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2014届高考数学(山东专用理科)一轮复习教学案第十二章算法初步、推理与证明、复数12.5数学归纳法


12.5

数学归纳法

考纲要求 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

1.数学归纳法是证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当 n 取______时命题成立. (2)(归纳递推)假设 n=k(k≥k0,k∈N*)时命题成立,证明当______时

命题也成立. 2.应用数学归纳法时特别注意: (1)数学归纳法证明的对象是与______有关的命题. (2)在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不可. 1.用数学归纳法证明 3n≥n3(n∈N,n≥3),第一步应验证( ). A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 + + 2.用数学归纳法证明 1+2+22+?+2n 1=2n 2-1(n∈N*)的过程中,在验证 n=1 时, 左端计算所得的项为( ). A.1 B.1+2 C.1+2+22 D.1+2+22+23 1 1 1 1 3.已知 f(n)= + + +?+ 2,则( ). n n+1 n+2 n 1 1 A.f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 B.f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 1 1 C.f(n)中共有 n2-n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 D.f(n)中共有 n2-n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 1 1 1 4.用数学归纳法证明:“1+ + +?+ n <n(n>1)”,由 n=k(k>1)不等式成立, 2 3 2 -1 推证 n=k+1 时,左边应增加的项的项数是__________. 1 an 5.已知数列{an}中,a1= ,an+1= ,则数列的前 5 项为__________,猜想它的通 2 an+1 项公式是__________.

一、用数学归纳法证明恒等式 1 1 1 1 1 1 1 1 【例 1】n∈N*,求证:1- + - +?+ - = + +?+ . 2 3 4 2n 2n-1 2n n+1 n+2 方法提炼 用数学归纳法证题的 关键是第二步由 n=k 到 n=k+1 的过渡,要设法将待证式与归纳 假设建立联系,即借助于已经学过的公式、定理或运算法则进行恒等变形,把 n=k+1 时的 表达式拼凑出归纳假设的形式,再把运用归纳假设后的式子进行变形、证明. 请做演练巩固提升 2 二、用数学归 纳法证明不等式 1 【例 2】设数列{an}满足 a1=2,an+1=an+ (n= 1,2,?). an
[来源:学科网 ZXXK]

(1)证明:an> 2n+1对一切正整数 n 都成立;

(2)令 bn=

an (n=1,2,?),判断 bn 与 bn+1 的大小,并说明理由. n

方法提炼 用数学归纳法证明不等式时常常要用到放缩法,即在归纳假设的基础上,通过 放大或 缩小技巧变换出要证明的目标不等式.事实上,在合理运用归纳假设后,可以使用证明不等 式的任何方法证明目标式成立. 请做演练巩固提升 3 三、用数学归纳法证明几何问题 1 【例 3】用数学归纳法证明:凸 n 边形的对角线的条数为 f(n)= n(n-3)(n≥3). 2 方法提炼 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”,即几何元素从 k 个变成 k+1 个时,所证 的几何量将增加多少,这需用到几何知识或借助于几何图形来分析;事实上,将 n=k+1 和 n=k 分别代入所证的式子,然后作差,即可求出增加量,这也是用数学归纳法证明几何 问题的一大技巧. 请做演练巩固提升 1 四、归纳—猜想—证明 【例 4】设数列{an}满足 an+1=a2 n-nan+1,n=1,2,3,?. (1)当 a1=2 时,求 a2,a3,a4,并由此猜想出 an 的一个通项公式; (2)当 a1≥3 时,证明对所有的 n≥1,有 an≥n+2. 方法提炼 “归纳—猜想—证明的模式” ,是不完全归纳法与数学归纳法综合运用的解题模式,这 种方法在解决探索性、 存在性问题时起着重要作用, 它的证题模式是先由归纳推理发现结论, 然后用数学归纳法证明结论的正确性,这种思维方式是推动数学研究与发展的重要方式. 请做演练巩固提升 5 数学归纳法解题步骤要求 【典例】(14 分)(2012 湖北高考)(1)已知函数 f(x)=rx-xr+(1-r)(x>0),其中 r 为有理 数,且 0<r<1,求 f(x)的最小值; (2)试用(1)的结果证明如下命题: 设 a1≥0,a2≥0,b1,b2 为正有理数.若 b1+b2=1,则 a1 1 a2 2 ≤a1b1+a2b2; (3)请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题. - 注:当 α 为正有理数时,有求导公式(xα)′=αxα 1. r-1 r-1 规范解答:(1)f′(x)=r-rx =r(1-x ), 令 f′(x)=0,解得 x=1. 当 0<x<1 时,f′(x)<0,所以 f(x)在(0,1)内是减函数; 当 x>1 时,f′(x)>0, 所以 f(x)在(1,+∞)内是增函数. 故函数 f(x)在 x=1 处取得最小值 f(1)=0.(4 分) (2)由(1)知,当 x∈(0,+∞)时,有 f(x)≥f(1)=0, 即 xr≤rx+(1-r).①
[来源:Zxxk.Com]

