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[解析]重庆市南开中学2015-2016学年高一上学期期中数学试卷


南开中学高一上数学半期考试 数学试卷 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个选项符合要求) 1.下列说法正确的是( A.﹣1∈N B. ) ∈Q C.π?R D.??Z )

2.已知全集 U=R,集合 A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},如图中阴影部分所表示的集合为(

A.{1}



B.{0,1}

C.{1,2}

D.{0,1,2} )

3.给定映射 f:(x,y)→(x+2y,2x﹣y),在映射 f 下(3,1)的原象为( A.(1,3) B.(3,1) C.(1,1) D. 4.设 a,b∈R,则“a+b>2”是“a>1 且 b>1”的( A.充分非必要条件 5.已知函数 y= A.(﹣∞,1] B.必要非充分条件 ,其定义域为( B.(﹣∞,2] ) )

C.充分必要条件

D.既非充分又非必要条件

C.(﹣∞,﹣2)∪(﹣2,1] ) C.f(x)=3x﹣2 )

D.[1,2)∪(2,+∞)

6.已知函数 f(x+1)=3x+1,则 f(x)的解析式为( A.f(x)=3﹣2x B.f(x)=2﹣3x

D.f(x)=3x

7.已知 y=f(x+1)是 R 上的偶函数,且 f(2)=1,则 f(0)=( A.﹣1 8.函数 y= A.(﹣∞,1) B.0 的单调递增区间是( B.(﹣2,1) ) C.(1,4) C.1

D.2

D.(1,+∞) 的解集为( )

9.已知奇函数 f(x)在(0,+∞)上的图象如图所示,则不等式

1

A.(﹣3,﹣1)∪(0,1)∪(1,3) C.(﹣∞,﹣3)∪(﹣1,0)∪(3,+∞)

B.(﹣3,﹣1)∪(0,1)∪(3,+∞) D.(﹣∞,﹣3)∪(﹣1,0)∪(0,1)

10.已知函数 f(x)=x2﹣2x,g(x)=ax+2(a>0),若对任意 x1∈R,都存在 x2∈[﹣2,+∞),使得 f(x1) >g(x2),则实数 a 的取值范围是( A. B.(0,+∞) ) C. D.

11.已知集合 A={x|x2﹣2x﹣3>0},B={x|ax2+bx+c≤0,a,b,c∈R,ac≠0},若 A∩B=(3,4],A∪ B= R, 则 的最小值是( )A.3 B. C .1 D.

12.设集合 A={x|1≤x≤6,x∈N},对于 A 的每个非空子集,定义其“交替和”如下:把集合中的数按从大到 小的顺序排列,然后从最大的数开始交替地加减各数(如:{1,2,5}的“交替和”是 5﹣2+1=4,{6,3}的“交 替和”就是 6﹣3=3,{3}的“交替和”就是 3).则集合 A 的所有这些“交替和”的总和为( A.128 B.192 C.224 D.256 )

二、填空题:(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)各题答案必须填写在答题卡上相应位置(只 填结果,不写过程) 13.设函数 f(x)= ,则 f(2018)= .

14.计算: 15.函数 f(x)=2x﹣ 16. f x) =| 若函数 (

= 的值域为

. . .

|﹣a 的图象与 x 轴恰有四个不同的交点, 则实数 a 的取值范围为

三、解答题:(本大题共 6 个小题,共 70 分)各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说明、 演算步骤或推理过程) 17.已知集合 A= ,集合 B={x||2x﹣1|<3}.

(1)分别求集合 A、B;(2)求(?RA)∩B.
2

18.已知函数 f(x)的定义域为(0,4),函数 g(x)= B={x|a<x<2a﹣1},若 A∩B=B,求实数 a 的取值范围.

的定义域为集合 A,集合

19.已知函数 f(x)=



(1)求函数 f(x)在区间[0,2]上的最值; (2)若关于 x 的方程(x+1)f(x)﹣ax=0 在区间(1,4)内有两个不等实根,求实数 a 的取值范围.

20.已知二次函数 f(x)的图象过点(0,4),对任意 x 满足 f(3﹣x)=f(x),且有最小值 . (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 h(x)=f(x)﹣(2t﹣3)x 在[0,1]上的最小值 g(t).

