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平面向量数乘运算


平面向量的数乘运算
一、知识精讲
1.向量的数乘运算 (1)向量的数乘运算的概念: 实数λ与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,其 长度与方向规定如下: ①|λa|=|λ||a|; ?当 ②λa(a≠0)的方向? ?当 时,与a方向相同; 时,与a方向相反.

特别地,当 λ=0 或 a=0 时,0a=0 或 λ0=

0. (2)向量数乘的运算律: ①λ(μa)=(λμ)a; ②(λ+μ)a=λa+μa; ③λ(a+b)=λa+λb. (3)向量的线性运算: 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量 a,b, 以及任意实数 λ、μ1、μ2,恒有 λ(μ1a± μ2b)=λμ1a±λμ2b. 2.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ,使 b=λa. [小问题·大思维] 1.若 λa=0,则 λ=0 对吗? 提示:不对.当 λa=0 时,λ=0 或 a=0. 2.共线向量定理中 b=λa,a 若为 0 如何? 提示:当 a=0 时,则 λ 不存在(b≠0 时)或者不唯一(b=0 时). 3.已知向量 a,b 不共线,则 m=a-3b 与 n=-2a+6b 共线吗? 提示:n=-2m,故 m 与 n 共线. 4.与非零向量 a 共线的单位向量是什么? 提示:由于单位向量的长度总等于 1,所以与非零向量 a 共线的单位 a 向量应为± . |a|

二、典例精析
[例 1] 11 [ (2a+8b)-(4a-2b)]的结果是 32 ( )

A.2a-b C.b-a [答案] B

B.2b-a D.a-b

变式练习: 1.若 a=b+c,化简 3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b)= A.-a C.-c B.-b D.以上都不对 ( )

解析:3(a+2b)-2(3b+c)-2(a+b) =3a+6b-6b-2c-2a-2b =a-2(b+c). 又 a=b+c,故原式=-a. 答案:A

??? ? [例 2] 如图所示,四边形 OADB 是以向量 OA =a, OB =b 为邻边的平行四 ???? ??? ? ???? 1 1 边形.又 BM= BC,CN= CD,试用 a,b 表示 OM , ON , MN . 3 3
???

变式练习:

1、在本例条件中,试用 a,b 表示 CM .

????

? ??? ??? ? ??? ? ? ? ??? ??? ? ??? =2 BD , CE =2 EA , AF =2 FB ,则 AD + BF + CF 与
??? ?
BC (
) B.同向平行 D.既不平行也不垂直 A.反向平行 C.互相垂直 答案:A [例 3]

2、 设 D、 E、 F 分别是△ ABC 的三边 BC、 CA、 AB 上的点, 且 DC

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? 设两非零向量 a 和 b 不共线, 如果 AB =a+b, CD =3(a-b),BC
??? ?

=2a+8b.求证:A、B、D 三点共线.

变式练习: 已知 e1,e2 是两个不共线的向量,a=2e1-e2,b=ke1+e2.若 a 与 b 是共线向量, 求实数 k 的值.

解题高手:
??? ? 如图所示, 已知平行四边形 ABCD 的边 BC、 CD 的中点分别为 K、 L, 且 AK

=e1, AL =e2,试用 e1,e2 表示 BC ,CD .

???

??? ? ??? ?

三、课后检测
一、选择题 m 1. 已知两不共线的向量 a, b, 若对非零实数 m, n 有 ma+nb 与 a-2b 共线, 则 =( n A.-2 C.- 1 2 B.2 1 D. 2 )

解析:∵ma+nb=λ(a-2b),
? ?m=λ, m 1 ∴? ∴ =- . n 2 ?n=-2λ, ?

