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2013年高考数学练习题---文科立体几何


三、解答题
26.【2012 高考全国文 19】(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷 .... 上作答无效 ) ..... 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, PA ? 底
P

PE ? 2 EC 。 PA ? 2 , AC ? 2 2 , 面 ABCD , E 是 PC 上的一点,
(Ⅰ)证明: PC ? 平面 BED ; (Ⅱ)设二面角 A ? PB ? C 为 90? ,求 PD 与平面 PBC 所成角的 大小。
B C

E

A D

【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运用。 从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度, 并加以证明和求 解。 解:设 AC ? BD ? O , 以 O 为原点, OC 为 x 轴, OD 为 y 轴建立空间直角坐标系,则

A(? 2,0,0), C( 2,0,0), P(? 2,0,2), 设 B(0, ?a,0), D(0, a,0), E( x, y, z) 。
(Ⅰ)证明:由 PE ? 2 EC 得 E (

??? ? ??? ? 2 2 2 2 , 0, ) , 所以 PC ? (2 2,0, ?2) , BE ? ( , a, ) , 3 3 3 3

??? ? ??? ????? 2 2 BD ? (0,2a,0) ,所以 PC?BE ? (2 2, 0, ?2) ? ( , a, ) ? 0 , 3 3 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 所以 PC ? BE , PC ? BD , 所以 PC ? 平面 BED ; PC ? BD ? (2 2,0, ?2) ? (0,2a,0) ? 0 。
( Ⅱ ) 设 平 面 PAB 的 法 向 量 为 n ? ( x, y, z) , 又 AP ? (0, 0, 2), AB? ( 2, ?a ,, 0)由

?

??? ?

??? ?

? ??? ? ? ??? ? ?? ? 2 n ? AP? 0, n ? AB ? 0 得 n ? (1, , 0) , 设 平 面 PBC 的 法 向 量 为 m ? ( x, y, z) , 又 a ? ? ?? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ?? 2 B C? ( 2 , a , 0 )C ,P ? ?( 2 2 ,,由 0, 2 m ) ? BC ? 0,m ?CP ? 0 ,得 m ? (1, ? , 2) ,由 a
于二面角 A ? PB ? C 为 90? ,所以 m ? n ? 0 ,解得 a ? 2 。 所以 PD ? ( 2, 2, ?2) , 平面 PBC 的法向量为 m ? (1, ?1, 2) , 所以 PD 与平面 PBC

?? ?

??? ?

??

???? ? ??? | PD ? m | 1 ? ? ??? ? ? ,所以 PD 与平面 PBC 所成角为 . 所成角的正弦值为 ???? 6 | PD | ?| m | 2
【点评】试题从命题的角度来看,整体上题目与我们平时练习的试题和相似,底面也是特殊 的菱形,一个侧面垂直于底面的四棱锥问题,那么创新的地方就是点 E 的位置的选择是一 般的三等分点, 这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的, 因此最好使用空间直角坐标 系解决该问题为好。 27.【2012 高考安徽文 19】(本小题满分 12 分) 如图, 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 底面 A1 B1C1 D1 是正方形,O 是 BD 的中点,E 是棱 AA1 上任意一点。

(Ⅰ)证明: BD ? EC1 ; (Ⅱ)如果 AB =2, AE = 2 , OE ? EC1 ,,求 AA1 的长。 【解析】(I)连接 AC , AE / /CC1 ? E, A, C, C1 共面 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 A1 B1C1 D1 是正方形

AC ? BD, EA ? BD, AC ? EA ? A ? BD ? 面 EACC1 ? BD ? EC1
(Ⅱ)在矩形 ACC1 A 1 中, OE ? EC1 ? ?OAE ? ?EAC 1 1 得:

AE AC 2 AA1 ? 2 ? 1 1? ? ? AA1 ? 3 2 AO EA1 2 2 2

28.【2012 高考四川文 19】(本小题满分 12 分)
? ? 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,?APB ? 90 ,?PAB ? 60 , AB ? BC ? CA , 点P 在

P C

平面 ABC 内的射影 O 在 AB 上。

A

B

(Ⅰ)求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小。 命题立意:本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系,线面角的概念,二面角的概 念等基础知识,考查空间想象能力,利用向量解决立体几何问题的能力. [解析](1)连接 OC. 由已知, ?OCP为直线PC与平面ABC 所成的角 设 AB 的中点为 D,连接 PD、CD. 因为 AB=BC=CA,所以 CD ? AB. 因为 ?APB ? 90?,?PAB ? 60?,所以?PAD为等边三角形, 不妨设 PA=2,则 OD=1,OP= 3 , AB=4. 所以 CD=2 3 ,OC= OD2 ? CD 2 ? 1 ? 12 ? 13 . 在 Rt ?OCP中, tan ?OPC ?

