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2014年全国高考试卷数列部分汇编


2014 年全国高考试卷数列部分汇编
1. (2014 安徽理 12) 数列 ?an ? 是等差数列,若 a1 ? 1,a3 ? 3,a5 ? 5 构成公比为 q 的等比数列,则 q ? ________.

【解析】 1 设 ?an ? 的公差为 d ,则 a3 ? 3 ? a1 ? 1 ? 2d ? 2,a5 ? 5 ? a1 ? 1 ? 4d

? 4 , 由题意可得 (a3 ? 3)2 ? (a1 ? 1)(a5 ? 5) . ∴ [(a1 ? 1) ? 2(d ? 1)]2 ? (a1 ? 1)[(a1 ? 1) ? 4(d ? 1)] , ∴ (a1 ? 1)2 ? 4(d ? 1)(a1 ? 1) ? [2(d ? 1)]2 ? (a1 ? 1)2 ? 4(a1 ? 1)(d ? 1) , ∴ d ? ?1, ∴ a3 ? 3 ? a1 ? 1 , ∴公比 q ? 2.
a3 ? 3 ? 1. a1 ? 1

(2014 安徽文 12) 如图,在等腰直角三角形 ABC 中,斜边 BC ? 2 2 ,过点 A 作 BC 的垂线,垂足为 A1 ;过点 A1 作 AC 的垂线,垂足为 A2 ;过点 A2 作 A1C 的垂线,垂足为 A3 ;…,依此类推,设 BA ? a1 , 则 a7 ? ______________. AA1 ? a2 , A1 A2 ? a3, …, A5 A6 ? a7 ,
A

A2 A4 B A1 第(12)题图 A3 C

【解析】

1 4

由 BC ? 2 2 得 AB ? a1 ? 2 ? AA1 ? a2 ? 2 ? A1 A2 ? a3 ? 2 ?

2 ?1 , 由此可归纳出 {an } 是以 2
6

? 2? 1 2 为公比的等比数列,因此 a7 ? a1 ? q6 ? 2 ? ? . a1 ? 2 为首项, ? 2 ? ? ?4 2 ? ?
3. (2014 安徽文 18) 数列 {an } 满足 a1 ? 1 ? nan?1 ? (n ? 1)an ? n(n ? 1) ? n ? N? .
?a ? ⑴证明:数列 ? n ? 是等差数列; ?n?

⑵设 bn ? 3n ? an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 【解析】 ⑴ 由已知可得
an?1 an a a ? ? 1 ,即 n ?1 ? n ? 1 . n ?1 n n ?1 n a1 ? an ? 所以 ? ? 是以 ? 1 为首项,1 为公差的等差数列. 1 ?n? an ? 1 ? ? n ? 1? ? 1 ? n ,所以 an ? n2 . n
? n ? 3n ,

⑵ 由⑴得

从而 bn ? n ? 3n .
Sn ? 1? 31 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ?



3Sn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ?

? ? n ? 1? ? 3n ? n ? 3n?1 . ②

①-②得 ?2Sn ? 3 ? 3 ?
1 2

? 3 ? n?3
n

n ?1

?

3 ? ?1 ? 3n ? 1? 3

? n ? 3n ?1 ?

?1 ? 2n ? ? 3n?1 ? 3
2



所以 S n ? 评析

? 2n ? 1? ? 3n ?1 ? 3
4



本题考查等差数列定义的应用,错位相减法求数列的前 n 项和,解题时利用题⑴提示

对递推关系进行变形是关键. 4. (2014 北京理 5) 设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,则“ q ? 1 ”是“ ?an ? ”为递增数列的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 D 对于等比数列 ?an ? ,若 q ? 1 ,则当 a1 ? 0 时有 ?an ? 为递减数列. 故“ q ? 1 ”不能推出“ ?an ? 为递增数列”. 若 ?an ? 为递增数列,则 ?an ? 有可能满足 a1 ? 0 且 0 ? q ? 1 ,推不出 q ? 1 . 综上,“ q ? 1 ”为“ ?an ? 为递增数列”的既不充分也不必要条件,即选 D. 5. (2014 北京理 12) 若等差数列 {an } 满足 a7 ? a8 ? a9 ? 0 , a7 ? a10 ? 0 ,则当 n ? ____时, {an } 的前 n 项和 最大. 【解析】 8 由等差数列的性质, a7 ? a8 ? a9 ? 3a8 , a7 ? a10 ? a8 ? a9 ,于是有 a8 ? 0 , a8 ? a9 ? 0 ,故
a9 ? 0 .故 S8 ? S7 , S9 ? S8 , S 8 为 {an } 的前 n 项和 Sn 中的最大值

6.

(2014 北京文 15) 已知 ?an ? 是等差数列,满足 a1 ? 3 , a4 ? 12 ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? 4 , b4 ? 20 ,且 ?bn ? an ? 为等比数列. ⑴求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; ⑵求数列 ?bn ? 的前 n 项和.
a4 ? a1 12 ? 3 ? ?3 3 3
b4 ? a4 20 ? 12 ? ? 8 ,解得 q ? 2 . b1 ? a1 4?3

【解析】 ⑴ 设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由题意得 d ? 所以 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? 3n ? n ? 1, 2,

?.

设等比数列 bn ? a n 的公比为 q ,由题意得 q 3 ? 所以 bn ? an ? ?b1 ? a1 ? qn?1 ? 2n?1 . 从而 bn ? 3n ? 2n?1 ? n ? 1, 2, ⑵ 由⑴知 bn ? 3n ? 2
n ?1

?

?

?

? n ? 1,2 , ? .

7.

1 ? 2n 3 数列 ?3n? 的前 n 项和为 n ? n ? 1? ,数列 2n ?1 的前 n 项和为 1× ? 2n ? 1 . 2 1? 2 3 所以,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 n ? n ? 1? ? 2n ? 1 . 2 (2014 大纲理 10) 等比数列 ?an ? 中, a4 ? 2,a5 ? 5 ,则数列 ?lg an ? 的前 8 项和等于( )

? ?

A.6 【解析】 C

B .5

C .4

D.3

8.

(2014 大纲理 18) 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 10 , a 2 为整数,且 Sn ≤ S4 ⑴求 ?an ? 的通项公式; ⑵设 bn ?
1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an an ?1

【解析】 ⑴ 由 a1 ? 10 , a 2 为整数知,等差数列 ?an ? 的公差 d 为整数. 又 S n? S 4 故 a4厔 0, a5 0
10 ? 4d ≤ 0 于是 10 ? 3d ≥ 0 ,

解得 ?

