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【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题一 第1讲


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专题一 第1讲

第1讲
【高考考情解读】
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集合与常用逻辑用语

1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含 有一个量词的命题的真假判断与否定, 常与函数、 不等式、 三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一

起 考查. 2.试题以填空题方式呈现,考查的基础知识和基本技能,题 目难度中等偏下.

主干知识梳理

专题一 第1讲

1.集合的概念、关系与运算
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(1)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性,求解含 参数的集合问题时要根据互异性进行检验. (2)集合与集合之间的关系:A?B,B?C?A?C,空集是 任何集合的子集,含有 n 个元素的集合的子集数为 2n,真 子集数为 2n-1,非空真子集数为 2n-2. (3)集合的运算:?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB),?U(A∩B)= (?UA)∪(?UB),?U(?UA)=A.

主干知识梳理
2.四种命题及其关系

专题一 第1讲

四种命题中原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命 题同真同假,遇到复杂问题正面解决困难的,采用转化为 反面情况处理. 本 讲 栏 3.充分条件与必要条件 目 若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;若 p 开 关 ?q,则 p,q 互为充要条件. 4.简单的逻辑联结词 用逻辑联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来,就得到 一个新命题,记作“p∧q”;

主干知识梳理

专题一 第1讲

用逻辑联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来,就得到 一个新命题,记作“p∨q”;
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对一个命题 p 全盘否定, 就得到一个新命题, 记作“綈 p”. 5.全称量词与存在量词 “?x∈M,p(x)”的否定为“?x0∈M,綈 p(x0)”; “?x0∈M,p(x0)”的否定为“?x∈M,綈 p(x)”.

热点分类突破

专题一 第1讲

考点一 例1
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集合间的关系及运算

(1)(2012· 课标全国改编)已知集合 A={1,2,3,4,5},B=

{(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则 B 中所含元素的个数为 ______. (2)设函数 f(x)=lg(1-x2),集合 A={x|y= f(x)}, B={y|y=f(x)}, 则图中阴影部分表示 的集合为________.

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专题一 第1讲

弄清“集合的代表元素”是解决集合问题的关键.
解析
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(1)∵B={(x, y)|x∈A, y∈A, x-y∈A}, A={1,2,3,4,5},

∴x=2, y=1; x=3, y=1,2; x=4, y=1,2,3; x=5, y=1,2,3,4. ∴B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2), (5,3),(5,4)}, ∴B 中所含元素的个数为 10.

热点分类突破

专题一 第1讲

(2)因为 A={x|y=f(x)}={x|1-x2>0}={x|-1<x<1}, 则 u=1-x2∈(0,1],
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所以 B={y|y=f(x)}={y|y≤0},
A∪B=(-∞,1),A∩B=(-1,0],
故图中阴影部分表示的集合为(-∞,-1]∪(0,1).
答案 (1)10 (2)(-∞,-1]∪(0,1)

热点分类突破

专题一 第1讲

(1)对于集合问题,抓住元素的特征是求解的关键, 要注意集合中元素的三个特征的应用,要注意检验结果.
本 讲 (2)对于给出已知集合,进行交集、并集与补集运算时,可以直 栏 目 接根据它们的定义求解,也可以借助数轴、韦恩(Venn)图等图 开 关 形工具,运用分类讨论、数形结合等思想方法,直观求解.

热点分类突破

专题一 第1讲

(1)(2013· 山东改编)已知集合 A={0,1,2}, 则集合 B
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={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是________. (2)设全集 U=R,集合 P={x|y=ln(1+x)},集 合 Q={y|y= x},则右图中的阴影部分表示的 集合为________.

热点分类突破

专题一 第1讲

解析
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(1)x-y∈ -2,-1,0,1,2 ,即 B 中元素有 5 个.

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

(2)由 1+x>0 得 x>-1,即 P={x|x>-1};Q={y|y≥0},

因此结合题意得,题中的阴影部分表示的集合是 P∩(?RQ)= {x|-1<x<0,x∈R}.
答案 (1)5 (2){x|-1<x<0,x∈R}

热点分类突破

专题一 第1讲

考点二 例2
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四种命题与充要条件

(1)已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a2+b2

+c2≥3”的否命题是________________. (2) 设 x , y∈R ,则“x2 + y2≥9”是“x>3 且 y≥3”的 ________条件.(填“充要、充分不必要、必要不充分、既 不充分也不必要”)

热点分类突破
题”与“命题的否定”的区别.