OP 3 39 .…………………………6 分 ? ? OC 13 13

(2)过 D 作 DE ? AP 于 E,连接 CE. 由已知可得,CD ? 平面 PAB.

据三垂线定理可知,CE⊥PA, 所以, ?CED为二面角B — AP — C的平面角. 由(1)知,DE= 3 在 Rt△ CDE 中,tan ?CED ?

CD 2 3 ? ?2 DE 3
…………………………………12 分

故 二面角B — AP — C的大小为arctan2

[点评]本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念,重点考查思维能力和空间想象能 力,进一步深化对二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常规步骤:一找(寻找现成 的二面角的平面角)、二作(若没有找到现成的,需要引出辅助线作出二面角的平面角)、 三求(有了二面角的平面角后,在三角形中求出该角相应的三角函数值). 29.【2012 高考重庆文 20】(本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 4 分,(Ⅱ)小问 8 分)已知 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? 4 , AC ? BC ? 3 , D 为 AB 的中点。(Ⅰ)求异面直 线 CC1 和 AB 的距离;(Ⅱ)若 AB1 ? AC 1 ,求二面角 A 1 ? CD ? B 1 的平面角的余弦值。

【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)

1 3
, 所 以 异 面 直 线 CC1 和 AB 的 距 离 为

【解析】 (Ⅰ)如答(20)图 1,因 AC=BC, D 为 AB 的中点,故 CD ? AB。又直三棱柱中,

CC1 ?

面 ABC

, 故 CC1 ? CD

CD= BC2 ? BD2 ? 5
(Ⅱ) :由 CD ? AB,CD ? BB1 , 故 CD ? 面 A 1 ABB 1 故 ?A 1DB 1 为所求的二面角 A 1 ? CD ? B 1 的平面角。 因 A1D 是 AC 在面 A 1 1 ABB 1 上 的射影,又已知 AB 1 ? A 1C, 由三垂线定理的逆定理 得 ,所以 AB1 ? A1D, 从 而 ?A1 AB1 , ?A1DA 都 与 ?B1 AB互 余 , 因 此 ?A1 AB 1 ? ?A 1 DA ,从而 CD ? DA1 , CD ? DB1

Rt? A1 AD ≌ Rt? B1 A1 A ,因此
2 2

AA1 A1 B1 2 得 AA ? 1 ? AD ? A 1B 1 ?8 AD AA1

从而 A1 D = AA1 ? AD ? 2 3, B1 D ? A1 D ? 2 3

所以在 ? A 1DB 1 中,由余弦定理得 cos A 1 DB 1 ?

A1D2 ? DB12 ? A1B12 1 ? 2 A1D ? DB1 3

30.【2012 高考天津文科 17】(本小题满分 13 分)

如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2 3 ,PD=CD=2. (I)求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值; (II)证明平面 PDC⊥平面 ABCD; (III)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值。 【解析】(I) AD / / BC ? ? PAD 是 PA 与 BC 所成角 在 ?ADP 中, AD ? PD, AD ? BC ? 1, PD ? 2

PD ?2 AD 异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值为 2 tan ?PAD ?
(II) AD ? PD, AD ? DC, PD ? DC ? D ? AD ? 面 PDC

? AD ? 面 ABCD ? 平面 PDC ? 平面 ABCD (III)过点 P 作 PE ? CD 于点 E ,连接 BE 平面 PDC ? 平面 ABCD ? PE ? 面 ABCD ? ?PBE 是直线 PB 与平面 ABCD 所成


CD ? PD ? 2, PC ? 2 3 ? ?PDC ? 120? ? PE ? 3, DE ? 1
在 Rt ?BCE 中, BE ?