b

b

若 a1,a2 中有一个为 0,则 a1 1 a2 2 ≤a1b1+a2b2 成立; a1? a1 若 a1, a2 均不为 0, 又 b1+b2=1, 可得 b2=1-b1, 于是在①中令 x= , r=b1, 可得? ?a2? a2 a1 b1≤b1· +(1-b1), a2 即 a1 1 a2 分) (3)(2)中命题的推广形式为: 设 a1,a2,…,an 为非负实数,b1,b2,…,bn 为正有理数.
b 1? b1

b

b

≤a1b1+a2(1-b1),亦即 a1 1 a2 2 ≤a1b1+a2b2.
b b

b

b

综上,对 a1≥0,a2≥0,b1,b2 为正有理数且 b1+b2=1,总有 a1 1 a2 2 ≤a1b1+a2b2.②(8

若 b1+b2+…+bn=1,则 a1 1 a2 2 … an n ≤a1b1+a2b2+…+anbn.③ 用数学归纳法证明如下: (ⅰ)当 n=1 时,b1=1,有 a1≤a1,③成立.(10 分) (ⅱ)假设当 n=k 时,③成立,即若 a1,a2,…,ak 为非负实数,b1,b2,…,bk 为正有 理数, 且 b1+b2+…+bk=1,则 a1 1 a2 2 … ak k ≤a1b1+a2b2+…+akbk. 当 n=k+1 时,已知 a1,a2,…,ak,ak+1 为非负实数,b1,b2,…,bk,bk+1 为正有理 数, 且 b1+b2+…+b k+bk+1=1,此时 0<bk+1<1,即 1-bk+1>0,于是
b b b

b

b

b

a1b1 a2b2 … ak bk ak ?1bk ?1 =( a1b1 a2b2 … ak bk ) ak ?1bk ?1 =
bk b2 1 ? 1?b ? ? a1 bk ?1 a21?bk ?2 ? ak 1?bk ?1 ? ? ? ? ? 1?bk ?1

ak ?1bk ?1 .(12 分)



b1 b2 bk + +…+ =1,由归纳假设可得 1-bk+1 1-bk+1 1-bk+1

a

b1 1?bk ?1 1

a2

b2 1?bk ?1

? ak

bk 1?bk ?1

≤a1·

b1 b2 bk + a2· + … + ak· = 1-bk+1 1-bk+1 1-bk+1

a1b1+a2b2+…+akbk , 1-bk+1 从而 a a2 ? ak a
b1 1 b2 bk bk ?1 k ?1

? a b ? a b ? ? ? ak bk ? ?? 1 1 2 2 ? 1 ? bk ?1 ? ?
1? bk ?1

1?bk ?1

? ak ?1bk ?1 .