专题一 第1讲

(1) 从 “ 否命题 ” 的形式入手,但要注意 “ 否命 (2)结合图形与性质,从充要条件的判定方法入手.
解析
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(1)命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组

成的命题,
所以应填“a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3”. (2)如图:x2+y2≥9 表示以原点为圆心,3 为半径 的圆上及圆外的点, 当 x2+y2≥9 时,x>3 且 y≥3 并不一定成立,

当 x=2,y=3 时,x2+y2≥9,但 x>3 且 y≥3 不成立;

而 x>3 且 y≥3 时, x2+y2≥9 一定成立, 应填必要不充分条件.

答案 (1)若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3

(2)必要不充分

热点分类突破

专题一 第1讲

一个命题的否命题、 逆命题、 逆否命题是根据原命 题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题, 解这类试题时
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要注意对于一些关键词的否定,如本题中等于的否定是不等 于,而不是单纯的大于、也不是单纯的小于.进行充要条件判 断实际上就是判断两个命题的真假, 这里要注意断定一个命题 为真需要进行证明,断定一个命题为假只要举一个反例即可.

热点分类突破

专题一 第1讲

1 (1) 设 x∈R , 则 “x> ” 是 “2x2 + x - 1>0” 的 2 ________条件. (2)给出以下三个命题:
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①若 ab≤0,则 a≤0 或 b≤0; ②在△ABC 中,若 sin A=sin B,则 A=B; ③在一元二次方程 ax2+bx+c=0 中,若 b2-4ac<0,则方程 有实数根. 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是 ________.(填序号)

热点分类突破

专题一 第1讲

解析

(1)不等式 2x +x-1>0

2

? ? ? 1 的解集为?x?x>2或x<-1 ? ? ?

? ? ?, ? ?

1 故由 x>2?2x2+x-1>0,但 2x2+x-1>0 本 讲 栏 必要条件.
目 开 关

1 x>2,故填充分不

(2)在△ABC 中,由正弦定理得 sin A=sin B?a=b?A=B.

故填②.
答案 (1)充分不必要

(2)②

热点分类突破
考点三 例3 逻辑联结词、全称量词和存在量词

专题一 第1讲

(1)(2012· 湖北改编)命题“存在一个无理数, 它的平方是

有理数”的否定是________________. (2)若命题“?x∈R,使 x2+(a-1)x+1<0”是假命题,则
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实数 a 的取值范围是________.

解析 (1)通过否定原命题得出结论.
原命题的否定是“任意一个无理数,它的平方不是有理数”. (2)方法一 令 f(x)=x2+(a-1)x+1,

若命题“?x∈R,使得 x2+(a-1)x+1<0”是真命题,
则由 x2+(a-1)x+1<0 有解可得 Δ=(a-1)2-4=a2-2a-3>0,

热点分类突破

专题一 第1讲

解得 a∈(-∞,-1)∪(3,+∞),

故所求实数 a 的取值范围为-1≤a≤3.
本 方法二 也可转化为:?x∈R,x2+(a-1)x+1≥0 恒成立, 讲 栏 目 从而 Δ≥0,解得-1≤a≤3. 开 关

答案

(1)任意一个无理数,它的平方不是有理数

(2)[ -1,3]

热点分类突破

专题一 第1讲

(1)全称命题(存在性命题)的否定是其全称量词改为 存在量词(或存在量词改为全称量词),并把结论否定,而命题
本 的否定则直接否定结论. 讲 栏 (2)若利用某些条件直接判定或探求有困难时,往往可以将条 目 开 件进行等价转化.若是由命题的真假求某个参数的取值范围, 关

还可以考虑从集合的角度来思考,将问题转化为集合间的运 算.

热点分类突破

专题一 第1讲

(1)下列命题中,真命题是________.(填序号) ①?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数; ②?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数;
本 ③?m∈R,使函数 f(x)=x +mx(x∈R)都是偶函数; 讲 2 栏 ④?m∈R,使函数 f(x)=x +mx(x∈R)都是奇函数. 目 2 (2) 已知命题 p :“ ? x ∈ [1,2] , x -a≥0”,命题 q:“?x0∈R, 开 关 2
2

x0+2ax0+2-a=0”.若命题 p、q 均是真命题,则实数 a 的取 值范围是________.