BC2 ? CE2 ? 10 ? PB ? BE2 ? PE2 ? 13
PE 39 ? PB 13
39 13

在 Rt ?BPE 中, sin ?PBE ?

得:直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为

C1 A1

B1

31.【2012 高考新课标文 19】(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直底面, 1 ∠ACB=90° ,AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点 2 (I)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC (Ⅱ)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分 体积的比.

D C A B

【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计 算,考查空间想象能力、逻辑推理能力,是简单题. 【解析】 (Ⅰ) 由题设知 BC⊥ CC1 ,BC⊥AC, CC1 ? AC ? C ,∴ BC ? 面 ACC1 A1 , ∵ DC1 ? 面 ACC1 A 1 ,∴ DC1 ? BC ,
0 由题设知 ?A 1DC1 ? ?ADC ? 45 ,∴ ?CDC1 = 90 ,即 DC1 ? DC ,
0



又∵ DC ? BC ? C , ∴面 BDC ⊥面 BDC1 ;

∴ DC1 ⊥面 BDC ,

∵ DC1 ? 面 BDC1 ,

(Ⅱ)设棱锥 B ? DACC1 的体积为 V1 , AC =1,由题意得, V1 = ? 由三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积 V =1,

1 1? 2 1 ? 1? 1 = , 2 3 2

∴ (V ? V1 ) : V1 =1:1, ∴平面 BDC1 分此棱柱为两部分体积之比为 1:1. 32.【2012 高考湖南文 19】(本小题满分 12 分) 如图 6,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是等腰梯形,AD∥BC, AC⊥BD. (Ⅰ)证明:BD⊥PC; (Ⅱ)若 AD=4,BC=2,直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30°,求四棱锥 P-ABCD 的体积.

【答案】 【解析】(Ⅰ)因为 PA ? 平面ABCD, BD ? 平面ABCD, 所以PA ? BD. 又 AC ? BD, PA, AC 是平面 PAC 内的两条相较直线,所以 BD ? 平面 PAC, 而 PC ? 平面 PAC,所以 BD ? PC .

(Ⅱ)设 AC 和 BD 相交于点 O,连接 PO,由(Ⅰ)知,BD ? 平面 PAC, 所以 ?DPO 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角,从而 ?DPO ? 30 .
?

由 BD ? 平面 PAC, PO ? 平面 PAC,知 BD ? PO .
? 在 Rt POD 中,由 ?DPO ? 30 ,得 PD=2OD.

?

因为四边形 ABCD 为等腰梯形, AC ? BD ,所以 从而梯形 ABCD 的高为

? AOD,? BOC 均为等腰直角三角形,

1 1 1 AD ? BC ? ? (4 ? 2) ? 3, 于是梯形 ABCD 面积 2 2 2

S?

1 ? (4 ? 2) ? 3 ? 9. 2

在等腰三角形AOD中, OD ? 所以 PD ? 2OD ? 4 2, PA ?

2 , AD ? 2 2, 2

PD2 ? AD2 ? 4.
1 1 ? S ? PA ? ? 9 ? 4 ? 12 . 3 3

故四棱锥 P ? ABCD 的体积为 V ?

【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一 问只要证明 BD ? 平面 PAC 即可,第二问由(Ⅰ)知,BD ? 平面 PAC,所以 ?DPO 是直 线 PD 和平面 PAC 所成的角, 然后算出梯形的面积和棱锥的高, 由V ? 33.【2012 高考山东文 19】 (本小题满分 12 分) 如图,几何体 E ? ABCD 是四棱锥,△ ABD 为正三角形, CB ? CD, EC ? BD . (Ⅰ)求证: BE ? DE ; (Ⅱ)若∠ BCD ? 120? ,M 为线段 AE 的中点, 求证: DM ∥平面 BEC . 【答案】(I)设 BD 中点为 O,连接 OC,OE,则由 BC ? CD 知 ,
CO ? BD ,

1 ? S ? PA 算得体积. 3

又已知 CE ? BD ,所以 BD ? 平面 OCE. 所以 BD ? OE ,即 OE 是 BD 的垂直平分线, 所以 BE ? DE . (II)取 AB 中点 N,连接 MN , DN , ∵M 是 AE 的中点,∴ MN ∥ BE ,

