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2015-2016学年高中数学 模块综合检测B 新人教A版必修1


模块综合检测(B)
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 2 1.集合 A={0,2,a},B={1,a },若 A∪B={0,1,2,4,16},则 a 的值为( A.0 B.1 C.2 D.4 1

)

2.设函数 f(x)= 127 128 1 C. 8

A. 127 B.- 128 1 D. 16

,则 f(

f?3?

)的值为(

)

3.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)=

f?2x? 的定义域是( x-1

)

A.[0,1] B.[0,1) C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1) 2 4.已知 f(x)=(m-1)x +3mx+3 为偶函数,则 f(x)在区间(-4,2)上为( ) A.增函数 B.减函数 C.先递增再递减 D.先递减再递增 2 0.3 5.三个数 a=0.3 ,b=log20.3,c=2 之间的大小关系是( ) A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a 6.若函数 f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内,那么下 列命题中正确的是( ) A.函数 f(x)在区间(0,1)内有零点 B.函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C.函数 f(x)在区间[2,16)内无零点 D.函数 f(x)在区间(1,16)内无零点 |x| 7.已知 0<a<1,则方程 a =|logax|的实根个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.与 a 值有关 8.函数 y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是( ) x+1 x-1 A.y=e -1(x>0) B.y=e +1(x>0) x+1 x-1 C.y=e -1(x∈R) D.y=e +1(x∈R) 2 9.函数 f(x)=x -2ax+1 有两个零点,且分别在(0,1)与(1,2)内,则实数 a 的取值范 围是( ) A.-1<a<1 B.a<-1 或 a>1 5 5 C.1<a< D.- <a<-1 4 4 10.若一系列函数的解析式和值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函 2 2 数”,例如函数 y=x ,x∈[1,2]与函数 y=x ,x∈[-2,-1]即为“同族函数”.请你找 出下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是( ) A.y=x B.y=|x-3| x C.y=2 D.y= log 1 x
2

11.下列 4 个函数中: ①y=2 008x-1;

1

2 009-x ②y=loga (a>0 且 a≠1); 2 009+x x2 009+x2 008 ③y= ; x+1 1 1 ④y=x( -x + )(a>0 且 a≠1). a -1 2 其中既不是奇函数,又不是偶函数的是( A.① B.②③ C.①③ D.①④

)

1 1 12.设函数的集合 P={f(x)=log2(x+a)+b|a=- ,0, ,1;b=-1,0,1},平面上 2 2 1 1 点的集合 Q={(x,y)|x=- ,0, ,1;y=-1,0,1},则在同一直角坐标系中,P 中函数 2 2 f(x)的图象恰好 经过 Q 中两个点的函数的个数是( ) .. A.4 C.8 B.6 D.10

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 1 -4 13.计算:0.25×(- ) +lg 8+3lg 5=________. 2

14.若规定 =|ad-bc|,则不等式 <0 的解集是____________. 15. 已知关于 x 的函数 y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数, 则 a 的取值范围是________. -x 16.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=1-2 ,则不等式 f(x)< 1 - 的解集是______________. 2 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)
m?2 x ? x 17.(10 分)已知函数 f(x)= log 1 ( x ? 1) 的定义域为集合 A,函数 g(x)= 3 -1
2
2

的值域为集合 B,且 A∪B=B,求实数 m 的取值范围.

18.(12 分)已知 f(x)= 并证明你的结论.

x+a 是定义在[-1,1]上的奇函数,试判断它的单调性, x +bx+1
2

2

19. (12 分)若非零函数 f(x)对任意实数 a, b 均有 f(a+b)=f(a)·f(b), 且当 x<0 时,

f(x)>1;
(1)求证:f(x)>0; (2)求证:f(x)为减函数; 1 1 2 2 (3)当 f(4)= 时,解不等式 f(x +x-3)·f(5-x )≤ . 16 4

20.(12 分)我市有甲,乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好,但收费方式不 同.甲家每张球台每小时 5 元;乙家按月计费,一个月中 30 小时以内(含 30 小时)每张球台 90 元,超过 30 小时的部分每张球台每小时 2 元.某公司准备下个月从这两家中的一家租一 张球台开展活动,其活动时间不少于 15 小时,也不超过 40 小时. (1)设在甲家租一张球台开展活动 x 小时的收费为 f(x)元(15≤x≤40),在乙家租一张 球台开展活动 x 小时的收费为 g(x)元(15≤x≤40),试求 f(x)和 g(x); (2)选择哪家比较合算?为什么?