10 5 ≤d ≤? . 3 2

因此 d ? ?3 . 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 13 ? 3n . ⑵ bn ?
1

?13 ? 3n ??10 ? 3n ?

1? 1 1 ? ? ? ? ?. 3 ? 10 ? 3n 13 ? 3n ?

1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? 于是 Tn ? b1 ? b2 ? … bn ? ?? ? ? ? ? ? ? ? … + ? ? 3 ?? 7 10 ? ? 4 7 ? 10 ? 3 n 10 ? 3n ? ? ? ?
1? 1 1? n ? ? ? ? ? . 3 ? 10 ? 3n 10 ? 10 ?10 ? 3n ?

9.

(2014 大纲文 8) 设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S 2 ? 3 , S4 ? 15 ,则 S6 ? (



A.31 B.32 C.63 D.64 【解析】 C 10. (2014 大纲文 17) 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 2 , an? 2 ? 2an?1 ? an ? 2 ⑴设 bn ? an ?1 ? an ,证明 ?bn ? 是等差数列; ⑵求 ?an ? 的通项公式. 【解析】 ⑴ 由 an ? 2 ? 2an ?1 ? an ? 2 得 an? 2 ? an?1 ? an?1 ? an ? 2 即 bn ?1 ? bn ? 2 又 b1 ? a2 ? a1 ? 1 所以 ?bn ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列. ⑵ 由⑴得 bn ? 1 ? 2(n -1) 即 an +1 ? an ? 2n ? 1 于是 ? (ak ?1 ? ak ) ? ? (2k ? 1)
k ?1 k ?1 n n

所以 an?1 ? a1 ? n ,即 an?1 ? n2 ? a1 .
2

又 a1 ? 1 ,所以 ?an ? 的通项公式为 an ? n2 ? 2n ? 2 . 11. (2014 福建理 3) 等差数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,若 a1 ? 2,S3 ? 12 ,则 a6 ? ( A.8 【解析】 C B.10 C.12 ) D.14

12. (2014 福建文 17) 在等比数列 {an } 中, a2 ? 3,a5 ? 81 . ⑴求 a n ; ⑵设 bn ? log3 an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . 【解析】 本小题主要考查等差数列、 等比数列等基础知识, 考查运算求解能力, 考查化归与转化思想.
? ?a1q ? 3, ⑴ 设 {an } 公比为 q ,依题意得 ? 4 ? ?a1q ? 81,
? a ? 1, 解得 ? 1 因此, an ? 3n?1 . ? q ? 3.

⑵ 因为 bn ? log3 an ? n ? 1 , 所以数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ?

n(b1 ? bn ) n2 ? n . = 2 2
a02 ?

13. (2014 广东理 13) 若等比数列 {an } 的各项均为正数, 且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e5 , 则n l a1n l? a2 ? n l? 【解析】 50 . 由 等 比 数 列 性 质 可 知 , a1a20 ? a2 a19 ? a3a18
l n a1 ? la2n? ? al2 n 0 ? a l 1a n 2? 0 a la n ? 2
1 9

__________.

? a9 a12 ? a10 a11 ? e5 , 可 求 得

?

a l an ? 9

1

2

a l. a ? n

1

0

?

1

? 1 1 0

5

5 0

14. (2014 广东理 19) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 Sn ? 2nan?1 ? 3n2 ? 4n , n ? N* ,且 S3 ? 15 . ⑴求 a1 , a 2 , a 3 的值; ⑵求数列 {an } 的通项公式. 【解析】 ⑴ 取 n ? 2 得到 S2 ? 4a3 ? 20 ,又 S2 ? S3 ? a3 ? 15 ? a3 , 于是 4a3 ? 20 ? 15 ? a3 ,得 a3 ? 7 取 n ? 1 得到 a1 ? S1 ? 2a2 ? 7 ,又 a1 ? 15 ? a3 ? a2 ? 8 ? a2 , 于是 2a2 ? 7 ? 8 ? a2 ? a2 ? 5 , a1 ? 3 ; ⑵ 猜测 an ? 2n ? 1 ,用归纳法证明:
n ? 1 时,显然成立; 1°

2° 假设 n ? k 时,成立,即 ak ? 2k ? 1 ; 3° 由 Sk ? 2kak ?1 ? 3k 2 ? 4k ? 3k ? 故结论成立,即 an ? 2n ? 1 . 15. (2014 广东文 13) 等比数列 ?an ? 的各项均为正数, 且 a1a5 ? 4 , 则o g l
2 1

k (k ? 1) ? 2 ? 2kak ?1 ? 3k 2 ? 4k ? ak ?1 ? 2k ? 3 ; 2

ao g l?

2 2

o g la ? 2o g l3 a ? o g l 2 4 a ? 2 5

a ?

_____.

【解析】 5 . 16. (2014 广东文 19) 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn 满足
2 Sn ? (n2 ? n ? 3)Sn ? 3(n2 ? n) ? 0,n ? N? .

⑴求 a1 的值; ⑵求数列 ?an ? 的通项公式;

⑶证明:对一切正整数 n ,有

1 1 ? ? a1 ? a1 ? 1? a2 ? a2 ? 1?

?

1 1 ? . an ? an ? 1? 3

2 【解析】 ⑴ ∵Sn ? n2 ? n ? 3 Sn ? 3 n2 ? n ? 0 ,

?

?

?

?

∴ 令 n ? 1 ,得 a ? a1 ? 6 ? 0 , 解得 a1 ? 2 得 a1 ? ?3 . 又 an ? 0 ,∴a1 ? 2 .
2 1

2 ⑵ 由 Sn ? n2 ? n ? 3 Sn ? 3 n2 ? n ? 0 ,

得 ? Sn , ? n ?? ? ? ? Sn ? 3? ? 0 又 an ? 0 ,所以 Sn ? 3 ≠ 0 ,所以 Sn ? n2 ? n ,
2

? ? ?n

?

?

?

2 所以当 n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? n ? ?? n ? 1? ? n ? 1? ? 2n , ? ? 又由⑴知, a1 ? 2 ,符合上式. 所以 an ? 2n . 1 1 ? ⑶ 由⑵知, , an ? an ? 1? 2n ? 2n ? 1?

所以
?