3

21.已知函数 f(x)对任意实数 x,y 恒有 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x>0 时,f(x)<0,且 f(1)= ﹣2. (Ⅰ)判断 f(x)的奇偶性; (Ⅱ)求 f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值; (Ⅲ)若 a≥0,解关于 x 的不等式 f(ax )﹣2f(x)<f(ax)+4.
2

22.对于函数 y=f(x)与常数 a,b,若 f(2x)=af(x)+b 恒成立,则称(a,b)为函数 f(x)的一个“P 数对”;设函数 f(x)的定义域为 R ,且 f(1)=3. (Ⅰ)若(a,b)是 f(x)的一个“P 数对”,且 f(2)=6,f(4)=9,求常数 a,b 的值; (Ⅱ)若(﹣2,0)是 f(x)的一个“P 数对”,且当 x∈[1,2)时 f(x)=k﹣|2x﹣3|,求 k 的值及 f(x) 在区间[1,2 )(n∈N )上的最大值与最小值.
n * +

4

参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个选项符合要求) 1.下列说法正确的是( A.﹣1∈N B. ∈Q ) C.π?R D.??Z

【考点】元素与集合关系的判断. 【专题】应用题;集合思想;分析法;集合. 【分析】根据常见集合和空集即可判断. 【解答】解:N 为自然数集,Q 为有理数集,R 为实数集,Z 为整数集, 所以:A,B,C 错误, 因为空集是任何非空集合的子集,故 D 正确, 故选:D. 【点评】本题考查了常见的基本集合和空集的问题,属于基础题. 2.已知全集 U=R,集合 A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},如图中阴影部分所表示的集合为( )

A.{1} B.{0,1}

C.{1,2}

D.{0,1,2}

【考点】Venn 图表达集合的关系及运算;交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】先观察 Venn 图,得出图中阴影部分表示的集合,再结合已知条件即可求解. 【解答】解:图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合 A 中,但不在集合 B 中. 又 A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2}, 则右图中阴影部分表示的集合是:{1}. 故选 A. Venn 图的应用等基础知识, 【点评】 本小题主要考查 Venn 图表达集合的关系及运算、 考查数形结合思想. 属 于基础题. 3.给定映射 f:(x,y)→(x+2y,2x﹣y),在映射 f 下(3,1)的原象为( A.(1,3) B.(3,1) C.(1,1) D. 【考点】映射.
5



【专题】计算题. 【分析】由已知中:(x,y)在映射 f 的作用下的象是(x+2y,2x﹣y),设(3,1)的原象(a,b),根 据已知中映射的对应法则,我们可以构造一个关于 a,b 的方程组,解方程组即可求出答案. 【解答】解:∵(x,y)在映射 f 的作用下的象是(x+2y,2x﹣y) 设(3,1)的原象(a,b) 则 a+2b=3,2a﹣b=1 故 a=1,b=1 故(3,1)的原象为(1,1) 故选 C. 【点评】本题考查的知识点是映射,其中根据已知中映射的对应法则,设出原象的坐标,并构造出相应的 方程(组)是解答本题的关键. 4.设 a,b∈R,则“a+b>2”是“a>1 且 b>1”的( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 )

C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】利用不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断. 【解答】解:若 a>1 且 b>1 时,a+b>2 成立. 若 a=0,b=3,满足 a+b>1,但 a>1 且 b>1 不成立, ∴“a+b>2”是“a>1 且 b>1”的必要不充分条件. 故选:B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,以及不等式的性质的判断,比较基础. 5.已知函数 y= A.(﹣∞,1] ,其定义域为( B.(﹣∞,2] )

C.(﹣∞,﹣2)∪(﹣2,1] D.[1,2)∪(2,+∞)

【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】根据二次个数的性质且分母不为 0,求出函数的定义域即可. 【解答】解:由题意得: ,
6

解得:x≤1 且 x≠﹣2, 故选:C. 【点评】本题考查了求函数的定义域问题,是一道基础题. 6.已知函数 f(x+1)=3x+1,则 f(x)的解析式为( )

