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2012高中数学 数列 知识点归纳


2012 高中数学 数列 知识点归纳
考试内容: 数列. 等差数列及其通项公式.等差数列前 n 项和公式. 等比数列及其通项公式.等比数列前 n 项和公式. 考试要求: (1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法,并能 根据递推公式写出数列的前几项. (2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式,并能解决简单的实际

问题. (3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式,井能解决简单的实际 问题. §03. 数 列 知识要点

数列的定义 数列的有关概念 数列的通项 数列与函数的关系

项 项数 通项

数列

等差数列的定义 等差数列的通项 等差数列的性质 等差数列的前 n 项和 等比数列

等比数列的定义 等比数列的通项 等比数列的性质 等比数列的前 n 项和

等差数列

等差数列 定义 递推公 式 通项公 式 中项
a n?1 ? a n ? d a n ? a n?1 ? d ; a n ? a m?n ? md a n ? a1 ? (n ? 1)d

等比数列
a n ?1 ? q(q ? 0) an

a n ? a n?1q ; a n ? a m q n ? m
a n ? a1 q n?1 ( a1 , q ? 0 )
G ? ? a n ? k a n ? k (a n ? k a n ? k ? 0)

A?

a n?k ? a n? k 2

( n, k ? N * , n ? k ? 0 ) 前 n 项 和
am n an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , ? S n ? (a1 ? a n ) m ?2n ? p ? q)

( n, k ? N * , n ? k ? 0 )
?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 1 ? q n a ?a q ? 1 n (q ? 2) ? 1? q ? 1? q

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

?

?

重要性 质
am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q)

1. 错误!未找到引用源。等差、等比数列: 等差数列 定义 等比数列

{an }为A ? P ? an?1 ? an ? d (常数)

{a n }为G ? P ?

a n ?1 an

? q(常数)

通项公 式 求和公 式

a n = a1 + (n-1) a k + d= (n-k) dn + a1 -d d=

a n ? a1 q n ?1 ? a k q n ?k

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 d d ? n 2 ? (a1 ? )n 2 2 sn ?
A=

( q ? 1) ?na1 ? n s n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ( q ? 1) ? 1? q ? 1? q ?

中项公 式

a?b 2

推广:2 a n = a n ? m ? a n ? m

G 2 ? ab 。推广: a n ? a n ? m ? a n ? m
2

性 质

1 2

若 m+n=p+q 则 a m ? a n ? a p ? a q 若 {k n } 成 A.P (其中 k n ? N ) {a k n } 则 也为 A.P。

若 m+n=p+q,则 a m a n ? a p a q 。 若 {k n } 成等比数列 (其中 k n ? N ) , 则 {a k n } 成等比数列。

3 4

. s n , s 2 n ? s n , s3n ? s 2 n 成等差数列。 s n , s 2 n ? s n , s3n ? s 2 n 成等比数列。

d?

a n ? a1 a m ? a n ? ( m ? n) n ?1 m?n

q n ?1 ?

an a1



q n?m ?

an am

( m ? n)
5 错误!未找到引用源。看数列是不是等差数列有以下三种方法: 错误!未找到引用源。 an ? an?1 ? d (n ? 2, d为常数) 错误!未找到引用源。2 a n ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 )

错误!未找到引用源。 a n ? kn ? b ( n, k 为常数). 错误!未找到引用源。看数列是不是等比数列有以下四种方法: 错误!未找到引用源。 a n ? a n?1q(n ? 2, q为常数, 且 ? 0)
2 错误!未找到引用源。 a n ? a n?1 ? a n?1 ( n ? 2 , a n a n?1a n?1 ? 0 )
错误!未找到引用源。

注错误!未找到引用源。 :错误!未找到引用源。. b ? ac ,是 a、b、c 成等比的双非条件, 即 b ? ac a、b、c 等比数列.

