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3.2立体几何中的向量方法(3)


3.2立体几何中的向量方法(三)
-----利用向量解决空间的角问题
z
D1 A1 F1 E1 B1 C1

D

O
B

C

y

A

x

空间向量的引入为代数方法处理立体几 何问题提供了

一种重要的工具和方法,解题 时,可用定量的计算代替定性的分析,从而 避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距 离是立体几何的一类重要的问题,也是高考 的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向 量的办法解决空间角问题。

题型一:线线角

? ?? 异面直线所成角的范围: ? ? ? 0, ? ? 2? C D 思考:

?

A

?
B

D1

??? ? ??? ? ? CD, AB ? 与? 的关系?

结论:cos ?

?

? CD, AB ?? ? ???? ??? ? ? DC , AB ? 与? 的关系? ? DC, AB ?? ? ? ? ??? ? ??? ? | cos ? CD, AB ?|

求解方法
1.两条异面直线所成的角 (1)定义:设a,b是两条异面直线,过空间任一点O作直线 a′∥a, b′∥b,则a′, b′所夹的锐角或直角叫a与b所成的角. (2)范围: (0, ] 2 ? ? (3)向量求法:设直线a、b的方向向量为 a , b,其夹角 ? ? 为 ? ,则有 |a?b| cos ? ?| cos ? |? ? ? |a |?|b| (4)注意:两异面直线所成的角可以通过这两条直线的 方向向量的夹角求得,当两方向向量的夹角是钝角时, 应取其补角作为两异面直线所成的角.

?

类型1:求异面直线所成的角 0 例1: Rt ?ABC中,?BCA ? 90 , 现将?ABC沿着
平面ABC的法向量平移到?A1B1C1位置,已知

BC ? CA ? CC1, 取A1B1、A1C1的中点D1、F , 1 求BD1与AF1所成的角的余弦值.

z

C1

F1

D1

B1

A1

y
B

C

x

A

解:以点C为坐标原点建立空间直角坐标系,如 z 图所示,设CC1 ? 1则:
A(1, 0, 0), B(0,1, 0),
1 1 1 F1 ( , 0, a), D1 ( , ,1) 2 2 2 ???? 1 所以: AF1 ? (? , 0,1), 2
???? ? 1 1 BD1 ? ( , ? ,1) 2 2

C1

F1

D1

B1

A1

y
B

C

1 ???? ???? ? ? ?1 ???? ???? ? 30 AF1 ? BD1 4 cos ? AF1, BD1 ? ? ???? ???? ? ? ? 10 | AF1 || BD1 | 5 3 4 2

x

A

所以BD1与AF1所成角的余弦值为

30 10

练习1 : 如图所示,三棱柱OAB-O1 A1B1中, 平面OBB1O1 ? 平面OAB, ?O1OB ? 60?, ?AOB ? 90?, 且OB ? OO1 ? 2, OA ? 3, 求 异面直线A1 B与AO1 所成角的余弦值的大小

练习2:书P113B组第1题

1 7

z
A1

O1

B1

O A B

y

x

题型二:线面角

直线与平面所成角的范围: ? ? [0, ] 2 ? A 思考: n

?

?

B

?

O

? ??? ? ? n, BA ? 与? 的关系?

直线AB与平面α 所 ???? ?? 成的角θ 可看成是向 AB ?n ??? ? ? 量与平面α 的法向量 sin ? ? cos ? AB, n ? ? ??? ? ? 所成的锐角的余角, AB ? n 所以有

结论:sin ?

?|

? ??? ? cos ? n, AB ? |

2.直线与平面所成的角

(1)定义:直线与它在这个平面内的射影所成的角.
(2)范围: [0,

?

? (3)向量求法 ? ? ? :设直线l 的方向向量为 a ,平面的 法向量为 u ,直线与平面所成的角为 ? ,a 与 u 的夹角为 ? ,则有 ? ? |a?u| sin ? ?| cos ? |? ? ? |a |?| u|
2

]

类型2:求直线和平面所成的角

例2:如图, 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB= 2AA1 ,

点D是A1B1的中点,求直线AD和平面ABC1所成角 的正弦值.
z

10 sin ? ? 5

A1 D

C1

B1
A C

y

课堂作业:书P113第9,11题.