热点分类突破
解析

专题一 第1讲

(1)对于①,当 m=0 时,f(x)=x2 是偶函数,故①正确.

当 m=1 时,f(x)=x2+x 是非奇非偶函数,故③④错误;
又 y=x2 是偶函数,则 f(x)=x2+mx 不可能是奇函数,
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故②错误.
2 (2)命题 p 为真时 a≤1; “?x0∈R, x0 +2ax0+2-a=0”为真,

即方程 x2+2ax+2-a=0 有实根, 故 Δ=4a2-4(2-a)≥0,解得 a≥1 或 a≤-2. 若 p、q 均为真命题,则 a≤-2 或 a=1.
答案 (1)①
(2)a≤-2 或 a=1

热点分类突破

专题一 第1讲

1.解答有关集合问题,首先正确理解集合的意义,准确地化
本 讲 的子集等问题,关于不等式的解集、抽象集合问题,要借 栏 目 助数轴和韦恩图加以解决. 开 关 2.判断充要条件的方法,一是结合充要条件的定义;二是根

简集合是关键;其次关注元素的互异性,空集是任何集合

据充要条件与集合之间的对应关系,把命题对应的元素用 集合表示出来,根据集合之间的包含关系进行判断,在以 否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化 方法.

热点分类突破

专题一 第1讲

3. 含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的, 这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确, 再根据逻
本 辑联结词的含义进行判断. 讲 栏 目 4.一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系,但 开 一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的. 关

押题精练

专题一 第1讲

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1.已知集合 A={z∈C|z=1-2ai,a∈R},B={z∈C||z|=2}, {1+ 3i,1- 3i} 则 A∩B=________________.
解析 A∩B 中的元素同时具有 A,B 的特征,问题等价于|1 3 -2ai|=2,a∈R,解得 a=± 2 . 故 A∩B={1+ 3i,1- 3i}.

押题精练

专题一 第1讲

2.下列命题中,正确命题的个数是________. ①若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“p∧q”
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为真命题; 1 π ②“sin α= ”是“α= ”的充分不必要条件; 2 6 ③l 为直线,α,β 为两个不同的平面,若 l⊥β,α⊥β,则 l∥α; ④命题“?x∈R,2x>0”的否定是“?x0∈R,2x0≤0”.

押题精练

专题一 第1讲

解析 对①,只有当 p,q 全是真命题时,p∧q 为真;
1 π 5π 1 对②, sin α=2?α=2kπ+6或 2kπ+ 6 , k∈Z, 故“sin α=2” π 是“α=6”的必要不充分条件;

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对③,l⊥β,α⊥β?l∥α 或 l?α;
对④,全称命题的否定是存在性命题.
答案 1

押题精练
3.已知函数 f(x)=4sin
2?π

专题一 第1讲
? ? + x ?- 2 4 ? ?

3cos 2x-1,且给定条件 p:

π π x< 或 x> ,x∈R.若条件 q:-2<f(x)-m<2.且綈 p 是 q 的 4 2
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充分条件,求实数 m 的取值范围.



由条件 q

? ?m>f?x?-2, 可得? ? ?m<f?x?+2.

∵綈 p 是 q 的充分条件,
? ?m>f?x?-2, π π ∴在4≤x≤2的条件下,? 恒成立. ? m < f ? x ? + 2 ?



? ?π ?? f(x)=2?1-cos?2+2x??-2 ? ? ??

3cos 2x-1

押题精练
=2sin 2x-2 3cos 2x+1
? π? =4sin?2x-3?+1. ? ?

专题一 第1讲

本 讲 栏 目 开 关

π π π π 2π 由 ≤x≤ ,知 ≤2x- ≤ , 4 2 6 3 3 ? π? ∴3≤4sin?2x-3?+1≤5, ? ?
5π 故当 x= 时,f(x)max=5, 12 π 当 x= 时,f(x)min=3. 4
? ?m>5-2, ∴只需? ? ?m<3+2

成立,即 3<m<5.

∴m的取值范围是3<m<5.


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