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湖南省衡阳县第一中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题


衡阳县一中 2016 年上学期高一期中考试数学试题
分值:100 分 时量:120 分钟 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.下列命题正确的是( A.第一象限角是锐角 C.终边相同的角一定相等 2.sin(-330 )的值为( A. ?
3 2
0

r />) B.相等向量一定共线 D.若 a 与 b 都是单位向量,则 a ? b ? 1 ) B. ?
1 2

?

?

? ?

C.

1 2

D.

3 2

? 上为增函数,且以 为最小正周期的偶函数是( 3.在下列四个函数中,在区间 ? (0, ) 2 A.y=tanx B.y=|sinx| C.y=sin2x D.y=cos2x ? 1 4.已知 sin( ? a ) ? ,则 cos 2a 的值为( ) 2 3
A. 1 3



1 B. ? 3

C. 7 9

7 D. ? 9
)

? a
? e1

? b

5.如图, e1 , e2 为互相垂直的单位向量,则向量 a ? b ? c 可表示为( A. 3e1 ? 2e2 B. ? 3e1 ? 3e2 C. 3e1 ? 2e2

? e2

? c

D. 2e1 ? 3e2

6.已知 tan(? ? ? ) ? A.

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? , 则 tan(? ? ) 的值为 ( 5 4 4 4
B. 22 13

)

C. 13 D. 6 18 ? 7.已知函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? ) 的部分图象如下图所示, 2 则函数 f ( x) 的解析式为( )

3 22

1

1 ? A. f ( x ) ? 2 sin( x ? ) 2 6
C. f ( x ) ? 2sin(2 x ? ? ) 6

1 ? B. f ( x ) ? 2sin( x ? ) 2 6

y 2 x

? D. f ( x ) ? 2sin(2 x ? ) O π 5π 6 6 12 ??? ? ? ??? ? ? ? ? 8.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,设向量 OA ? a , OB ? b ,其中 a =(3,1), b =(1, 3).若 ??? ? ? ? OC =λ a +μ b ,且 0≤λ ≤μ ≤1,则 C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )

1

9.若函数 f ( x ) ? 2sin(

x ? ) (?2 ? x ? 10) 的图象与 x 轴交于点 A,过点 A 的直线 l 与函数的 6 3 ??? ? ??? ? ??? ? 图象交于 B、C 两点,则 (OB ? OC ) ? OA ? ( )
A.-32 B.-16 C. 16 D. 32

?

?

10.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?)( A ? 0, ? ? 0) 在x ? 1和x ? ?1 处分别取得最大值和最小值,且对于任 意 x1 , x2 ?[?1,1], x1 ? x2 , 都有 f ( x 1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则( x1 ? x2 )

A.函数 y ? f ( x ? 1) 一定是周期为 4 的偶函数; B.函数 y ? f ( x ? 1) 一定是周期为 2 的奇函数; C.函数 y ? f ( x ? 1) 一定是周期为 4 的奇函数; D.函数 y ? f ( x ? 1) 一定是周期为 2 的偶函数; 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分. 11.设 一扇形的弧长为 4cm,面积为 4cm ,则这个扇形的圆心角的弧度数是 12.将函数 y ? sin 4 x 的图象向左平移
2

.

? 个单位,得到函数 y ? sin(4 x ? ? ) 的图象,则 ? ? ___ _______. 12

13.已知 a ? 3, b ? 5 且 a ? b ? 12,则 a 在 b 方向上的投影为___________________.

14.已知 a ? (3,1),b ? (sin? , cos? ) ,且 a // b ,则

4 sin ? ? 2 cos ? =_______________ . 5 cos ? ? 3sin ?

? 15.设函数 f ( x ) ? 3sin(2 x ? ) 的图象为 C ,给出下列命题: 3
①图象 C 关于直线 x ? ②函数 f ( x ) 在区间 ( ?
11 ? 对称; 12

? 5? , ) 内是增函数; 12 12 ③函数 f ( x) 是 奇函数;

? ④图象 C 关于点 ( ,0) 对称. 3
其中,正确命题的编号是 ____________________ .(写出所有正确命题 的编号)

三.解答题:本大题共6小题,共50分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤. 16. (本小题满分 8 分)已知:向量 a ? ?1, ? 3?, b ? ?? 2, m?,且 a ? a ? b . ? ? (1)求向量 a与b 的夹角 ? ;
2

? ?

(2)当 k a ? b 与 a ? b 平行时,求实数 k 的值。

17.(本小题满分 8 分)已知函数 f ? x ? ? sin 2 x ? 2 3sin x cos x ? cos2 x . (1)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (2)求 f ? x ? 的最大值及取最大值时 x 的集合.