A.f(x)=3﹣2x B.f(x)=2﹣3x C.f(x)=3x﹣2 D.f(x)=3x 【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】将 f(x+1)的解析式变成 f(x+1)=3(x+1)﹣2,这样便可得出 f(x)的解析式. 【解答】解:f(x+1)=3x+1=3(x+1)﹣2; ∴f(x)=3x﹣2. 故选 C. 【点评】考查函数解析式的概念,将 f[g(x)]中的 x 变成 g(x)从而求 f(x)解析式的方法,还可用换 元法求解析式. 7.已知 y=f(x+1)是 R 上的偶函数,且 f(2)=1,则 f(0)=( A.﹣1 B.0 C .1 D.2 )

【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】根据 f(x+1)为偶函数便有 f(x+1)=f(﹣x+1),从而 f(2)=f(1+1)=f(﹣1+1),从而便 可得出 f(0)的值. 【解答】解:f(x+1)为 R 上的偶函数; ∴f(2)=f(1+1)=f(﹣1+1)=f(0)=1; 即 f(0)=1. 故选:C. 【点评】考查偶函数的定义,要清楚函数 y=f(x+1)的自变量是什么. 8.函数 y= 的单调递增区间是( )

A.(﹣∞,1) B.(﹣2,1)

C.(1,4) D.(1,+∞)

【考点】函数的单调性及单调区间. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用.

7

【分析】可先求出该函数的定义域为[﹣2,4],容易看出该函数是由 函数,而 增区间.
2 【解答】解:解﹣x +2x+8≥0 得,﹣2≤x≤4; 2 令﹣x +2x+8=t,则 y=

2 和 t=﹣x +2x+8 复合而成的复合

2 为增函数,∴求 t=﹣x +2x+8 在[﹣2,4]上的单调递增区间,从而便可得出原函数的单调递

为增函数;

∴t=﹣x2+2x+8 在[﹣2,4]上的增区间便是原函数的单调递增区间; ∴原函数的单调递增区间为(﹣2,1). 故选:B. 【点评】考查一元二次不等式的解法,复合函数的定义,以及复合函数单调区间的求法,二次函数的单调 区间的求法. 9.已知奇函数 f(x)在(0,+∞)上的图象如图所示,则不等式 的解集为( )

A.(﹣3,﹣1)∪(0,1)∪(1,3) B.(﹣3,﹣1)∪(0,1)∪(3,+∞) C.(﹣∞,﹣3)∪(﹣1,0)∪(3,+∞) D.(﹣∞,﹣3)∪(﹣1,0)∪(0,1) 【考点】函数的图象. 【专题】应用题;数形结合;分析法;函数的性质及应用. 【分析】由 f(x)是奇函数得函数图象关于原点对称,可画出 y 轴左侧的图象,利用两因式异号相乘得负, 得出 f(x)的正负,由图象可求出 x 的范围得结果. 【解答】解:不等式 转化为(x﹣1)f(x)<0,



,或



∴1<x<3,0<x<1,或﹣3<x<﹣1, ∴等式 故选:A. 的解集为(﹣3,﹣1)∪(0,1)∪(1,3),

8

【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质以及函数图象的应用.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图 象关于 Y 轴对称. 10.已知函数 f(x)=x2﹣2x,g(x)=ax+2(a>0),若对任意 x1∈R,都存在 x2∈[﹣2,+∞),使得 f(x1) >g(x2),则实数 a 的取值范围是( A. B.(0,+∞) C. ) D.

【考点】全称命题. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】确定函数 f(x)、g(x)的值域,根据对任意的 x1∈R 都存在 x2∈[﹣2,+∞),使得 f(x1)>g (x2),可 f(x)值域是 g(x)值域的子集,从而得到实数 a 的取值范围. 【解答】解:∵函数 f(x)=x ﹣2x 的图象是开口向上的抛物线,且关于直线 x=1 对称 ∴f(x)的最小值为 f(1)=﹣1,无最大值, 可得 f(x1)值域为[﹣1,+∞), 又∵g(x)=ax+2(a>0),x2∈[﹣2,+∞), ∴g(x)=ax+2(a>0)为单调增函数,g(x2)值域为[g(﹣2),+∞), 即 g(x2)∈[2﹣2a,+∞), ∵对任意的 x1∈R 都存在 x2∈[﹣2,+∞),使得 f(x1)>g(x2), ∴只需 f(x)值域是 g(x)值域的子集即可, ∴2﹣2a<﹣1,解得:a> , 故选:A. 【点评】本题考查了函数的值域,考查学生分析解决问题的能力,解题的关键是对“任意”、“存在”的理解. 11.已知集合 A={x|x2﹣2x﹣3>0},B={x|ax2+bx+c≤0,a,b,c∈R,ac≠0},若 A∩B=(3,4],A∪B=R, 则 的最小值是( )
2

A.3

B.