1 1 1 ? ?…? a1 ? a1 ? 1? a2 ? a2 ? 1? an ? an ? 1?

1 1 1 ? ?…? 2?3 4?5 2n ? 2n ? 1?

?
?

1 1 1 1 ? ? ?…? 2 ? 3 3? 5 5? 7 ? 2n ? 1?? 2n ? 1?
1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?…? ? ? ? 6 2? 3 5 5 7 2 n ? 1 2 n ? 1 ?? ? ? ? ? ?? ?

?

1 1?1 1 ? 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? ? 6 2 ? 3 2n ? 1 ? 6 2 3 3

17. (2014 湖北理 18 文 19) 已知等差数列 ?an ? 满足: a1 ? 2 ,且 a1 , a2 , a5 成等比数列. ⑴求数列 ?an ? 的通项公式. ⑵记 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,是否存在正整数 n ,使得 Sn ? 60n ? 800 ?若存在,求 n 的最 小值;若不存在,说明理由. 2?d, 2 ? 4d 成等比数列,故有 【解析】 ⑴ 设数列 ?an ? 的公差为 d ,依题意, 2 , 化简得 d 2 ? 4d ? 0 ,解得 d ? 0 或 d ? 4 . (2 ? d )2 ? 2(2 ? 4d ) , 当 d ? 0 时, an ? 2 ; 当 d ? 4 时,an ? 2 ? (n ? 1) ? 4 ? 4 n ? 2 , 从而得数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2 或 an ? 4n ? 2 . ⑵ 当 an ? 2 时, Sn ? 2n .显然 2n<60n ? 800 ,此时不存在正整数 n ,使得
Sn ? 60n ? 800 成立.

当 an ? 4n ? 2 时, S n ?
n ? 30n ? 400 ? 0 ,
2

n ? 2 ? (4n ? 2) ? 2

? 2n 2 .令 2n2 ? 60n ? 800 ,即

解得 n ? 40 或 n ? ?10 (舍去) , 此时存在正整数 n ,使得 Sn ? 60n + 800 成立, n 的最小值为 41 . 综上,当 an ? 2 时,不存在满足题意的 n ; 当 an ? 4n ? 2 时,存在满足题意的 n ,其最小值为 41 .

18. (2014 湖南理 20) * 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, | an?1 ? an |? pn , n ? N . ⑴若 ?an ? 是递增数列,且 a1 , 2a2 , 3a3 成等差数列,求 p 的值; ⑵若 p ?
1 ,且 ?a2n?1? 是递增数列, ?a2 n ? 是递减数列,求数列 ?an ? 的通项公式. 2

【解析】 ⑴ 因为数列 ?an ? 为递增数列,所以 an?1 ? an ≥ 0 ,则 an?1 ? an ? pn ? an?1 ? an ? pn ,
, 2 可得 a2 ? a1 ? p, 分别令 n ? 1 a3 ? a2 ? p 2 ? a2 ? 1 ? p, a3 ? p2 ? p ? 1 ,

因为 a1, 2a2, 3a3 成等差数列,
1 或0 , 3 1 当 p ? 0 时,数列 a n 为常数数列不符合数列 ?an ? 是递增数列,所以 p ? . 3 1 1 1 ⑵ 由题可得 an?1 ? an ? n ? a2n ? a2n?1 ? 2n?1, a2n? 2 ? a2n?1 ? 2n?1 , 2 2 2 因为 ?a2n?1? 是递增数列且 ?a2 n ? 是递减数列,所以 a2 n ?1 ? a2 n ?1 且 a2n? 2 ? a2n ,

所以 4a2 ? a1 ? 3a3 ? 4 ?1 ? p ? ? 1 ? 3 p2 ? p ? 1 ? 3 p2 ? p ? 0 ? p ?

?

?

??a2 n ? ?a2 n ? 2 ? a2 n ? a2 n ?1 ? a2 n ? 2 ? a2 n ?1 , 则有 ? ?a2 n ?1 ? a2 n ?1 1 1 又因为 a2n ? a2n?1 ? 2n?1 ? a2n? 2 ? a2n?1 ? 2n?1 ,所以 a2 n ? a2 n ?1 ? 0 ,即 2 2 1 a2n ? a2n ?1 ? 2n ?1 , 2 同理可得 a2n?3 ? a2n? 2 ? a2n?1 ? a2n 且 a2n?3 ? a2n?2 ? a2n?1 ? a2n ,所以
1 , 22 n 则当 n ? 2m ? m ? N *? 时, a2n ?1 ? a2n ? ? 1 1 1 1 a2 ? a1 ? , a3 ? a2 ? ? 2 , a4 ? a3 ? 3 , , a2m ? a2m?1 ? 2m?1 , 2 2 2 2 2 m ? 1 这 个等式相加可得
?1 1 a2 m ? a1 ? ? 1 ? 3 ? ?2 2 ? 1 ? ? 1 1 ? ??? ? 22 m ?1 ? ? 22 24 ? 1 ? ? 22 m ? 2 ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 m ?1 ? ? 2m?2 ? 2 4 1 2 2 4 2 2 4 ?1? 1 . ? ? ? a2m ? ? 2 m ?1 2 m?1 1 1 3 3 ? 2 3 3 ? 2 1? 1? 4 4 1 1 1 1 当 n ? 2 m ? 1 时, a2 ? a1 ? , a3 ? a2 ? ? 2 , a4 ? a3 ? 3 , , a2m?1 ? a2 m ? ? 2m , 2 2 2 2 这 2 m 个等式相加可得
?1 1 a2 m ?1 ? a1 ? ? 1 ? 3 ? ?2 2 ? 1 ? ? 1 1 ? ??? ? 22 m ?1 ? ? 22 24 ? 1 ? ? 22 m ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 m ?1 ? ? 2m ? 2 4?2 2 4 ?1? 1 ?2 2 1 1 3 3 ? 22 m 1? 1? 4 4 4 1 4 1 ,当 m ? 0 时, a1 ? 1 符合,故 a2m?1 ? ? a2m?1 ? ? 3 3 ? 22m 3 3 ? 22m?2

综上 an ?

