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人教版高中数学必修4课后习题答案详解


第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 练习(P77) 1、略. 2、 ,. 这两个向量的长度相等,但它们不等. 3、 , , ,. 4、 (1)它们的终点相同; (2)它们的终点不同. 习题 2.1 A 组(P77) 1、 (2). 3、与相等的向量有: ;与相等的向量有: ; 与相等的向量有:. 4、与相等的向量有: ;与相等的向量有: ; 与相等的向量有:

5、. 6、 (1)×; (2)√; (3)√; (4)×. 习题 2.1 B 组(P78) 1、海拔和高度都不是向量. 2、相等的向量共有 24 对. 模为 1 的向量有 18 对. 其中与同向的共有 6 对,与反向的 也有 6 对;与同向的共有 3 对,与反向的也有 6 对;模为的向量共有 4 对;模为 2 的向量有

2对 2.2 平面向量的线性运算 练习(P84) 1、图略. 2、图略. 3、 ( 1) ; (2). 4、 (1) ; (2) ; (3) ; (4). 练习(P87) 1、图略. 2、 , , , ,. 3、图略. 练习(P90) 1、图略. 2、 ,. 说明:本题可先画一个示意图,根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是与反向. 3、 (1) ; (2) ; (3) ; (4). 4、 (1)共线; (2)共线. 5、 (1) ; (2) ; (3). 6、图略. 习题 2.2 A 组(P91) 1、 (1)向东走 20 km; (2)向东走 5 km; (3)向东北走 km; (4)向西南走 km; (5)向西北走 km; (6)向东南走 km. 2、飞机飞行的路程为 700 km;两次位移的合成是向北偏西 53°方向飞行 500 km. 3、解:如右图所示:表示船速,表示河水 的流速,以、为邻边作□,则 表示船实际航行的速度. 在 Rt△ABC 中, , , 所以 因为,由计算器得 所以,实际航行的速度是,船航行的方向与河岸的夹角约为 76°. 4、 (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7). 5、略 6、不一定构成三角形. 说明:结合向量加法的三角形法则,让学生理解,若三个非零 向量的和为零向量,且这三个向量不共线时,则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角 形. 7、略. 8、 (1)略; (2)当时, 9、 (1) ; (2) ; (3) ; (4). 10、 , ,. 11、如图所示, , , ,. 12、 , , , , , ,. 13、证明:在中,分别是的中点, 所以且, 即; 同理, , 所以. 习题 2.2 B 组(P92)

1、丙地在甲地的北偏东 45°方向,距甲地 1400 km. 2、不一定相等,可以验证在不共线时它们不相等. 3、证明:因为,而, , 所以. 4、 (1)四边形为平行四边形,证略 (2)四边形为梯形. 证明:∵, ∴且 ∴四边形为梯形. (3)四边形为菱形. 证明:∵, ∴且 ∴四边形为平行四边形 又 ∴四边形为菱形. 5、 (1)通过作图可以发现四边形为平行四边形. 证明:因为, 而 所以 所以,即∥. 因此,四边形为平行四边形. 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 练习(P100) 1、 (1) , ; (2) , ; (3) , ; (4) ,. 2、 ,. 3、 (1) , ; (2) , ; (3) , ; (4) , 4、∥. 证明: , ,所以.所以∥. 5、 (1) ; (2) ; (3). 6、或 7、解:设,由点在线段的延长线上,且,得 , ∴ ∴ ∴,所以点的坐标为. 习题 2.3 A 组(P101) 1、 (1) ; (2) ; (3). 说明:解题时可设,利用向量坐标的定义解题. 2、 3、解法一: , 而,. 所以点的坐标为. 解法二:设,则, 由可得, ,解得点的坐标为. 4、解: ,.

, ,. ,所以,点的坐标为; ,所以,点的坐标为; ,所以,点的坐标为. 5、由向量共线得,所以,解得. 6、 , , ,所以与共线. 7、 ,所以点的坐标为; ,所以点的坐标为; 故 习题 2.3 B 组(P101) 1、 ,. 当时, ,所以; 当时, ,所以; 当时, ,所以; 当时, ,所以. 2、 (1)因为, ,所以,所以、 、三点共线; (2)因为, ,所以,所以、 、三点共线; (3)因为, ,所以,所以、 、三点共线. 3、证明:假设,则由,得. 所以是共线向量,与已知是平面内的一组基底矛盾, 因此假设错误,. 同理. 综上. 4、 (1). (2)对于任意向量,都是唯一确定的, 所以向量的坐标表示的规定合理. 2.4 平面向量的数量积 练习(P106) 1、. 2、当时,为钝角三角形;当时,为直角三角形. 3、投影分别为,0,. 图略 练习(P107) 1、 , ,. 2、 , , ,. 3、 , , ,. 习题 2.4 A 组(P108) 1、 , ,. 2、与的夹角为 120°,. 3、 ,. 4、证法一:设与的夹角为. (1)当时,等式显然成立; (2)当时,与,与的夹角都为, 所以 所以 ; (3)当时,与,与的夹角都为, 则