C .1

D.

【考点】交集及其运算;并集及其运算. 【专题】计算题;转化思想;综合法;集合. 【分析】求出不等式的解,根据集合关系求出 a,b,c 的值,利用基本不等式进行求解即可.
2 【解答】解:A={x|x ﹣2x﹣3>0}={x|x>3 或 x<﹣1},

∵A∩B=(3,4],A∪B=R, ∴﹣1,4 是方程 ax2+bx+c=0 的两个根,且 a>0,
9

则﹣1+4=﹣ =﹣3,即 b=3a, ﹣1×4= ,即 c=﹣4a,



=9a+

≥2

= ,

当且仅当 9a= 故最小值为 , 故选:B

,即 a=

时,取等号,

【点评】本题主要考查集合的基本运算,根与系数的关系以及基本不等式的应用,根据条件求出 a,b,c 的关系是解决本题的关键. 12.设集合 A={x|1≤x≤6,x∈N},对于 A 的每个非空子集,定义其“交替和”如下:把集合中的数按从大到 小的顺序排列,然后从最大的数开始交替地加减各数(如:{1,2,5}的“交替和”是 5﹣2+1=4,{6,3}的“交 替和”就是 6﹣3=3,{3}的“交替和”就是 3).则集合 A 的所有这些“交替和”的总和为( A.128 B.192 C.224 D.256 【考点】元素与集合关系的判断. 【专题】探究型;整体思想;分析法;集合. 【分析】根据“交替和”的定义:求出 S2、S3、S4,并根据其结果猜测集合 N={1,2,3,…,n}的每一个非 空子集的“交替和”的总和 Sn 即可. 【解答】解:由题意,S2 表示集合 N={1,2}的所有非空子集的“交替和”的总和, 又{1,2}的非空子集有{1},{2},{2,1}, ∴S2=1+2+2﹣1=4; S3=1+2+3+(2﹣1)+(3﹣1)+(3﹣2)+(3﹣2+1)=12, S4=1+2+3+4+(2﹣1)+(3﹣1)+(4﹣1)+(3﹣2)+(4﹣2)+(4﹣3)+(3﹣2+1)+(4﹣2+1)+(4 ﹣3+1)+(4﹣3+2)+(4﹣3+2﹣1)=32, ∴根据前 4 项猜测集合 N={1,2,3,…,n}的每一个非空子集的“交替和”的总和 Sn=n?2n﹣1, 所以 S6=6×2 故选:B. 【点评】本题主要考查了数列的应用,同时考查了归纳推理的能力. 二、填空题:(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分)各题答案必须填写在答题卡上相应位置(只 填结果,不写过程)
10
6﹣1



=6×25=192,

13.设函数 f(x)= 【考点】函数的值.

,则 f(2018)=

2015 .

【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】由已知条件利用分段函数的性质求解. 【解答】解:∵f(x)= ∴f(2018)=f(2013)=2013+2=2015. 故答案为:2015. 【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. 14.计算: = 2 . ,

【考点】有理数指数幂的化简求值. 【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】利用分数指数幂、根式的转化公式、性质及运算法则求解. 【解答】解: 故答案为:2. 【点评】本题考查有理数指数幂的化简求值,是基础题,解题时要认真审题,注意分数指数幂、根式的转 化公式、性质及运算法则的合理运用. 15.函数 f(x)=2x﹣ 【考点】函数的值域. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】根据 1﹣x≥0 便可求出 x 和 范围,即得出函数 f(x)的值域. 【解答】解:1﹣x≥0; ∴x≤1, ∴ ∴f(x)≤2; ∴f(x)的值域为(﹣∞,2]. 故答案为:(﹣∞,2]. 【点评】考查函数值域的概念,一次函数的值域,以及根据不等式的性质求函数值域的方法.
11

=

=2.

