解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修 4­1:几何证明选讲] 21.如图,圆 O 的直径 AB=10,C 为圆上一点,BC=6.过 C 作圆 O 的切线 l,AD⊥l 于点 D,且交圆 O 于点 E,求 DE 长.

[选修 4­2:矩阵与变换] 22.已知矩阵 ,求逆矩阵 M﹣1 的特征值.

[选修 4­4:坐标系与参数方程]

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23.在极坐标系中,已知点 直线 AC 的极坐标方程.

,圆 C 的方程为

(圆心为点 C) ,求

[选修 4­5:不等式选讲] 24.已知 a≥0,b≥0,求证:a6+b6≥ab(a4+b4) . 【必做题】第 25 题、第 26 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 25. SA⊥平面 ABCD, AB=1, AD=AS=2, 如图, 在四棱锥 S﹣ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, P 是棱 SD 上一点,且 .

(1)求直线 AB 与 CP 所成角的余弦值; (2)求二面角 A﹣PC﹣D 的余弦值.

26.已知函数 f0(x)=x(sinx+cosx) ,设 fn(x)是 fn﹣1(x)的导数,n∈N*. (1)求 f1(x) ,f2(x)的表达式; (2)写出 fn(x)的表达式,并用数学归纳法证明.

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2016 年江苏省南通市高考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1.已知集合 A={x|﹣1<x<2},B={﹣1,0,1},A∩B= {0,1} . 【考点】交集及其运算. 【分析】直接根据交集的定义即可求出. 【解答】解:集合 A={x|﹣1<x<2},B={﹣1,0,1}, 则 A∩B={0,1}, 故答案为:{0,1}. 2.若复数 z=a+2i(i 为虚数单位,a∈R)满足|z|=3,则 a 的值为 ± 【考点】复数求模. 【分析】根据复数的运算性质得到 a2+4=9,解出即可. 【解答】解:若复数 z=a+2i(i 为虚数单位,a∈R)满足|z|=3, 即 a2+4=9,解得:a=± , 故答案为:± . 3.从 1,2,3,4 这四个数中依次随机地取 2 个数,则所取 2 个数的乘积为偶数的概率是 . 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】列举可得共 6 种情形,其中满足所取 2 个数的乘积为偶数的有 5 种情形,由概率公 式可得. 【解答】解:从 1,2,3,4 这 4 个数中依次随机地取 2 个数有 (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4)共 6 种情形, 其中满足所取 2 个数的乘积为偶数的有(1,2) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4) ,共 5 种情形, ∴所求概率 , 故答案为: .

4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 S 为 14

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【考点】伪代码. 【分析】根据伪代码所示的顺序,逐框分析程序中各变量、各语句的作用,一直求出不满足 循环条件时 S 的值. 【解答】解:模拟执行程序,可得 S=0,I=1, 满足条件 S≤10,执行循环,S=1,I=2, 满足条件 S≤10,执行循环,S=1+22=5,I=3, 满足条件 S≤10,执行循环,S=1+22+32=14,I=4, 不满足条件 S≤10,退出循环,输出 S 的值为 14. 故答案为:14. 5.为了了解居民家庭网上购物消费情况,某地区调查了 10000 户家庭的月消费金额(单位: 元) ,所有数据均在区间[0,4500]上,其频率分布直方图如图所示,则被调查的 10000 户家 庭中,有 750 户月消费额在 1000 元以下

【考点】频率分布直方图. 【分析】直方图中小矩形的面积表示频率,即可求出答案. 【解答】解:由直方图可得 1000 元以下共有 10000×(0.00005+0.0001)×500=750 户, 故答案为:750. 6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15,则 S6= 63 . 【考点】等比数列的性质;等比数列的前 n 项和. 【分析】直接利用等比数列的性质,求解即可. 【解答】解:等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3,S4=15, 所以 S2,S4﹣S2,S6﹣S4,也是等比数列, (S4﹣S2)2=S2?(S6﹣S4) , 2 即 12 =3?(S6﹣15) , 解得 S6=63 故答案为:63.

7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 一条渐近线方程为 ,则该双曲线的方程为 2x2﹣y2=1 . 【考点】双曲线的标准方程.

过点 P(1,1) ,其

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【分析】根据题意和双曲线的渐近线方程列出方程组,求出 a2 和 b2 的值,即可求出双曲线 的方程.

