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高中物理竞赛辅导 物理光学


物 理 光 学 § 2.1 光的波动性 2.1.1 光的电磁理论 19 世纪 60 年代,美国物理学家麦克斯韦发展了电磁理论,指出光是一种电磁波, 使波动说发展到了相当完美的地步。 2.1.2 光的干涉 1 、干涉现象是波动的特性 凡有强弱按一定分布的干涉花样出现的现象, 都可作为该现象具有波动本性的最可 靠最有力的实验证据。 2 、光的相干迭加 两列波的迭加问题可以归结为讨论空

间任一点电磁振动的力迭加,所以,合振动平 均强度为
2 I ? A12 ? A2 ? 2 A1 A2 cos(?2 ? ?1 ) 其中 A1 、 A2 为振幅, ?1 、 ? 2 为振动初相位。

?? ? ? ? 2 j? , j ? 0,1,2, ? ? ?? ? ? ? (2 j ? 1)? , j ? 0,1,2, ? ?(? ? ? )为其他值且 A ? A ?
2 1 2 1 2 1 2 1

I ? ( A1 ? A2 ) 2 干涉相加 I ? ( A1 ? A2 ) 2 干涉相消 I ? 4 A 2 cos2

? ??
2

1

2

3 、光的干涉 (1) 双缝干涉 在暗室里,托马斯·杨利用壁上的小孔得到一束阳光。 在这束光里,在垂直光束方向里放置了两条靠得很近的狭 缝的黑屏,在屏在那边再放一块白屏,如图 2-1-1 所示, 于是得到了与缝平行的彩色条纹;如果在双缝前放一 块滤光片,就得到明暗相同的条纹。 A 、B 为双缝,相距为 d ,M 为白屏与双缝相距为 l ,DO 为 AB 的中垂线。屏上距离 O 为 x 的一点 P 到双缝的距离

阳光

图 2-1-1

x?d 2 x?d 2 ) , PB 2 ? l 2 ? ( ) 2 2 ( PB ? PA) ? ( PB ? PA) ? 2dx PA 2 ? l 2 ? (
由于 d 、 x 均远小于 l ,因此 PB+PA=2l ,所以 P 点 到 A 、 B 的光程差为: S M

? ? PB ? PA ?

d x l

d α L2 N

若 A 、 B 是同位相光源,当 δ 为波长的整数倍时, 两列波波峰与波峰或波谷与波谷相遇, P 为加强点(亮 点);当 δ 为半波长的奇数倍时,两列波波峰与波谷相 S

图 2-1-2 L

S?

图 2-1-3

遇, P 为减弱点 (暗点) 。 因此, 白屏上干涉明条纹对应位置为

x ? ?k ?

l ? ? (k ? 0,1,2 ?) d

1 d x ? ?(k ? ) ? ? (k ? 0,1,2?) 2 l 暗条纹对应位置为 。其中 k =0 的明条纹为中央明条纹,
称为零级明条纹; k =1 , 2 ?时,分别为中央明条纹两侧的第 1 条、第 2 条?明(或暗) 条纹,称为一级、二级?明(或暗)条纹。 相邻两明(或暗)条纹间的距离 的距离是均匀的,在 d 、 l 一定的条件下,所用的光 波波长越长,其干涉条纹间距离越宽。 用来测定光波的波长。 (2) 类双缝干涉 双缝干涉实验说明,把一个光源变成“两相干 光源”即可实现光的干涉。类似装置还有 ①菲涅耳双面镜: 如图 2-1-2 所示,夹角 α 很小的两个平面镜构 成一个双面镜(图中 α 已经被夸大了)。点光源 S

?x ?

l ? d 。该式表明,双缝干涉所得到干涉条纹间 d ?x l 可
W 幕 幕

??

?
L

? ?

?l

W

L0

图 2-1-4

经双面镜生成的像 S1 和 S 2 就是两个相干光源。 ②埃洛镜 如图 2-1-3 所示,一个与平面镜 L 距离 d 很小(数量级 0.1 mm )的点光源 S ,它的 一部分光线掠入射到平面镜,其反射光线与未经反射的光线叠加在屏上产生干涉条纹。 因此 S 和 S ? 就是相干光源。但应当注意,光线从光疏介质射入光密介质,反射光

? 与入射光相位差 π ,即发生“并波损失”,因此计算光程差时,反身光应有 2 的附加光
程差。 ③双棱镜 如图 2-1-4 所示,波长 ? ? 632 .8nm 的平行激光束垂直入射到双棱镜上,双棱镜的 顶角 ? ? 3?30?? ,宽度 w=4.0cm ,折射率 n=1.5 .问:当幕与双棱镜的距离分别为多大时, 在幕上观察到的干涉条纹的总数最少和最多?最多时能看到几条干涉条纹? 平行光垂直入射,经双棱镜上、下两半折射后,成为两束倾角均为 θ 的相干平行光。 当幕与双棱镜的距离等于或大于 L0 时, 两束光在幕上 的重叠区域为零,干涉条纹数为零,最少,当幕与双 棱镜的距离为 L 时,两束光在幕上的重叠区域最大, 为 ? L ,干涉条纹数最多。利用折射定律求出倾角 θ , 再利用干涉条纹 间距的公式及几何关系,即可求 图 2-1-4 解.

S1 d S2

? ?
D

图 2-1-5

? ? (n ? 1)?
式中 α 是双棱镜顶角,θ 是入射的平行光束经双棱镜上、下两半折射后,射出的两 束平行光的倾角。如图 2-1-5 所示,相当于杨氏光涉, d ? D,

?x ?

D ? d ,而

sin ? ? tg? ?
条纹间距

d 2D

?x ?

?
2 sin ?

?

?
2(n ? 1)a

? 0.62m m

可见干涉条纹的间距与幕的位置无关。 当幕与双棱镜的距离大于等于 L0 时,重叠区域为零,条纹总数为零

L0 ?

W W ? ? 39.3m 2? 2(n ? 1)?

当屏与双棱镜相距为 L 时,重叠区域最大,条纹总数最多

L?

相应的两束光的重叠区域为 ?L ? 2L? ? 2L(n ? 1)? ? (n ? 1)?L0 ? 9.98mm. 其中的 干涉条纹总数 ④对切双透镜 如图 2-1-6 所示,过光心将透镜对切,拉开一小段距离,中间加挡光板(图 a ); 或错开一段距离(图 b );或两片切口各磨去一些再胶合(图 c )。置于透镜原主轴上 的各点光源或平行于主光轴的平行光线,经过对切透镜折射后,在叠加区也可以发生干 涉。

L0 ? 19.65m 2
?N ?

?L ? 16 ?x 条。

d

(a) 图 2-1-6

( b)

(a)

(3) 薄膜干涉 当透明薄膜的厚度与光波波长可以相比时, 入射薄膜表面的光线薄满前后两个表面 反射的光线发生干涉。

①等倾干涉条纹 如图 2-1-7 所示,光线 a 入射到厚度为 h ,折射率为 n1 的薄膜的上表面,其反射光 线是 a1 ,折射光线是 b ;光线 b 在下表面发生反射和折射,反射线图是 b1 ,折射线是 c1 ; 光线 b1 再经过上、下表面的反射和折射,依次得到 b2 、 a2 、 c2 等光线。其中之一两束 光叠加, a1 、 a2 两束光叠加都能产生干涉现象。 a、 b 光线的光程差

? ? n2 ( AC ? CB) ? n1 AD
h ? 2n2 ? ? 2n1 ? htg? ? sin i cos?
=

a

a1
i
A D B

a2
n1
h

b

r
c

b1 b2 n2
n3

2n2 h 2 ? (1 ? sin 2 ? ) ? 2n2 h cos? ? 2h n2 ? n12 ? sin 2 i cos? 如果 i=0 ,则上式化简为 ? ? 2n2 h 。
由于光线在界面上发生反射时可能出现“半波损

c1 图 2-1-7

c2

2是 失”,因此可能还必须有“附加光程差”, 否需要增加此项,应当根据界面两侧的介质的折射率来决定。
当 n1 ? n2 ? n3 时,反射线 a1 、 b1 都是从光密介质到光疏介质,没有“半波损失”, 对于 a1 、 a2 ,不需增加 ? ? ;但反射线 b2 是从光疏介质到光密介质,有“半波损失”, 因此对于 c1 、 c2 ,需要增加 ? ? 。当 n1 ? n2 ? n3 时,反射线 a1 、 b1 都有“半波损失”, 对于 a1 、 a2 仍然不需要增加 ? ? ;而反射线 b2 没有“半波损失”,对于 c1 、 c2 仍然必须 增加 ? ? 。同理,当 n1 ? n2 ? n3 或 n1 ? n2 ? n3 时,对于 a1 、 a2 需要增加 ? ? ;对于 c1 、

???

