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江西省南城县第一中学2015-2016学年高二12月月考数学(理)试题


南城一中 2017 届高二上学期 12 月份月考 理科数学试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一个选项是符合题目要求的.)21·cn·jy·com 1.已知 M ? y ? R | y ? x 2 , N ? x ? R | x 2 ? y 2 ? 2 ,则 M ? N ? ( ) A. ??? 1,1?

, ?1,1??

?

?

?

?

B. ? 1 ?

C. ?0,1?

? D. ? ?0, 2 ?

2.设命题 p : ?n ? N , n 2 ? 2n ,则 ?p 为( ) 2 n A. ?n ? N , n ? 2 B. ?n ? N , n 2 ? 2n C. ?n ? N , n 2 ? 2n D. ?n ? N , n 2 =2n 3.某中学从甲、乙两个艺术班中选出 7 名学生参加市级才艺 比赛,他们取得的成绩(满分 100)的茎叶图如图所示,其 中甲班学生成绩的众数是 85,乙班学生成绩的中位数是 83, 则 x ? y 的值为( )2·1·c·n·j·y A.6 B.8 C.9 D.11 4.“ sin ? ? cos ? ”是“ cos 2? ? 0 ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5、已知 {an } 是等差数列,公差 d 不为零,前 n 项和是 S n ,若 a3 , a4 , a8 成等比 数列,则( ) A. a1d ? 0, dS 4 ? 0 B. a1d ? 0, dS 4 ? 0 C. a1d ? 0, dS 4 ? 0 D. a1d ? 0, dS 4 ? 0 6、执行如图所示的程序框图,若输出 S ? 15 ,则框图中①处可以填入 ( ) A. n ? 4 ? B. n ? 8? C. n ? 16? D. n ? 16? ??? ? ??? ? 7.已知 ? 是 ??? C 内的一点,且 ??? ?C ? 2 3 , ???C ? 30? , 1 4 1 若 ???C , ??C? 和 ???? 的面积分别为 、 x 、 y ,则 ? 的 2 x y 最小值是( ) A. 20 B. 18 C. 16 D. 9 2 2 ?y ? x ? 0 8.已知 P ( x, y ) 为区域 ? 内的任意一点,当该区域的面 ?0 ? x ? a 积为 4 时, z ? 2 x ? y 的最大值是( ) A. 6 B. 0 C. 2 D. 2 2
4 2

9.已知某几何体的三视图(单位:Cm)如图所示, 则该几何体的体积为( ) 3 A.108cm B.100cm3 C.92cm3 D.84cm3

3
4 2

3
1

x2 y 2 10.如图, F1 、 F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 a b F1 的直线 l 与双曲线的左、右两支分别交于点 A 、 B .若 ?ABF2 为等边

三角形,则双曲线的离心率为( A.4 B. 7

) C.

2 3 D. 3 3 11.若 a , b 是函数 f ? x ? ? x2 ? px ? q ? p ? 0, q ? 0? 的两个不同的零点,

且 a, b, ?2 这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等 比数列,则 P ? q 的值等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 12.定义:分子为 1 且分母为正整数的分数称为单位分数.我们可以把 1 分拆 1 1 1 1 1 1 1 为 若 干 个 不 同 的 单 位 分 数 之 和 . 如 : 1? ? ? , 1? ? ? ? , 2 3 6 2 4 6 12 1 1 1 1 1 1? ? ? ? ? , 【来源:21·世纪·教育·网】 2 5 6 12 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 依此类推可得: 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2 6 12 m n 30 42 56 72 90 110 132 156 x? y?2 其中 m ? n , m, n ? N * .设 1 ? x ? m,1 ? y ? n ,则 的最小值为( ) x ?1 5 8 23 34 A. B. C. D. 2 7 2 3

第 II 卷(非选择题)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线 上. ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ???? ? 13.已知 O 为 ?ABC 内一点,满足 OA ? OB ? OC ? 0 , AB ? AC ? 2 ,且 ?BAC ? , 3 则 ?OBC 的面积为__________. 14. 已知 x ? ? 0, ??? ,不等式 x ?
x? a ? n ? 1 ,则 a 等于 xn 1 4 27 ? 2 , x ? 2 ? 3 , x ? 3 ? 4 ,?,可推广为 x x x



15.已知抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,过点 F 倾斜角为 60o 的直线 l 与 抛物线 C 在 第一、四象限分别交于 A、B 两点,则
AF 的值等于___________. BF