【解答】解:由题意可得,



解得

,b2=1,

所以双曲线的方程为 2x2﹣y2=1, 故答案为:2x2﹣y2=1. 8.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,点 E 是棱 B1B 的中点,则三棱锥 B1﹣ADE 的体积为 .

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】由题意,三棱锥 B1﹣ADE 的体积=三棱锥 D﹣B1AE 的体积,即可得出结论. 【解答】解:由题意,三棱锥 B1﹣ADE 的体积=三棱锥 D﹣B1AE 的体积 = 故答案为: . = .

9.若函数 f(x)=

(a,b∈R)为奇函数,则 f(a+b)的值为 ﹣1 .

【考点】函数的值;分段函数的应用. 【分析】由已知中函数 f(x)为奇函数,f(﹣x)=﹣f(x)恒成立,可得 a,b 的值,进而 可得 f(a+b)的值. 【解答】解:∵函数 f(x)= 故 f(﹣x)=﹣f(x)恒成立, 故 .即 ,
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=

为奇函数,

∴f(x)=



∴f(a+b)=f(1)=1﹣2=﹣1, 故答案为:﹣1.

10.已知

,则

的值是



【考点】两角和与差的正弦函数;三角函数中的恒等变换应用. 【分析】由条件利用诱导公式,同角三角的基本关系,化简要求的式子可得结果. 【解答】解:∵已知 + =﹣sin(x+ )+1﹣ =﹣ +1﹣ = , ,则 =﹣sin(x+ )

故答案为: .

11.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(1,0) ,B(4,0) .若直线 x﹣y+m=0 上存在点 P 使 得 PA= PB,则实数 m 的取值范围是 【考点】两点间距离公式的应用. 【分析】设 P(x,x+m) ,由 PA= PB,可得 4|PA|2=|PB|2,利用两点之间的距离公式化 为: (x+m)2=4﹣x2,可得:m=﹣x± ,x∈[﹣2,2].通过三角函数代换即可得出. .

【解答】解:设 P(x,x+m) ,∵PA= PB,∴4|PA|2=|PB|2, ∴4(x﹣1)2+4(x+m)2=(x﹣4)2+(x+m)2, 化为(x+m)2=4﹣x2, ∴4﹣x2≥0,解得 x∈[﹣2,2], ∴m=﹣x± ,

令 x=2cosθ,θ∈[0,π], ∴m=﹣2cosθ±2sinθ = 实数 m 的取值范围是 故答案为: ∈ , . ,

12.已知边长为 6 的正三角形 ABC, 的值为 3 .
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,AD 与 BE 交点 P,则

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由题意作图辅助,从而可得点 P 是正三角形 ABC 的中心,从而可求平面向量的数 量积. 【解答】解:由题意作图如右图, ∵ ,

∴D,E 分别为线段 BC,AC 的中点, ∴点 P 是正三角形 ABC 的中心, ∴| | |= ?|BE|= ? |= |BP|= , || |cos =6× =3, , ?|AB|=2 ,

且∠BPD= 故 =|

故答案为:3.

13.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 1 与曲线 y=x2(x>0)和 y=x3(x>0)均相切,切点 分别为 A(x1,y1)和 B(x2,y2) ,则 的值为 .

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】求出导数得出切线方程,即可得出结论. 【解答】解:由 y=x2,得 y′=2x,切线方程为 y﹣x12=2x1(x﹣x1) ,即 y=2x1x﹣x12, 由 y=x3,得 y′=3x2,切线方程为 y﹣x23=3x22(x﹣x2) ,即 y=3x22x﹣2x23, ∴2x1=3x22,x12=2x23, 两式相除,可得 = .
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故答案为: . 14.已知函数 f(x)=2ax2+3b(a,b∈R) ,若对于任意 x∈[﹣1,1],都有|f(x)|≤1 成 立,则 ab 的最大值是 .