?

c2 不需要增加 ? ? 。
在发生薄膜干涉时,如果总光程等于波长的整数倍时,增强干涉;如果总光程差等 于半波长的奇数倍时,削弱干涉。 入射角 i 越小,光程差 ? ? ? ? 越小,干涉级也越低。在等倾环纹中,半径越大的圆 环对应的 i 也越大,所以中心处的干涉级最高,越向外的圆环纹干涉级越低。此外,从 中央外各相邻明或相邻暗环间的距离也不相同。 中央的环纹间的距离较大, 环纹较稀疏, 越向外,环纹间的距离越小,环纹越密集。 ②等厚干涉条纹 当一束平行光入射到厚度不均匀的透明介质薄膜 b1 a b a 上,在薄膜表面上也可以产生干涉现象。由于薄膜上 1 下表面的不平行,从上表面反射的光线 b1 和从下面表

n1

A

B

c
图 2-1-8

n2 h n3

反射并透出上表面的光线 a1 也不平行,如图 2-1-8 所示,两光线 a1 和 b1 的光程差的精确 计算比较困难,但在膜很薄的情况下, A 点和 B 点距离很近,因而可认为 AC 近似等于 BC ,并在这一区域的薄膜的厚度可看作相等设为 h ,其光程差近似为
2 2n 2 h cos r ? ? ? ? 2h n2 ? n12 ? sin 2 i ? ? ?

当 i 保持不变时,光程差仅与膜的厚度有 关,凡厚度相同的地方,光程差相同,从而对 应同一条干涉条纹,将此类干涉条纹称为等厚 干涉条纹。 当 i 很小时,光程差公式可简化为

a b

a1

b1
N

2n2 h ? ? ? 。
③劈尖膜

M C

Q

图 2-1-9

如图 2-1-9 所示,两块平面玻璃片,一端互相叠合,另一端夹一薄纸片(为了便于 说明问题和易于作图,图中纸片的厚度特别予以放大),这时,在两玻璃片之间形成的 空气薄膜称为空气劈尖。两玻璃片的交线称为棱边,在平行于棱边的线上,劈尖的厚道 度是相等的。 当平行单色光垂直( i ? 0 )入射于这样的两玻璃片时,在空气劈尖( n2 ? 1 )的 上下两表面所引起的反射光线将形成相干光。如图 1-2-9 所示,劈尖在 C 点处的厚度为 h, 在劈尖上下表面反射的两光线之间的光程差是 玻璃与空气分界面)和从空气劈尖的下表面(即空气与玻璃分界面)反射的情况不同, 所以在式中仍有附加的半波长光程差。由此

2h ?

? 2。 由于从空气劈尖的上表面 (即

2h ?
2h ?

?
2

? k?

k ? 1,2,3 ??明纹

?
2

? (2k ? 1) ?

?
2 k ? 1,2,3 ??暗纹

干涉条纹为平行于劈尖棱边的直线条纹。每一明、暗条纹都与一定的 k 做相当,也 就是与劈尖的一定厚度 h 相当。 任何两个相邻的明纹或暗纹之间的距离 l 由下式决定:

l sin ? ? hk ?1 ? hk ?

式中 ? 为劈尖的夹角。显然,干涉条纹是等间距的,而且 θ 愈小,干涉条纹愈疏; θ 愈大,干涉条纹愈密。如果劈尖的夹角 θ 相当大,干涉条纹就将密得无法分开。因此, 干涉条纹只能在很尖的劈尖上看到。 ④牛顿环 在一块光平的玻璃片 B 上,放曲率半径 R 很大的平凸透镜 A ,在 A 、 B 之间形成一 劈尖形空气薄层。当平行光束垂直地射向平凸透镜时,可以观察到在透镜表面出现一组 干涉条纹,这些干涉条纹是以接触点 O 为中心的同心圆 环,称为牛顿环。 C 牛顿环是由透镜下表面反射的光和平面玻璃上表面 R 反射的光发生干涉而形成的,这也是一种等厚条纹。明 r A 暗条纹处所对应的空气层厚度 h 应该满足: h

1 1 ? (k ? 1)? ? k? ? 2 2 2

2h ?
2h ?

?

?

2

? k? , k ? 1,2,3 ??明环
? (2k ? 1) ?

O 图 2-1-10

B

?
2

2

k ? 1,2,3??暗环

从图 2-1-10 中的直角三角形得

r 2 ? R2 ? ( R ? h)2 ? 2Rh ? h2 2 因 R? h ,所以 h << 2Rh ,得
h? r2 2R

上式说明 h 与 r 的平方成正比,所以离开中心愈远,光程差增加愈快,所看到的牛 顿环也变得愈来愈密。由以上两式,可求得在反射光中的明环和暗环的半径分别为:

r?

(2k ? 1) ? R? , k ? 1,2,3??明环 2 r ? k ? R ? ? , k ? 0,1,2??暗环
2

随着级数 k 的增大。干涉条纹变密。对于第 k 级和第 k+m 级的暗环

rk ? kR?
rk2?m ? (k ? m) ? R?
rk2?m ? r 2 ? mR?
由此得透镜的且率半径

R?

1 1 2 (rk2? m ? ? k ) ? (? k ? m ? ? k ) ? (? k ? m ? ? k ) m? m?

牛顿环中心处相应的空气层厚度 h =0 ,而实验观察到是一暗斑,这是因为光疏介质 到光密介质界面反射时有相位突变的缘故。

A 例1 在杨氏双缝干涉的实验装置中, S M S1 S2 L 图 2-1-11

r1?

S 2 缝上盖厚度为 h、 折射率为 n 的透明介质,
问原来的零级明条纹移向何处?若观察到 零级明条纹移到原来第 k 明条纹处,求该透 明介质的厚度 h ,设入射光的波长为 λ 。 解:设从 S1 、 S 2 到屏上 P 点的距离分 别为 r1 、 r2 ,则到 P 点的光程差为

r1 r2

r2?