4 1 ? ?1? . ? ? 3 3 2n ?1
n

19. (2014 湖南文 16) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? ⑴求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵设 bn ? 2an ? ? ?1? an ,求数列 ?bn ? 的前 2 n 项和.
n

n2 ? n , n ? N? . 2

【解析】 ⑴ 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ; 当 n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn ?1
n2 ? n ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? ? ?n. 2 2
2

故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n . ⑵ 由⑴知, bn ? 2n ? ? ?1? n ,记数列 ?bn ? 的前 2 n 项和为 T2 n ,则
n

T2n ? ? 21 ? 22 ?
记 A?2 ?2 ?
1 2

? 22n ? ? ? ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ?
2n

? 2n? .
? 2n ,则 A ?

? 2 , B ? ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ?

2 ?1 ? 22 n ? 1? 2

? 22 n ?1 ? 2 ,

B ? ? ?1 ? 2? ? ? ?3 ? 4? ?

?? ?? ? 2n ? 1? ? 2n? ? ?n.

故数列 ?bn ? 的前 2 n 项和 T2n ? A ? B ? 22n?1 ? n ? 2 . 20. (2014 江苏理 7) 在各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a2 ? 1 , a8 ? a6 ? 2a4 ,则 a 6 的值为_____. 【解析】 4 设公比为 q (q ? 0) ,则由 a8 ? a6 ? 2a4 得 a6 q 2 ? a6 ?
2a6 ,解得 q2 ? 2 ,故 a6 ? a2 q4 ? 4 q2

21. (2014 江苏理 20) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn . 若对任意的正整数 n , 总存在正整数 m , 使得 Sn ? am , 则称 {an } 是“ H 数列”. ⑴若数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 2n (n ? N* ) ,证明: {an } 是“ H 数列”; ⑵设 {an } 是等差数列,其首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,若 {an } 是“ H 数列”,求 d 的值; ⑶证明:对任意的等差数列 {an } ,总存在两个“ H 数列” {bn } 和 {cn } ,使得 an ? bn ? cn 成立. 【解析】 ⑴ 当 n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ∴n ? 1 时, S1 ? a1 ,当 n ? 2 时, Sn ? an?1 ∴{an } 是“ H 数列” ⑵ Sn ? na1 ?
n(n ? 1) n(n ? 1) d ?n? d 2 2 n(n ? 1)d ? 1 ? (m ? 1)d 2

对 ?n ? N* , ?m ? N* 使 Sn ? am ,即 n ? 取 n ? 2 得 1 ? d ? (m ? 1)d , m ? 2 ?
1 d

∵d ? 0 ,∴m ? 2 ,又 m ? N* ,∴m ? 1 ,∴d ? ?1 ⑶ 设 {an } 的公差为 d 令 bn ? a1 ? (n ? 1)a1 ? (2 ? n)a1 ,对 ?n ? N* , bn ?1 ? bn ? ?a1
cn ? (n ? 1)(a1 ? d ) ,对 ?n ? N* , cn?1 ? cn ? a1 ? d

则 bn ? cn ? a1 ? (n ? 1)d ? an ,且 {bn } 、 {cn } 为等差数列
n(n ? 1) n(n ? 3) (?a1 ) ,令 Tn ? (2 ? m)a1 ,则 m ? ?2 2 2 当 n ? 1 时 m ? 1 ;当 n ? 2 时 m ? 1
{bn } 的前 n 项和 Tn ? na1 ?

当 n ≥ 3 时,由于 n 与 n ? 3 奇偶性不同,即 n(n ? 3) 非负偶数, m ? N* 因此对 ?n ,都可找到 m ? N* ,使 Tn ? bm 成立,即 {bn } 为 H 数列
{cn } 的前 n 项和 Rn ?

n(n ? 1) n(n ? 1) (a1 ? d ) ,令 cm ? (m ? 1)(a1 ? d ) ? Rn ,则 m ? ?1 2 2

∵ 对 ?n ? N* , n(n ? 1) 是非负偶数,∴m ? N* 即对 ?n ? N* ,都可找到 m ? N* ,使得 Rn ? cm 成立,即 {cn } 为 H 数列 因此命题得证 22. (2014 江西理 17) 已知首项都是 1 的两个数列 ?an ? , ?bn ? bn ? 0,n ? N* ,满足 anbn?1 ? an?1bn ? 2bn?1bn ? 0 . ⑴令 cn ?
an ,求数列 ?cn ? 的通项公式; bn

⑵若 bn ? 3n?1 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn . 【解析】 ⑴ 因为 anbn?1 ? an?1bn ? 2bn?1bn ? 0,bn ? 0 n ? N* , 所以
an ?1 an ? ? 2 ,即 cn ?1 ? cn ? 2 bn ?1 bn

?

?

所以数列 ?cn ? 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列. 故 cn ? 2n ? 1 . ⑵ 由 bn ? 3n ?1 知 an ? cnbn ? ? 2n ? 1? 3n?1 , 于是数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 1? 30 ? 3 ? 31 ? 5 ? 32 ? … ? ? 2n ? 1? ? 3n?1 .

3Sn ? 1? 31 ? 3 ? 32 ? … + ? 2n ? 3? ? 3n?1 ? ? 2n ? 1? ? 3n .
相减得 ?2Sn ? 1 ? 2 ? 31 ? 32 ? …+ 3n?1 ? ? 2n ? 1? ? 3n ? ?2 ? ? 2n ? 2? 3n , 所以 Sn ? ? n ? 1? 3 ? 1 .
n

?

?

23. (2014 江西文 13) 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 7 ,公差为 d ,前 n 项和为 Sn ,当且仅当 n ? 8 时 Sn 取最大值,则 d 的 取值范围_________.
7? ? 【解析】 ? ?1,? ? 8? ? 24. (2014 江西文 17)

已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? ⑴求数列 ?an ? 的通项公式;

3n2 ? n , n ? N? . 2

⑵证明:对任意 n ? 1 ,都有 m ? N? ,使得 a1, an , am 成等比数列. 【解析】 ⑴ 由 Sn ?
3n2 ? n 得 a1 ? S1 ? 1 ,当 n ≥ 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 3n ? 2 . 2 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n ? 2 .

2 ⑵ 要使 a1 ,an ,am 成等比数列, 只需要 an 即 ?3n ? ? a1 ? am , 2

?