【考点】函数的值;二次函数的性质. 【分析】由对于任意 x∈[﹣1,1],都有|f(x)|≤1 成立,可得(a,b)对应的可行域, 进而根据基本不等式得到 ab 的最大值. 【解答】解:函数 f(x)=2ax2+3b 图象的顶点为(0,3b) , 若若对于任意 x∈[﹣1,1],都有|f(x)|≤1 成立, 则 ,

其对应的平面区域如下图所示:

令 Z=ab,则在第一,三象限 a,b 同号时 ab 取最大值, 由 2a+3b=1,a>0,b>0 得:ab≤ 故答案为: = ,

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请作答,解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 15.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, (a+b﹣c) (a+b+c)=ab. (1)求角 C 的大小; (2)若 c=2acosB,b=2,求△ABC 的面积. 【考点】余弦定理. 【分析】 (1)利用余弦定理表示出 cosC,把已知等式整理后代入计算求出 cosC 的值,即可 C 确定出 的度数. (2)由正弦定理可得 sin(A+B)=2sinAcosB,由两角和的正弦公式可求得 sin(A﹣B)=0, 根据﹣π<A﹣B<π,可求 A﹣B=0,可得 a=b=2,利用三角形面积公式即可计算得解. 【解答】解: (1)在△ABC 中,∵(a+b﹣c) (a+b+c)=ab, 2 2 2 2 2 ∴(a+b) ﹣c =ab,即 a +b ﹣c =﹣ab,
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∴cosC= ∵C 为三角形内角, ∴C= .

=﹣ ,

(2)∵c=2acosB, ∴由正弦定理可得 sin(A+B)=2sinAcosB,由两角和的正弦公式可得 sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB, ∴sin(A﹣B)=0,又﹣π<A﹣B<π, ∴A﹣B=0,可得:a=b=2, ∴S△ ABC= absinC= = .

16.如图,在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 底面 ABCD 是菱形,点 E 是 A1C1 的中点.求 证: (1)BE⊥AC; (2)BE∥平面 ACD1.

【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质. 【分析】 (1)推导出 BA1=BC1,点 E 是 A1C1 的中点,从而 BE⊥A1C1,由此能证明 BE⊥ AC. BD, (2) 连结 B1D1, 交 A1C1 于点 E, 连结 AC, 交于点 O, 连结 OD1, 推导出四边形 BED1O 是平行四边形,由此能证明 BE∥平面 ACD1. 【解答】证明: (1)∵在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是菱形, ∴BA1=BC1, ∵点 E 是 A1C1 的中点, ∴BE⊥A1C1, ∵AC∥A1C1,∴BE⊥AC. (2)连结 B1D1,交 A1C1 于点 E,连结 AC,BD,交于点 O,连结 OD1, ∵在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是菱形, ∴D1E BO,∴四边形 BED1O 是平行四边形,

∴BE∥OD1, ∵OD1? 平面 ACD1,BE?平面 ACD1, ∴BE∥平面 ACD1.

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17.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

过点 A(2,1) ,离

心率为



(1)求椭圆的方程; (2)若直线 l:y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于 B,C 两点(异于点 A) ,线段 BC 被 y 轴平 分,且 AB⊥AC,求直线 l 的方程.

【考点】直线与圆锥曲线的关系. 【分析】 (1)由椭圆的离心率公式及 b2=a2﹣c2,及点 A(2,1) ,联立即可求得 a,b 及 c 的值,即可求得椭圆方程; (2)将直线方程代入椭圆方程,求得关于 x 的一元二次方程,利用韦达定理求得 xB+xC=﹣ ,根据线段 BC 被 y 轴平分,即 xB+xC=0,即可求得 m 的值,根据向量的坐标表示 求得 ? =0,即可求得 k 的值,将点 A 代入直线方程,当 k= ,不满足,故求得 k 的值.

【解答】解: (1)由条件知椭圆

离线率 e= =



∴b2=a2﹣c2= a2,将点 A(2,1) ,代入椭圆方程得

解得



故椭圆方程为:



(2)将直线 l:y=kx+m(k≠0)代入椭圆方程,x2+4(kx+m)2﹣8=0, 整理得: (1+4k2)x2+8mkx+4m2﹣8=0, 线段 BC 被 y 平分得:xB+xC=﹣ =0,
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k≠0,m=0, ∴B,C 关于原点对称,设 B(x,kx) ,C(﹣x,﹣kx) , ∴x2= ,

又∵AB⊥AC,A(2,1) , ∴ ? =(x﹣2) (﹣x﹣2)+(kx﹣1) (﹣kx﹣1)=5﹣(1+k2)x2=5﹣ =0,

解得 k=± , 由 k= ,直线 y= x 过点 A(2,1)故 k= 不符合题意, 所以,此时直线 l 的直线方程 y=﹣ x.

