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专题一 集合、常用逻辑用语与函数概念


[考试标准] 单 元 知识条目 1.集合的含义与表示 (1)集合的含义 (2)集合元素的特性 (3)集合的相等 (4)集合与元素关系 (5)常用数集的记法 (6)集合的表示法 2.集合间的基本关系 (1)子集、真子集的概念 (2)空集的概念 3.集合的基本运算 (1)并集的含义 (2)交集的含义 (3)全集与补集 1.函数的概念 (1)函数的概念 (2)函数符号 y=f(x) (

3)函数的定义域 (4)函数的值域 (5)区间的概念及其表示法 2.函数的表示法 (1)函数的解析法表示 (2)函数的图象法表示,描点法作图 (3)函数的列表法表示 (4)分段函数的意义与应用 (5)映射的概念 1.单调性与最大(小)值 (1)增函数、减函数的概念 (2)函数的单调性、单调区间 (3)函数的最大值和最小值 2.奇偶性 (1)奇函数、偶函数的概念 (2)奇函数、偶函数的性质 1.命题 命题的概念 2.四种命题 命题的逆命题、否命题、逆否命题 3.四种命题间的相互关系 考试要求 a a a a a b b b b b b b b b b a b b a b a b c c b c b a a

集 合

函数及其表 示

函数的基本 性质

命题及其关 系

充分条件与 必要条件

(1)四种命题间的相互关系 (2)利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判断命题 的真假 1.充分条件与必要条件 必要条件、充分条件的含义 2.充要条件 充要条件的含义

b

b b

一、集合 1.集合的概念 (1)集合的定义 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合. (2)集合元素的三个特征 确定性、互异性、无序性. (3)常见数集的表示 正整数集合:N*;整数集合:Z;有理数集合:Q;实数集合:R. (4)集合的表示方法 列举法、描述法、图示法. 2.集合间的关系 (1)子集 一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,则称集合 A 是集合 B 的子集.记作:A?B.如果集 合 A 中含有 n 个元素,则集合 A 有 2n 个子集. (2)真子集 如果集合 A?B,但存在元素 x∈B,且 x?A,则称集合 A 是集合 B 的真子集.记作:A ? B. (3)集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合相等. (4)空集 把不含任何元素的集合叫做空集.记作:?.并规定:空集是任何集合的子集. 3.集合的基本运算 (1)并集 一般地,由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集.记作:A∪B. (2)交集 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A 与 B 的交集.记作:A∩B. (3)全集 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集(通常也把给定的集合称为全集),通常记作 U. (4)补集 设 U 是全集,A 是 U 的一个子集(即 A?U),则 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做?UA={x|x∈U,且 x?A}. 二、函数 1.函数的概念 设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对 应,那么就称 f:A→B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,记作:y=f(x),x∈A. 2.函数的相关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A} 叫做函数的值域,显然,值域是集合 B 的子集. (2)函数的三要素是定义域、对应关系、值域. (3)相等函数 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据. 3.函数的表示法

解析法、图象法、列表法. 4.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部 分组成,但它表示的是一个函数. 5.映射 一般地,设 A、B 是两个集合,如果按照对应法则 f,对于集合 A 中的每一个元素在集合 B 中都有唯一的元素和它对应,那么这样的 对应叫做集合 A 到集合 B 的映射,记作 f:A→B.相应有原象与象等概念. 6.函数的单调性 (1)单调函数的定义 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,区间 D?I,如果对于任意 x1,x2∈D,且 x1<x2,则有: ①f(x)在区间 D 上是增函数?f(x1)<f(x2); ②f(x)在区间 D 上是减函数?f(x1)>f(x2). (2)单调区间的定义 若函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,则称函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. (3)函数的最值 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 ①对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M(f(x)≥M); ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M,M 为最大(小)值. 7.奇、偶函数的概念 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么就称函数 f(x)为偶函数.偶函数图象关于 y 轴对称. 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么就称函数 f(x)为奇函数.奇函数的图象关于原点对称. 三、常用逻辑用语 1.命题 在数学中把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命 题. 2.四种命题及相互关系