3

21.(12 分)已知函数 y=f(x)的定义域为 D,且 f(x)同时满足以下条件: ①f(x)在 D 上是单调递增或单调递减函数; ②存在闭区间[a,b] D(其中 a<b),使得当 x∈[a,b]时,f(x)的取值集合也是[a, b].那么,我们称函数 y=f(x)(x∈D)是闭函数. 3 (1)判断 f(x)=-x 是不是闭函数?若是,找出条件②中的区间;若不是,说明理由. (2)若 f(x)=k+ x+2是闭函数,求实数 k 的取值范围. (注:本题求解中涉及的函数单调性不用证明,直接指出是增函数还是减函数即可)

22. (12 分)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x≥0 时, f(x)=a -1.其中 a>0 且 a≠1. (1)求 f(2)+f(-2)的值; (2)求 f(x)的解析式; (3)解关于 x 的不等式-1<f(x-1)<4,结果用集合或区间表示.

x

模块综合检测(B) 2 1.D [∵A∪B={0,1,2,a,a }, 又∵A∪B={0,1,2,4,16}, ? ?a=4, ∴? 2 即 a=4. ?a =16, ?

4

否则有?

?a=16 ? ?a =4 ?
2

矛盾.]
2

2.A [∵f(3)=3 +3×3-2=16, 1 1 ∴ = , f?3? 16 1 1 1 2 2 127 ∴f( )=f( )=1-2×( ) =1- = .] f?3? 16 16 256 128
? ?0≤2x≤2 3.B [由题意得:? ,∴0≤x<1.] ? ?x≠1 2 4.C [∵f(x)=(m-1)x +3mx+3 是偶函数, 2 ∴m=0,f(x)=-x +3,函数图象是开口向下的抛物线,顶点坐标为(0,3),f(x)在(- 4,2)上先增后减.] 0.3 0 0 2 5.C [2 >2 =1=0.3 >0.3 >0=log21>log20.3.] 6. C [函数 f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内, 故函数 f(x)在区间[2,16)内无零点. ] |x| 7.A [分别画出函数 y=a 与 y=|logax|的图象,通过数形结合法,可知交点个数为 2.]

8.D [∵函数 y=1+ln(x-1)(x>1), y-1 x-1 ∴ln(x-1)=y-1,x-1=e ,y=e +1(x∈R).] 2 9.C [∵f(x)=x -2ax+1, ∴f(x)的图象是开口向上的抛物线.

f?0?>0, ? ? 由题意得:?f?1?<0, ? ?f?2?>0.

1>0, ? ? 即?1-2a+1<0, ? ?4-4a+1>0,

5 解得 1<a< .] 4

10.B 11.C [其中①不过原点,则不可能为奇函数,而且也不可能为偶函数;③中定义域不 关于原点对称,则既不是奇函数,又不是偶函数.] 1 1 12.B [当 a=- ,f(x)=log2(x- )+b, 2 2 1 ∵x> , 2 ∴此时至多经过 Q 中的一个点; 1 当 a=0 时,f(x)=log2x 经过( ,-1),(1,0), 2 1 f(x)=log2x+1 经过( ,0),(1,1); 2 1 当 a=1 时,f(x)=log2(x+1)+1 经过(- ,0),(0,1), 2 f(x)=log2(x+1)-1 经过(0,-1),(1,0); 1 1 1 当 a= 时,f(x)=log2(x+ )经过(0,-1),( ,0) 2 2 2 1 1 f(x)=log2(x+ )+1 经过(0,0),( ,1).] 2 2 13.7 4 3 2 2 3 解析 原式=0.25×2 +lg 8+lg 5 =(0.5×2) ×2 +lg(8×5 )=4+lg 1 000=7. 14.(0,1)∪(1,2)
5

解析 ?

?1 1? ?=|x-1|, ?1 x?

由 log 2|x-1|<0,得 0<|x-1|<1, 即 0<x<2,且 x≠1. 15.(1,2) 解析 依题意,a>0 且 a≠1, ∴2-ax 在[0,1]上是减函数, 即当 x=1 时,2-ax 的值最小,又∵2-ax 为真数,
? ?a>1 ∴? ?2-a>0 ?

,解得 1<a<2.

16.(-∞,-1) 1 -x 解析 当 x>0 时,由 1-2 <- , 2 1 x 3 ( ) > ,显然不成立. 2 2 当 x<0 时,-x>0. x 因为该函数是奇函数,所以 f(x)=-f(-x)=2 -1. 1 x x -1 由 2 -1<- ,即 2 <2 ,得 x<-1. 2 1 又因为 f(0)=0<- 不成立, 2 所以不等式的解集是(-∞,-1). 1+m 17.解 由题意得 A={x|1<x≤2},B=(-1,-1+3 ]. 1+m 1 +m 由 A∪B=B,得 A? B,即-1+3 ≥2,即 3 ≥3, 所以 m≥0. x+a 18.解 ∵f(x)= 2 是定义在[-1,1]上的奇函数, x +bx+1 0+a ∴f(0)=0,即 2 =0, 0 +0+1 ∴a=0. -1 1 又∵f(-1)=-f(1),∴ =- , 2-b 2+b ∴b=0,∴f(x)=

x
2

x +1

.