2

1 ? 3? ? m 2?

n 即m ? 3 ?,

2

?4 n?2 ,

而因此时 m ? N? ,且 m ? n ,所以对任意的 n ? 1 ,都存在 m ? N? ,使得 a1 ,an ,am 成等比

数列. 25. (2014 辽宁理 8 文 9) 设等差数列 ?an ? 的公差为 d .若数列 ?2a1an ? 为递减数列,则() A. d ? 0 B. d ? 0 C. a1d ? 0 D. a1d ? 0 【解析】 C 26. (2014 山东理 19) S2 , S4 成等比数列. 已知等差数列 {an } 的公差为 2,前 n 项和为 Sn ,且 S1, ⑴求数列 {an } 的通项公式;
n ?1 ⑵令 bn ? (?1)

4n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an ?1

【解析】 ⑴ d ? 2, S1 ? a1, S2 ? 2a1 ? d, S4 ? 4a1 ? 6d
2 S1, S2, S4 成等比数列,? S2 ? S1S4

? an ? 2n ? 1 解得 a1 ? 1,
n ?1 ⑵ bn ? (?1)

4n 1 1 ? (?1) n?1 ( ? ) an an?1 2n ? 1 2n ? 1

当 n 为偶数时,
1 1 1 1 1 Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3 3 5 5 7 1 2n ?Tn ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ?( 1 1 1 1 ? )?( ? ) 2n ? 3 2n ?1 2n ?1 2n ? 1

当 n 为奇数时,
1 1 1 1 1 Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3 3 5 5 7 1 2n ? 2 ?Tn ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n ,为偶数 n ? ? 2n ? 1 ?Tn ? ? ? 2n ? 2,为奇数 n ? ? 2n ? 1 ?( 1 1 1 1 ? )?( ? ) 2n ? 3 2n ?1 2n ?1 2n ? 1

27. (2014 山东文 19) 在等差数列 {an } 中,已知公差 d ? 2 , a 2 是 a1 与 a 4 的等比中项. ⑴求数列 {an } 的通项公式; ⑵设 bn ? an( n ?1) ,记 Tn ? ?b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? … ? (?1)n bn ,求 Tn .
2

【解析】 ⑴ 由题意知 ?an ? 为等差数列,设 an ? a1 ? (n ? 1)d, a2 为 a1 与 a 4 的等比中项
2 ? a2 ? a1 ? a4 且 a1 ? 0 ? ? a1 ? d ? ? a1 ? a1 ? 3d ?,

2

d ? 2 解得: a1 ? 2

? an ? 2 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n .

⑵ 由⑴ 知: an ? 2n ,∴ bn ? an? n?1? ? n ? n ? 1?
2

①当 n 为偶数时:

Tn ? ? ?1 ? 2 ? ? ? 2 ? 3? ? ? 3 ? 4 ? ? ? 2 ? ? ?1 ? 3? ? 4 ? ?3 ? 5 ? ? ? 2? 2 ? 4? 2 ? 6? 2 ? ? 2 ? ?2 ? 4 ? 6 ? ? 2? +n ? +n ? 2

+n ? n ? 1? +n ? ?? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? ?

?2 ? n? ?

2 ②当 n 为奇数时:

n 2 2 ? n ? 2n 2

Tn ? ? ?1 ? 2 ? ? ? 2 ? 3? ? ? 3 ? 4 ? ? ? 2 ? ? ?1 ? 3? ? 4 ? ?3 ? 5 ? ? ? 2? 2 ? 4? 2 ? 6? 2 ? ? 2 ? ?2 ? 4 ? 6 ? ? 2?

? n ? n ? 1? +(n ? 1) ? ?? ? n ? 2 ? ? n ? ? ? n ? n ? 1?

+(n ? 1) ? 2 ? n ? n ? 1?

+n ? 1? ? n ? n ? 1? n ?1 2 2 ? n ? n ? 1? ? ? n ? 2n ? 1 2

? 2 ? n ? 1? ?
2
2

? n ? 2n ? 1 ? ,n为奇数 ? ? 2 综上: Tn ? ? 2 . ? n ? 2n ,n为偶数 ? ? 2

28. (2014 陕西文 8)
an ? an ?1 ? an , n ∈ N + ”,则 ?an ? 为递减数列,关于其逆命题,否命题,逆否命 2 题真假性的判断依次如下,正确的是( )

原命题为“若

A.真,真,真 【解析】 A 29. (2014 上海理 23)

B.假,假,真

C.真,真,假

D.假,假,假

1 已知数列 {an } 满足 an ≤ an?1 ≤3an , n ? N* , a1 ? 1 。 3 ⑴若 a2 ? 2 , a3 ? x , a4 ? 9 ,求 x 的取值范围;

⑵设 {an } 是公比为 q 的等比数列, Sn ? a1 ? a2 ? 取值范围; ⑶若 a1 , a2 , , ak 成等差数列,且 a1 +a2 ? 值时相应数列 a1 , a2 ,
, ak 的公差。

1 ? an ,若 Sn ≤ Sn ?1 ≤3Sn , n ? N* ,求 q 的 3

? ak ? 1000 ,求正整数 k 的最大值,以及 k 取最大

1 2 【解析】 ⑴ 依题意, a2 ≤ a3 ≤3a2 ,∴ ≤ x ≤6 ; 3 3 1 又 a3 ≤ a4 ≤3a3 ,∴ 3 ≤ x ≤ 27 ;综上可得: 3 ≤ x ≤ 6 ; 3 1 1 n ?1 ⑵ 由已知得, an ? q ,又 a1 ≤ a2 ≤3a1 ,∴ ≤ q ≤ 3 3 3 1 n 当 q ? 1 时, Sn ? n ,由 Sn ≤ Sn ?1 ≤3Sn 得 ≤ n ? 1≤3n ,恒成立 3 3

当 1 ? q ≤ 3 时, Sn ?

qn ? 1 1 1 q n ? 1 q n ?1 ? 1 qn ? 1 ≤ ≤3 , Sn ≤ Sn ?1 ≤3Sn ,即 q ?1 3 q ?1 q ?1 q ?1 3

1 q n ?1 ? 1 ≤ 3 ,即不等式 3qn?1 ? qn ? 2 ≥ 0 且 qn?1 ? 3qn ? 2 ≤ 0 成立 ∴ ≤ n 3 q ?1

∵ q ? 1 ,故 3q 对于不等式 q

n ?1

? qn ? 2 ? qn (3q ? 1) ? 2 ? 2qn ? 2 ? 0

n ?1

? 3q n ? 2 ≤ 0 ,令 n ? 1 ,得 q2 ? 3q ? 2 ≤0 ,解得 1 ≤ q ≤ 2

又当 1 ? q ≤ 2 时, q ? 3 ? 0 ∴q
n ?1

? 3qn ? 2 ? qn (q ? 3) ? 2 ≤q(q ? 3) ? 2 ? (q ? 1)(q ? 2) ≤0

∴1 ? q ≤2
qn ? 1 1 1 q n ? 1 q n ?1 ? 1 qn ? 1 1 ≤ ≤3 当 ≤ q ? 1 时, Sn ? , Sn ≤ Sn ?1 ≤3Sn ,即 q ?1 3 q ?1 q ?1 q ?1 3 3