∵△ ABD 是等边三角形,∴ DN ? AB . 由∠BCD=120°知,∠CBD=30°,所以∠ABC=60°+30°=90°,即 BC ? AB , 所以 ND∥BC, 所以平面 MND∥平面 BEC,故 DM∥平面 BEC. 34.【2012 高考湖北文 19】(本小题满分 12 分) 某个实心零部件的形状是如图所示的几何体, 其下部是底面均是正方形, 侧面是全等的等腰 梯形的四棱台 A1B1C1D1-ABCD,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩 形的四棱柱 ABCD-A2B2C2D2。 (1) 证明:直线 B1D1⊥平面 ACC2A2; (2) 现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知 AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13 (单位:厘米),每平方厘米的加工处理费为 0.20 元,需加工处理费多少元?

解:(Ⅰ)因为四棱柱 ABCD ? A2 B2C2 D2 的侧面是全等的矩形, 所以 AA2 ? AB , AA2 ? AD . 又因为 AB ? AD ? A ,所以 AA2 ? 平面 ABCD. 连接 BD,因为 BD ? 平面 ABCD,所以 AA2 ? BD . 因为底面 ABCD 是正方形,所以 AC ? BD . 根据棱台的定义可知,BD 与 B1 D1 共面. 又已知平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1 ,且平面 BB1 D1 D ? 平面 ABCD ? BD , 平面 BB1 D1 D ? 平面 A1 B1C1 D1 ? B1 D1 ,所以 B1 D1∥BD. 于是 由 AA2 ? BD , AC ? BD ,B1 D1∥BD,可得 AA2 ? B1 D1 , AC ? B1 D1 . 又因为 AA2 ? AC ? A ,所以 B1 D1 ? 平面 ACC2 A2 . (Ⅱ)因为四棱柱 ABCD ? A2 B2C2 D2 的底面是正方形,侧面是全等的矩形,所以

S1 ? S四棱柱上底面 ? S四棱柱侧面 ? ( A2 B2 )2 ? 4 AB ? AA2 ? 102 ? 4 ?10 ? 30 ? 1300 (cm2 ) .
又因为四棱台 A1 B1C1 D1 ? ABCD 的上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰 梯形,

1 所以 S2 ? S四棱台下底面 ? S四棱台侧面 ? ( A1B1 )2 ? 4 ? (AB ? A1B1 )h等腰梯形的高 2
1 1 ? 202 ? 4 ? (10 ? 20) 132 ? [ (20 ? 10)]2 ? 1120 (cm 2 ) . 2 2

于是该实心零部件的表面积为 S ? S1 ? S2 ? 1300 ? 1120 ? 2420 (cm2 ) , 故所需加工处理费为 0.2 S ? 0.2 ? 2420 ? 484 (元). 【解析】本题考查线面垂直,空间几何体的表面积;考查空间想象,运算求解以及转化与划 归的能力.线线垂直 ? 线面垂直 ? 面面垂直是有关垂直的几何问题的常用转化方法;四棱 柱与四棱台的表面积都是由简单的四边形的面积而构成,只需求解四边形的各边长即可 .来 年需注意线线平行,面面平行特别是线面平行,以及体积等的考查. 35.【2012 高考广东文 18】本小题满分 13 分) 如图 5 所示,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? 平面 PAD , AB // CD , PD ? AD , E 是 PB 的中点, F 是 CD 上的点且 DF ? (1)证明: PH ? 平面 ABCD ; (2)若 PH ? 1, AD ? 2 , FC ? 1 ,求三棱 锥 E ? BCF 的体积; (3)证明: EF ? 平面 PAB .

1 AB , PH 为△ PAD 中 AD 边上的高. 2

【解析】(1)证明:因为 AB ? 平面 PAD , 所以 PH ? AB 。 因为 PH 为△ PAD 中 AD 边上的高, 所以 PH ? AD 。 因为 AB ? AD ? A , 所以 PH ? 平面 ABCD 。 (2)连结 BH ,取 BH 中点 G ,连结 EG 。 因为 E 是 PB 的中点, 所以 EG // PH 。 因为 PH ? 平面 ABCD , 所以 EG ? 平面 ABCD 。 则 EG ?