∴函数 f(x)在[-1,1]上为增函数. 证明如下: 任取-1≤x1<x2≤1, ∴x1-x2<0,-1<x1x2<1, ∴1-x1x2>0. ∴f(x1)-f(x2)= - x +1 x2 2+1 2 2 x1x2+x1-x1x2-x2 = 2 2 ?x1+1??x2+1? x1x2?x2-x1?+?x1-x2? = 2 2 ?x1+1??x2+1? ?x1-x2??1-x1x2? = <0, 2 2 ?x1+1??x2+1? ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)为[-1,1]上的增函数.
2 1

x1

x2

6

19.(1)证明

2 2 2 又∵f(x)≠0,∴f(x)>0. (2)证明 设 x1<x2,则 x1-x2<0, 又∵f(x)为非零函数, f?x1-x2?·f?x2? f?x1-x2+x2? ∴f(x1-x2)= = f?x2? f?x2? f?x1? = >1,∴f(x1)>f(x2),∴f(x)为减函数. f?x2? 1 1 2 (3)解 由 f(4)=f (2)= ,f(x)>0,得 f(2)= . 16 4 2 2 原不等式转化为 f(x +x-3+5-x )≤f(2),结合(2)得: x+2≥2,∴x≥0, 故不等式的解集为{x|x≥0}. 20.解 (1)f(x)=5x,15≤x≤40; ?90, 15≤x≤30 ? g(x)=? . ?30+2x, 30<x≤40 ? (2)①当 15≤x≤30 时,5x=90,x=18, 即当 15≤x<18 时,f(x)<g(x); 当 x=18 时,f(x)=g(x); 当 18<x≤30 时,f(x)>g(x). ②当 30<x≤40 时,f(x)>g(x), ∴当 15≤x<18 时,选甲家比较合算; 当 x=18 时,两家一样合算; 当 18<x≤40 时,选乙家比较合算. 3 21.解 (1)f(x)=-x 在 R 上是减函数,满足①; 3 ? ?-a =b ? 设存在区间[a,b],f(x)的取值集合也是[a,b],则 3 ?-b =a ? 所以存在区间[-1,1]满足②, 3 所以 f(x)=-x (x∈R)是闭函数. (2)f(x)=k+ x+2是在[-2,+∞)上的增函数, 由题意知,f(x)=k+ x+2是闭函数,存在区间[a,b]满足② 即:?

x x x f(x)=f( + )=f2( )≥0,

,解得 a=-1,b=1,

?k+ a+2=a ?k+ b+2=b

.

即 a,b 是方程 k+ x+2=x 的两根,化简得, a,b 是方程 x2-(2k+1)x+k2-2=0 的两根. 且 a≥k,b>k.

f?k?≥0 ? ?Δ >0 令 f(x)=x -(2k+1)x+k -2,得? 2k+1 ? ? 2 >k
2 2



9 解得- <k≤-2, 4 9 所以实数 k 的取值范围为(- ,-2]. 4 22.解 (1)∵f(x)是奇函数,
7

∴f(-2)=-f(2),即 f(2)+f(-2)=0. (2)当 x<0 时,-x>0, -x ∴f(-x)=a -1. 由 f(x)是奇函数,有 f(-x)=-f(x), -x ∵f(-x)=a -1, -x ∴f(x)=-a +1(x<0).
? ?x≥0? ?a -1 ∴所求的解析式为 f(x)=? -x ? ?-a +1 ?x<0? ?x-1<0 ? (3)不等式等价于? -x+1 ? +1<4 ?-1<-a ?x-1≥0 ? 或? x-1 ? ?-1<a -1<4
x

.


?x-1≥0 ? 或? x-1 ?0<a <5 ?

即?

?x-1<0 ? ?-3<a ?
-x+1

<2
?x<1 ?

.
?x≥1 ? ?x<1+loga5 ?

当 a>1 时,有?

?x>1-loga2 ?

或?



注意此时 loga2>0,loga5>0, 可得此时不等式的解集为(1-loga2,1+loga5). 同理可得,当 0<a<1 时,不等式的解集为 R. 综上所述,当 a>1 时, 不等式的解集为(1-loga2,1+loga5); 当 0<a<1 时,不等式的解集为 R.

8


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