18.如图,阴影部分为古建筑物保护群所在地,其形状是以 O1 为圆心,半径为 1km 的半圆 面.公路 l 经过点 O,且与直径 OA 垂直,现计划修建一条与半圆相切的公路 PQ(点 P 在 直径 OA 的延长线上,点 Q 在公路 l 上) ,T 为切点. (1)按下列要求建立函数关系: ①设∠OPQ=α(rad) ,将△OPQ 的面积 S 表示为 α 的函数; ②设 OQ=t(km) ,将△OPQ 的面积 S 表示为 t 的函数. (2)请你选用(1)中的一个函数关系,求△OPQ 的面积 S 的最小值.

【考点】弧度制的应用;函数解析式的求解及常用方法;三角函数的最值. 【分析】 (1)结合图形,①用 sinα 求出 PO1、OP 以及 OQ 的值,计算△OPQ 的面积 S 即 可; ②设 OQ=t(km) ,∠OQP=2θ,用 tanθ 表示出 OP,再计算△OPQ 的面积 S; (2)用(1)中②函数关系 S= = ,设 x= ,函数 f(x)=x﹣x3,

求出 f(x)的最大值即可求出 S 的最小值.

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【解答】解: (1)如图所示,

①设∠OPQ=α(rad) , 则 sinα= ∴PO1= OP=1+ , , , )?tanα; ) (1+ ?tanα= ? ) ?tanα;

OQ=OP?tanα=(1+

∴△OPQ 的面积 S= OP?OQ= ? (1+ ②设 OQ=t(km) ,∠OQP=2θ, 则 tanθ= ,

tan2θ=

=

=



∴OP=OQ?tan2θ=



∴△OPQ 的面积 S= OP?OQ= ?

?t=



(2)用(1)中②函数关系,S=

=



设 x= >0,函数 f(x)=x﹣x3, (x>0) ; 则 f′(x)=1﹣3x2, 令 f′(x)=0,解得 x= ∴x∈(0, x∈( ;

)时,f′(x)>0,f(x)是增函数,

,+∞)时,f′(x)<0,f(x)是减函数;

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∴当 x=

时,f(x)取得最大值是 f(

)=



∴△OPQ 的面积 S 的最小值是

=



19.已知函数 f(x)=a+ lnx(a∈R) . (1)求 f(x)的单调区间; (2)试求 f(x)的零点个数,并证明你的结论. 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理. 【分析】 (1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,从而求出函数的单调区间; (2)求出函数的最小值,通过讨论 a 的范围,从而求出函数的零点的个数即可. 【解答】解: (1)函数 f(x)的定义域是(0,+∞) , f′(x)=( )′lnx+ ? = ,

令 f′(x)>0,解得:x>e﹣2,令 f′(x)<0,解得:0<x<e﹣2, ∴f(x)在(0,e﹣2)递减,在(e﹣2,+∞)递增; (2)由(1)得:f(x)min=f(e﹣2)=a﹣ , 显然 a> 时,f(x)>0,无零点, a= 时,f(x)=0,有 1 个零点, a< 时,f(x)<0,有 2 个零点.

20.若数列{an}中存在三项,按一定次序排列构成等比数列,则称{an}为“等比源数列” (1)已知数列{an}中,a1=2,an+1=2an﹣1. ①求{an}的通项公式; ②试判断{an}是否为“等比源数列”,并证明你的结论. (2)已知数列{an}为等差数列,且 a1≠0,an∈Z(n∈N*) ,求证:{an}为“等比源数列” 【考点】数列的应用. 【分析】 (1)①由 an+1=2an﹣1,可得 an+1﹣1=2(an﹣1) ,利用等比数列的通项公式即可得 出. ②假设{an}为“等比源数列”,则此数列中存在三项:ak<am<an,k<m<n.满足 代入化为:2m﹣k+1(2m﹣2+1)=2n﹣1+2n﹣k+1,利用数的奇偶性即可得出. (2)设等差数列{an}的公差为 d,假设存在三项使得 , (k<n<m) .展开:2a1 =akan,