所以 ; 综上所述,等式成立. 证法二:设, , 那么

所以 ; 5、 (1)直角三角形,为直角. 证明:∵, ∴ ∴,为直角,为直角三角形 (2)直角三角形,为直角 证明:∵, ∴ ∴,为直角,为直角三角形 (3)直角三角形,为直角 证明:∵, ∴ ∴,为直角,为直角三角形 6、. 7、. ,于是可得, ,所以. 8、 ,. 9、证明:∵, , ∴, ∴为顶点的四边形是矩形. 10、解:设, 则,解得,或. 于是或. 11、解:设与垂直的单位向量, 则,解得或. 于是或. 习题 2.4 B 组(P108) 1、证法一: 证法二:设, ,. 先证 , 由得,即 而,所以 再证 由得 ,

即,因此 2、. 3、证明:构造向量,. ,所以 ∴ 4、的值只与弦的长有关,与圆的半径无关. 证明:取的中点,连接, 则, 又,而 所以 5、 (1)勾股定理:中, ,则 证明:∵ ∴. 由,有,于是 ∴ (2)菱形中,求证: 证明:∵, ∴. ∵四边形为菱形,∴,所以 ∴,所以 (3)长方形中,求证: 证明:∵ 四边形为长方形,所以,所以 ∴. ∴,所以,所以 (4)正方形的对角线垂直平分. 综合以上(2) (3)的证明即可. 2.5 平面向量应用举例 习题 2.5 A 组(P113) 1、解:设, 则, 由得,即 代入直线的方程得. 所以,点的轨迹方程为. 2、解: (1)易知,∽,, 所以. (2)因为 所以,因此三点共线,而且 同理可知: ,所以 3、解: (1) ; (2)在方向上的投影为. 4、解:设,的合力为,与的夹角为, 则, ; ,与的夹角为 150°. 习题 2.5 B 组(P113) 1、解:设在水平方向的速度大小为,竖直方向的速度的大小为, 则,.

设在时刻时的上升高度为,抛掷距离为,则 所以,最大高度为,最大投掷距离为. 2、解:设与的夹角为,合速度为,与的夹角为,行驶距离为. 则,. ∴. 所以当,即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、 (1) 解:设,则. . 将绕点沿顺时针方向旋转到,相当于沿逆时针方向旋转到, 于是 所以,解得 (2) 解:设曲线上任一点的坐标为,绕逆时针旋转后,点的坐标为 则,即 又因为,所以,化简得 第二章 复习参考题 A 组(P118) 1、 (1)√; (2)√; (3)×; (4)×. 2、 (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6). 3、 , 4、略解: , , , 5、 (1) , ; (2) , ; (3). 6、与共线. 证明:因为, ,所以. 所以与共线. 7、. 8、. 9、. 10、 11、证明: ,所以. 12、. 13、 ,. 14、 第二章 复习参考题 B 组(P119) 1、 (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7). 2、证明:先证. ,. 因为,所以,于是. 再证. 由于, 由可得,于是 所以. 【几何意义是矩形的两条对角线相等】 3、证明:先证 又,所以,所以 再证.

由得,即 所以

【几何意义为菱形的对角线互相垂直,如图所示】

4、 , 而, ,所以 5、证明:如图所示, ,由于, 所以, 所以 所以,同理可得 所以,同理可得, ,所以为正三角形. 6、连接. 由对称性可知,是的中位线,. 7、 (1)实际前进速度大小为(千米/时) , 沿与水流方向成 60°的方向前进; (2)实际前进速度大小为千米/时, 沿与水流方向成的方向前进. 8、解:因为,所以,所以 同理, , ,所以点是的垂心. 9、 (1) ; (2)垂直; (3)当时,∥;当时, , 夹角的余弦; (4)

第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习(P127) 1、. . 2、解:由,得; 所以. 3、解:由,是第二象限角,得; 所以. 4、解:由,得; 又由,得. 所以. 练习(P131) 1、 (1) ; (2) ; (3) ; (4). 2、解:由,得; 所以. 3、解:由,是第三象限角,得; 所以. 4、解:.