ii. b ? ac (ac>0)→为 a、b、c 等比数列的充分不必要. iii. b ? ? ac →为 a、b、c 等比数列的必要不充分. 错误!未找到引用源。. b ? ? ac 且 ac ? 0 →为 a、b、c 等比数列的充要. 注意:任意两数 a、c 不一定有等比中项,除非有 ac>0,则等比中项一定有两个. 错误!未找到引用源。 a n ? cq n ( c, q 为非零常数). 错误!未找到引用源。正数列{ a n }成等比的充要条件是数列{ log x a n }( x ? 1 )成等比数列. 错误!未找到引用源。数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系: a n ? ?
?s1 ? a1 (n ? 1) ?s n ? s n ?1 (n ? 2)

[注]: 错误!未找到引用源。 a n ?a1 ??n ? 1?d ? nd ? ?a1 ?d ?( d 可为零也可不为零→为等差数列 充要条件(即常数列也是等差数列)→若 d 不为 0,则是等差数列充分条件). d? d ?d ? ? 错误!未找到引用源。等差{ a n }前 n 项和 S n ? An 2 ? Bn ? ? ?n 2 ?? a 1 ? ?n → 可以为零也可 2? 2 ?2? ? 不为零→为等差的充要条件→若 d 为零,则是等差数列的充分条件;若 d 不为零,则是等差数 列的充分条件. 错误!未找到引用源。非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列.(不是非零,即不可能 .. 有等比数列) 2. ①等差数列依次每 k 项的和仍成等差数列, 其公差为原公差的 k2 倍 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k ... ;
S ②若等差数列的项数为 2 n n ?N ? ,则 S 偶?S 奇 ? nd, 奇

?

?

S偶

?

an a n ?1



错误!未找到引用源。若等差数列的项数为 2n ? 1 n ?N ? ,则 S 2n?1? ?2n ? 1?a n ,且 S 奇 ?S 偶?a n ,
S奇 S偶 ? n n ?1

?

?

? 代入n到2n ? 1得到所求项数.

3. 常用公式:①1+2+3 …+n = ② 12 ?2 2 ?3 2 ? ?n 2 ?

n?n ? 1? 2

n?n ? 1??2n ? 1? 6

错误!未找到引用源。 13 ?2 3 ?3 3 ?n 3 ? ?

? n?n ? 1? ? ? ? 2 ?

2

[注]:熟悉常用通项:9,99,999,… ? a n ? 10n ? 1 ; 5,55,555,… ? a n ?

5 n 10 ? 1 . 9

?

?

4. 等比数列的前 n 项和公式的常见应用题: 错误!未找到引用源。生产部门中有增长率的总产量问题. 例如,第一年产量为 a ,年增长率 为 r ,则每年的产量成等比数列,公比为 1? r . 其中第 n 年产量为 a(1 ? r ) n ?1 ,且过 n 年后总产 量为:
a ? a(1 ? r ) ? a(1 ? r ) 2 ? ... ? a(1 ? r ) n ?1 ? a[a ? (1 ? r ) n ] . 1 ? (1 ? r )

错误!未找到引用源。银行部门中按复利计算问题. 例如:一年中每月初到银行存 a 元,利息 为 r ,每月利息按复利计算,则每月的 a 元过 n 个月后便成为 a (1 ? r ) n 元. 因此,第二年年初可 存款:
a(1 ? r )12 ? a(1 ? r )11 ? a(1 ? r )10 ? ... ? a(1 ? r ) =
a(1 ? r )[1 ? (1 ? r )12 ] . 1 ? (1 ? r )

错误!未找到引用源。分期付款应用题: a 为分期付款方式贷款为 a 元;m 为 m 个月将款全 部付清; r 为年利率.
a?1 ? r ?m ? x?1 ? r ?m?1 ? x?1 ? r ?m ? 2 ? ......x?1 ? r ? ? x ? a?1 ? r ?m ? x?1 ? r ?m ? 1 ar?1 ? r ?m ?x? r ?1 ? r ?m ? 1