16.对于函数 f ( x) ? x | x | ? px ? q ,现给出四个命题: ① q ? 0 时, f ( x) 为奇函数; ② y ? f ( x) 的图象关于 (0, q ) 对称; ③ p ? 0, q ? 0 时,方程 f ( x) ? 0 有且只有一个实数根;
2

④方程 f ( x) ? 0 至多有两个实数根 其中正确命题的序号为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.应写出必要的文字说明、证明过程及 演算步骤 17、(10 分)一个盒子中装有 5 个编号依次为 1、2、3、4、5 的球,这 5 个球 除号码外完全相同,有放回的连续抽取两次,每次任意地取出一个球. ⑴求事件 A=“取出球的号码之和不小于 6”的概率; ⑵设第一次取出的球号码为 x,第二次取出的球号码为 y,求事件 B=“点(x,y) 落在直线 y = x+1 上方”的概率.

?? ? 18、设 f ? x ? ? sin x cos x ? cos 2 ? x ? ? . 4? ? ⑴求 f ? x ? 的单调区间;
? A? ⑵在锐角 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ? ? ? 0, a ? 1 ,求 ?ABC 面 ?2? 积的最大值.

19.如图,在四棱锥 S—ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,侧棱 SA⊥底面 ABCD, AB 垂直于 AD 和 BC,SA=AB=BC=2,AD=1.M 是棱 SB 的中点.

⑴求证:AM//平面 SCD;
3

⑵求平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角的余弦值; ⑶设点 N 是直线 CD 上的动点, MN 与平面 SAB 所成的角为θ , 求 sin ? 的最大值.

20.(本小题满分 12 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且对任意的 n ? N * 都有

Sn ? 2an ? n , ⑴求数列 {an } 的前三项 a1 , a2 , a3a ; 4 ⑵猜想数列 {an } 的通项公式 an ,并用数学归纳法证明; 1 1 1 1 ⑶求证:对任意 n ? N * 都有 ? ? ??? ? 1. a2 ? a1 a3 ? a2 a4 ? a3 an ?1 ? an

21.(12 分)已知函数 f ? x ? ? x ? m ,函数 g ? x ? ? xgf ? x ? ? m2 ? 7m . ⑴若 m ? 1 ,求不等式 g ?x ? ? 0 的解集; ⑵若对任意 x1 ? ?? ?,4? ,均存在 x2 ??3, ??? ,使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? 成立,求实数 m 的 取值范围.

x2 y2 2 + 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率是 ,过点 P(0,1)的动直 2 a b 2 线 l 与椭圆相交于 A,B 两点,当直线 l 平行与 x 轴时,直线 l 被椭圆 E 截得的线 段长为 2 2 .21 世纪教育网版权所有 ⑴求椭圆 E 的方程;
22.如图,椭圆 E:

4

⑵在平面直角坐标系 xOy 中,是否存在与点 P 不同的定点 Q,使得 成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.21 教育网

QA PA 恒 ? QB PB

江西省南城一中 12 月考 高二理科数学参考答案

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每题只有一个正确答 案) 1.D 2.C 3.B 4.A 5.B 6.C 7.B 8.A 9. B 10.B 11.D 12.C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 解答题 17.
次数 1 2 3 4 5 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (1)由上表可知基本事件共 25 个,事件 A 共包括 15 个基本事件,故所求事件 A 的概率为 P(A)=

3 3

14. n n

15. 3

16. ①②③.

15 3 ? . 25 5

5

(2)由上表可知基本事件共 25 个,事件 B 共包括有(1,3) , (1,4) , (1,5) , (2,4) , (2,5) (3,5)共 6 个基本事件,故所求的概率为 P(B)=

6 25

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?? ? 1 ? cos ? 2 x ? ? sin 2 x 2? ? 18.(I)由题意知 f ? x ? ? ? 2 2
? sin 2 x 1 ? sin 2 x 1 ? ? sin 2 x ? 2 2 2

由? 由

?

?
2

2

? 2 k? ? 2 x ?

?

? 2 k? ? 2 x ?

3? ? 3? ? 2k? , k ? Z 可得 ? k? ? x ? ? k? , k ? Z 2 4 4

2

? 2k? , k ? Z 可得 ?

?
4

? k? ? x ?

?
4

? k? , k ? Z

所以函数 f ? x ? 的单调递增区间是 ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? ; 4 ? 4 ? 单调递减区间是 ?

? ?

?

?

3? ?? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 4 ?4 ?