即不等式 3q ∵ 3q
n ?1

n ?1

? qn ? 2 ≤ 0 且 qn?1 ? 3q n ? 2 ≥ 0 , 3q ? 1 ? 0 , q ? 3 ? 0

? qn ? 2 ? qn (3q ? 1) ? 2 ? 2qn ? 2 ? 0

qn?1 ? 3qn ? 2 ? qn (q ? 3) ? 2 ≥ q(q ? 3) ? 2 ? (q ? 1)(q ? 2) ? 0

1 ∴ ≤ q ? 1 时,不等式恒成立 3 1 综上, q 的取值范围为 ≤ q ≤ 2 3

⑶ 设公差为 d ,显然,当 k ? 1000 , d ? 0 时,是一组符合题意的解,故 kmax ≥ 1000 则由已知得
1 ? (k ? 2)d ≤1 ? (k ? 1)d ≤3(1 ? (k ? 2)d ) 3

?(2k ? 1)d ≥ ?2 ∴? ?(2k ? 5)d ≥ ?2

当 k ≥ 1000 时,不等式即 d ≥ ? ∴ d 的取值范围为 d ≥ ?

2 2 且 d ≥? 2k ? 1 2k ? 5

2 2k ? 1 k (k ? 1)d a1 +a2 ? ? ak ? k ? ? 1000 2 2000 ? 2k 2 ≥? ∴ k ≥ 1000 时, d ? k (k ? 1) 2k ? 1

解得 1000 ? 999000 ≤ k ≤1000 ? 999000 ∴ k ≤1999 ∴ k 的最大值为 1999 ,此时公差 d ? 30. (2014 四川理 19) 设等差数列 {an } 的公差为 d ,点 (an,bn ) 在函数 f ( x) ? 2 的图象上( n ? N* ) .
x

2000 ? 2k 1998 1 ?? ?? k (k ? 1) 1999 ? 1998 1999

⑴若 a1 ? ?2 ,点 (a8 , 4b7 ) 在函数 f ( x ) 的图象上,求数列 {an } 的前 n 项和 Sn ; ⑵若 a1 ? 1 ,函数 f ( x ) 的图象在点 (a2,b2 ) 处的切线在 x 轴上的截距为 2 ?

1 ,求数列 ln 2

? an ? ? ? 的前 n 项和 Tn . ? bn ?
【解析】 ⑴ 点 (an,bn ) 在函数 f ( x) ? 2 x 的图象上,所以 bn ? 2an ,又等差数列 {an } 的公差为 d

所以

bn ?1 2an?1 ? an ? 2an?1 ? an ? 2d bn 2
b8 ?4 ?d ?2 b7

因为点 (a8, 4b7 ) 在函数 f ( x) 的图象上,所以 4b7 ? 2a8 ? b8 ,所以 2d ? 又 a1 ? ?2 ,所以 Sn ? na1 ?
n(n ? 1) d ? ?2n ? n2 ? n ? n2 ? 3n . 2

⑵ 由 f ( x) ? 2x ? f ?( x) ? 2x ln 2 函数 f ( x) 的图象在点 (a2 , b2 ) 处的切线方程为 y ? b2 ? (2a2 ln 2)( x ? a2 ) 所以切线在 x 轴上的截距为 a2 ? 从而 an ? n , bn ? 2n ,
Tn ?
an n ? bn 2 n

1 1 1 ,从而 a2 ? ,故 a2 ? 2 ? 2? ln 2 ln 2 ln 2

1 2 3 n 1 1 2 3 n ? 2 ? 3 ? …? n Tn ? 2 ? 3 ? 4 … ? ? n? 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 n 1 n n?2 所以 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? … ? n ? n?1 ? 1 ? n ? n?1 ? 1 ? n?1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n?2 故 Tn ? 2 ? n . 2 31. (2014 四川文 19) 设等差数列 {an } 的公差为 d ,点 (an , . bn ) 在函数 f ( x) ? 2 x 的图象上( n ? N? )

⑴证明:数列 {bn } 为等比数列; ⑵若 a1 ? 1 ,函数 f ( x) 的图象在点 (a2 , b2 ) 处的切线在 x 轴上的截距为 2 ? 的前 n 项和 Sn . 【解析】 ⑴ 证明:由已知可知, bn ? 2an ? 0 , b 当 n ≥ 1 时, n ?1 ? 2an?1 ? an ? 2d , bn 所以数列 ?bn ? 是首项为 2a1 ,公比为 2d 的等比数列. ⑵ 函数 f ? x ? ? 2 x 在 ? a2 , b2 ? 处的切线方程为 y ? 2a2 ? ? 2a2 ln 2? ? x ? a2 ? ,
1 . ln 2 1 1 由题意知, a2 ? ,解得 a2 ? 2 . ? 2? ln 2 ln 2

1 2 ,求数列 {anbn } ln 2

它在 x 轴上的截距为 a2 ?

2 所以 d ? a2 ? a1 ? 1, an ? n , bn ? 2n , anbn ? n ? 4n .

于是, Tn ? 1× 4 ? 2× 42 ? 3× 43 ?

? ? n ? 1?× 4n?1 ? n× 4n ,

4Tn ? 1× 42 ? 2× 43 ?
因此 Tn ? 4Tn ? 4 ? 42 ? 所以 Tn ?

? ? n ? 1?× 4n ? n× 4n?1 ,
? 4n ? n × 4n ?1 ?

?1 ? 3n ? 4 4n ?1 ? 4 ? n × 4n ?1 ? 3 3

n ?1

?4



? 3n ? 1? 4n ?1 ? 4
9



32. (2014 天津理 11) 设 ?an ? 是首项为 a1, 公差为 ?1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和. 若 S1 , 则 a1 S2 , S4 成等比数列, 的值为__________.

【解析】 ?