3.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 4.充分条件与必要条件 (1)如果 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. (2)如果 p?q,q?p,则 p 是 q 的充要条件. 设集合 A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则 A∩B=( ) A.[0,2] B.(1,3) C.[1,3) D.(1,4) 【点拨】 在化简集合形式以后,利用集合的交集定义直接求解. 【解析】 |x-1|<2?-2<x-1<2,故-1<x<3,即集合 A=(-1,3).根据指数函数的性质,可得集合 B=[1,4].所以 A∩B=[1,3).故 选 C. 【答案】 C 1 1 ? ? 若 x∈A, 则 ∈A, 就称 A 是伙伴关系集合, 集合 M=?-1,0,2,2,3?的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) x ? ? A.1 B.3 C .7 D.31

【点拨】 通过阅读,理解“伙伴关系”的含义,依据非空子集的概念,列举具有伙伴关系的元素,然后确定集合个数. 1 【解析】 集合 M 中具有伙伴关系的元素有-1, ,2, 2 1 1 ? ? ? ? 所以具有伙伴关系的集合有 3 个:{-1},?2,2?,?-1,2,2?.故选 B. ? ? ? ? 【答案】 B 设{an}是公比为 q 的等比数列,则“q>1”是“{an}为递增数列”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 当数列{an}的首项 a1<0 时,若 q>1,则数列{an}是递减数列;当数列{an}的首项 a1<0 时,要使数列{an}为递增数列, 则 0<q<1,所以“q>1”是“数列{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件. 【答案】 D ? ?2x+a,x<1, 已知实数 a≠0,函数 f(x)=? 若 f(1-a)=f(1+a),则实数 a 的值为________. ?-x-2a,x≥1. ? 【点拨】 根据分段函数的定义,通过分类讨论求解. 【解析】 ①当 a>0 时,1-a<1,1+a>1. 这时 f(1-a)=2(1-a)+a=2-a, f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a. 3 由 f(1-a)=f(1+a)得 2-a=-1-3a,解得 a=- ,不合题意,舍去. 2 ②当 a<0 时,1-a>1,1+a<1, 这时 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a, f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a. 3 由 f(1-a)=f(1+a)得-1-a=2+3a,解得 a=- . 4 3 综上可知,a 的值为- . 4 3 【答案】 - 4 存在函数 f(x)满足,对任意 x∈R 都有( ) A.f(sin 2x)=sin x B.f(sin 2x)=x2+x C.f(x2+1)=|x+1| D.f(x2+2x)=|x+1| 【点拨】 根据函数的定义,对任意 x∈R,都有且仅有唯一的函数值与其对应,注意这里的自变量并不是 x. π π 【解析】 如取 x=0,这时 f(0)=sin 0=0,取 x= ,这时 f(0)=sin =1,故 A 不正确;同理可以判断 B,C 错误; 故选 D. 2 2 【答案】 D ? ? 3 3 y=x2- x+1 ,x∈? ,2??, 已知集合 A=?y? 2 4 ? ? ? ? ? B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数 m 的取值范围. 【点拨】 集合与充要条件综合问题,一般先化简集合,然后根据充要条件建立等式或者不等式,进而求出参数的取值范围. 3 3 7 x- ?2+ , 【解】 y=x2- x+1=? ? 4? 16 2 3 ? 7 因为 x∈? ?4,2?,所以16≤y≤2, ? 7 ? ≤y≤2 ?. 所以 A=?y? ? ?16 ? 2 由 x+m ≥1,得 x≥1-m2, 所以 B={x|x≥1-m2}.