的值域为 (﹣∞,2] .

的范围,从而得出 2x 和﹣

的范围,这样即得出 f(x)的

; ;

16.若函数 f(x)=| ∪(6,+∞) . 【考点】函数的图象.

|﹣a 的图象与 x 轴恰有四个不同的交点,则实数 a 的取值范围为 (0,1.5)

【专题】数形结合;转化思想;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】由题意可得函数 y=| 【解答】解:函数 f(x)=| 即函数 y=| |=|x+ +4|的图象和直线 y=a 有 4 个交点,数形结合可得 a 的范围. |﹣a 的图象与 x 轴恰有四个不同的交点,

|=|x+ +4|的图象和直线 y=a 有 4 个交点.

对于 y=|

|=|x+ +4|=



如图所示: 则实数 a∈(0,1.5)∪(6,+∞), 故答案为:(0,1.5)∪(6,+∞).

【点评】函数的零点与方程的根的关系,方程根的存在性以及个数判断,体现了数形结合、转化的数学思 想,属于中档题. 三、解答题:(本大题共 6 个小题,共 70 分)各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说明、 演算步骤或推理过程) 17.已知集合 A= (1)分别求集合 A、B;
12

,集合 B={x||2x﹣1|<3}.

(2)求(?RA)∩B. 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题;转化思想;集合思想;分析法;集合. 【分析】(1)求解分式不等式得到集合 A;求解绝对值的不等式可得集合 B; (2)先求出?RA,然后利用交集运算得答案. 【解答】解:(1)由 ∴A= ,得 x<0 或 x>3,

={x|x<0 或 x>3},

由|2x﹣1|<3,得﹣3<2x﹣1<3,解得,﹣1<x<2, ∴B={x||2x﹣1|<3}={x|﹣1<x<2}; (2)由 A={x|x<0 或 x>3},得?RA={x|0≤x≤3}. 又 B={x|﹣1<x<2}, ∴(?RA)∩B={x|0≤x≤3}∩{x|﹣1<x<2}={x|0≤x<2}. 【点评】本题考查交、并、补集的混合运算,考查了分式不等式的解法和绝对值不等式的解法,是基础题. 18.已知函数 f(x)的定义域为(0,4),函数 g(x)= <2a﹣1},若 A∩B=B,求实数 a 的取值范围. 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】集合思想;综合法;集合. 【分析】根据 f(x)的定义域便可得出函数 g(x)的自变量 x 满足 ,从而得出集合 A={x|1 的定义域为集合 A,集合 B={x|a<x

<x<3},而由 A∩B=B 便知 B?A,这样可看出:讨论 B=?和 B≠?两种情况,求出每种情况的 a 的范围, 再求并集便可得出实数 a 的取值范围. 【解答】解:要使 g(x)有意义,则: ∴1<x<3; ∴A={x|1<x<3}; ∵A∩B=B; ∴B?A; ①若 B=?,满足 B?A,则 a≥2a﹣1; ∴a≤1;
13



②若 B≠?,则:



∴1<a≤2; ∴a≤2; ∴实数 a 的取值范围为(﹣∞,2]. 【点评】考查描述法表示集合,函数定义域的概念及其求法,空集的概念,交集、子集的概念,不要漏了 B=?的情况. 19.已知函数 f(x)= .

(1)求函数 f(x)在区间[0,2]上的最值; (2)若关于 x 的方程(x+1)f(x)﹣ax=0 在区间(1,4)内有两个不等实根,求实数 a 的取值范围. 【考点】函数的最值及其几何意义;函数零点的判定定理. 【专题】计算题;作图题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】(1)利用换元法令 t=x+1,t∈[1,3],从而化为 y=t+ ﹣2,从而求闭区间上的最值; (2)当 x∈(1,4)时,可化方程为 a= 象求解即可. 【解答】解:(1)令 t=x+1,t∈[1,3], 则 x=t﹣1, 故 y=f(x)= = =t+ ﹣2, =x+ ,从而作函数 y=x+ 在(1,4)上的图象,结合图