1 2

由于该数列为等差数列, 因此 S1 ? a1 , S2 ? 2a1 ? d , S4 ? 4a1 ? 6d , 由于 S1、S2、S4 等比且 d ? ?1 , 1 知 (2a1 ? 1)2 ? a1 (4a1 ? 6) ,解得 a1 ? ? 2 33. (2014 天津理 19 文 20) 已 知 q 和 n 均 为 给 定 的 大 于 1 的 自 然 数 . 设 集 合 M ? ?0 ? 1 ? 2 ? ? ? q ? 1? , 集 合

A ? ?x | x1 ? x2q ? ?? xn qn?1 ? xi ? M ? i ? 1 ? 2 ? ? ? n? .
⑴当 q ? 2 , n ? 3 时,用列举法表示集合 A . ⑵ 设 s , t ? A , s ? a1 ? a2 q ? ? ? an q n?1 , t ? b1 ? b2 q ? ? ? bn qn?1 , 其 中 ai , bi ? M , i ? 1 ? 2 ? ? ? n .证明:若 a ? b ,则 s ? t .
n n

1? , 【解析】⑴ 当 q ? 2 , n ? 3 时, M ? ?0 ,
A ? ?x | x ? x1 ? x2 ? 2 ? x3 ? 22 , xi ? M , i ? 1, 2, 3? .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7? . 可得, A ? ?0 ,
⑵ 由 s ,t ? A ,s ? a1 ? a2 q ? ??? ? an q
n ?1

,t ? b1 ? b2 q ? ??? ? bn q

n ?1

,ai ,bi ? M ,i ? 1 , 2, …,

n 及 an ? bn ,可得
s ? t ? (a1 ? b1 ) ? (a2 ? b2 )q ? ??? ? (an?1 ? bn?1 )qn?2 ? (an ? bn )qn?1
≤ (q ? 1) ? (q ? 1)q ? ??? ? (q ? 1)qn?2 ? qn?1
? (q ? 1)(1 ? q n ?1 ) ? q n ?1 ? ?1 ? 0 . 1? q

所以, s ? t . 34. (2014 天津文 5) 设 ?an ?是首项为 a1 ,公差为 ? 1 的等差数列, Sn 为其前 n 项和,若 S1,S2,S4, 成等比数列, 则 a1 =( A.2 ) B. ?2 C.

1 2

D .?

1 2

【解析】 D 2 由题意知 S1 ? a1 ,S2 ? 2a1 ? 1,S4 ? 4a1 ? 6 ,因为 S1 ,S2 ,S4 成等比数列,所以 S2 ? S1 ? S4 , 1 2 即 ? 2a1 ? 1? ? a1 ? 4a1 ? 6? ,解得 a1 ? ? ,故选 D. 2 35. (2014 新课标 1 理 17) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 =1, an ? 0 , an an?1 ? ? Sn ?1,其中 ? 为常数. ⑴证明: an? 2 ? an ? ? ; ⑵是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由.
?an an ?1 ? ? Sn ? 1 【解析】 ⑴ 由题意得 ? ?an ?1an ? 2 ? ? Sn ?1 ? 1 所以 an?1an? 2 ? an an?1 ? ? an?1 又因为 an ? 0 ,所以 an ?1 ? 0 所以 an? 2 ? an ? ? ; ⑵ 假设存在 ? ,使得 ?an ? 为等差数列.

?a1a2 ? ? a1 ? 1 由⑴ 知? ?a3 ? a1 ? ? ?a2 ? ? ? 1 因为 a1 ? 1 ,所以 ? ?a3 ? ? ? 1

因为 a1 ? a3 ? 2a2 ,所以 ? ? 2 ? 2 ? ? ? 1? 所以 ? ? 4 故 an? 2 ? an ? 4 , 所以 ?a2n?1? 是首项为 1,公差为 4 的等差数列, a2n ?1 ? 4n ? 3 ;

?a2n ? 是首项为 3,公差为 4 的等差数列, a2n ? 4n ? 1 .
所以 an ? 2n ? 1 , an?1 ? an ? 2 . 因此存在 ? ? 4 ,使得 ?an ? 为等差数列. 36. (2014 新课标 1 文 17) 已知 ?an ? 是递增的等差数列, a2 ,a4 是方程 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 的根. ⑴求 ?an ? 的通项公式;
?a ? ⑵求数列 ? n 的前 n 项和. n ? ?2 ?

【解析】 ⑴ 方程 x 2 ? 5x ? 6 ? 0 的两根为 2 , 3 ,由题意得 a2 ? 2 , a4 ? 3 . 1 3 设数列 ?an ? 的公差为 d ,则 a4 ? a2 ? 2d ,故 d ? ,从而 a1 ? . 2 2 1 所以 ?an ? 的通项公式为 an ? n ? 1 . 2 a n?2 ?a ? ⑵ 设? n 的前 n 项和为 Sn ,由⑴知 n ? n?1 ,则 n ? n 2 2 2 ? ?
3 4 n ?1 n ? 2 ? 3 ? ? n ? n?1 , 2 2 2 2 2 1 3 4 n ?1 n ? 2 Sn ? 3 ? 4 ? ? n?1 ? n? 2 2 2 2 2 2 1 3 ?1 1 ? n?2 3 1? 1 ? n?2 两式相减得 Sn ? ? ? 3 ? ? n ?1 ? ? n ? 2 ? ? ?1 ? n ?1 ? ? n ? 2 . 2 4 ?2 2 ? 2 4 4? 2 ? 2 Sn ? n?4 . 2n ?1 37. (2014 新课标 2 理 17) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 1 .

所以 Sn ? 2 ?

1? ? ⑴证明 ? an ? ? 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式; 2? ?

⑵证明:

1 1 1 3 ? ? …+ ? . a1 a2 an 2 an ?1 ?

【解析】 ⑴ 由 an?1 ? 3an ? 1 得

1 1? ? ? 3 ? an ? ? . 2 2? ? 1? 1 3 3 ? 又 a1 ? ? ,所以 ? an ? ? 是首项为 ,公比为 3 的等比数列. 2? 2 2 2 ?

1 3n 3n ? 1 . ? ,因此 {an } 的通项公式为 an ? 2 2 2 3n ? 1 ⑵ 由⑴ 知 an ? , 2 an ?

