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空间平行与垂直基础练习题


平行
1.如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线只和这个平面内的( ) A.一条直线不相交 B.两条相交直线不相交 C.无数条直线不相交 D.任意一条直线都不相交 2.对于平面α 和共面的直线 m、n,下列命题中是真命题的是( ) A.若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α B.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n C.若 m?α ,n∥α ,则 m∥n D.若 m、n 与α 所成的角相等,则 m∥n 3.给出下列关于互不相同的直线 l、m、n 和平面α 、β 、γ 的三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l?α ,m?β ,则α ∥β ; ②若α ∥β ,l?α ,m?β ,则 l∥m; ③若α ∩β =l,β ∩γ =m,γ ∩α =n,l∥γ ,则 m∥n. 其中真命题的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 4.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误的是( ) A.BD∥平面 C B1D1 B.A C1⊥BD C.AC1⊥平面 C B1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60° 5.如图边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G, 已知△A′DE 是△ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是( ) ①动点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上; ②BC∥平面 A′DE; ③三棱锥 A′-FED 的体积有最大值. A.① B.①② C.①②③ D.②③ 6.下列四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、N、P 分别为其所在棱的中点,能 得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是( )

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 7.考察下列三个命题,在“__________”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命 题(其中 l、m 为直线,α 、β 为平面),则此条件为__________. m?α ? ? l∥m ??l∥α ;② l∥m ? ? m∥α ??l∥α ;③ l⊥β



? ?

? ?

? ? α ⊥β ??l∥α . ? ?

8.空间四边形 ABCD 的两条对棱 AC、 的长分别为 5 和 4, BD 则平行于两条对棱的截面四边形 EFGH 在平移过程中, 周长 的取值范围是 .

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9.如图,在正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、CD 的中点, N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 上及其内部运动,则 M 满足什么条件时,有 MN∥平 面 B1BDD1.

10.如图,四棱锥 A-BCD 被一平面所截,截面为平行四边形 EFGH, 求证:CD∥平面 EFGH.

P

11.已知在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为平行四边形,E 为 PC 的中点,O 为 BD 的中点. 求证:OE //平面 ADP

D C A P

E A P B A

O B D A

C B A

12.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、M、F 为棱 B1C1,C1D1 和 B1B 的中点,试过 E、M 作一 平面与平面 A1FC 平行.

P 13.在四棱锥 P-ABCD 中,底面四边形 ABCD 是平行四边形, E,F 分别是 AB,PD 的中点. 求证: A F // 平面 PC E E A P F A P

D A C D C B B C B A A B P 证明:FG / / A 14.如图, E , F , O 分别为 PA ,PB ,A C 的中点.G 是 O C 的中点, 平面 BO E P A P P

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垂直
1.若 a、b 是空间两不同的直线,α 、β 是空间的两不同的平面,则 a⊥α 的一个充分条件 A.a∥β ,α ⊥β B.a?β ,α ⊥β C.a⊥b,b∥α D.a⊥β ,α ∥β 2. 如图在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在 A.直线 AB 上 B.直线 BC 上 C.直线 AC 上 D.△ABC 内部 3.m、n 是空间两条不同的直线,α 、β 是两个不同的平面,下面四个命题中,真 命题的序号是________. ①m⊥α ,n∥β ,α ∥β ?m⊥n;②m⊥n,α ∥β ,m⊥α ?n∥β ; ③m⊥n,α ∥β ,m∥α ?n⊥β ;④m⊥α ,m∥n,α ∥β ?n⊥β . 4.如图所示,P 为△ABC 所在平面外一点,PA⊥平面 ABC,∠ABC=90°, AE⊥PB 于 E,AF⊥PC 于 F.求证:(1)BC⊥平面 PAB; (2)AE⊥平面 PBC;(3)PC⊥EF.