19 ( 1 )

建 立 空 间 直 角 坐 标 系 求 得 平 面 S C D的 法 向 量

? n ? ?2 , ? 1?, 1



???? ? ? ???? ? ? ? AM ? n ? 0,???? AM ? n.???? AM / /平面SCD. ( 2 ) 根 据 已 知 平 面 SAB 的 法 向 量 为 ? ???? ? n1 ? ?1,0,0? ?则?MN ? (x , 2x ? 3,? 1), ,由二面角公式可求得; (3)设 N ( x, 2x ? 2, 0),

6



线

















? sin ? ?|

x 5 x ? 12 x ? 10
2

|?

1 1 1 10 ? ( ) 2 ? 12 ? ? 5 x x

?

, 1 3 2 7 10( ? ) ? x 5 5 即可求得最值

1

试题解析:(1)以点 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0), B(0,2,0), C(2,2,0), D(1,0,0), S(0,0,2), M(0,1,1).

???? ? ??? ? ??? ? ? ? AM ? (0,1,1),??SD ? (1,0, ?2),??CD ? (?1, ?2,0).
设平面 SCD 的法向量为 n =(x,y,z),

?

??? ? ? ? ?x ? 2z ? 0 ? SD ? n ? 0 则 ? ??? ,??即?? , ? ? ? x ? 2 y ? 0 CD ? n ? 0 ? ? ? ? 令?z ? 1,?得?n ? (2, ?1,1). ???? ? ? ???? ? ? ? AM ? n ? 0,???? AM ? n.???? AM / /平面SCD.

(4 分)

?? n (2)易知平面 SAB 的一个法向量为 1 =(1,0,0).
? ,?易知?0 ? ? ?
设平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角为

?
2

,

?? ? n1 ? n 2 6 6 | cos ? |?| ?? ? |? ? ,?即?cos ? ? 3 3 | n1 | ? | n | 1? 6 则
6 ∴平面 SCD 与平面 SAB 所成的二面角的余弦值为 3 ???? ? N ( x ,2 x ? 2,0), ? 则 ? MN ? ( x,2 x ?3, ?1) (3)设

(4 分)

?? n 易知平面 SAB 的一个法向量为 1 =(1,0,0).
? sin ? ?| x 5 x ? 12 x ? 10
2

|?

1 1 1 10 ? ( ) 2 ? 12 ? ? 5 x x

?

1 1 3 7 10( ? ) 2 ? x 5 5

,

1 3 5 35 ? ,?即?x ? 时, ?sin ? ?取得最大值, ?且(sin ? )max ? . 3 7 当x 5

(4 分)

20. 试题分析:(1)分别令 n ? 1, n ? 2, n ? 3 即可求出;(2)根据第(1)问得结论,猜

1 1 ? ( )n 2 , 想出通向公式,并用数学归纳法证明;(3)由(2)求出 an?1 ? an ? 2 , an ?1 ? an
n

则不等式的左边为等比数列前 n 项和,求出后知不等式显然成立.www.21-cn-jy.com

7

试题解析:(1)令 n ? 1 得, S1 ? 2a1 ? 1 ? a1 ,故 a1 ? 1 ; 令 n ? 2 得, S2 ? 2a2 ? 2 ? a1 ? a2 ? 1 ? a2 ,故 a2 ? 3 ; 令 n ? 3 得, S3 ? 2a3 ? 3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 1 ? 3 ? a3 ,故 a3 ? 7 ; (2)由(1)可以猜想 an ? 2n ? 1 , 下面用数学归纳法进行证明: ①当 n ? 1 时,结论显然成立; ② 假 设 当 n ? k 时 结 论 成 立 , 即 ak ? 2k ? 1 , 从 而 由 已 知 Sn ? 2an ? n 可 得 :

Sk ? 2ak ? k ? 2 (k2? ? 1k )?

k ?1

2 ? k ? .故 2 Sk ?1 ? 2k ?2 ? k ? 3 .

∴ ak ?1 ? Sk ?1 ? Sk ? (2k ?2 ? k ? 3) ? (2k ?1 ? k ? 2) ? 2k ?1 ?1 . 即,当 n ? k ? 1 时结论成立. 综合①②可知,猜想 an ? 2n ? 1 对任意 n ? N 都成立.
*

所以数列 {an } 的通项为 an ? 2n ? 1 . (3)∵ an ? 2n ? 1 ,∴ an?1 ? an ? (2n?1 ?1) ? (2n ?1) ? 2n , ∴

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 2 ? 3 ?? ? n ? 1? n ? 1 a2 ? a1 a3 ? a2 a4 ? a3 an?1 ? an 2 2 2 2 2
*

∴对任意 n ? N 都有

1 1 1 1 ? ? ??? ? 1. a2 ? a1 a3 ? a2 a4 ? a3 an ?1 ? an

21.试题解析:(1)依题意得 x x ?1 ? 6 ? 0
2 当 x ? 1时, x ? x ? 6 ? 0 ,∴ x ? 3或x ? ?2 ,∴ x ? 3 ; 2 当 x ? 1时, x ? x ? 6 ? 0 ,无解

所以原不等式的解集为 [3, ??) (2)因为 g ( x) ? x | x ? m | ?m2 ? 7m

m? 3 ? 所以当 x ? m时g ( x) ? ? x ? ? ? m2 ? 7m ; 2? 4 ?
当 x ? m时g ( x) ? ?? x ?