O

N

B

? ? (r2 ? h ? nh) ? r1 当 ? ? 0 时,的应零级条纹的位置应满足
(r2 ? r1 ) ? ?(n ? 1)h
原来两光路中没有介质时,零级条纹的位置满足 r2 ? r1 ? 0 ,与有介质时相比

(r2 ? r1 ) ? ?(n ? 1)h ? 0 ,可见零级明条纹应该向着盖介质的小孔一侧偏移。
原来没有透明介质时,第 k 级明条纹满足

xd / L ? r2 ? r1 ? k? (k ? 0,?1,?2,??)
当有介质时,零级明条纹移到原来的第 k 级明条 纹位置,则必同时满足

M1

S

A

P

?

r
O
?

r2 ? r1 ? ?(n ? 1)h
和 从而 显然, k 应为负整数。

r2 ? r1 ? k?
h? ? k? n ?1

M2

图 2-1-12

例2 菲涅耳双面镜。如图 2-1-12 所示,平面镜 M 1 和 M 2 之间的夹角 θ 很小,两 镜面的交线 O 与纸面垂直,S 为光阑上的细缝(也垂直于图面),用强烈的单色光源来 照明,使 S 成为线状的单色光源, S 与 O 相距为 r 。 A 为一挡光板,防止光源所发的光 没有经过反射而直接照射光屏 P . (1) 若图中∠ SOM1 ? ? ,为在 P 上观察干涉条纹,光屏 P 与平面镜 M 2 的夹角最好 为多少? (2) 设 P 与 M 2 的夹角取 (1) 中所得的最佳值时,光屏 P ? 与 O 相距为 L ,此时在 P 上 观察到间距均匀的干涉条纹,求条纹间距 △ x 。 A S (3) 如果以激光器作为光源, (2) 的结果又如何? M1 ? 解:(1) 如图 2-1-13 ,S 通过 M 1 、 M 2 两平面镜分别 P 成像 S1 和 S 2 ,在光屏 P 上看来, S1 和 S 2 则相当于两个 相干光源,故在光屏 P 上会出现干涉现象。为在 P 上观 察干涉条纹,光屏 P 的最好取向是使 S1 和 S 2 与它等距

r

S1 d S2
2?

?
O

?
r0

M2 L

图 2-1-13

离,即 P 与 S1 S 2 的连线平行。 图 2-1-13 图中 S1 和 S 关于平面镜 M 1 对称, S 2 和 S 关于平面镜 M 2 对称,所以, O S1 S 2 为顶角为 2 θ 腰长为 r 的等腰三角形,故光屏 P 的最佳取向是 P 的法线(通过 O 点)与平面镜 M 2 的夹角等于 ? ,或光屏 P 与平面镜 M 2 的夹角为 90 °— ? . (2) 由图可看出, S1 和 S 2 之间的距离为 d ? 2r sin ? , S1 和 S 2 到光屏 P 的距离为

r0 ? r cos? ? L ? r ? L ,由此,屏上的干涉条纹间距为
?x ? (r ? l ) ? 2r sin ?
S d
S?

A B C D b l M

(3) 如果以徼光器作为光源,由于激光近于平行,即相 当 S 位于无穷远处。上式简化为

?x ?

?
2 sin ?

若用两相干光束的夹角 a ? 2? 表示,上式可写成

?x ?

?
a 2 sin( ) 2
?7

图 2-1-14

图 2-1-14

例3 如图 2-1-14 所示的洛埃镜镜长 l=7.5 cm ,点光 源 S 到镜面的距离 d =0.15 mm ,到镜面左端的距离 b =4.5 cm ,光屏 M 垂直于平面镜且与 点光源 S 相距 L =1.2 m 。如果光源发出长 ? ? 6 ? 10 m 的单色光,求: (1) 在光屏上什么范围内有干涉的条纹? (2) 相邻的明条纹之间距离多大? (3) 在该范围内第一条暗条纹位于何处? 分析:洛埃镜是一个类似双缝干涉的装置,分析它的干涉现象,主要是找出点光源 S 和它在平面镜中的像 S ? ,这两个就是相干光源,然后就可利用杨氏双缝干涉的结论来 求解,但注意在计算光程差时,应考虑光线从光疏媒质入射到光密媒质时,反射光与入 。 射光相位差 180 ,即发生“半波损失”。 解: (1) 如图 2-1-14 所示, S 点光源发出的光一部分直接射到光屏上,另一部分经 平面镜反射后再射到光屏,这部分的光线好像从像点 S ? 发出,因为到达光屏这两部分 都是由 S 点光源发出的,所以是相干光源。这两部分光束在光屏中的相交范围 AB 就是 干涉条纹的范围.由图中的几何关系可以得到:

b L ? d AD ` b?l L ? d BD
由①、②两式解得

① ②

Ld ? 4(cm ) b Ld BD ? ? 1.5(cm ) b?l AD ?
由图中可知

AC ? AD ? d ? 3.85(cm) BC ? BD ? d ? 1.35(cm)
由③、④两式可知在距离光屏与平面镜延长线交点 C 相距 1.35 ~ 3.85cm 之间出现 干涉条纹。 (2) 相邻干涉条纹的距离为

?x ?

(3) 由于从平面镜反射的光线出现半波损失,暗条纹所在位置 S 和 S ? 的光程差应当 满足

L ? ? 2.4 ? 10 ? 4 (m) ? 0.024 (cm ) 2d

? ?

2dx ? k ? 1 ? ? ? l 2 2 x?

S
P

即 ⑤ 又因为条纹必须出现在干涉区,从①解可知,第一条暗纹还 应当满足

kl ? 2d

M

A

S?

x ? BC ? 1.35cm
由⑤、⑥式解得



图 2-1-15

k ?6 x ? 1.44cm
即在距离 C 点 1.44 cm 处出现第一条暗条纹。 点评:这是一个光的干涉问题,它利用平面镜成点光源的 像 S`,形成有两个相干点光源 S 和 S ? ,在光屏上出现干涉条 纹。但需要注意光线由光疏媒质入射到光密媒质时会发生半 波损失现象. 例 4 一圆锥透镜如图图 2-1-15 所示, S , S ? 为锥面, M 为底面;通过锥顶 A 垂直于底面的直线为光轴。平行光垂直 入射于底面,现在把一垂直于光轴的平面屏 P 从透镜顶点 A 向右方移动,不计光的干涉与衍射。 1 、用示意图画出在屏上看到的图像,当屏远一时图 像怎样变化? 2 、设圆锥底面半径为 R ,锥面母线与底面的夹角为 。 。 β ( 3 ~ 5 ),透镜材料的折射率为 n 。令屏离锥顶 A 的距离为 x , 求出为描述图像变化需给出的屏的几个特殊

?

?

?

图 2-1-16
S

D A B

S?

C

图 2-1-17

位置。 解 : 1 .入射光线进入透镜底面时,方向不变,只要在镜面上发生折射,如图 1-3-6 所示,由图可见,过锥面的折射角 γ 满足折射定律

n sin ? ? sin ?
而光线的偏向角,即折射线与轴的夹角 δ = γ - β 。 行光线的偏向角。 图 2-1-16 画出在图面上的入射光线经透镜后 的折射光束的范围。通这也是所有入射的平过锥 面 S 处和 S ? 处的折射分别相互平行,构成两个平 面光束,交角为 2? 。把图图 2-1-17 绕光轴旋转


(a)

(b)

(c)

(d)

图 2-1-18

180 就得到经过透镜后的全部出射光线的空间分 布。 下面分析在屏上看到的图像及屏向远处移动时图像的变化。 (1) 当屏在 A 处时,照到屏上的光束不重叠,屏上是一个明亮程度均匀的圆盘,半 径略小于 R 。 (2) 屏在 A 、B 之间时,照到屏上的光束有部分重叠,在光束重叠处屏上亮度较不重 叠处大,特别是在屏与光轴的交点,即屏上图像中央处,会聚了透镜底面上一个极细的 圆环上的全部入射光的折射线,因此这一点最亮。在这点周围是一个以这点为中心的弱 光圆盘,再外面是更弱的光圆环,如图 2-1-18 ( a )。 (3) 在屏从 A 到 B 远移过程中,屏上图像中央的亮点越远越亮(这是因为会聚在这 里的入射光细圆环半径增大,面积增大);外围光圆盘越远越大,再外的弱光圆环则外 径减小,宽度减小,直到屏在 B 点时弱光环消失。 (4) 屏在 B 点时,在中央亮点之外有一亮度均匀的光圆盘,如图 2-1-18 ( b )。 (5) 屏继续远移时,图像又一般地如图图 2-1-18 ( a )形状,只是屏越远中央亮点越 亮,亮点周围光圆盘越小,再外弱光环越宽、越大。 (6) 当屏移到 C 点时,图像中亮点达到最大亮度。外围是一个由弱光圆环扩大而成 的光圆盘。如图 2-1-18 ( c )。 (7) 屏移过 C 点后到达光束缚不重叠的区域,这时屏上图像为中央一个暗圆盘,外 围一个弱光圆环,不再有中央亮点。如图 2-1-18 ( d )。 (8) 屏继续远移,图像形状仍如图 2-1-18 ( d )只是越远暗盘半径越大,外围弱光环 也扩大,但环的宽度不变。 2 .在 β 较小时, γ 也小,有 sin ? ? ? , sin ? ? ? , ? ? n? ,故 ? ? (n ? 1) ? 。略去透 镜厚度,则 B , C 处距 A 的距离分别为

xC ? R / ? ? R /[(n ? 1) ? ] xB ? xC / 2 ? R /[2(n ? 1) ? ]
因此在第 1 问解答中, (1) , (2) , (3) , (4) 所述的变化过程对 应于 (a) (b) (c) 屏 a D