由对勾函数的性质可知, 函数 y=g(t)=t+ ﹣2 在[1,2]上单调递减,在[2,3]上单调递增;

且 g(1)=1+4﹣2=3,g(2)=2+2﹣2=2,g(3)=3+ ﹣2= , 故函数 f(x)在区间[0,2]上的最小值为 2,最大值为 3; (2)当 x∈(1,4)时, ∵(x+1)f(x)﹣ax=0, ∴(x2+3)﹣ax=0, 故 a= =x+ ,

作函数 y=x+ 在(1,4)上的图象如下,
14



其中 ymin=

+

=2

,y|x=1=1+3=4,y|x=4=4+ >4, <a<4 时,

故结合图象可知,当 2

关于 x 的方程(x+1)f(x)﹣ax=0 在区间(1,4)内有两个不等实根. 故实数 a 的取值范围为 2 <a<4.

【点评】本题考查了函数的最值的求法及数形结合的思想应用. 20.已知二次函数 f(x)的图象过点(0,4),对任意 x 满足 f(3﹣x)=f(x),且有最小值 . (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 h(x)=f(x)﹣(2t﹣3)x 在[0,1]上的最小值 g(t). 【考点】二次函数的性质. 【专题】分类讨论;转化思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】(Ⅰ)由已知可得:函数图象的顶点坐标为( , ),设出顶点式方程,将点(0,4)代入可得, 函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)分类讨论,函数 h(x)在[0,1]上的单调性,进而得到各种情况下函数 h(x)在[0,1]上的最小值, 综合讨论结果,可得答案. 【解答】解:(Ⅰ)∵函数 f(x)对任意 x 满足 f(3﹣x)=f(x),且有最小值 . ∴函数图象的顶点坐标为( , ),
2 设 f(x)=a(x﹣ ) + ,

∵函数 f(x)的图象过点(0,4), ∴a(﹣ )2+ =4, ∴a=1,
15

∴f(x)=(x﹣ )2+ =x2﹣3x+4, (Ⅱ)函数 h(x)=f(x)﹣(2t﹣3)x=x ﹣2tx+4 的图象是开口朝上,且以直线 x=t 为对称轴的抛物线, 当 t<0 时,函数 h(x)在[0,1]上为增函数,当 x=0 时,函数 h(x)的最小值 g(t)=4; 当 0≤t≤1 时,函数 h(x)在[0,t]上为减函数,在[t,1]上为增函数,当 x=t 时,函数 h(x)的最小值 g(t) =﹣t2+4; 当 t>1 时,函数 h(x)在[0,1]上为减函数,当 x=1 时,函数 h(x)的最小值 g(t)=5﹣3t;
2

综上所述,值 g(t)=

【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解答的关键. 21.已知函数 f(x)对任意实数 x,y 恒有 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x>0 时,f(x)<0,且 f(1)= ﹣2. (Ⅰ)判断 f(x)的奇偶性; (Ⅱ)求 f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值; (Ⅲ)若 a≥0,解关于 x 的不等式 f(ax )﹣2f(x)<f(ax)+4. 【考点】抽象函数及其应用. 【专题】计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】(Ⅰ)函数 f(x)的定义域为 R,再令 x=y=0,令 y=﹣x,从而解得; (Ⅱ)利用定义法证明函数的单调性,从而求最大值;
2 2 (Ⅲ)由不等式化简可得 f(ax ﹣2x)<f(ax﹣2),从而可得 ax ﹣2x>ax﹣2,从而分类讨论求解集. 2

【解答】解:(Ⅰ)由题意知,函数 f(x)的定义域为 R, 令 x=y=0 得,f(0+0)=f(0)+f(0), 解得,f(0)=0, 令 y=﹣x 得,f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x), 即 f(x)+f(﹣x)=0, 即 f(﹣x)=﹣f(x), 故 f(x)是 R 上的奇函数; (Ⅱ)任取 x1<x2,则 f(x2)﹣f(x1)=f(x2)+f(﹣x1) =f(x2﹣x1), ∵x2﹣x1>0,
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∴f(x2﹣x1)<0, 故 f(x2)﹣f(x1)<0, 故 f(x)在 R 是单调减函数, ∵f(1)=﹣2, ∴f(2)=f(1)+f(1)=﹣4,f(﹣2)=﹣f(2)=4, 故 f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值为 4;
2 (Ⅲ)∵f(ax )﹣2f(x)<f(ax)+4,

