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高中数学 2.3《幂函数》 (第一课时)课件 新人教A版必修1


2.3

幂 函 数

(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她 w元 需要支付P = ______ y=x a? (2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S = ____ y=x2 a? (3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V = ____ y=x3 (4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边 1 1

长_________ a ?S2 y=x 2 (5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均 速度v=__________ t?? km/s y=x-1

y?x 以上问题中的函数具有什么共同特征?
a

? 1.幂函数的定义:形如 的函数叫做幂函数。 其中x是自变量, 是常数.

y?x

?

幂函数的特点:
1) 系数是1;

2) 指数为常数;
3) 均是以自变量为底的幂。 4)幂函数和指数函数的异同:两者都具有幂的形式,但 指数函数的自变量位于指数上,幂函数的自变量是底数.

判一判
判断下列函数是否为幂函数.
(1) y=x4 1 ( 2) y ? 2 x (3) y= -x2

(4) y ? x

1 2

(5) y=2x2 (6) y=x3+2

下面研究幂函数 研究

y?x .
a

y=x

y?x

2

y?x

3

y?x

1 2

y?x

?1

y=x0 在同一平面直角坐标系内作出这
六个幂函数的图象.

结合图象,研究性质:定义域、值域、 单调性、奇偶性、过定点的情况等。

4

3

y=x

2

1

(1,1)
2 4 6

-6

-4

-2

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

(2,4) y=x2 y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x

3

2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2 4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4 6

-1

(-1,-1)
-2

-3

-4

观察幂函数图象,将你发现的结论写在下表:
y=x 定义域 值域 奇偶性 R R y=x2 R y=x3 y=x
1 2

y=x-1

R [0,+∞) R [0,+∞)

{x|x≠0}
{y|y≠0}

[0,+∞)







非奇 非偶



在R 在(-∞,0]上减, 在R上 单调性 上增 在[0,+∞)上增, 增

在[0, 在(-∞,0)上减, +∞)上增, 在(0,+∞)上减

公共点

(1,1)

练习: 如图所示,曲线是幂函数 y = xk 在第一象

1 限内的图象,已知 k分别取 ?1,1, , 2 四个 2
C4 C2 C 值,则相应图象依次为:________3 C1

例1. 利用单调性判断下列各值的大小。

(1)(?4.6) , (?4.5)
3

3

(2)3.1 ,3.2 ,3.1

1 2

1 2

1 3

例2. 利用单调性判断下列各值的大小。

(3)5.20.8 与 5.30.8
解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数, ∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8

一般幂函数的性质
(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1,1); (2) 如果α>0,则幂函数图象过原点,并且在 区间[0,+∞)上是增函数; (3) 如果α<0,则幂函数图象在区间(0,+∞) 上是减函数,

单调性: 奇偶性:

(4) 当α为奇数时,幂函数为奇函数;当α为偶数时, 幂函数为偶函数.

例3
如果函数 f ( x) ? (m ? m ?1)x
2 m2 ?2m?3

是幂函数,

且在区间(0,+∞)内是减函数,求满足条件的
实数m的集合。

解:依题意,得 m ? m ? 1 ? 1 解方程,得 m=2或m=-1 ?3 检验:当 m=2时,函数为 f ( x) ? x 0 符合题意.当m=-1时,函数为 f ( x) ? x ? 1 不合题意,舍去.所以m=2
2

练习2
1)

1.3
?2

0.5<

1.5

0.5

5.1 < 5.09?2 2)
3) ?1.79 > ?1.81 4)
1 4

1 4

(2 ? a )

2 ? 2 3 ≤

2

2 ? 3

例3

证明幂函数 f ( x) ? x 在[0,+∞)上是增函数.

复习用定义证明函数的单调性的步骤: (1). 设x1, x2是某个区间上任意二值,且x1<x2; (2). 作差 f(x1)-f(x2),变形 ; (3). 判断 f(x1)-f(x2) 的符号;(4). 下结论. 证明:任取

x1, x2 ?[0,??),且x1 ? x2 , 则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ?
?

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) x1 ? x2

x1 ? x2 , ? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 ). x1 ? x2

所以幂函数 f ( x) ? x 在[0,+∞)上是增函数.

证明幂函数 f ( x) ? x 在[0,+∞)上是增函数. 证法二: 任取x1 ,x2 ∈[0,+∞),且x1< x2 ;

x1 f ( x1 ) x1 ? ? ?1 f ( x2 ) x2 x2
所以



f ( x1 ) ? f ( x2 )

f ( x) ?

x在?0, ??为增函数 ?

(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有 理化的方式。 (2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不 一定能推出f(x1)<f(x2)。

课堂小结:

本节知识结构: 幂函数

定义

五个特殊幂函数
图象 基本性质

P79习题2.3: 1,2,3.


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