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高中数学(人教A版 选修2-1)活页规范训练:2-1-2曲线与方程(Word有详解答案)


2.1.2

求曲线的方程

双基达标

?限时 20 分钟? ( ).

1. 已知动点 P 到点(1, -2)的距离为 3, 则动点 P 的轨迹方程是 A.(x+1)2+(y-2)2=9 B.(x-1)2+(y+2)2=9 C.(x+1)2+(y-2)2=3 D.(x-1)2+(y+2)2=3 解

析 设 P(x,y),由题设得 (x-1)2+(y+2)2=3, ∴(x-1)2+(y+2)2=9. 答案 B 2. 已知等腰三角形 ABC 底边两端点是 A(- 3, 0), B( 3, 0), 顶点 C 的轨迹是 A.一条直线 C.一个点 B.一条直线去掉一点 D.两个点

(

).

解析 注意当点 C 与 A、B 共线时,不符合题意,应去掉. 答案 B 3.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 的轨迹所围成的 图形的面积等于 A.π C.8π B.4π D.9π ( ).

解析 设 P(x,y),由|PA|=2|PB|,得 (x+2)2+y2=2 (x-1)2+y2,整理得 x2-4x +y2=0,即(x-2)2+y2=4.所以点 P 的轨迹是以(2,0)为圆心,以 2 为半径的圆,故 S= 4π. 答案 B 4.以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是________. x y 解析 由截距式可得直线为 + =1?线段方程为 x+y-5=0(0≤x≤5). 5 5 答案 x+y-5=0(0≤x≤5)

5.已知 A(-1,0),B(2,4),△ABC 的面积为 10,则动点 C 的轨迹方程是________. y-0 x+1 解析 由两点式, 得直线 AB 的方程是 = , 即 4x-3y+4=0, 线段 AB 的长度|AB| 4-0 2+1 |4x-3y+4| 1 = (2+1)2+42=5.设 C 的坐标为(x,y),则 ×5× =10,即 4x-3y-16 2 5 =0 或 4x-3y+24=0. 答案 4x-3y-16=0 或 4x-3y+24=0 6.在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线 AP 1 与 BP 的斜率之积等于- .求动点 P 的轨迹方程. 3 解 由点 B 与点 A(-1,1)关于原点对称,得点 B 的坐标为(1,-1).设点 P 的坐标为(x, y-1 y+1 1 y),由题意得 · =- ,化简得 x2+3y2=4,且 x≠± 1.故动点 P 的轨迹方程为 x2 3 x+1 x-1 +3y2=4(x≠± 1).

综合提高(限时 25 分钟)
7. 已知 A(1, 0), B(-1, 0), 动点 M 满足|MA|-|MB|=2, 则点 M 的轨迹方程是 A.y=0(-1≤x≤1) C.y=0(x≤-1) B.y=0(x≥1) D.y=0(|x|≥1) ( ).

解析 由题意可知,|AB|=2,则点 M 的轨迹方程为射线 y=0(x≤-1). 答案 C 8.在△ABC 中,若 B,C 的坐标分别是(-2,0)、(2,0),中线 AD 的长度是 3,则 A 点的 轨迹方程是 A.x2+y2=3 C.x2+y2=9(y≠0) B.x2+y2=4 D.x2+y2=9(x≠0) ( ).

解析 易知 BC 中点 D 即为原点 O,所以|OA|=3,所以点 A 的轨迹是以原点为圆心,以 3 为半径的圆,又因△ABC 中,A,B,C 三点不共线,所以 y≠0.所以选 C. 答案 C 9.到直线 4x+3y-5=0 的距离为 1 的点的轨迹方程为________. |4x+3y-5| 解析 可设动点坐标为(x,y),则 =1, 5 即|4x+3y-5|=5. ∴所求轨迹为 4x+3y-10=0 和 4x+3y=0. 答案 4x+3y-10=0 和 4x+3y=0

10.已知点 A(0,-1),当点 B 在曲线 y=2x2+1 上运动时,线段 AB 的中点 M 的轨迹方程 是________. 解析 设点 B(x0,y0),则 y0=2x02+1.① 设线段 AB 中点为 M(x,y), y0-1 x0 则 x= ,y= . 2 2 即 x0=2x,y0=2y+1,代入①式,得 2y+1=2· (2x)2+1. 即 y=4x2 为线段 AB 中点的轨迹方程. 答案 y=4x2 11.已知 B(-3,0)、C(3,0),△ABC 中 BC 边上的高的长为 3,求△ABC 的垂心 H 的轨迹 方程. 解 设 H 的坐标为(x,y),则 A 点的坐标为(x,3)或(x,-3),当 A 的坐标为(x,3)时, ∵AB⊥CH, ∴kAB·kCH=-1, 3-0 y-0 即 · =-1(x≠± 3). x-(-3) x-3 1 化简,整理,得 y=- x2+3(x≠± 3). 3 1 x=± 3, y=0 时也适合此方程, 所以方程 y=- x2+3 为所求轨迹方程. 当 A 的坐标为(x, 3 1 -3)时,同理可得 H 的轨迹方程为 y= x2-3. 3 1 1 总之,△ABC 的垂心 H 的轨迹方程是 y=- x2+3 或 y= x2-3. 3 3 → → → → → → 12.(创新拓展)已知两点 M(-1,0),N(1,0),动点 P 使MP·MN,PM·PN,NM·NP成 公差大于零的等差数列,求动点 P 的轨迹方程. 解 设动点 P(x,y), 由已知 M(-1,0),N(1,0). → → ∴MP=(x+1,y),MN=(2,0), → ∴NM=(-2,0), → PM=(-x-1,-y), → PN=(1-x,-y).

→ ∴NP=(x-1,y). → → ∴MP·MN=2(x+1), → → PM·PN=(-x-1)(1-x)+(-y)2=x2+y2-1. → → NM·NP=-2(x-1). 依题意有:
2 2 ? ?2(x +y -1)=2(x+1)-2(x-1) ? ? ?-2(x-1)-2(x+1)>0

化简得:x2+y2=3 且 x<0. 所以动点 P 的轨迹方程是 x2+y2=3(x<0).


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