→ → → → 18. (本小题满分 8 分)平面内有四边形 ABCD,BC=2AD,且 AB=CD=DA,AD= a ,BA= b ,M 是 CD 的中 点. → (1)试用 a , b 表示BM;

A B

D M C

(2)若 AB 上有点 P,PC 和 BM 的交 点为 Q,已知 PQ∶QC=1∶2,求 AP∶PB 和 BQ∶QM .

19. (本小题满分8分)已知向量 a ? ( 3 sin ?x, cos?x),b ? (cos?x,? cos?x),(? ? 0) ,函数

f ( x) ? a ? b ?

(1)求 ? 的值; (2)若 cos x ?

? 1 的图象的两相邻对称轴间的距 离为 . 4 2

1 , x ? (0, ?) ,且 f ( x) ? m 有且仅有一个实根,求实数 m 的值. 2

20.(本小题满分 8 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A( x1,y1 ) 在单位圆 O 上, ?xOA ? ? ,且
?? ? ? ? ?? , ? . ?6 2?

(1)若 cos(? ? ) ? ? 11 ,求 x1 的值; 3 13 (2)若 B( x2,y2 ) 也是单位圆 O 上的点,且 ?AOB ? ? . 过点 A、B 分别做 x 轴 3

?

B DO

y

A
C

x
3

的垂线,垂足为 C、D ,记 ?AOC 的面积为 S1 , ?BOD 的面积为 S 2 .设 f ?? ? ? S1 ? S 2 ,求函数 f ?? ? 的最 大 值.

21. (本小题满分 10 分)如图,矩形花园 ABCD 中, AB ? 2 , AD ? 3 , H 是 AB 的中点,在该花园中 有一花圃,其形状是以 H 为直角顶点的 Rt ?HEF ,其中 E 、 F 分别落在线段 BC 和线段 AD 上.分别记

?BHE 为 ? (

?

6

?? ?

?

3

H F ) , Rt ?E

的周长为 L , Rt ?EHF 的面积为 S .

(1)试求 S 的取值范围; (2) ? 为何值时 L 的值为最小,并求 L 的最小值.

衡阳县一中 2016 年上学期高一期中考试数学试题 分值:100 分 时量:120 分钟 命题人: 罗 烨 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.下列命题正确的是( B ) A.第一象限角是锐角 C.终边相同的角一定相等 0 2.sin(-330 )的值为( C ) A. ?
3 2

B.相等向量一定共线

D.若 a 与 b 都是单位向量,则 a ? b ? 1
1 2

?

?

? ?

B. ?

C.

1 2

D.

3 2

4

? 上为增函数,且以 为最小正周期的偶函数是( B ) 3.在下列四个函数中,在区间 ? (0, ) 2 A.y=tanx B.y=|sinx| C.y=sin2x D.y=cos2x ? 1 4.已知 sin( ? a ) ? ,则 cos 2a 的值为( D ) 2 3 ? ? a b 7 1 1 7 ? A. B. ? C. D. ? c ? 9 3 3 9 e2 ? e1 5.如图, e1 , e2 为互 相垂直的单位向量,则向量 a ? b ? c 可表示为( C )
A. 3e1 ? 2e2 6.已知 tan(? ? ? ) ? A. B. ? 3e1 ? 3e2 C. 3e1 ? 2e2 A ) D. D. 2e1 ? 3e2

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? , 则 tan(? ? ) 的值为 ( 5 4 4 4
B. 22 13 C. 13 18

? 7.已知函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? ) 的部分图象如下图所示,则函数 f ( x) 的解析式为( D ) 2 1 ? 1 ? A. f ( x ) ? 2 sin( x ? ) B. f ( x ) ? 2sin( x ? ) 2 6 2 6
? D. f ( x ) ? 2sin(2 x ? ) 6 ??? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? 8.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,设向量 OA ? a , OB ? b ,其中 a =(3,1), b =(1,3).若 OC = ? ? λ a +μ b ,且 0≤λ ≤μ ≤1,则 C 点所有可能的位置区域用阴影表示正 确的是 ( A )

3 22

1 6

C. f ( x ) ? 2sin(2 x ? ? ) 6

9.若函数 f ( x ) ? 2sin(

2 l 与函数的图象交于 过点 A 的直线 x ? ) (?2 ? x ? 10) 的图象与 x 轴交于点 A, 6 3 ??? ? ??? ? ??? ? x O π 5π B、C 两点,则 (OB ? OC ) ? OA ? ( D ) 6 12

?