1 1 . ≤ 3 ? 1 2 ? 3n?1 1 1 1 1 1 3? 1? 3 于是 ? ? ? ? ≤ 1 + ? ? ? n ?1 ? ?1 ? n ? ? . a1 a2 an 3 3 2? 3 ? 2

因为当 n ≥ 1 时, 3n ? 1≥ 2 ? 3n ?1 ,所以

n

所以

1 1 1 3 ? ??? ? . a1 a2 an 2

38. (2014 新课标 2 文 5) 等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,若 a2 ? a4 ? a8 成等比数列,则 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? ( A. n ? n ? 1? B. n ? n ? 1? C.
n ? n ? 1? 2



D.

n ? n ? 1? 2

【解析】 A ∵a 2 , a 4 , a8 成等比数列,
2 ∴a4 ? a2 ? a8 ,即 ? a1 ? 3d ? ? ? a1 ? d ?? a1 ? 7d ? ,

2

将 d ? 2 代入上式,解得 a1 ? 2 ,
2 39. (2014 新课标 2 文 16)

∴Sn ? 2n ?

n ? n ? 1? ? 2

? n ? n ? 1? ,故选 A.

数列 {an } 满足 an ?1 ? 【解析】
1 2

1 ,a8 ? 2 ,则 a1 ? _________. 1 ? an

由 an ?1 ?

1 1 ,得 an ? 1 ? , 1 ? an an ?1 1 1 1 1 ? , a6 ? 1 ? ? ?1 , a5 ? 1 ? ? 2 , a a 2 2 7 6

∵a8 ? 2 ,∴a7 ? 1 ?



∴?an ? 是以 3 为周期的数列,∴a1 ? a7 ? 40. (2014 浙江理 19) 已知数列 ?an ? 和 ?bn ? 满足 a1a2 ⑴求 a n 与 bn ; ⑵设 cn ?
an ?

1 . 2
bn *

若 ?a ? 为等比数列, 且a ? 2 ? ?n ? N ? .
n

1

? 2 ,b3 ? 6 ? b2 .

1 1 ? ? n ? N * ? .记数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Sn . an bn

①求 Sn ; ②求正整数 k ,使得对任意 n ? N* ,均有 Sk ≥ Sn . 【解析】 ⑴ 由题意 a1a2 a3?an ?
n? n ?1? 2

? 2?

bn

,b3 ? b2 ? 6 , 知 a3 ?

? 2?

b3 ? b2

? 8.

又由 a1 ? 2 , 得公式 q ? 2( q ? ?2 舍去) , 所以数列 ?an ? 的通项为 an ? 2n ? n ? N *? . 所以,
a1a2 a3?an ? 2 ?

? 2?

n? n ?1?



故数列 ?bn ? 的通项为 bn ? n ? n ? 1? ? n ? N? ? . ⑵ (ⅰ )由⑴ 知 cn ?
1 1 1 ?1 1 ? 1 1 ? ? ? n ?? ? ? n n ? N? . ? ? n ? N ? , 所以 Sn ? an bn 2 ? n n ? 1 ? n ?1 2

?

?

(ⅱ )因为 c1 ? 0 ,c2 ? 0 ,c3 ? 0 ,c4 ? 0 ;

当 n ≥ 5 时, cn ? 而 得
n ? n ? 1? 2
n

? n ? n ? 1? ? 1 ? 1? . ? n ? n ? 1? ? 2n ?
2n ?1 ? 2n ?1 ?0,

?

? n ? 1?? n ? 2 ? ? n ? 1?? n ? 2 ?
5 ? ? 5 ? 1? 25 ? 1,

n ? n ? 1? 2
n



所以,当 n ≥ 5 时, cn ? 0 . 综上,对任意 n ? N? ,恒有 S4 ≥ Sn ,故 k ? 4 . 41. (2014 浙江文 19) 已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,设 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , S2 ? S3 ? 36 , ⑴求 d 及 Sn ; ⑵求 m ,k ? m ,k ? N? ? 的值,使得 am ? am?1 ? am? 2 ? 【解析】 ⑴ 由题意知 ? 2a1 ? d ??3a1 ? 3d ? ? 36 , 将 a1 ? 1 代入上式解得 d ? 2 或 d ? ?5 . 因为 d ? 0 ,所以 d ? 2 .从而 an ? 2n ? 1 , Sn ? n2 ? n ? N* ? . ⑵ 由⑴ 得 am ? am?1 ? am? 2 ?
? am? k ? ? 2m ? k ? 1?? k ? 1? ,

? am? k ? 65 .

所以 ? 2m ? k ? 1?? k ? 1? ? 65 .
?2m ? k ? 1 ? 13, 由 m , k ? N* 知 2m ? k ? 1≥ k ? 1 ? 1 ,故 ? ?k ? 1 ? 5,
? m ? 5, 所以 ? ? k ? 4. 42. (2014 重庆理 2) 对任意等比数列 ?an ?, 下列说法一定正确的是(



A. a1 , a3 , a9 成等比数列 C. a2 , a4 , a8 成等比数列

B. a2 , a3 , a6 成等比数列 D. a3 , a6 , a9 成等比数列

【解析】 D 43. (2014 重庆文 2) 在等差数列 {an } 中, a1 ? 2, a3 ? a5 ? 10 ,则 a7 ? () A. 5 B. 8 C. 10 D. 14 【解析】 B 44. (2014 重庆文 16) 已知 ?an ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列, Sn 表示 ?an ? 的前 n 项和. ⑴求 a n 及 Sn ; ⑵设 ?bn ? 是首项为 2 的等比数列,公比 q 满足 q2 ? ? a4 ? 1? q ? S4 ? 0 ,求 ?bn ? 的通项公式及其 前 n 项和 Tn . 【解析】 ⑴ 因为 ?an ? 是首项 a1 ? 1 公差 d ? 2 的等差数列, , 所以 an ? a1 ? ? n ? 1? d ? 2n ? 1 . 故 Sn ? 1 ? 3 ? ? ? ? 2n ? 1? ?
n ? a1 ? an ? 2 ? n ?1 ? 2n ? 1? 2 ? n2 .

⑵ 由⑴ 得 a4 ? 7 ? S4 ? 16 .因为 q2 ? ? a4 ? 1? q ? S4 ? 0, 即 q2 ? 8q ? 16 ? 0, 所以

? q ? 4?

2

从而 q ? 4 . ? 0,

又因 b1 ? 2 , ?bn ? 是公比 q ? 4 的等比数列,所以 bn ? b1qn?1 ? 2 ? 4n?1 ? 22n?1 . 从而 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ?
b1 ?1 ? q n ? 1? q ? 2 n ? 4 ? 1? . 3


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2014年全国高考理科数学真题分类汇编4:数列

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