B

x

类型2:求直线和平面所成的角
例3: 在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1中, 点N 在线段A 1D上,

AA1 ? 4, M 为B1C1上的一点,且B1M ? 2, AB= 5,AD ? 8,
A1D ? AN. (1)求证:A1D ? AM . (1)证明:建立空间直角坐标系如图: A1 则 A(0,0,0), A (0,0,4),
1

z
N

D1

???? ? A AM ? (5, 2, 4), ???? ? B A1D ? (0,8, ?4), x ???? ? ???? ? ? AM ? A1D=5 ? 0 ? 2 ? 8 ? 4 ? (?4) ? 0
? A1D ? AM .

D(0,8,0), M (5, 2, 4)

B1

M

C1
D

y

C

例3: 在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1中, 点N 在线段A 1D上,

AA1 ? 4, M 为B1C1上的一点,且B1M ? 2, AB= 5,AD ? 8,
A1D ? AN. (2)求AD与平面ANM 所成的角的正弦值. z 解:(2)由(1)知 : A1D ? AM , 又A1D ? AN
? A1D ? 平面AMN
A1
M

N

D1

??NAD为所求的直线与平面所成的角. B1

C1
D

B ??? ? ???? ? x 2 5 cos ? AD, A 1D ?? 5 2 5 ? sin?NAD ? 5 2 5 AD与平面ANM 所成角的正弦值是 5

A(0,0,0), A1 (0,0, 4), D(0,8,0), ???? ???? ? AD ? (0,8,0), A1D ? (0,8, ?4),

A

y

C

练习: 正方体 ABCD ? A 的棱长为1. 1B 1C1D 1

分析:

求B1C1与面AB1C所成的角的余弦.
A1 B1
A B

z

以AB所在直线为x轴,AD所 在直线为y轴,所在直线为z轴. 易求平面AB1C的一个法向量

D1

C1
D

? ????? n ? (1, ?1, ?1), 及B1C1 ? (0,1,0)
6 3

y

故得B1C1与面AB1C所成得 角得余弦为

x

C

变式.如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱 PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD= 3 ,在线段BC上是否存在 一点E,使PA与平面PDE所成角的大小为450? 若存在,确定点E Z 的位置;若不存在说明理由。 解:建立空间直角坐标系,如图: 设BE=m,则

? AP ? (0,0,1), DP ? (? 3,0,1), DE ? (m ? 3,1,0)
? 设平面PDE的法向量为n ? ( x, y, z ), ? ??? ? ? ???? ? 则n ? DP, n ? DE ,
A B E C

A (0,0,0), P (0,0,1), D ( 3,0,0), E ( m ,1,0), ??? ? ??? ? ????

P

y

? ? ?? 3 x ? z ? 0, ? z ? 3 x, D ?? 解得 ? x x ? y ? 0, ? ? ?(m ? 3) ? y ? ( 3 ? m) x, ? 令x ? 1, 得n ? (1, 3 ? m, 3),

? PA与平面PDE所成角的大小为45 ?sin 45 ?
? ?

3 4 ? ( 3 ? m)2

,

解得m ? 3 ? 2或m ? 3 ? 2 (舍),

因此,当BE ? 3 ? 2时,PA与平面PDE所成角的大小为45? 。

题型三:二面角
(1)范围: [0, ? ] (2)二面角的向量求法: ①若AB、CD分别是二面角? ? l ? ? 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线,
??? ? ??? ? 则二面角的大小就是向量 AB 与 CD

?
C

B A D

?

l
?? ? n2

?? ? ?? ? ? ②设 n1 , n2是二面角 ?? ?

的夹角(如图(1))

?? ? (1) n1

的法向量,则向量 n1 与 n2 的夹角(或其 补角)就是二面角的平面角大小(如图(2))

? ? l?? ? ? ? , ? 的两个面 ?
l

?
(2)

类型3:求平面和平面所成的角
例4.如图所示,ABCD是一直角梯形,?ABC=900 , 1 SA ? 平面ABCD, SA ? AB ? BC ? 1, AD ? , 求面SCD 2 与面SBA所成 的锐二面角的余弦值.