图 2-1-19

0 ? x ? xB
(5) , (6) 所述的图像变化过程对应于

xB ? x ? xC
(7) , (8) 所述的图像变化过程对应于

x ? xC
例 5 将焦距 f=20 cm 的凸透镜从正中切去宽度为 a 的小部分,如图 2-1-19 ( a ), 再将剩下两半粘接在一起,构成一个“粘合透镜”,见图 2-1-19 ( b )。图中 D=2cm, 在粘合透镜一侧的中心轴线上距镜 20cm 处,置一波长 ? ? 500 A 的单色点光源 S ,另一 侧,垂直于中心轴线放置屏幕,见图 2-1-19 ( c )。屏幕上出现干涉条纹,条纹间距 △ x =0.2 mm ,试问 1 .切去部分的宽度 a 是多少? 2 .为获得最多的干涉条纹,屏幕应离透镜 多远? 解 :1、 首先讨论粘合透镜的上半个透镜的成 O a 像。在图 2-1-20 中 OO 是 O’ 2 粘合透镜的中心轴线, 在 OO 上方用实线画 ? F 出了上半个透镜,在 OO 下方未画下半个透镜, 2 而是补足了未切割前整个透镜的其余部分, 用虚 图 2-1-20 线表示。整个透镜的光轴为 O ?O ? . 半个透镜产成像规律应与完整的透像相同。现在物点(即光源) S 在粘合透镜的中
0

a 心轴线上,即在图中透镜的光轴上方 2 处,离透镜光心的水平距离正好是透镜的焦距。
根据几何光学,光源 S 发出的光线,经透镜光心的水平 距离正好是透镜的焦距。根据几何光学,光源 S 发出的 光线,经透镜折射后成为一束平行光束,其传播方向稍 偏向下方,与光轴 O ?O ? (对 OO 也是一样)成角为 O S d P

?

? ? a 2 2 f 。当透镜完整时光束的宽度为:透镜直径 1 ? D ? cos ? 2 透镜直径。 对于上半个透就, 光事宽度为 2 。 ? D 成 2 角,宽度也是 2 。

图 2-1-21

同理,S 所发的光,经下半个透镜折射后,形成稍偏向上方的平行光束,与 O ?O ? 轴

于是,在透镜右侧,成为夹角为 θ 的两束平行光束的干涉问题(见图 2-1-21 ) ,图 中的两平行光束的重叠区(用阴影表示)即为干涉区。为作图清楚起见,图 2-1-21 ,特 别是图 12-1-21 中的 θ 角,均远较实际角度为大。

图 2-1-22 表示的是两束平行光的干涉情况, 其中 θ 是和图 2-1-21 中的 θ 相对应的。 图 2-1-22 中实线和虚线分别表示某一时 谷 刻的波峰平面和波谷平面。在垂直于中心 峰 轴线屏幕上, A 、 B 、 C 表示相长干涉的亮 A ? 纹位置, D 、 E 表示相消干涉的暗纹位置, D 2 相邻波峰平面之间的垂直距离是波长 λ 。 ? B 故干涉条纹间距 △ x 满足 E

2?x ? sin(? / 2) ? ?

?x ? ? ? ? 。

在 θ 很小的情况下,上式成为 所以透镜切去的宽度



C 谷 图 2-1-22

?

a ? f ? ? ? f? / ?x

(0.2m) ? (0.5 ? 10?6 m) (0.2 ? 10?3 m) =
? 0.5 ? 10?3 m ? 0.5mm a 0.5 ?? ? f 200
果然是一个很小的角度。 2 、由以上的求解过程可知,干 涉条纹间距 ?x 与屏幕离透镜 L 的距 离无关, 这正是两束平行光干涉的特 点。 但屏幕必须位于两束光的相干叠 加区才行。图 2-1-22 中以阴影菱形 部分表示这一相干叠加区。 因为由 (1) 式知条纹是等距的, 显然当屏幕位于 PQ 处可获得最多的干涉条纹,而 PQ 平面到透镜 L 的距离 L1 M F O

F?

N L2

图 2-1-23

d?

D /? ? (10?2 m) /(0.5 / 200) ? 4m 2

例 6 .如图 2-1-23 所示,薄透镜的焦距 f =10 cm ,其光心为 O ,主轴为 MN ,现将特 镜对半切开,剖面通过主轴并与纸面垂 L1 直。 0.1mm 1 .将切开的二半透镜各沿垂直剖面 M 的方向拉开,使剖面与 MN 的距离均为 N O B ? F F P 0.1 mm , 移开后的空隙用不透光的物质填 0.1mm L2 充组成干涉装置,如图 2-1-24 所示,其
1 图 2-1-24

L

O2

F1?

P F1 F2

O1 L2

F2?

N

图 2-1-25

中 P 点为单色点光源 (? ? 5500A) , PO=20cm , B 为垂直于 MN 的屏, OB=40cm 。 (1) 用作图法画出干涉光路图。 (2) 算出屏 B 上呈现的干涉条纹的间距。 (3) 如屏 B 向右移动,干涉条纹的间距将怎样变化? 2 .将切开的二半透镜沿主轴 MN 方向移 开一小段距离,构成干涉装置,如图 2-1-25 P 所示, P 为单色光源,位于半透镜 L1 的焦点 M F1 F2 F1 外。 (1) 用作图法画出干涉光路图。 (2) 用斜学标出相干光束交叠区。 (3) 在交叠区内放一观察屏,该屏 L1 与 MN 垂直,画出所呈现的干涉条纹的 形状。 o 3 .在本题第 2 问的情况下,使点 F2 M 光源 P 沿主轴移到半透镜的焦点处,如 P F1 图 2-1-26 所示,试回答第 2 问中各问。 解 :1 . (1) 如图 2-1-27 ,从点光源

0

L1 O2 O1 L2

F1? F2?

N

图 2-1-26

o1 F1?
F2? o2

s1
B N

s2
D

P 引 PO1 和 PL1 两条光线, PO1 过 L1 光
心 O1 后沿原方向传播。 引 PO 轴助光线, 该光线与 L1 的主轴平行, 若经 L1 折射后 必通过焦点 F1? ,沿 OF1? 方向传播,与

L2
图 2-1-27

S PO1 相交于 S1 点,S1 为 P 经上半透镜 L1 成像得到的实像点。 同理, 3 是 P 经下半透镜 L2
所成的实像点,连接 L1 S1 和 L2 S 2 ,所得 P 点发出的光束经两半透镜折射后的光束的范 围。 S1 和 S 2 是二相干的实的点光源,像线所标的范围为相干光束交叠区。 (2) 在交叠区放一竖直的接收屏,屏上呈现出与纸面垂直的明暗相间 的条纹,其条 纹间距为

?x ?