?

y

A.-32

B.-16

C. 16

D. 32

10.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?)( A ? 0, ? ? 0) 在x ? 1和x ? ?1 处分别取得最大值和最小值,且对于任意

x1 , x2 ?[?1,1], x1 ? x2 , 都有

f ( x 1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则( A ) x1 ? x2
B.函数 y ? f ( x ? 1) 一定是周期为 2 的奇函数 D.函数 y ? f ( x ? 1) 一定是周期为 2 的偶函数

A.函数 y ? f ( x ? 1) 一定是周期为 4 的偶函数 C.函数 y ? f ( x ? 1) 一定是周期为 4 的奇函数 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分.

11.设一扇形的弧长为 4cm,面积为 4cm ,则这个扇形的圆心角的弧度数是 1 2.将函数 y ? sin 4 x 的图象向左平移

2

2

.

? ? 个单位,得到函数 y ? sin(4 x ? ? ) 的图象,则 ? ? . 3 12

5

13.已知 a ? 3, b ? 5 且 a ? b ? 12,则 a 在 b 方向上的投影为 12 .
5

14.已知 a ? (3,1),b ? (sin? , cos? ) ,且 a // b ,则

4 sin ? ? 2 cos ? 5 = . 5 cos ? ? 3sin ? 7

? 15.设函数 f ( x ) ? 3sin(2 x ? ) 的图象为 C ,给出下列命题: 3
①图象 C 关于直线 x ?
11 ? 对称; 12

②函数 f ( x ) 在区间 ( ?

? 5? , ) 内是增函数; 12 12

? ④图象 C 关于点 ( ,0) 对称. 3 其中,正确命题的编号是 ① ② .(写出所有正确命题的编号)
③函数 f ( x) 是奇函数; 三.解答题:本大题共6小题,共50分.解答必需写出必要的文 字说明、推理过程或计算步骤. 16. (本小题满分 8 分)已知:向量 a ? ?1, ? 3?, b ? ?? 2, m?,且 a ? a ? b . ? ? (1)求向量 a与b 的夹角 ? ; (2)当 k a ? b 与 a ? b 平行时,求实数 k 的值。

? ?

解: (1) a ? b ? ?3, ? 3 ? m? ,由 a ? a ? b 得 a ? a ? b ? 0 即 3 ? 3?? 3 ? m? ? 0 ,故 m ? ?4 ;…………2 分
? ? ? cos a, b ? 1? (?2) ? (?3)(?4)
2 2 2 2

? ?
? 2 2

? ?

1 ? (?3) ? (?2) ? (?4) ? ? ? ? ? 而 a, b ? ? 0,? ?,所以a, b的夹角为 .? ????5分 4

(2)由 k a ? b ? ?k ? 2, ? 3k ? 4? , a ? b ? ?3, 1? 当 k a ? b与a ? b 平行时, ?k ? 2? ? 3?? 3k ? 4? ? 0 ,从而 k ? ?1 。 …………8 分

17.(本小题满分 8 分)已知函数 f ? x ? ? sin 2 x ? 2 3sin x cos x ? cos2 x . (1)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (2)求 f ? x ? 的最大值及取最大值时 x 的集合. 解:由已知, f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? (1)由 2k? ? (2)当 2 x ?

?
6

).

?
2

? 2x ?

?
?
2

?
6

6

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,得增区间为 [k? ?

?

? 2 k? ?

, k ? Z ,即 sin(2 x ?

?
6

, k? ? ](k ? Z ) . 6 3

?

) ? 1 时, f ( x) 取最大值 2 ,

此时 x 的集合为 {x | x ? k? ?

?
3

,k ?Z }.

→ → → → 18. (本小题满分 8 分)平面内有四边形 ABCD,BC=2AD,且 AB=CD=DA,AD= a ,BA= b ,M 是 CD 的中 点.
6

→ (1)试用 a , b 表示BM; (2)若 AB 上有点 P,PC 和 BM 的交点为 Q,已知 PQ∶QC=1∶2,求 AP∶PB 和 BQ∶QM.

2→ 1→ 2 → 1 → 2 → 2 → → =BC+ (BP+BC)= BP+ BC= tBA+ ·2AD= (a+tb),…………5 分 3 3 3 3 3 3 λ → → 3λ 设BQ=λ BM= a+ b,…………6 分 2 2 → → 由于BA ,AD不共线,则有 3λ 2 ? ? 2 =3 ?λ 2 ? ? 2 =3t

4 1 ,解方程组,得 λ = ,t= . …………7 分 9 3

故 AP∶PB=2∶1,BQ∶QM=4∶5. …………8 分 19. (本小题满分8分)已知向量 a ? ( 3 sin ?x, cos?x),b ? (cos?x,? cos?x),(? ? 0) ,函数

f ( x) ? a ? b ?