答案:C 2.如图,向量 OA , OB , OC 的终点在同一直线上,且 AC =- 3 CB ,设 OA =p, OB =q, OC =r,则下列等式中成立的是( 1 3 A.r=- p+ q 2 2 3 1 C.r= p- q 2 2 解析:∵ AC =-3 CB , ∴ AB =-2 CB =2 BC , ∴r= OC = OA + AB + BC 1 3 =- p+ q. 2 2 答案:A 3.在?ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线交 CD 于点 F.若 AC =a, BD =b,则 AF =( 1 1 A. a+ b 4 2 1 1 C. a+ b 2 4 解析:如图. ∵△DEF∽△BEA. DF DE 1 ∴ AB=EB= . 3 1 1 ∴DF= AB= DC. 3 3 2 ∴CF= DC. 3 B.r=-p+2q D.r=-q+2p

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)

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) 2 1 B. a+ b 3 3 1 2 D. a+ b 3 3

? ??? ? ? ? ??? ? ???? ??? 2 ??? 2 ??? ∴ AF = AC + CE =a+ CD =a+ ( CO + OD ) 3 3
2 1 1 ? 2 1 - a+ b = a+ b. =a+ ? 2 ? 3 3? 2 3 答案:B 4.已知平面内有一点 P 及一个△ABC,若 PA + PB + PC = AB ,则( A.点 P 在△ABC 外部 C.点 P 在线段 BC 上 B.点 P 在线段 AB 上 D.点 P 在线段 AC 上

???

??? ?

??? ?

??? ?

)

解析:由 PA + PB + PC = AB ,得 AB - PB = PA + PC , 即 AP = PA + PC ,∴2 AP = PC . 答案:D 二、填空题

???
???

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???

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??? ?

? 1 ??? ??? ? ??? ? ??? ? ??? 5.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD =2 DB , CD = CA +λ CB ,则 λ 3
等于________. 解析:由 AD =2 DB ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? 2 ??? ? 得 CD - CA =2( CB - CD )? CD = CA + CB , 3 3
2 所以 λ= . 3 答案: 2 3

? ??? ? ??? 1 12 6. 在?ABCD 中, E, F 分别在 DC 和 AB 上, 且 DE= DC, AF= AB, 则 AE 与 CF 13 13
的关系是________. 解析:设 AD =a, AB =b. ∵DE= 1 12 DC,AF= AB, 13 13

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? 1 ∴ AE = AD + DE =a+ b, 13

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 CF = CB + BF =-a-13b=- AE .
答案: CF =- AE 7.在?ABCD 中, AB =a, AD =b, AN =3 NC ,M 为 BC 的中点,则 MN = ________.(用 a,b 表示)

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

????

???? ?

???? ??? ? ???? ???? ???? ? ???? ? 3 1 解析:由 AN =3 NC ,得 4 AN =3 AC =3(a+b), AM =a+ b,所以 MN = (a 2 4

1 1 1 +b)-(a+ b)=- a+ b. 2 4 4 1 1 答案:- a+ b 4 4 8.如图,在三角形 ABC 中, AB =a, BC =b,AD 为 BC 边的中 线,G 为△ABC 的重心,用 a、b 表示向量 AG =________. 解析:∵D 是 BC 的中点,G 是重心,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? 2 ??? ? ? 2 ??? ? ??? ? 2 ??? ? 1 ??? ∴ AG = AD = ( AB + BD )= ( AB + BC ) 3 3 3 2
2 1 = a+ b. 3 3 三、解答题 9.已知 a,b 是两个不共线的非零向量,若 a 与 b 起点相同,则实数 t 为何值时,a, 1 tb, (a+b)三向量的终点共线? 3 解:由已知,存在唯一实数 λ, 1 使 a-tb=λ[a- (a+b)], 3 λ 2 化简得( λ-1)a=( -t)b. 3 3 2 1 答案: a+ b 3 3

?3λ-1=0, 由于 a,b 不共线,故? λ ?3-t=0,
1 即 t= 时,三向量的终点共线. 2

2

?λ=2, 解得? 1 ?t=2,
??? ?
??? ?

3

10.设 O 是△ABC 内部一点,且 OA + OC =-3 OB ,求△AOB 与△AOC 的面积之 比. 解:如图,由平行四边形法则,知 OA + OC = OD ,其中 E 为 AC 的中点. 所以 OA + OC =2 OE =-3 OB .

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ? ??? ? 2 ??? ? 2 ??? 所以 OB =- OE ,| OB |= | OE |. 3 3
设点 A 到 BD 的距离为 h,

? 1 ??? ??? ? | OB |· h S△AOB 2 1 | OB | 1 2 ? = ·??? ? =× 则 S△AOB= | OB |· h, S△AOC=2S△AOE=| OE |· h, 所以 = ??? 2 S△AOC | OE |· h 2 | OE | 2 3 ? 1 ???

??? ?

1 = . 3


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