1 1 PH ? , 2 2

VE ? B C F ?

1 S? 3

BCF

1 1 ? EG ? ? ? 3 2

2 F?C A ? D ? EG 。 12

(3)证明:取 PA 中点 M ,连结 MD , ME 。 因为 E 是 PB 的中点, 所以 ME //

1 ? 2 AB 。

因为 DF //

1 ? 2 AB ,
?

所以 ME // DF , 所以四边形 MEDF 是平行四边形, 所以 EF // MD 。 因为 PD ? AD , 所以 MD ? PA 。 因为 AB ? 平面 PAD , 所以 MD ? AB 。 因为 PA ? AB ? A , 所以 MD ? 平面 PAB , 所以 EF ? 平面 PAB 。 36.【2102 高考北京文 16】(本小题共 14 分)如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分别为 AC, AB 的中点, 点 F 为线段 CD 上的一点, 将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置, 使 A1F⊥CD,如图 2。

(I)求证:DE∥平面 A1CB; (II)求证:A1F⊥BE; (III)线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由。 【考点定位】 本题第二问是对基本功的考查, 对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解决。 第三问的创新式问法,难度比较大。 解:(1)因为 D,E 分别为 AC,AB 的中点,所以 DE∥BC.又因为 DE ? 平面 A1CB,所以 DE∥ 平面 A1CB. (2) 由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC,所以 DE⊥AC.所以 DE⊥A1D,DE⊥CD.所以 DE⊥平面 A1DC.而 A1F ? 平面 A1DC, 所以 DE⊥A1F.又因为 A1F⊥CD,所以 A1F⊥平面 BCDE.所以 A1F⊥BE (3)线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ.理由如下:如图, 分别取 A1C,A1B 的中点 P,Q,则 PQ∥BC. 又因为 DE∥BC,所以 DE∥PQ.所以平面 DEQ 即为平面 DEP. 由(2)知 DE⊥平面 A1DC,所以 DE⊥A1C. 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点, 所以 A1C⊥DP,所以 A1C⊥平面 DEP,从而 A1C⊥平面 DEQ. 故线段 A1B 上存在点 Q,使得 A1C⊥平面 DEQ. 37. 【 2012 高考 浙江 文 20 】 ( 本题 满分 15 分 )如 图 ,在 侧 棱锥 垂 直底面 的 四棱 锥

ABCD-A1B1C1D1 中,AD∥BC,AD⊥AB,AB= 2 。AD=2,BC=4,AA1=2,E 是 DD1
的中点,F 是平面 B1C1E 与直线 AA1 的交点。 (1)证明:(i)EF∥A1D1; (ii)BA1⊥平面 B1C1EF; (2)求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值。 【答案】

【解析】 (1) (i) 因为 C1B1 / / A 1D 1 ,C1 B1 ? 平面 ADD1 A1,所以 C1 B1 / / 平面 ADD1 A1. 又因为平面 B1C1EF ? 平面 ADD1 A1= EF ,所以 C1B1 / / EF .所以 A1D1 / / EF .

(ii)

因为 BB1 ? A 1B 1C1 D 1 ,所以 BB 1 ? B 1C1 ,

又因为 BB1 ? B1 A1 ,所以 B1C1 ? ABB1 A 1, 在矩形 ABB1 A 1B 1 F ? tan ?AA 1B ? 1 中,F 是 AA 的中点,即 tan ?A 即

2 . 2

?A1B1F ? ?AA1B ,故 BA1 ? B1F .
所以 BA1 ? 平面 B1C1EF . (2) 设 BA1 与 B1F 交点为 H,连结 C1H . 由(1)知 B1C1EF ,所以 ?BC1 H 是 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角. 在矩形 ABB1 A 1 中,

AB ? 2 , AA1 ? 2 ,得 BH ?

4 4 ,在直角 ? BHC1 中, BC1 ? 2 3 , BH ? ,得 6 6

sin ?BC1H ?