?D
t

?

5500? 10?2 ? 0.2 ? 2..75? 10?4 (m) 4 4 ? 10

(3) 屏 B 向右移动时, D 增大,条纹间距增大。 2 . (1) 如图 2-1-28 (a) ,从点光源 P 引 PL1 PO2 和 PL2 三条光线,

PO1 过光心 O1

和 O2 沿直线方向传播,过 O1 引平行于 PL1 的辅助光线经 L1 不发生折射沿原方向传播,

? 与过 F1 的焦面交于 A1 点, 连接 L1 A1 直
线与主轴交于 S1 点,该点为 P 经上半 M P F1 F2 O1 O2

F1? F2?

S1 S2

N (b)

图 2-1-28

(a)

透镜 L1 成像所得的实像点;同理可得 P 经下半透镜 L2 所成的实像点 S 2 ,此二实像点沿 主轴方向移开。 (2) 图 2-1-28 (a) 中斜线标出的范围为二相干光束交叠区。 (3) 在观察屏 B 上的干涉条纹为以主轴为中心的一簇明暗相间的同心半圆环,位 于 主轴下方,如图 2-1-28 ( b )所示。 3 . (1) 如图 2-1-29(a) ,点光源 P 移至 F1 , PO1 , PO2 光线经过透镜后方向仍不变, 而 PL1 光线经上半透镜 L1 折射后变成与主轴平行的光线,PL2 光线经下半透镜 L2 折射后 与 PO2 交于 S 2 点, S 2 为 P 经下半透镜 L2 所成的实像点。 (2) 图 2-1-29 (a) 中斜线所标出的范围为这种情况下的相干光束重叠区域。 (3) 这种情况在观察屏 B 上呈现出的干涉条纹也是以主轴为中心的一簇明暗相间的 同心半圆环,但位于主轴上方,如图 L1 2-1-29 ( b )所示。 P F2 O2F1? F2? ? ? 0.5?m 的绿 M 皂膜上,反射光中波长 0 O1 B N F1 光显得特别明亮。 S1 1 、试问薄膜最小厚度为多少? L2 2 、从垂直方向观察,薄膜是什么颜 (b) (a) 色? 图 2-1-29 肥皂膜液体的折射率 n=1.33 解 :1 、入射到 A 点的光束一部分被 反射,另一部分被折射并到达 B 点。在 B 点又有一部分再次被反射,并经折射后在 C 点 出射。光线 DC 也在 C 点反射。远方的观察者将同时观察到这两条光线。 在平面 AD 上,整个光束有相同的相位。我们必须计算直接从第一表面来的光线与 第二面来的光线之间的相位差。它取决于光程差,即 D 取决于薄膜的厚度。无论发生干涉或相消干涉,白光 中包含的各种波长的光线都会在观察的光中出现。 a a 光线从 A 到 C 经第二表面反射的路程为 a A C 2d 例 7 、一束白光以 a ? 30 °角射在肥

AB ? BC ?

cos ?

在媒质中波长为 为

?0 / n ,故在距离 AB+BC 上的波数

d

? ??
B 图 2-1-30

2d ?0 2nd : ? cos ? n ?0 cos ?
光线从 D 到 C 经第一表面反射的路程为

sin a sin ? DC ? AC sin a ? 2dtg? sin a ? 2d cos ?

在这段距离上,波长为

?0 ,故波数为

2d sin ? sin a ?0 co s?
故 DC 段的波数为

我们知道,当光从较大折射率的媒质反射时,光经历 180 相位差,



2d sin ? sin a 1 ? ?0 cos ? 2
如果波数差为整数 k ,则出现加强,即

2nd 2d sin ? sin a 1 ? ? ?0 cos ? ?0 cos ? 2 2nd 1 ? (1 ? sin 2 ? ) ? ?0 cos ? 2 2nd cos ? 1 2d 1 ? ? ? n 2 ? sin 2 a ? ?0 2 ?0 2 k?
经过一些变换后,得到下述形式的加强条件

4d

?0

n 2 ? sin 2 a ? 2k ? 1

哪一种波长可得到极大加强,这只取决于几何路程和折射率。我们无法得到纯单色 光。这是由于邻近波长的光也要出现,虽然较弱。 k 较大时,色彩就浅一些。所以如平 板或膜太厚,就看不到彩色,呈现出一片灰白。本题中提到的绿光明亮,且要求薄膜的 最小厚度。因此我们应取 k=0 ,得到膜层厚度为

d?

?
4 n 2 ? sin 2 a

? 0.1?m

2 、对于垂直入射,若 k=0 ,呈现极大加强的波长为

? 0 ? 4d n 2 ? sin 2 D ? 4dn
用以上的 d 值,得

?0 ? ?0

n n 2 ? sin 2 a

?

?0
cos ?

n1 n2 n3

对于任何厚度的膜层, 本题中

?b 可从 ?0 用同样的方式算出。在

?b ? 1.079?0 ? 0.540?m
它稍带黄色的绿光相对应。 例 8、 在半导体元件的生产中, 为了测定 Si 片上的 SiO2
2 薄膜磨成劈尖形状。如图 2-1-31 所示, 薄膜厚度,将 S iO

图 2-1-31
b
P Q

a

待测工件 图 2-1-32

用波长 λ =5461 A 的绿光照射,已知 SiO2 的折射率为 1.46 , Si 的折射率了 3.42 ,若观 察到劈尖上出现了 7 个条纹间距,问 SiO2 薄膜的厚度是多少?
2 和 Si ,由于 S iO 2 的折射率 n2 小于 Si 的折 解:设图中从上到下依次为空气、 S iO

0

射率,所以光从空气射入 SiO2 劈尖的上、下表面反射时都有半波损失,因此在棱边(劈 膜厚度 d =0 处)为明条纹。当劈膜厚度 d 等于光在膜层中半波长的奇数倍时(或者膜层 厚度 d 的 2 倍等于光在膜层中波长的整数倍时)都将出现明条纹。所以明条纹的位置应 满足:

2d ?

?
n2

K ( K ? 0,1,2??

因此相邻明条纹对应的劈膜厚度差为

?d ?

?
2n 2

所以在劈膜开口处对应的膜层厚度为

D ? 7?

?
2n2

? 7?

5461? 10?10 ? 1.31? 10?6 m 2 ? 1.46

例 9 、利用劈尖状空气隙的薄膜干涉可以检测精密加工工件的表面质量,并能测量 表面纹路的深度。测量的方法是:把待测工件放在测微显微镜的工作台上,使待测表面 向上,在工件表面放一块具有标准光学平面的玻璃,使其光学平面向下,将一条细薄片 垫在工件和玻璃板之间,形成劈尖状空气隙,如图 2-1-32 所示,用单色平行光垂直照 射到玻璃板上,通过显微镜可以看到干涉条文。如果由于工件表面不平,观测中看到如 图上部所示弯曲的干涉条纹。 ①请根据条纹的弯曲方向,说明工件表面的纹路是凸起还不下凹?

h?

②证明维路凸起的高度(或下凹的深度)可以表示为 式中 λ 为入射单色光的波长, a 、 b 的意义如图。 分析:在劈尖膜中讲过,空气隙厚度 h 与 k 存在相应关系。若工作表面十分平整, 则一定观察到平行的干涉条纹。由于观察到的条纹向左弯曲,说明图中 P 点与 Q 点为同 一 k 级明纹或暗纹。 且某一 k 值与厚度 h 有线性正比关系。 故 P 点与 Q 点对应的 k 相等, 工件必下凹。 解①单色光在空气隙薄膜的上下表面反射,在厚度 x 满足:

a? 2b ,

2x ?

?
2

? k?
?x ?

?