2

? ?

m? 5 2 ? ? m ? 7m 2? 4
8

2

所以当 m ? 0时, 0?

m ?m, 2
m m ]上单调增,在 [ , m]上单调减 2 2

g ( x)在[m,?? )上单调增,在 (?? ,
当 m ? 0时,m ?

m ? 0, 2
m ]上单调减,在 [m,?? ]上单调增 2

则 g ( x)在(?? , m)上单调增,在 [m, 当 m ? 0时,g ( x)在R上单调增, 又因为 x ? [3,??)

所以①当 m ? 3 时, g ( x)在[3,??) 上单调增,

g ( x)min ? g (3) ? 9 ? 3m ? m2 ? 7m
②当 m ? 3 时,又因为 g (0) ? g (m) ,结合 m ? 0 时 g ( x) 的单调性, 故 g (3) ? g (m) , g ( x) min ? g (m) ? m2 ? 7m 综上, g ( x) min ? h(m) ? ?
2 ? ?m ? 10m ? 9, m ? 3 ?m 2 ? 7 m, m ? 3 ?

? x ? m, x ? m ,又因为 x ? (??, 4] , f ( x) ?| x ? m |? ? ?m ? x, x ? m
所以①当 m ? 4 时, f ( x) min ? f (m) ? 0 ;②当 m ? 4 时, f ( x) min ? f (4) ? m ? 4 综上得:
2 1°当 m ? 3 时,由 0 ? 9 ? 3m ? m ? 7m 得 1 ? m ? 9 ,故 1 ? m ? 3
2 2°当 3 ? m ? 4 时,由 0 ? m ? 7m 得 0 ? m ? 7 ,故 3 ? m ? 4

2 3°当 m ? 4 时,由 m ? 4 ? m ? 7m 得 4 ? 2 3 ? m ? 4 ? 2 3 ,故 4 ? m ? 4 ? 2 3

综上所述: m 的取值范围是 (1,4 ? 2 3 ) .

22. 【答案】(1)

x2 y 2 ? ? 1 ;(2)存在,Q 点的坐标为 Q(0, 2) . 4 2

9

【解析】(1)由已知,点 ( 2,1) 在椭圆 E 上.

?2 1 ? a 2 ? b 2 ? 1, ? ? 因此, ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? ?c ? 2 , ? 2 ?a
解得 a ? 2, b ? 2 .

x2 y 2 所以椭圆的方程为 ? ? 1. 4 2
(2)当直线 l 与 x 轴平行时,设直线 l 与椭圆相交于 C、D 两点.

如果存在定点 Q 满足条件,则

| QC | | PC | ? ? 1 ,即 | QC |?| QD | . | QD | | PD |

所以 Q 点在 y 轴上,可设 Q 点的坐标为 (0, y0 ) . 当直线 l 与 x 轴垂直时,设直线 l 与椭圆相交于 M、N 两点. 则 M (0, 2), N (0, ? 2) ,



|y ? 2| 2 ?1 | QM | | PM | ? ,有 0 ,解得 y0 ? 1 或 y0 ? 2 . ? | QN | | PN | | y0 ? 2 | 2 ?1

所以,若存在不同于点 P 的定点 Q 满足条件,则 Q 点的坐标只可能为 Q(0, 2) .

下面证明:对任意的直线 l ,均有

| QA | | PA | . ? | QB | | PB |

当直线 l 的斜率不存在时,由上可知,结论成立. 当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 ,A、B 的坐标分别为

( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) .
10

? x2 y 2 ?1 ? ? , 得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 4kx ? 2 ? 0 . 联立 ? 4 2 ? y ? kx ? 1 ?
其判别式 ? ? 16k 2 ? 8(2k 2 ? 1) ? 0 ,

所以, x1 ? x2 ? ?

4k 2 , x1 x2 ? ? 2 . 2 2k ? 1 2k ? 1

因此

1 1 x1 ? x2 ? ? ? 2k . x1 x2 x1 x2

易知,点 B 关于 y 轴对称的点的坐标为 B?(? x2 , y2 ) .

11


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