30 BH 30 ,所以 BC 与平面 B1C1EF 所成角的正弦值是 . ? 15 BC1 15

38.【2012 高考陕西文 18】(本小题满分 12 分) 直三棱柱 ABC- A1B1C1 中,AB=A A1


?CAB =

? 2

(Ⅰ)证明 CB1 ? BA1 ; (Ⅱ)已知 AB=2,BC= 5 ,求三棱锥 C1 ? ABA1 【解析】(Ⅰ)如图,连结 AB1 , 的体积

? ABC ? A1B1C1 是直三棱柱, ?CAB =
? AC ? 平面 ABB1 A1 ,故 AC ? BA1 .

? 2



[来源:,

又? AB ? AA 1 ,? 四边形 ABB 1A 1 是正方形,

? BA1 ? AB1 ,又 CA ? AB1 ? A ,

? BA1 ? 平面 CAB1 ,故 CB1 ? BA1 .
(Ⅱ)? AB ? AA 1 ? 2 , BC ? 5 ,? AC ? AC 1 1 ? 1. 由(Ⅰ)知, AC 1 1 ? 平面 ABA 1,

1 ? VC1 ? ABA1 ? S△ 3

ABA1 · 1 1 =

AC

1 2 ? 2 ?1 ? . 3 3

39.【2012 高考辽宁文 18】(本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A B C , ?BAC ? 90 , AB ? AC ? 2, AA′=1,点 M,N 分别为
/ / / ?

A/ B 和 B / C / 的中点。
(Ⅰ)证明: MN ∥平面 A ACC ; (Ⅱ)求三棱锥 A ? MNC 的体积。
/ / /

(椎体体积公式 V=

1 Sh,其中 S 为地面面积,h 为高) 3

【命题意图】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算,考 查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,难度适中。 【解析】(1)(法一)连结 AB',AC' ,由已知 ?BAC =90?,AB=AC 三棱柱 ABC -A'B'C' 为直三棱柱, 所以 M 为 AB ' 中点.又因为 N 为 B'C' 中点 所以 MN //AC' ,又 MN ? 平面 A'ACC' AC' ? 平面 A'ACC' ,因此 MN //平面A'ACC' (法二)取 A?B ? 的中点为 P,连结 MP,NP,
/ / ∵ M , N 分别为 A B 和 B C 的中点,

……6 分

/

∴MP∥ AA? ,NP∥ A?C ? , ∴MP∥面 A?ACC ? ,NP∥面 A?ACC ? , ∵ MP ? NP ? P , ∵MN ? 面 A?ACC ? , ∴面 MPN∥面 A?ACC ? , ∴MN∥面 A?ACC ? .

(Ⅱ)(解法一)连结 BN,由题意 A?N ⊥ B?C ? ,面 A?B ?C ? ∩面 B?BCC ? = B?C ? , ∴ A?N ⊥⊥面 NBC, ∴ VA?? MNC ? VN ? A?MC ? ∵ A?N =

1 VN ? A?BC 2

1 B ?C ? =1, 2 1 1 ? VA?? NBC ? . 2 6

(解法 2) VA?? MNC ? VA?? NBC ?

1 1 1 VM ? NBC ? VA?? NBC ? 2 2 6

【解析】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算,考查空 间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明 线面平行,也可通过面面平行来证明;第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键,也 可以采用割补发来球体积。

E分 40.【2012 高考江苏 16】(14 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB 1 1 ? AC 1 1 ,D ,

F 为 B1C1 的中点. 别是棱 BC , CC1 上的点(点 D 不同于点 C ),且 AD ? DE ,
求证:(1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ; (2)直线 A1F // 平面 ADE .

【答案】证明:(1)∵ ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,∴ CC1 ? 平面 ABC 。 又∵ AD ? 平面 ABC ,∴ CC1 ? AD 。

CC1,DE ? 平面 BCC1 B1,CC1 ? DE ? E ,∴ AD ? 平 又∵ AD ? DE ,
面 BCC1 B1 。 又∵ AD ? 平面 ADE ,∴平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 。 (2)∵ A1 B1 ? A1C1 , F 为 B1C1 的中点,∴ A1 F ? B1C1 。 又∵ CC1 ? 平面 A1 B1C1 ,且 A1 F ? 平面 A1 B1C1 ,∴ CC1 ? A1 F 。