2。 时出现明条纹,相邻明条纹所对应的空气隙的厚度差 可见,对应于空气隙相等厚度的地方同是明条纹,或同是暗条纹。从图中可以看出, 越向右方的条纹,所对应的空气隙厚度越大。故条纹左弯,工件必下凹。

? ②由图中看出,干涉条纹间距为 b ,对应的空气隙厚度差为 2 。又因为条纹最大弯 ? a ? :b 2 曲程度为 a ,因此完所对应的纹路最大深度 h 应满足 h : a h? ? 2b 。 所以
2.1.3 光的衍射 光绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影,并在屏幕上出现光强不均匀分布的现 象,叫做光的衍射。 1 、惠更斯—菲涅耳原理 ( 1 )惠更斯原理 惠更斯指出,由光源发出的光波,在同一时 刻 t 时它所达到的各点的集合所构成的面,叫做 此时刻的波阵面(又称为波前) ,在同一波阵面 上各点的相位都相同,且波阵面上的各点又都作 为新的波源向外发射子波,子波相遇时可以互相 叠加,历时 △ t 后,这些子波的包络面就是 t + △ t 时刻的新的波阵 面。波的传播方向与波阵面垂直,波阵面是 图 2-1-33 一个平面的波叫做平面波,其传播方向与此平面 垂直,波阵面是一个球面(或球面的一 部分)的波叫做球面波,其传播方向为沿球面的半径方向 , 如图 2-1-33 ( 2 )菲涅耳对惠更斯原理的改进(惠—菲原理) 波面 S 上每个面积单元 ds 都可看作新的波源,它们均发出次波,波面前方空间某一 点 P 的振动可以由 S 面上所有面积所发出的次波在该点 ds N 迭加后的合振幅来表示。 ? 面积元 ds 所发出各次波的振幅和位相符合下列四个 r P 假设:在波动理论中,波面是一个等位相面,因而可以 S 认为 ds 面上名点所发出的所有次波都有相同的初位相 (可令 0 ) 。 ②次波在 P 点处的振幅与 r 成反比。

? ?0

图 2-1-34

③从面积元 ds 所发出的次波的振幅正比于 ds 的面积,且与倾角 θ 有关,其中 θ 为 ds 的法线 N 与 ds 到 P 点的连线 r 之间的夹角,即从 ds 发出 的次波到达 P 点时的振幅随 θ 的增大而减小(倾斜因数) 。 ④次波在 P 点处的位相,由光程 ? ? nr 决定

??

2?

?

?


I1
O
? 1.22? D

I

sin ?

1.22? D

图 2-1-37

( 3 )泊松亮斑 当时法国著名的数学家泊松在阅读了菲涅耳的报告后指出:按照菲涅耳的理论,如 果让平行光垂直照射不透光的圆盘,那么在圆盘后面的光屏上所留下的黑影中央将会出 现一个亮斑。因为垂直于圆盘的平行光照到时,圆盘边缘将位于同一波 阵面上,各点的 相位相同,它们所发生的子波到达黑影中央的光程差为零,应当出现增强干涉。泊松原 想不能观察到这一亮斑来否定波动说,但菲涅耳勇敢地面对挑战,用实验得到了这个亮 斑。 2 、圆孔与圆屏的菲涅耳衍射 ( 1 )圆孔衍射 将一束光(如激光)投射在一个小圆孔上,并在距孔 1 ~ 2 米处放置一玻璃屏,则 在屏上可看到小圆孔的衍射花样。 其中波带改为 L2 L1

k?

?2 1 1 ( ? ) ? v0 R

S

线 其中由圆孔半径 P ,光的波长 λ ,圆孔位置( 0 与 狭缝 R )确定。 光 f ( 2 )圆屏衍射 源 不问圆屏大小和位置怎样,圆屏几何影子的中心永 图 2-1-35 远有光,泊松亮斑即典型。 3 、单缝和圆孔的夫琅和费衍射 夫琅和费衍射又称远场衍射,使用的是平行光线,即可认为光源距离为无限远。它 不同于光源距离有限的菲涅耳衍射。在实验装置中更有价值。 夫琅和费衍射指用平行光照射障碍物时在无穷远处的衍射图像。由于无穷远与透镜 的焦平面上是一对共扼面,所以可以用透镜将无穷远处的衍射花样成像于焦平面上 单缝的夫琅和费衍射装置如图 2-1-35 所示, S 为与狭缝平行的线光源,置于 L1 的 前半焦平面上,由惠更斯—菲涅耳原理可计算出屏上任一点 P 的光强为

v

I (? ) ? I 0 ? (

sin ?

?

)2

式中,

??

? b sin? ? ,λ 为波长,b 为狭缝宽度,θ 为 P 点对 L2 中心轴线所张的角,
I1
sin ? ? b 2? b
I

I 0 为中心点光强。
单缝的夫琅和费衍射图像和光强分布如图 2-1-36 ,在

m? , m ? ?1,?2, ?? b 衍射光强分布中,可知 时, 2? I=0 。其中心条纹对应的夹角为 b ,屏上的宽度则为 sin? ?

? b

图 2-1-36

2? ?f b ( f 为 L2 的焦距 ) 。它表明,当狭缝官宽 b 变小时,中心衍射条纹变宽。
若用点光源和圆孔分别代替图 2-1-35 中的线光源 S 和狭缝 , 在屏便可得到小圆孔的 衍射花样 , 其光强分布如图 2-1-37. D 为小圆孔的直径,中央亮圆斑称为爱里斑,爱里

D。 斑边缘对 L2 中心光轴的夹角为 圆孔衍射是非常重要的,在光学仪强中,光学元件的边缘一般就是圆孔,对于一物 点,由于这元件边缘的衍射,所成的像不再是点,而是一个爱里斑,这 将影响光学仪器
1.22
的分辩相邻物点的能力。根据瑞利判据,当两个爱里斑中心角距离为

? ? 1.22 ?

?

?
D 时,这两个

D 就不可分辨了。 像点刚好可以分辩,小于 4 、衍射光栅 由大量等宽度等间距的平行狭缝所组成的光学元件称为衍射光栅,将衍射光栅放置 在图 2-1-35 的狭缝位置上,在衍射屏上便可观察到瑞利的亮条纹,这些亮条纹所对应 的角度 θ 应满足

1.22

?

d sin ? ? m? , m ? 0,?1,?2??

d 为两狭缝之间的间距,m 称为衍射级数。上式称为光栅方程。从方程中可以看出。
不同的波长 λ ,其亮条纹所对应的 θ 不同,所以光栅可以用来作光谱仪器的色散元件。 例 1 、一个由暗盒组成的针孔照相机,其小孔直径为 d ,暗盒中像成在小孔后距离 为 D 的感光胶片上如图 2-1-37 ,物体位于小孔前 L 处,所用波长为 λ 。 ( 1 )估计成像清 晰时小孔半径的大小。 ( 2 )若使用中算出的小孔,试问物 体上两点之间的最小距离是多少时?该两点的像是否可分 A 辨? A? d 解: ( 1 )物体上一点在照像底片上成的像由两个因素 决定的,一是小孔的几何投影,一是小孔的夫琅禾费衍射 (D?d) 。几何投影产生物点的像的直径是

?a ? ?

L?D ?d L

图 2-1-37

衍射效应扩大了几何投影区,所增加的直径大小为

?a ?? ? 2 ?

1.22 ? ?D d
L?D 2.44?D d? L d

总的像直径为

?a ? ?a ? ? ?a ?? ?

可见当小孔 d 小时,则第一项小,第二项大。当 d 大时,第二项小,第一项大。

d?


2.44?DL L ? D 时, ?a 最小,其值是

?a ? 2 ?
小为

2.44D? ( L ? D) D

(2) 由( 1 )知,对小孔直径为 d 的针孔照像机,物上一几何点在底片上所成像的大

?a ? 2 ?