5. 数列常见的几种形式: 错误!未找到引用源。 a n?2 ? pa n?1 ?qa n (p、q 为二阶常数) ? 用特证根方法求解. 具体步骤: ①写出特征方程 x 2 ? Px ? q( x 2 对应 a n?2 , 对应 a n?1 ) 并设二根 x1 , x 2 ②若 x1 ? x 2 x , 可设 a n. ?c 1 x n ?c 2 x n ,若 x1 ? x 2 可设 a n ? (c1 ?c 2 n) x n ;③由初始值 a 1 ,a 2 确定 c 1 ,c 2 . 1 1 2 错误!未找到引用源。 a n ? Pa n?1 ?r (P、r 为常数) ? 用①转化等差,等比数列;②逐项选 代; ③消去常数 n 转化为 a n?2 ? Pa n?1 ?qan 的形式, 再用特征根方法求 a n ; a n ?c1 ?c 2 P n?1(公 ④ 式法) c 1 ,c 2 由 a 1 ,a 2 确定. , ①转化等差,等比: a n?1 ? x ? P(a n ? x) ?a n?1 ? Pa n ? Px ? x ? x ? ②选代法: a n ? Pa n?1 ?r ? P( Pa n?2 ?r ) ? r ? ? ?a n ? (a1 ?
? P n ?1a1 ? P n ?2 ?r ? ? ? Pr? r .

r . P ?1

r r ) P n?1 ? ? (a1 ? x) P n?1 ? x P ?1 P ?1

③用特征方程求解:

a n ?1 ? Pa n ? r ? ? ( ) ?相减, a n?1 ?a n ? Pa n ?Pa n?1 ?a n?1 ? P ? 1 a n ?Pa n?1 . a n ? Pa n ?1 ? r ?

④由选代法推导结果: c1 ?

r r r r . ,c 2 ?a1 ? ,a n ?c 2 P n?1 ?c1 ? a1 ? ( )P n?1 ? 1? P P ?1 P ?1 1? P

6. 几种常见的数列的思想方法: 错误!未找到引用源。等差数列的前 n 项和为 S n ,在 d ? 0 时,有最大值. 如何确定使 S n 取最 大值时的 n 值,有两种方法: 一是求使 a n ? 0, a n?1 ? 0 , 成立的 n 值; 二是由 S n ?
d 2 d n ? (a1 ? )n 利用二次函数的性质求 n 的 2 2

值. 错误!未找到引用源。如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求 此数列前 n 项和可依照等比数列前 n 项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如:
1 1 1 1? ,3 ,...(2n ? 1) n ,... 2 4 2

错误!未找到引用源。两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项 就是原两个数列的第一个相同项,公差是两个数列公差 d1,d 2 的最小公倍数.

2. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法:对于 n≥2 的任意自然数,验 证 a n ? a n ?1 (

an ) 为 同 一 常 数 。 (2) 通 项 公 式 法 。 (3) 中 项 公 式 法 : 验 证 a n ?1

2 2a n ?1 ? a n ? a n ?2 (a n ?1 ? a n a n ? 2 )n ? N 都成立。

3. 在等差数列{ a n }中,有关 Sn 的最值问题:(1)当 a1 >0,d<0 时,满足 ?

?a m ? 0 的项数 m 使 ?a m ?1 ? 0

得 s m 取最大值. (2)当 a1 <0,d>0 时,满足 ?

?a m ? 0 的项数 m 使得 s m 取最小值。在解含绝对值 ?a m ?1 ? 0

的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 (三) 、数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于 ? 理数列、含阶乘的数列等。 3.错位相减法:适用于 ?a n bn ? 其中{ a n }是等差数列, ?bn ?是各项不为 0 的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. 5.常用结论 1): 1+2+3+...+n =

?

c ? ? 其中{ a n }是各项不为 0 的等差数列,c 为常数;部分无 ? a n a n ?1 ?

n(n ? 1) 2
2

2) 1+3+5+...+(2n-1) = n

3) 1 ? 2 ? ? ? n ? ? n(n ? 1)? ?2 ?
3 3 3

?1

?

2

4) 12 ? 2 2 ? 32 ? ? ? n 2 ?

1 n(n ? 1)( 2n ? 1) 6
1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

5)

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

6)

1 1 1 1 ? ( ? ) ( p ? q) pq q ? p p q


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