S
B
A D

C

例4.如图所示,ABCD是一直角梯形,?ABC=900 , 1 SA ? 平面ABCD, SA ? AB ? BC ? 1, AD ? , 求面SCD 2 z 与面SBA所成的锐二面角的余弦值

解:建立空直角坐系A-xyz如所示, 1 A(0,0,0), C(-1,1,0),D(0, ,0), S (0, 0,1) 2 ? ???? 1 易知面SBA的法向量 n1 ? AD ? (0, , 0) A 2 x ??? ? ??? ?

S

B
D

C

y

1 1 CD ? (1, ? , 0), SD ? (0, , ?1) 2 ?? ? ??? ? ?? ? ??? ? ?? ? 2 设平面SCD的法向量n2 ? ( x, y, z), 由n2 ? CD, n2 ? SD, 得:
y ? ? x? x ? ? 0 ? ? ? ? 2 ? ? ? ?z ? ? y?z?0 ? ? ? ?2
y 2 y 2

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? n1 ? n2 6 ? ?? ? ? 取n2 ? (1, 2,1) ? cos ? n1 , n2 ?? ?? | n1 || n2 | 3

6 即所求二面角得余弦值是 3

例5:如图, 四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为矩形, SD ? 底面ABCD ,AD= 2, DC ? SD ? 2.点M 在侧 棱SC 上,?ABM=60?. (1)证明 : M 是侧棱SC 的中点; (2)求二面角S ? AM ? B的余弦值 z

6 ? 3
A

S M D

C

y

x

B

练习:如图,△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形,平 面 MCD⊥平面 BCD,AB⊥平面 BCD,AB=2 3. (1)求点 A 到平面 MBC 的距离; (2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值.

解 取 CD 中点 O,连 OB,OM,则 OB⊥CD,OM⊥CD. 又平面 MCD⊥平面 BCD,则 MO⊥平面 BCD. 取 O 为原点,直线 OC、BO、OM 为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空 间直角坐标系如图. OB=OM= 3,则各点坐标分别为 C(1,0,0),M(0,0, 3),B(0, - 3,0),A(0,- 3,2 3).

→ (1)设 n=(x,y,z)是平面 MBC 的法向量,则BC=(1, 3,0), → BM=(0, 3, 3), → → 由 n⊥BC得 x+ 3y=0;由 n⊥BM得 3y+ 3z=0. → 取 n=( 3,-1,1),BA=(0,0,2 3),则 → |BA· n| 2 3 2 15 d= = = . |n| 5 5

→ → (2)CM=(-1,0, 3),CA=(-1,- 3,2 3). ?? ? 设平面 ACM 的法向量为 n1 =(x,y,z),
?? ? ?? ? → ? ?-x+ 3z=0, → 由 n1 ⊥CM, n1 ⊥CA得? ? ?-x- 3y+2 3z=0, ?? ? 解得 x= 3z,y=z,取 n1 =( 3,1,1). ?? ? 又平面 BCD 的法向量为 n2 =(0,0,1). ?? ? ?? ? 1 n1· n2 n n 所以 cos〈 1 , 2 〉= = . |n1||n2| 5

2 5 设所求二面角为 θ,则 sin θ= . 5

练习2(书P113)、在如图的实验装置中,正方形框架的 边长都是1,且平面ABCD与平面ABEF互相垂直。活 动弹子M,N分别在正方形对角线AC和BF上移动, 且CM和BN的长度保持相等,记CM=BN=a(0 ? a ? 2).
(1)求MN的长; (2)a为何值时?MN的长最小? (3)当MN的长最小时, 求面MNA与面MNB所成 二面角的余弦值。 A D M

C

B
N

E

F

解:

2 2

Z

C D M B N E

y

A
x

F

Z

C
面MNA与面MNB所成二面角的

D

M

1 余弦值为 ? 3

A

B G N

E

y

x

F

小结:
1.异面直线所成角: ??? ? ??? ? cos ? |cos ? CD, AB ?|

C

D

?

?

A

?
B

D1

2.直线与平面所成角: ? ??? ? sin ? | cos ? n, AB ? | 3.二面角: ?? ?? ? , n ? | cos ? ? | cos ? n 1 2 ?? ?? ? cos ? ? ? | cos ? n1, n2 ?|
关键:观察二面角的范围 作业:习题3.2第6,8题

A
O

?

? n

?
?

B
?? ? n2
?

?

?? n1
?


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