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4-2 简谐振动的运动学


4–2 简谐振动的运动学

1

一 简谐振动的运动学方程 微分方程
d x dt
2 2

?? x ? 0 ?
2

x ? A co s(? t ? ? 0 )

? co s(? t ? ? 0 ) ? sin (? t ? ? 0 ? 令 ? ? ?0 ?
'

?
2

)

?
2
'

x ? A sin (? t ? ? )

简谐振动的运动规律也可用正弦函数表示.
第4章 机械振动

4–2 简谐振动的运动学

2

二 描述简谐振动的三个重要参量 x ? A co s(? t ? ? 0 ) 1、振幅A A ? x max v ? ? A? sin (? t ? ? 0 )

初始条件 t ? 0

x ? x0

v ? v0
A ? x ?
2 0

v

2 0 2

x 0 ? A co s ? 0

?

v 0 ? ? ? A sin ? 0

ta n ? 0 ?

? v0

? x0

对给定振动系统,周期由系统本身性质决定, 振幅和初相由初始条件决定.
第4章 机械振动

4–2 简谐振动的运动学

3

讨论

已知 t ? 0 , x ? 0 , v ? 0 求 ?

0

0 ? A cos ? 0

?0 ? ?

π 2
π 2

? v

x

? v 0 ? ? A? sin ? 0 ? 0
? s in ? 0 ? 0 取 ? 0 ?
A

o
x
T

x ? A co s(? t ?
第4章 机械振动

π 2

o
?A

t

T 2

)

4–2 简谐振动的运动学

4

2、周期、频率、圆频率

x ? A co s(? t ? ? 0 )
? A co s[? ( t ? T ) ? ? 0 ]


A

x

x?t图
T

o
?A

t

T 2

周期

T ?

?
2π T

频率

? ?

1 T

?

?


圆频率 ? ? 2 π ? ?
第4章 机械振动

4–2 简谐振动的运动学

5

注意

弹簧振子周期

T ? 2π

m k

单摆

T ? 2π

l g

复摆

T ? 2π

J m gh

周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关

第4章 机械振动

4–2 简谐振动的运动学

6

例 如图所示系统(细线的质 量和伸长可忽略不计),细线

静止地处于铅直位置,重物位
于O 点时为平衡位置.

A
?

l
m

若把重物从平衡位置O 略
微移开后放手, 重物就在平衡

位置附近往复的运动.这一振
动系统叫做单摆. 求单摆小角 度振动时的周期.
第4章 机械振动

o
? ?5
?

4–2 简谐振动的运动学

7



? ? 5 时 , sin ? ? ?
?

M ? ? mgl sin ? ? ? mgl ?
? mgl ? ? J
d ?
2

A

转动 正向

d ?
2

dt
? ?
2

2

? l
2

g l

dt

2

?

令?
2

?

g l

? FT

m

d ? dt
2

? ?? ?

o
? P

? ? ? m cos( ? t ? ? )
T ? 2π
第4章 机械振动

l g

J ? ml

2

4–2 简谐振动的运动学

8

简谐运动中, x 和 v 间不存在一一对应的关系.

A

x

x ? A co s(? t ? ? 0 )
v ? ? A? sin (? t ? ? 0 )
3、位相和初位相 ? t ? ? 0

? v

? v
T 2

x?t 图
? v
T

o
?A

t

1) ? t ? ? 0 ? ( x , v ) 存在一一对应的关系;

2)相位在 0 ~ 2 π 内变化,质点无相同的运动状态;
相差 2 n π ( n为整数 )质点运动状态全同.(周期性) 3)初相位 ? 0 ( t ? 0) 描述质点初始时刻的运动状态. ( ? 0 取 [ ? π ? π] 或 [0 ? 2 π] )
第4章 机械振动

4–2 简谐振动的运动学

9

三 简谐振动的旋转矢量表示法

? ?

2π T

?


以o为

t ?0 时
?0

? A
x0

原点旋转矢

? 量 A的端点
在 x 轴上的 投影点的运 动为简谐运 动.

o
x 0 ? A co s ? 0

x

第4章 机械振动

4–2 简谐振动的运动学

10

? ?

2π T

? A
t ?t时
?t ? ?0

?
x
x0

以o为 原点旋转矢

? 量 A的端点

o

x

在 x 轴上的 投影点的运 动为简谐运 动.

x ? A co s(? t ? ? 0 )

第4章 机械振动

4–2 简谐振动的运动学

11

x ? A cos( ?t ? ? 0)

? 矢量 A的
端点在

旋转

x

轴上的投 影点的运

动为简谐
运动.
第4章 机械振动

4–2 简谐振动的运动学

12

y

? vm

?t ? ?0 ?

π 2

?t ? ?0
0

? an

? A

vm ? A?

? ? a v

?

an ? A?

2

x
π 2 )

x ? A co s(? t ? ? 0 )

v ? A? co s(? t ? ? 0 ?
a ? ? A? co s(? t ? ? 0 )
2

第4章 机械振动

4–2 简谐振动的运动学

13

用旋转矢量图画简谐运动的

x?t


?0 ?
π 4

x

x
A *

x ? A co s(? t ? ? 0 )

?

A
?0

*
T 4 T 2

*

* T
5T 4

O -A

O * -A

* 3T
4

t

*

*

*

T ? 2 π ? (旋转矢量旋转一周所需的时间)
第4章 机械振动

4–2 简谐振动的运动学

14

用旋转矢量图画简谐运动的

x?t



T ? 2 π ? (旋转矢量旋转一周所需的时间)
第4章 机械振动

4–2 简谐振动的运动学

15

例4.2 如图所示,轻质弹簧一端固定,另一端系一 轻绳,绳过定滑轮挂一质量为m的物体.设弹簧的劲度 系数为k,滑轮的转动惯量为J,半径为R.若物体m在 其初始位置时弹簧无伸长,然后由静止释放.(1)试证 明物体m的运动是谐振动;(2)求此振动系统的振动周 期;(3)写出振动方程. 解 (1)若物体m离开初始位置 的距离为b时,受力平衡,则 此时有
m g ? kb 即 b ?
第4章 机械振动

mg k

4–2 简谐振动的运动学

16

以此平衡位置O为坐标原点,竖直向下为x轴正向, 当物体m在坐标x处时,
? m g ? T1 ? m a ? ' ' T1 R ? T 2 R ? I ? ? ? ?T2 ? k ( x ? b ) ? a ? R? ? ? T1 ' ? T1 及 T 2' ? T 2 ? ① ② ③ ④ ⑤ ? (m ? J R
2

)

d x dt
2

2

? kx ? 0



d x dt
2

2

?

k m ? ?I / R
2

?

x ? 0

所以,此振动系统的运动是谐振动.
第4章 机械振动

4–2 简谐振动的运动学

17

(2) 振动系统的圆频率
? ?
k m ? ?J / R
2

?

? T ?

2?

?

? 2?

m ? ?J / R k

2

?

(3)依题意知t=0时, x 0 =-b,v 0 =0,可求出
A? x0 ?
2

v0

2 2

?

?b ?

mg k

? 0 ? arctan ( ?
mg k k

v0 ?? x0

)??

? x ? A co s(? t ? ? 0 ) ?
第4章 机械振动

co s[

m + (J/R )

2

t??]


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