又因(1-bk+1)+bk+1=1,由②得

? a1b1 ? a2b2 ? ? ? ak bk ? ? ? 1 ? bk ?1 ? ?
b b b b

ak ?1bk ?1 ≤

a1b1+a2b2+…+akbk · (1-bk+1)+ak+1bk+1 1-bk+1

=a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1, 从而 a1 1 a2 2 ? ak k ak ?1 k ?1 ≤a1b1+a2b2+?+akbk+ak+1bk+1. 故当 n=k+1 时,③成立. 由(ⅰ)(ⅱ )可知,对一切正整数 n,所推广的命题成立.(14 分)

答题指导:
解决数学归纳法中“归纳—猜想—证明”问题及不等式证明时, 有以下几点容易造成失 分,在备考时要高度关注: 1.归纳整理不到位得不出正确结果,从而给猜想造成困难. 2.证明 n=k 到 n=k+1 这一步时,忽略了假设条件去证明,造成不是纯正的数学归纳 法. 3. 不等式证明过程中,不能正确合理地运用分析法、综合法来求证. 另外需要熟练掌握数学归纳法中几种常见的推证技巧, 只有这样, 才能快速正确地解决 问题.

1.平面内有 n 个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,则 这 n 个圆将平面分成不同的区域有( ). A.2n 个 B.2n 个 C.n2-n+2 个 D.n2+n+1 个 1 1 1 1 1 1 1 2.已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明 1- + - +?- =2?n+2+n+4+?+2n? 2 3 4 n ? ? 时,若已假设 n=k(k≥2 且 k 为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证( ). A.n=k+1 时等式成立

B.n=k+2 时等式成立 C.n=2k+2 时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立 3.设 f(x)是定义在正整数集上的函数,且 f(x)满足:“当 f(k)≥k2 成立时,总可推出 f(k +1)≥(k+1)2 成立 ”,那么,下列命题总成立的是( ). A.f(1)<1 成立,则 f(10)<100 成立 B.若 f(3)≥9 成立,则当 k≥1 时,均有 f(k)≥k2 成立 C.若 f(2)<4 成立,则 f(1)≥1 成立 D.若 f(4)≥16 成立,则当 k≥4 时,均有 f(k)≥k2 成立 1 4.在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n-3)条时,第一步检验的第一个值 2 为 n0=__________. 5.设数列 a1,a2,?,an,?中的每一项都不为 0.证明:{an}为等差数列的充分必要条 1 1 1 n 件是:对任何 n∈N*,都有 + +?+ = . a1a2 a2a3 anan+1 a1an+1

参考答案
基础梳理自测 知识梳理 1.(1)第一个值 n0(n0∈N*) 2.(1)正整数 基础自测 1.C 2.C 3.D (2)n=k+1

1 1 1 1 1 1 4. 2n-1 解析: 当 n=k+1 时, 1+ + +?+ n + n+ n +?+ n+1 <n+1, 2 3 2 -1 2 2 +1 2 -1 + + ∴左边增加的项的项数为 2n 1-1-2n=2n 1-1-2n=2n-1 项. 1 1 1 1 1 1 5. , , , , an= 2 3 4 5 6 n+1 考点探究突破 1 1 1 1 【例 1】证明:(1)当 n=1 时,左边=1- = ,右边= = .左边=右边. 2 2 1+1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 (2)假设 n=k 时等式成立,即 1- + - +?+ - = + +?+ , 2 3 4 2k 2k-1 2k k+1 k+2 则当 n=k+1 时, ?1-1+1-1+?+ 1 - 1 ?+? 1 - 1 ? 2k-1 2k? ?2k+1 2k+2? ? 2 3 4 1 1 1 1 1 =?k+1+k+2+?+2k?+?2k+1-2k+2? ? ? ? ? 1 1 1 1 = + +?+ + . k+2 k+3 2k+1 2k+2 即当 n=k+1 时,等式也成立. 综合(1),(2)可知,对一切 n∈N*,等式成立. 【例 2】(1)证明:当 n=1 时,a1=2> 2×1+1,不等式成立. 假设当 n=k(k∈N*)时,ak> 2k+1成立. 那么当 n=k+1 时, 1 1 ak+12=ak2+ 2+2>2k+3+ 2>2(k+1)+1. ak ak ∴当 n=k+1 时,ak+1> 2(k+1)+1成立. 综上,an> 2n+1对一切正整数 n 都成立. an+1 n+1 bn+1 (2)解:∵ = bn an n 1? n =? ?1+an2?· n+1 1 n <?1+2n+1?· ? ? n+1 2(n+1) n = (2n+1) n+1
[来源:Zxxk.Com]

2 n(n+1) = = 2n+1

?n+1?2-1 ? 2? 4
1 n+ 2

<1.