2.44?D( L ? D) L
A?B ? ? 1 ?a 2 ,

物上相邻两点 AB 在底片上要能分辨, 根据瑞利判据, 其像点中心距离 由几何关系得

D 2.44?L( L ? D) ? A?B? ? L D 2.44?L( L ? D) D 即物上两点间的距离要大于 AB ?
时,该两点的像是能分辨的。 例 2 、用分波带矢量作图方法求出单缝的夫琅禾 费衍射分布。 解: 将缝宽为 b 的狭缝分成 N 条宽度相等的极

b
?

?

b N

?a ?
图 2-1-38

? N

?b ?

b 窄条,称为子缝,其宽为 N , N 很大,则每一子缝
可作为一几何线,这些子缝到屏上某一点 P 的距离想差很小,所以它们在 P 点引起的振 幅 a 近似相等。至于位相,每一条子缝到 P 点是不同的,但相邻两子缝在屏上所引起的

? 位相差为 2-1-38 ( b )所示的光程差,它等于
b sin ? N ,第一条子缝与最后一条子缝 2? 2? ? ?, ? ? b sin?
A0 ? N a

? ?

2?

?i, ?i ?

? N 为如图

?
? ? 0,? ? 0

?
A

? 总位相差 ,见图 2-1-38( a ) 。各子缝在 P 点产生的振动 E ;叠加即为整个缝在 P 点的振动
。这振动叠加可借助其矢量 作图法来求出, 如图 2-1-39 为矢量量,
i ?1

?a ?

0 ? ? ? ? ,0 ? ? ? ? b

Na

2b

?b ?

E ? ? Ei

N

? ?? ? ?? b

?c ?

? ? ? ? 2? ? b ? ? ? 2? b

? ? 2? ? ? 2? b

?d ?
图 2-1-39

?e?

图中矢量图,图中矢量总长度是相同的,都为 Na . 当 β =0 ,即 θ =0 对应的中心点上,缝上各点波面到达时振动位相同,则各点振幅矢 量合成如图 2-1-39 ( a ) 。

A0 ? Na 代表此点的合振动,这时光强最大(即主最大) .对

2? 2? 任一 β ,缝上相邻各点的振动位相相差 N ,对应的矢量将转动 N ,缝上两边缘的位
相差为 2 β ,各矢量构成一圆心角为 2 β 的弧如图( b ) ,它们的合矢量 A 等于这段弧的 弦。由几何关系可得

A ? A0 ?

sin ?

?

,? ?

? b sin ? ?
sin ?

I ? I0 ? (
其强度

?

) 2 , I 0 ? A02

b 时,振幅矢量卷成一圆,故 A=0 ,如图( c ) 当 β = π ,即 。随着 β 增大,即 θ 增大,矢量曲线将越卷越小,合矢量也越来越小,对应的强度也随之减小。 2.1.4 、光的偏振 光波是横波,这可以用光的偏振实验来证明。 通过两块偏振片来观察某一普通发光源,旋转其中一块偏振片,我们会发现,每旋 。 转 360 , 观察到的光强会由暗变亮再变暗再变亮的交替变化两次, 下面 来解释这一现象。 普通光源是为数众多的分子或原子在发光,虽然每一个原子发出的光只有一个特定 的振动方向,但众多的原子发出光振动方向是杂乱的,没有哪一个方向比其他方向更特 殊,这种光称为自然光。而偏振片具有让一个方向的振动通过(称为透光方向),另一 个垂直方向的振动具有 全部吸 v 收的功能。这样,自然 光通过 偏振片后,只有一个方 向振动 EKm 的及其他方向振动在该 方向的 分量通过从而形成只有 一个振 A V 动方向的线偏振光。当 该线偏 v 振光通过第二偏振片时 ,若第 0 v0 二偏振片的透光方向与 线偏振 方向 (第一偏振片的透光方向) 成 α 角,透过第二偏振 片的振 I

??

?

a ,其光强 动 时 为 E2 ? E1 c o s
2

。 为 I 2 ? I1 cos a ,当 α =90 、 。 。 270 时, I 2 ? 0 ;当 α 为 0 、 。 180 时, I 2 ? I 1 最大;其他角

I m2 I m1
图 2-2-1
0

2 1

P

度在两者之间变化。这 种偏振

现象只有横波才有。

§ 2.2 、

光的量子性

2.2.1 、光电效应 某些物质在光(包括不可见光)的照射下有电子发射出来,这就是光电效应的现象。 利用容易产生光电效应的物质制成阴极的电子管称为光电管。 图 2-2-1 所示的电来研究光电效应的规律。实验发现了光电效应的如下规律:
?9 光电效应过程非常快,从光照到产生光电子不超过 10 s ,停止光照,光电效应也 立即停止。

各种材料都有一个产生光电效应的极限频率

v0 。 v 入射光的效率必须高于 0 才能产生

光电效应;频率低于 0 的入射光,无论其强度多大,照射时间多长,都不能产生光电效 应。不同的物质,一般极限频率都不同。 逸出的光电子的最大初动能可以这样测定,将滑动变阻器的滑片逐渐向左移动,直 到光电流截止,读出这时伏特表的读数即为截止电压 U 。根据动能定理,光电子克服反 向电压作的功等于动能的减小,即

v

eU ?

1 2 mv m 2

实验结果表明,当入射光频率一定时,无论怎样改变入射光的强度,截止电压都不 会改变;入射光频率增大,截止电压也随着呈线性增大。这说明,逸出的光电子的 最大初动能只能随入射光频率增大而增大,与入射光强度无关。最大初动能与入射 光频率的关系如图 2-2-1 所示。 在入射光频率一定条件下, 向右移动变阻器的滑动片, 光电流的强度随着逐渐增大, 但当正向电压增大到某一值后继续再增大时,光电流维持一个固定图 2-3 值不变,此时 光电流达到饱和。增大入射光的强度 P ,饱和光电流也随着成正比地增大。如图 2-2-1 所示。 2.2.2 、光子说 光电效应的四个特点中,只有第四个特点够用电磁来解释,其他特点都与电磁场理 论推出的结果相矛盾。爱因斯坦于 1905 年提出的光子说,完美地解释了这一现象。 光子说指出:空间传播的光(以及其他电 磁波)都是不连续的,是一份一份的,每 一份叫做一个光子。光子的能量跟它的频率成正比即 E=hv 式中 h 为普朗克恒量。光子也是物质,它具有质量,其质量等于

m?

E hv ? c2 c2

光子也具有动量,其动量等于

p ? mc ?

hv hv ? c c

根据能量守恒定律得出:

1 2 mv m ? hv ? W 2
上式称为爱因斯坦光电效应方程。式中 W 称为材料的逸出功,表示电子从物而中逸 出所需要的最小能量。某种物质产生光电效应的极限频率就由逸出功决定:

v0 ?

W h

不同物质电子的逸出功不同,所对应的极限频率也不同。 在图 2-3 中,图线与 v 轴的交点 0 为极限频率,将图线反身延长与 km 轴的交点对 应的数值的绝对值就是 W 。图线的斜率表示普朗克恒量的数值,因此,图示电路还可以 用来测定普朗克恒量。 2.2.3 、康普顿效应 当用可见光或紫外线作为光电效应的光源时,入射的光子将全部被电子吸收。但如 果用 X 射线照射物质,由于它的频率高,能量大,不会被电子全部吸收,只需交出部分 能量,就可以打出光电子,光子本身频率降低,波长变长。这种光电效应现象称为康普 顿效应。 当 X 射线光子与静止的电子发生碰撞时,可以用 p 表示入射光子的动量,代表散射 光子的动量, mv代表光电子的动量。则依据动量守恒定律,可以用图 2-2-4 表示三者

v

E

p?
的矢量关系。由于
2

hv c ,所以

mv
h?
p?
图 2-2-4

hv hv ? 2h 2 (m v) ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? 2 ? vv ? ? cos? c c c
由能量守恒定律得出:

p

mc2 ? hv? ? m0 c 2 ? hv m 式中 0 表示电们的静止质量,
m 表示运动电子的质量,有图 2-4

m?

m0 v 1 ? ( )2 c

联立上述各式,并将

??

c v 代入整理得

?? ? ? ? ? ? ?

h ? (1 ? cos? ) m0 c

2.2.4 、光压 光压就是光子流产生的压强,从光子观点看,光压产生是由于光子把它的动量传给 物体的结果

p ? (1 ? ? )

?
c

? 为入射光强, ? 为壁反射系数。
2.2.5 、波粒二象性 由理论和实验所得结果证明,描述粒子特征的物理量( E , p )与描述波动特征的物 理量( v , λ )之间存在如下关系。

E ? hv

p?

h

?