5、 (1)1; (2) ; (3)1; (5)原式=; (6)原式=. 6、 (1)原式=; (2)原式=; (3)原式=; (4)原式=. 7、解:由已知得, 即, 所以. 又是第三象限角, 于是. 因此. 练习(P135) 1、解:因为,所以 又由,得, 所以

(4) ;

2、解:由,得,所以 所以 3、解:由且可得, 又由,得,所以. 4、解:由,得. 所以,所以 5、 (1) ; (2) ; (3)原式=; (4)原式=. 习题 3.1 A 组(P137) 1、 (1) ; (2) ; (3) ; (4). 2、解:由,得, 所以. 3、解:由,得, 又由,得, 所以. 4、解:由,是锐角,得 因为是锐角,所以, 又因为,所以 所以 5、解:由,得 又由,得 所以

6、 (1) ; (2) ; (3). 7、解:由,得. 又由,是第三象限角,得. 所以

8、解:∵且为的内角 ∴, 当时, ,不合题意,舍去 ∴ ∴ 9、解:由,得. ∴. ∴. . 10、解:∵是的两个实数根. ∴,. ∴. 11、解:∵ ∴ 12、解:∵ ∴ ∴ 又∵,∴ 13、 (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) ; (8) ; (9) ; (10). 14、解:由,得 ∴ 15、解:由,得 ∴

16、解:设,且,所以. ∴

17、解: ,. 18、解: ,即 又,所以 ∴ ∴ 19、 (1) ; (2) ; (3) ; (4). 习题 3.1 B 组(P138) 1、略. 2、解:∵是的方程,即的两个实根 ∴, ∴ 由于,所以. 3、反应一般的规律的等式是(表述形式不唯一) (证明略) 本题是开放型问题,反映一般规律的等式的表述形式还可以是:

,其中,等等 思考过程要求从角,三角函数种类,式子结构形式三个方面寻找共同特点,从而作出归 纳. 对认识三角函数式特点有帮助,证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高. 4、因为,则 即 所以 3.2 简单的三角恒等变换 练习(P142) 1、略. 2、略. 3、略. 4、 (1). 最小正周期为,递增区间为,最大值为; (2). 最小正周期为,递增区间为,最大值为 3; (3). 最小正周期为,递增区间为,最大值为 2. 习题 3.2 A 组( P143) 1、 (1)略; (2)提示:左式通分后分子分母同乘以 2; (3)略; (4)提示:用代替 1,用代替; (5)略; (6)提示:用代替; (7)提示:用代替,用代替; (8)略. 2、由已知可有......①,......② (1)②×3-①×2 可得 (2)把(1)所得的两边同除以得 注意:这里隐含与①、②之中 3、由已知可解得. 于是 ∴ 4、由已知可解得, ,于是. 5、 ,最小正周期是,递减区间为.

习题 3.2 B 组(P143) 1、略. 2、由于,所以 即,得 3、设存在锐角使,所以, , 又,又因为, 所以 由此可解得, ,所以. 经检验,是符合题意的两锐角. 4、线段的中点的坐标为. 过作垂直于轴,交轴于,. 在中,. 在中, , . 于是有 , 5、当时, ; 当时, ,此时有; 当时, ,此时有; 由此猜想,当时, 6、 (1) ,其中 所以,的最大值为 5,最小值为﹣5; (2) ,其中 所以,的最大值为,最小值为; 第三章 复习参考题 A 组(P146) 1、. 提示: 2、. 提示: 3、1. 4、 (1)提示:把公式变形; (2) ; (3)2; (4). 提示:利用(1)的恒等式. 5、 (1)原式=; (2)原式= =; (3)原式= =; (4)原式= 6、 (1) ; (2) ; (3). 提示: ; (4). 7、由已知可求得, ,于是. 8、 (1)左边= =右边

(2)左边= =右边 (3)左边= =右边 (4)左边= =右边 9、 (1) 递减区间为 (2)最大值为,最小值为. 10、 (1)最小正周期是; (2)由得,所以当,即时,的最小值为. 取最小值时的集合为. 11、 (1)最小正周期是,最大值为; (2)在上的图象如右图: 12、. (1)由得; (2). 13、如图,设,则, , 所以, 当,即时,的最小值为. 第三章 复习参考题 B 组(P147) 1、解法一:由,及,可解得, ,所以, , . 解法二:由 得, ,所以. 又由,得. 因为,所以. 而当时, ; 当时,. 所以,即 所以,. 2、把两边分别平方得 把两边分别平方得 把所得两式相加,得, 即,所以 3、由 可得 ,. 又,所以,于是. 所以 4、 由得,又, 所以,

所以, ,, 所以, 5、把已知代入,得. 变形得, , 本题从对比已知条件和所证等式开始,可发现应消去已知条件中含的三角函数. 考虑,这两者又有什么关系?及得上解法. 5、6 两题上述解法称为消去法 6、. 由 得,于是有. 解得. 的最小值为, 此时的取值集合由,求得为 7、设, , , ,则, 于是 又的周长为 2,即,变形可得 于是. 又,所以,. 8、 (1)由,可得 解得或(由,舍去) 所以,于是 (2)根据所给条件,可求得仅由表示的三角函数式的值, 例如, , , , ,等等. ?? ?? ?? ?? 数学必修四答案详解


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