故 bn+1<bn. 【例 3】证明:(1)∵三角形没有对角线, ∴n=3 时,f(3)=0,命题成立. 1 (2)假设 n=k(k≥3)时,命题成立,即 f(k)= k(k-3), 2 则当 n=k+1 时,凸 k 边形由原来的 k 个顶点变为 k+1 个顶点,对角线条数增加 k-1 条. 1 1 ∴f(k+1)=f(k)+k-1= k(k-3)+k-1= (k+ 1)[(k+1)-3]. 2 2 ∴当 n=k+1 时命题成立,由(1),(2)可知对任何 n∈N 且 n≥3,命题恒成立. 【例 4】解:(1)由 a1=2, 得 a2=a12-a1+1=3, 由 a2=3,得 a3=a22-2a2+1=4, 由 a3=4,得 a4=a32-3a3+1=5, 由此猜想 an 的一个通项公式:an=n+1(n≥1). (2)证明:用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,a1≥3=1+2,不等式成立. ②假设当 n=k 时不等式成立, 即 ak≥k+2, 那么,ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3, 也就是说,当 n=k+1 时,ak+1≥(k+1)+2. 根据①和②,对于所有 n≥1,都有 an≥n+2. 演练巩固提升 1.C 解析:n=2 时,分成 4 部分,可排除 D;n=3 时,分成 8 部分,可排除 A;n =4 时,分成 1 4 部分,可排除 B,故选 C. 2.B 解析:n 为正偶数,若 n=k,则下一个正偶数为 n=k+2,故选 B. 3.D 解析:f(4)≥16,说明当 k=4 时,f(k)≥k2 成立.f(k)≥k2 成立时,f(k+1)≥(k+ 2 1) 成立,说明 n=k 时 f(n)≥ n2 成立能推出 n=k+1 时,f(n)≥n2 成立,根据数学归纳法可得 当 k≥4 时,均有 f(k)≥k2 成立. 4.4 解析:∵凸多边形要有对角线,至少也是四边形,∴n0=4. 5.证明:先证必要性. 设数列{an}的公差为 d. 若 d=0,则所述等式显然成立. 1 1 1 若 d≠0,则 + +?+ a1a2 a2a3 anan+1 an+1-an? 1?a2-a1 a3-a2 = ? a a + a a +?+ d? 1 2 anan+1 ? 2 3 ? 1 1 ?? 1 1 1 1 1 - ?+? - ?+?+?a - = ?? d??a1 a2? ?a2 a3? ? n an+1?? 1 ? 1 an+1-a1 1? 1 = a -a = · d? 1 n+1? d a1an+1 n = . a1an+1 再证充分性. (数学归纳法)设所述的等式对一切 n∈N*都成立. 1 1 2 首先,在等式 + = ① a1a2 a2a3 a1a3
[来源:学+科+网 ] [来源:学 |科 |网 Z|X|X|K]

两端同乘 a1a2a3,即得 a1+a3=2a2, 所以 a1,a2,a3 成等差数列,记公差为 d, 则 a2=a1+d. 假设 ak=a1+(k-1)d,当 n=k+1 时, 观察如下两个等式 k-1 1 1 1 + +?+ = ,② a1a2 a2a3 ak-1ak a1ak 1 1 1 1 k + +?+ + = ,③ a1a2 a2a3 ak-1ak akak+1 a1ak+1 k-1 1 k 将②代入③,得 + = , a1ak akak+1 a1ak+1 在该式两端同乘 a1akak+1, 得(k-1)ak+1+a1=kak. 将 ak=a1+(k-1)d 代入其中,整理后, 得 ak+1=a1+kd. 由数学归纳法原理知,对一切 n∈N*,都有 an=a1+(n-1)d. 所以{an}是公差为 d 的等差数列.


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