5.正四面体 P-ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,下面四个结论中不成立的是 A.BC∥平面 PDF B.DF⊥平面 PAEC.平面 PDF⊥平面 ABC D.平面 PAE⊥平面 ABC 8.设 a、b、c 表示三条直线,α 、β 表示两个平面,则下列命题的逆命题不成立的是 ( ) A.c⊥α ,若 c⊥β ,则α ∥β B.b?α ,c?α ,若 c∥α ,则 b∥c C.b?β ,若 b⊥α ,则β ⊥α D.b?β ,c 是 a 在β 内的射影,若 b⊥c,则 b⊥a 9. 如图,正方体 AC1 的棱长为 1,过点 A 作平面 A1BD 的垂线,垂足为点 H,则下列命题中错误的是 ( ) A.点 H 是△A1BD 的垂心 B.AH 垂直于平面 CB1D1 C.AH 的延长线经过点 C1 D.直线 AH 和 BB1 所成角为 45° 10.α 、β 是两个不同的平面,m、n 是平面α 、β 外的两条不同直线, 给出四个结论:①m⊥n;②α ⊥β ;③n⊥β ;④m⊥α . 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论. 写出你认为正确的一个命题________________. 11.如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PD⊥平面 ABCD,AD⊥CD,DB 平分∠ADC, E 为 PC 的中点,AD=CD=1,DB=2 2. (1)证明 PA∥平面 BDE;(2)证明 AC⊥平面 PBD; (3)(理)求直线 BC 与平面 PBD 所成的角的正切值.

7.在四棱锥 S-ABCD 中, 已知 AB∥CD, SA=SB,SC=SD,E、F 分别为 AB、 CD 的中点. (1)求证:平面 SEF⊥平面 ABCD; (2)若平面 SAB∩平面 SCD=l,求证:AB∥l.

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12.在四面体 ABCD 中,CB=CD,AD⊥BD,点 E、F 分别是 AB、BD 的中点,求证:(1)直 线 EF∥平面 ACD; (2)平面 EFC⊥平面 BCD.

平行与垂直练习
1.PA 垂直于正方形 ABCD 所 在平面,连结 PB,PC,PD,AC,BD, 则下列垂直关系正确的是( ) ①面 PAB⊥面 PBC ②面 PAB⊥面 PAD ③面 PAB⊥面 PCD ④面 PAB⊥面 PAC A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 2.设 a、b、c 表示三条直线,α 、β 表示两个平面,则下列命题的 逆命题不成立的是 A.c⊥α ,若 c⊥β ,则α ∥β B.b?α ,c?α ,若 c∥α ,则 b∥c C.b?β ,若 b⊥α ,则β ⊥α D.b?β ,c 是 a 在β 内的射影,若 b⊥c,则 b⊥a 3.若 l、m、n 是互不相同的空间直线,α 、β 是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是 A.若α ∥β ,l?α ,n?β ,则 l∥n B.若α ⊥β ,l?α ,则 l⊥β C.若 l⊥n,m⊥n,则 l∥m D.若 l⊥α ,l∥β ,则α ⊥β 4.已知 a、b 是两条不重合的直线,α 、β 、γ 是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题: ①若 a⊥α ,a⊥β ,则α ∥β ;②若α ⊥γ ,β ⊥γ ,则α ∥β ; ③若α ∥β ,a?α ,b?β ,则 a∥b;④若α ∥β ,α ∩γ =a,β ∩γ =b,则 a∥b.其中正 确命题的序号有________. 5. m, 是两条不同的直线, , , 是三个不同的平面, 若 n α β γ 则下列命题中为真命题的是( ) A.若 m?β ,α ⊥β ,则 m⊥α B.若α ∩γ =m,β ∩γ =n,m∥n,则α ∥β C.若α ⊥γ ,α ⊥β ,则β ∥γ D.若 m⊥β ,m∥α ,则α ⊥β 6.设 a、b 是不同的直线,α 、β 是不同的平面,则下列四个命题中 正确的是( ) A.若 a⊥b,a⊥α ,则 b∥α B.若 a∥α ,α ⊥β ,则 a⊥β C.若 a⊥β ,α ⊥β ,则 a∥α D.若 a⊥b,a⊥α ,b⊥β ,则α ⊥β 7.已知△ABC 为直角三角形,其中∠ACB=90°,M 为 AB 中点,PM 垂直于△ABC 所在平面,那么( ) A.PA=PB>PC B.PA=PB<PC C.PA=PB=PC D.PA≠PB≠PC 8.在二面角α -l-β 的两个面α ,β 内,分别有直线 a,b,它们与棱 l 都不垂直,则( ) A.当该二面角是直二面角时,可能 a∥b,也可能 a⊥b B.当该二面角是直二面角时,可能 a∥b,但不可能 a⊥b C.当该二面角不是直二面角时,可能 a∥b,但不可能 a⊥b D.当该二面角不是直二面 角时,不可能 a∥b,也不可能 a⊥b 9.如图,已知矩形 ABCD 中,AB=10,BC=6,沿矩形的对角线 BD 把△ABD 折起,使 A 移到 A1 点, A1 在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上. 且 求证: (1)BC ⊥A1D;(2)平面 A1BC⊥平面 A1BD.

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