(1)求 ? 的值; (2)若 cos x ?

? 1 的图象的两相邻对称轴间的距离为 . 4 2

1 , x ? (0, ?) ,且 f ( x) ? m 有且仅有一个实根,求实数 m 的值. 2
1 3 1 ? cos2?x 1 ? sin 2?x ? ? 2 2 2 2

解:由题意, f ( x) ? 3 sin ?x ? cos ?x ? cos 2 ?x ?
?

? 3 1 sin 2?x ? cos2?x ? sin( 2?x ? ) , 6 2 2 2? ? (1)∵两相邻对称轴间的距离为 ? ,∴ T ? ? , ∴? ? 2 . 4 2? 2

1 ? ,且余弦函数在 (0, ? ) 上是减函数, ∴ x ? (0, ] , 2 3 1 ? 令 f ( x ) ? a ? b ? = sin( 4 x ? ) , g ( x) ? m , 在 同 一 直 角 坐 标 系 中 作 出 两 个 函 数 的 图 象 , 可 知 2 6 1 m ? 1或m ? ? . 2
(2)? cos x ?
7

20.(本小题满分 8 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A( x1,y1 ) 在单位圆 O 上, ?xOA ? ? ,且
?? ? ? ? ?? , ? . ?6 2?

(1)若 cos(? ? ) ? ? 11 ,求 x1 的值; 3 13 (2)若 B( x2,y2 ) 也是单位圆 O 上的点,且 ?AOB ? ? . 过点 A、B 分别做 x 轴
3

?

B DO

y

A
C

x

的垂线,垂足为 C、D ,记 ?AOC 的面积为 S1 , ?BOD 的面积为 S 2 .设 f ?? ? ? S1 ? S 2 ,求函数 f ?? ? 的最大 值. 解: (1)由三角函数的定义有 x1 ? cos ? , ∵ cos(? ? ? ) ? ? 11,? ? ( ? , ? ) ,∴ sin(? ? ? ) ? 4 3 ,
3 13 6 2
3 13

? ? ? ? 11 1 4 3 3 1 . ………3 分 ∴ x1 ? cos ? ? cos ?(? ? ? ) ? ? ? ? cos(? ? )cos ? sin(? ? )sin ?? ? ? ? ? ? ? 3 3 3 3 13 2 13 2 26 3 3 ? ?
(2)由 y1 ? sin ? ,得 S1 ? 1 x1 y1 ? 1 cos ? sin ? ? 1 sin 2? .由定义得 x2 ? cos(? ? ? ) , y2 ? sin(? ? ? ) ,
2 2 4

3

3

又 由? ? ( ? ,? ) ,得? ? ? ? ( ? ,5? ) , 于 是 ,
6 2 3 2 6

1 2? 1 1 ? ? ) S 2 ? ? x2 y2 ? ? cos(? ? )sin(? ? ) ? ? sin(2? ? 4 3 2 2 3 3



1 2? 2? 3 1 1 2? = 1 3 sin 2? ? (sin 2? cos ? cos 2? sin ) = sin 2? ? f (? ) ? S1 ? S 2 ? sin 2? ? sin(2? ? ) cos 2? 4 4 3 3 4 4 3 8 8
4 2 2

= 3 ( 3 sin 2? ? 1 cos 2? ) = 3 sin(2? ? ? ) ,
4 6

? ? ? ? 5? ? ? ? 3 . ……8 分 由? ? ( , ) ,可得2? ? ? ( , ) , 于是当2? ? ? ,即 ? ? 时,f (? ) max ? 6 2 6 6 6 6 2 3 4

21. (本小题满分 10 分)如图,矩形花园 ABCD 中, AB ? 2 , AD ? 3 , H 是 AB 的中点,在该花园中 有一花圃,其形状是以 H 为直角顶点的 Rt ?HEF ,其中 E 、 F 分别落在线段 BC 和线段 AD 上.分别记

?BHE 为 ? (

?

6

?? ?

?

3

H F ) , Rt ?E

的周长为 L , Rt ?EHF 的面积为 S .

(1)试求 S 的取值范围; (2) ? 为何值时 L 的值为最小,并求 L 的最小值.

8


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