B1C1 ? 平面 BCC1 B1 , CC1 ? B1C1 ? C1 , 又∵ CC1, ∴ A1F ? 平面 A1 B1C1 。
由(1)知, AD ? 平面 BCC1 B1 ,∴ A1 F ∥ AD 。 又∵ AD ? 平面 ADE , A1 F ? 平面 ADE ,∴直线 A1F // 平面 ADE 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。 【解析】(1)要证平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ,只要证平面 ADE 上的 AD ? 平面 BCC1 B1 即 可。它可由已知 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱和 AD ?D E 证得。 (2)要证直线 A1F // 平面 ADE ,只要证 A1 F ∥平面 ADE 上的 AD 即可。 41.【2102 高考福建文 19】(本小题满分 12 分)

如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 为棱 DD1 上的一点。

(1) 求三棱锥 A-MCC1 的体积; (2) 当 A1M+MC 取得最小值时,求证:B1M⊥平面 MAC。 考点:立体几何。 难度:中。 分析:本题考查的知识点为棱锥的体积,和垂直的判定。 解答: (I)点 A 到面 MCC1 的距离为 AD ? 1 得:三棱锥 A ? MCC1 的体积 V ?

1 1 1 1 S MCC1 ? AD ? ? ? CC1 ? CD ? AD ? 3 3 2 3
?

(II)将矩形 DD1C1C 饶 DD1 按逆时针旋转 90 展开,与矩形 DD1 A1 A 共面

M 是棱 DD1 的中点时, A1 M ? MC 取得最小值 A1M ? MC ? AC 1 ,当且仅当点
在 ?MB1 A 中, MA ?

2, AB1 ? 5, MB1 ? B1C12 ? C1 D12 ? D1M 2 ? 3

得: AB12 ? MA2 ? MB12 ? MA ? MB1 同理: MC ? MB1 , MC ? MA ? M ? B1M ? 面 MAC 42.【2012 高考江西文 19】(本小题满分 12 分) 如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,E,F 是线段 AB 上的两点,且 DE⊥AB,CF⊥AB, AB=12,AD=5,BC=4 2 ,DE=4.现将△ADE,△CFB 分别沿 DE,CF 折起,使 A,B 两 点重合与点 G,得到多面体 CDEFG.

(2)求证:平面 DEG⊥平面 CFG; (3)求多面体 CDEFG 的体积。 【解析】(1)由已知可得 AE=3,BF=4,则折叠完后 EG=3,GF=4,又因为 EF=5,所以可 得 EG ? GF

又因为 CF ? 底面EGF ,可得 CF ? EG ,即 EG ? 面CFG 所以平面 DEG⊥平面 CFG. ( 2 ) 过 G 作 GO 垂 直 于 EF , GO 即 为 四 棱 锥 G-EFCD 的 高 , 所 以 所 求 体 积 为

1 1 12 S正方形D E C F? G O ? ?5 ?5 ? ?2 0 3 3 5
43.【2012 高考上海文 19】本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ⊥底面 ABC , D 是 PC 的中点,已知∠ BAC =

? , 2

AB ? 2 , AC ? 2 3 , PA ? 2 ,求:
(1)三棱锥 P ? ABC 的体积 (2)异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)

[解](1) S?ABC ? 1 ? 2? 2 3 ? 2 3 , 2 三棱锥 P-ABC 的体积为

2分

V?1 S ? PA ? 1 ? 2 3 ? 2 ? 4 33 . 3 ?ABC 3

6分

P

(2)取 PB 的中点 E,连接 DE、AE,则 ED∥BC,所以∠ADE(或其补角)是异面直线 BC 与 AD 所成的角. 8分 在三角形 ADE 中,DE=2,AE= 2 ,AD=2,
2 ?2 ,所以∠ADE= arccos3 . cos?ADE ? 2 2? ?3 4 ?2?2 4
2 2

E A B

D

C

因此,异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小是 arccos3 . 4

12 分

【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证 能力. 综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解, 同时考查空间几何体的体积公式的运 用.本题源于《必修 2》立体几何章节复习题,复习时应注重课本,容易出现找错角的情况, 要考虑全面,考查空间想象能力,属于中档题.



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