(n﹣1)+(n﹣1)2d=a1[(k﹣1)+(m﹣1)]+(k﹣1) (m﹣1)d,当 n﹣1 既是(k﹣1) 与 m﹣1 的等比中项,又是(k﹣1)与 m﹣1 的等差中项时,原命题成立. 【解答】解: (1)①∵an+1=2an﹣1,∴an+1﹣1=2(an﹣1) , ∴数列{an﹣1}是等比数列,首项为 1,公比为 2. ∴an﹣1=2n﹣1,
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∴an=2n﹣1+1. ②假设{an}为“等比源数列”, 则此数列中存在三项:ak<am<an,k<m<n. 满足 =akan,

∴(2m﹣1+1)2=(2k﹣1+1) (2n﹣1+1) , 2m﹣2 m k+n﹣2 n﹣1 k﹣1 化为:2 +2 =2 +2 +2 , m﹣k+1 m﹣2 n﹣1 n﹣k ∴2 (2 +1)=2 +2 +1, 可知:左边为偶数,而右边为奇数,因此不可能成立. 故{an}不是“等比源数列”. (2)设等差数列{an}的公差为 d, 则 an=a1+(n﹣1)d,a1≠0,an∈Z(n∈N*) , 假设存在三项使得 ∴ , (k<n<m) . =[a1+(k﹣1)d][a1+(m﹣1)d],

展开:2a1(n﹣1)+(n﹣1)2d=a1(k﹣1)+(m﹣1)+(k﹣1) (m﹣1)d, 当 n﹣1 既是(k﹣1)与 m﹣1 的等比中项,又是(k﹣1)与 m﹣1 的等差中项时,原命题 成立. 【选做题】在 21、22、23、24 四小题中只能选做两题,每小题 10 分,共计 20 分.解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修 4­1:几何证明选讲] 21.如图,圆 O 的直径 AB=10,C 为圆上一点,BC=6.过 C 作圆 O 的切线 l,AD⊥l 于点 D,且交圆 O 于点 E,求 DE 长.

【考点】与圆有关的比例线段. AC= 【分析】 由题意 AC⊥BC, =8, 由已知得 Rt△ACD∽Rt△ABC, 从而 AD=6.4,

利用切割线定理、勾股定理,由此能求出 DE 的长. 【解答】解:由题意 AC⊥BC.AC= =8,

∵过 C 作圆的切线 l,过 A 作 l 的垂线 AD,垂足为 D,AD 交圆与 E, ∴∠ACD=∠ABC,∴Rt△ACD∽Rt△ABC, ∴ = , =6.4

∴AD=

又 DC2=DE?6.4,DC2+6.42=64,
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解得 DE=3.6.

[选修 4­2:矩阵与变换] 22.已知矩阵 ,求逆矩阵 M﹣1 的特征值.

【考点】逆变换与逆矩阵. 【分析】先求矩阵 M 的行列式,进而可求其逆矩阵,令矩阵 M﹣1 的特征多项式等于 0,即 可求得矩阵 M﹣1 的特征值. 【解答】解:矩阵 M 的行列式为=1×2﹣2×0=2, ∴矩阵 M 的逆矩阵 M﹣1= ,

矩阵 M﹣1 的特征多项式为 f(λ)=(λ﹣ ) (λ﹣1)=0 令 f(λ)=0 可得 λ= 或 λ=1 即矩阵 M﹣1 的特征值为 或 1.

[选修 4­4:坐标系与参数方程] 23.在极坐标系中,已知点 ,圆 C 的方程为 (圆心为点 C) ,求

直线 AC 的极坐标方程. 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】先求出直线 AC 的直角坐标方程,再转化为极坐标方程. 【解答】解:点 A 的直角坐标为 A( , ) . 2 2 2 C x y 4 y=0 x y 圆 的普通方程为 + ﹣ ,即 +( ﹣2 )2=8. ∴圆 C 的圆心为 C(0,2 ) . ∴直线 AC 的方程为 ,即 x+y﹣2 . =0.

∴直线 AC 的极坐标方程为 ρcosθ+ρsinθ﹣2

[选修 4­5:不等式选讲] 24.已知 a≥0,b≥0,求证:a6+b6≥ab(a4+b4) . 【考点】不等式的证明. 【分析】利用作差法,通过分类讨论判断即可. 【解答】证明:a6+b6﹣ab(a4+b4)=(a﹣b) (a5﹣b5) , 5 5 5 5 当 a≥b≥0 时,a ≥b ,a﹣b≥0,a ﹣b ≥0,可得(a﹣b) (a5﹣b5)≥0.所以 a6+b6≥ab (a4+b4) .