∴f(ax2)﹣f(2x)<f(ax)+f(﹣2), ∴f(ax2﹣2x)<f(ax﹣2), ∴ax2﹣2x>ax﹣2,
2 即 ax ﹣(2+a)x+2>0,

即(ax﹣2)(x﹣1)>0, 当 a=0 时,不等式(ax﹣2)(x﹣1)>0 的解集为(﹣∞,1), 当 0<a≤2 时,不等式(ax﹣2)(x﹣1)>0 的解集为(﹣∞,1)∪( ,+∞), 当 a>2 时,不等式(ax﹣2)(x﹣1)>0 的解集为(﹣∞, )∪(1,+∞). 【点评】本题考查了函数的性质的判断与不等式的解法与应用. 22.对于函数 y=f(x)与常数 a,b,若 f(2x)=af(x)+b 恒成立,则称(a,b)为函数 f(x)的一个“P 数对”;设函数 f(x)的定义域为 R ,且 f(1)=3. (Ⅰ)若(a,b)是 f(x)的一个“P 数对”,且 f(2)=6,f(4)=9,求常数 a,b 的值; (Ⅱ)若(﹣2,0)是 f(x)的一个“P 数对”,且当 x∈[1,2)时 f(x)=k﹣|2x﹣3|,求 k 的值及 f(x) 在区间[1,2 )(n∈N )上的最大值与最小值. 【考点】抽象函数及其应用. 【专题】新定义;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】(Ⅰ)利用 f(2)=6,f(4)=9,建立方程组,即可求常数 a,b 的值; (Ⅱ)令 x=1,则 f(1)=k﹣1=3,解得 k=4,当 x∈[1,2)时 f(x)=4﹣|2x﹣3|,得出 f(x)在[1,2)
n k 1 k 上的取值范围是[3,4].利用由已知,f(2x)=﹣2f(x)恒成立,将[1,2 )分解成[2 ﹣ ,2 ),(k∈N*) k 1 k 的并集,求出 f(x)在各段[2 ﹣ ,2 )上的取值范围,各段上最大值、最小值即为所求的最大值,最小值. n * +

【解答】解:(Ⅰ)若(a,b)是 f(x)的一个“P 数对”,且 f(2)=6,f(4)=9, 则 f(2)=af(1)+b,即 6=3a+b ①, f(4)=af(2)+b,即 9=6a+b,②,
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解得 a=1,b=3; (Ⅱ)当 x∈[1,2)时,f(x)=k﹣|2x﹣3|, 令 x=1,可得 f(1)=k﹣1=3,解得 k=4,…10 分 所以,x∈[1,2)时,f(x)=4﹣|2x﹣3|, 故 f(x)在[1,2)上的取值范围是[3,4]. 又(﹣2,0)是 f(x)的一个“P 数对”,故 f(2x)=﹣2f(x)恒成立, 当 x∈[2 =…= 故 k 为奇数时,f(x)在[2 当 k 为偶数时,f(x)在[2
k﹣1 k﹣1 k﹣1

,2 )(k∈N*)时, ,…9 分

k



k k 1 k+1 ,2 )上的取值范围是[3×2 ﹣ ,2 ]; k k+1 k 1 ,2 )上的取值范围是[﹣2 ,﹣3×2 ﹣ ]. …11 分 n

所以当 n=1 时,f(x)在[1,2 )上的最大值为 4,最小值为 3; 当 n 为不小于 3 的奇数时,f(x)在[1,2 )上的最大值为 2
n n+1 n ,最小值为﹣2 ;

n n n+1 当 n 为不小于 2 的偶数时,f(x)在[1,2 )上的最大值为 2 ,最小值为﹣2 .…13 分.

【点评】本题考查利用新定义分析问题、解决问题的能力.考查转化计算,分类讨论、构造能力及推理论 证能力,思维量大,属于难题.

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