事实上,这种二象性是一切物质(包括实物和场)所共 有的特征。 例 1 、图 5-1 中纵坐标为光电效应实验中所加电压( U ) , 横坐标为光子的频率( v ) 。若某金属的极限频率为 0 ,普朗 克恒量为 h ,电子电量为 e ,试在图中画出能产生光电流的 区域(用斜线表示) 。 分析:在 U-v 图第一象限中能产生光电流的区域,可根

U

v

O 图 2-2-5

v

据极限频率 0 很容易地作出。 关键在于如何确定第四象限中 能产生光电流的区域,但我们可以利用爱因斯坦的光电方程找出这一区域。

v

m v2 ? hv ? W 解:爱因斯坦的光电方程 2 . ① v W ? hv0 根据极限频率 0 可知 ② 2 mv 由于光电子具有最大初动能为 2 ,则它可克
服反向电压作功为 Ue ,故有图 5-1

U A B v0 C 图 2-2-6

mv ? Ue 2
将②、③式代入①式可得

2

③ O

v

Ue ? hv ? hv0 Ue ? h(v ? v0 )
U h ? v ? v0 e

此即为图 2-2-5 中 BC 斜率的绝对值。据此可作出图 2-2-6 ,图中画有斜线区域即为

能产生光电流的区域。
?7 例 2 、一光电管阴极对于波长 ? ? 4.91? 10 m 的入射光,发射光电子的遏止电压为

0.71V , 当入射光的波长为多少时, 其遏止电压变为 1.43V ? (电子电量 e ? 1.6 ? 10
普朗克常量 h ? 6.63? 10
?34

?19

C,

J ?s) 。

1 mv 2 ? hv ? W 2 分析:根据爱因斯坦的光电方程 ,可知,当加在光电管上的反向电
压达到一定值时可有 Ue=hv-W ,此时光电管无光电流产生,这个电压 U 即为遏止电压。 知道了遏止电压 U 即可由光电方程求出逸出功 W 。对于一个光电管,它的阴极逸出功 W 是不变的,因而也可利用 W 求出对应不同遏止电压的入射光的频率(或波长) 。

(hv ? W ) e 解:光电方程为 ,式中 U a 为遏止电压, W 为阴极材料的逸出功, v 为入射光的频率。设所求入射光的波长为 ? ? ,将 ? 和 ? ? 两次代入光电方程,消去逸出 Ua ?
功 W ,得

0.71 ? 1.43 ? hc (
代入数据得 例 3 、一波长为 并且波长为

1

?

?

1 )/e ??

? ? ? 3.8 ?10?7 m

?i 的光子与一运动的自由电子碰撞。碰撞的结果使电子变为静止,

?0 的光子在与原先方向的夹角为 ? ? 600 的方向上前进。此光子员另一静止

的自由电子碰撞,然后以波长
?31

? j ? 1.25?10?10 m 的光子前进,其方向在碰撞后改变了
8 ?1

?34 ? ? 600 。计算第一个电子在碰撞前的德布罗意波长。 (普朗克常数 h ? 6.6 ? 10 J ? s ,

电子质量 me ? 9.1?10 kg ,光速 c ? 3.0 ? 10 m ? s ) 分析:此题需运用能量守恒与动量守恒求解,但必须应用相对论作必要的变换。 解:对第一次碰撞,能量守恒定律为

hv0 ? hvi ? Ee E



式中 v 是光子的频率, e 是电子的能量。在波长为 0 的光子的出射方向,以及在 与它垂直方向上写出动量守恒定律(见图 2-2-7 )分别为

?

h

? 0 ?i p 式 e 是电子的动量。

?

h

cos? ? pe cos? ,0 ?

h

?i

sin ? ? pe sin ?

?i ?
2-2-7

?0

从上述两方程消去 ? ,并把 λ 写成 c/v ,有
2 2 (hv0 ) 2 ? (hvi ) 2 ? 2h 2 v0 vi cos? ? pe c

② 利用相对论关系

2 c 2 pe ? Ee ( Ee ? 2me c 2 )



以及方程①和②得

v0 ?

vi hvi (1 ? cos? ) ? 1 me c 2
h (1 ? cos? ) me c
h (1 ? cos? ) me c


变换后得

? 0 ? ?i ?



对第二次碰撞可作同样的计算,得如下结果

?0 ? ? f ? ?



⑤⑥两式相减,得

?i ? ? f
两次碰撞是类似的,利用⑤式得 ?0 ? 1.238?10 m 。 分别利用①和③式,可算出电子的能量和动量为
?10

Ee ? hv(

1

?0

?

1

?i

) ? 1.56 ? 10?17 J , pe ? 2.84 ? 10?48 kg ? m / s

?e ?

第一个电子的波长为 例 4 、一台二氧化碳气体激光器发出的激光功率为 P=1000W ,射出的光束截面积为 A=1.00mm 2 。试问: (1) 当该光束垂直入射到一物体平面上时,可能产生的光压的最大值为多少? (2) 这束光垂直射到温度 T 为 273 K ,厚度 d 为 2.00 cm 的铁板上,如果有 80% 的光束 能量被激光所照射到的那一部分铁板所吸收,并使其熔化成与光束等截面积的直圆柱 孔,这需要多少时间? 已知, 对于波长为 λ 的光束, 其每一个光子的动量为 k=h/ λ , 式中 h 为普朗克恒量,
?1 ?1 铁的有关参数为:热容量 c ? 26.6 J ? mol ? K ,密度

h ? 1.24 ? 10?10 m pe 。

? ? 7.90?103 kg ? m?3 ,熔点

Tm ? 1798 K ,熔解热 Lm ? 1.49?104 J ? mol?1 ,摩尔质量 ? ? 56 ? 10?3 kg 。
分析:光压即光对被照射物产生的压强,而求压强的关键在求出压力。利用动量定 理,可由光子的动量变化求出它对被照射物的压力。 解: (1) 当光束垂直入射到一个平面上时,如果光束被完全反射,且反射光垂直于 平面,则光子的动量改变达最大值

?k ? k ? ( ? k ) ? 2 k ?

2h

① 此时该光束对被照射面的光压为最大。设单位时间内射到平面上的光子数为 n ,光

?

压 p 的数值就等于这些光子对被照射面积 A 的冲量(也就是光子动量的改变量)的总和 除以面积 A ,即

p?

2h n ? ? A
hv ? hc



每个光子的能量为

? ,这里 c 为真空中的光速, v 为光的频率,因而
n? P ? P? /(hc ) hv

于是,由②式

p?(

2 h P? 2P )( )/ A ? ? 6.67 Pa ? hc cA

(2) 激光所照射到的质量为 M 那一小部分铁板在熔化过程中所吸收的热量为

Q?

M

?

(c ? ?T ? Lm ) ? P ? t ? 80% t? M

所以

?

(c?T ? Lm ) /(80% P) ?

Ad?

?

(c?T ? Lm ) /(80% P) ? 0.192s


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