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当 0≤a<b 时,a5<b5,a﹣b<0,a5﹣b5<0,可得(a﹣b) (a5﹣b5)>0.所以 a6+b6>ab (a4+b4) . 综上 a≥0,b≥0,a6+b6≥ab(a4+b4) . 【必做题】第 25 题、第 26 题,每题 10 分,共计 20 分.解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 25. SA⊥平面 ABCD, AB=1, AD=AS=2, 如图, 在四棱锥 S﹣ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, P 是棱 SD 上一点,且 .

(1)求直线 AB 与 CP 所成角的余弦值; (2)求二面角 A﹣PC﹣D 的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角. 【分析】 (1)以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AS 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利 用向量法能求出直线 AB 与 CP 所成角的余弦值. (2)求出平面 APC 的法向量和平面 PCD 的法向量,利用向量法能求出二面角 A﹣PC﹣D 的余弦值. 【解答】解: (1)以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AS 为 z 轴,建立空间直角坐标系, A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C(1,2,0) ,S(0,0,2) ,D(0,2,0) ,设 P(a,b,c) , ∵ ,∴(a,b,c﹣2)= (﹣a,2﹣b,﹣c)=(﹣ ,1﹣ ,﹣ ) ,



,解得 a=0,b= ,c= ,∴P(0, , ) ,

=(1,0,0) ,

=(﹣1,﹣ , ) ,

设直线 AB 与 CP 所成角为 θ, cosθ=|cos< >|= = = ,

∴直线 AB 与 CP 所成角的余弦值为 (2) =(1, ,﹣ ) ,

. =(0, ,﹣ ) ,

=(0,﹣ ,﹣ ) ,

设平面 APC 的法向量 =(x,y,z) ,
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,取 y=2,得 =(﹣4,2,﹣1) ,

设平面 PCD 的法向量 =(a,b,c) ,



,取 b=1,得 =(0,1,1) ,

设二面角 A﹣PC﹣D 的平面角为 θ, 则 cosθ= = = .

∴二面角 A﹣PC﹣D 的余弦值为



26.已知函数 f0(x)=x(sinx+cosx) ,设 fn(x)是 fn﹣1(x)的导数,n∈N*. (1)求 f1(x) ,f2(x)的表达式; (2)写出 fn(x)的表达式,并用数学归纳法证明. 【考点】数学归纳法;导数的运算. 【分析】 (1)根据导数的运算法则求导即可, (2)先利用诱导公式,猜想猜想 fn(x)=(x+n)sin(x+ )+(x﹣n)cos(x+ ) (*) ,

再根据数学归纳法证明即可. 【解答】解: (1)f1(x)=f0′(x)=(sinx+cosx)+x(cosx﹣sinx)=(x﹣1)sin(﹣x)+ (x+1)cosx, f2(x)=f1′(x)=﹣sinx+(1﹣x)cosx+cosx﹣(1+x)sinx=﹣(2+x)sinx﹣(x﹣2)cosx, (2)由(1)得 f3(x)=f2′(x)=﹣(3+x)cosx+(x﹣3)sinx, 把 f1(x) ,f2(x) ,f3(x) , f1(x)=(x+1)sin(x+ )+(x﹣1)cos(x+ ) ,

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f2(x)=(x+2)sin(x+ f3(x)=(x+3)sin(x+

)+(x﹣2)cos(x+ )+(x﹣2)cos(x+

) , ) , ) (*) ,

猜想 fn(x)=(x+n)sin(x+

)+(x﹣n)cos(x+

下面用数学归纳法证明上述等式, ①当 n=1 时,由(1)可知,等式(*)成立, ②假设当 n=k 时,等式(*)成立,即 fk(x)=(x+k)sin(x+ 则当 n=k+1 时,fk+1(x)=fk′(x)=sin(x+ ﹣k)[﹣sin(x+ =(x+k+1)cos(x+ =(x+k+1)sin(x+ ) ], )+[x﹣(k+1)][﹣sin(x+ π)+[x﹣(k+1)]cos(x+ )], π) , )+(x+k)cosx+ )+(x﹣k)cos(x+ )+cos(x+ ) , )+(x

即当 n=k+1 时,等式(*)成立 综上所述,当 n∈N*,fn(x)=(x+n)sin(x+ )+(x﹣n)cos(x+ )成立.

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2016 年 8 月 22 日

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