因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件, 7 所以 A?B,所以 1-m2≤ , 16 3 3 解得 m≥ 或 m≤- , 4 4 3? ?3 ? 故实数 m 的取值范围是? ?-∞,-4?∪?4,+∞?. 1 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)= (|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若?x∈R,f(x-1)≤f(x),则实数 a 的取值 2 范围为( ) 1 1? 6 6 A.? B.?- , ? ?-6,6? ? 6 6? 1 1? 3 3 C.? D.?- , ? ?-3,3? ? 3 3? -x,0≤x≤a , ? ? 2 2 2 【解析】 函数解析式化简,当 x≥0 时,f(x)=?-a ,a <x≤2a ? ?x-3a2,x>2a2,
2

,分段函数的形式基本确定,但不可能通过代入建立不等式求解,

所以利用数形结合.因为 f(x)为奇函数,可得 f(x)的图象如图所示,由图象可得,当 x≤2a2 时,f(x)max=a2,当 x>2a2 时,令 x-3a2=a2, 6 6 得 x=4a2,又?x∈R,f(x-1)≤f(x),可知 4a2-(-2a2)≤1?a∈?- , ?,故选 B. ? 6 6?

【答案】 B k 试讨论函数 f(x)=x+ (k>0)的单调性. x 【点拨】 单调性的讨论要紧紧围绕定义,通过“设、减、定(符号)”等步骤严格给出证明,主要是代数式的变形能力,如配方、分 解等. 【解】 由解析式可知,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞). 在(0,+∞)内任取 x1,x2,令 x1<x2, k? ? k? 那么 f(x2)-f(x1)=? ?x2+x2?-?x1+x1? 1 1? x1x2-k =(x2-x1)+k? ?x2-x1?=(x2-x1) x1x2 . 因为 0<x1<x2,所以 x2-x1>0,x1x2>0. 故当 x1,x2∈( k,+∞)时,f(x1)<f(x2), 即函数在( k,+∞)上单调递增. 当 x1,x2∈(0, k)时,f(x1)>f(x2), 即函数在(0, k)上单调递减. k 因为函数 f(x)=x+ (k>0)是奇函数,在关于原点对称的区间上具有相同的单调性,故在(-∞,- k)上单调递增,在(- k,0)上单调 x 递减. 综上,函数 f(x)在(-∞,- k)和( k,+∞)上单调递增,在(- k,0)和(0, k)上单调递减. 设 a∈R,函数 f(x)=x|x-a|+2x. (1)若 a=2,求函数 f(x)在区间[0,3]上的最大值; (2)若 a>2,写出函数 f(x)的单调区间(不必证明); (3)若存在 a∈[3,6],使得关于 x 的方程 f(x)=t+2a 有三个不相等的实数解,求实数 t 的取值范围. 【点拨】 (1)考查分段函数的最值,可利用图象,结合函数的单调性求出在[0,3]上的最值,也可求出每一段的最值再进行比较,取

最大的即可;(2)会求分段函数的单调区间,二次函数单调区间的分界线是对称轴,通过配方求出对称轴,此时须注意对称轴与定义域的 关系;(3)利用函数的单调性结合函数的图象,求出 t 的取值范围,有时可借助性质研究图象,充分体现了数形结合的思想方法. 【解】 (1)当 a=2,x∈[0,3]时, ?x2,2≤x≤3, ? f(x)=x|x-2|+2x=? 2 ?-x +4x,0≤x<2, ? 当 2≤x≤3 时,f(x)=x2 在[2,3]上是增函数,f(x)max=f(3)=9, 当 0≤x<2 时,f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4 在[0,2)上是增函数, 所以 f(x)<f(2)=4, 综上所述,函数 f(x)在区间[0,3]上的最大值是 9. ?x2+?2-a?x,x≥a, ? (2)f(x)=x|x-a|+2x=? 2 ? ?-x +?2+a?x,x<a, a-2?2 ?a-2?2 ①当 x≥a 时,f(x)=?x- - , 4 2 ? ? a-2 对称轴方程:x= , 2 a-2 因为 a>2,所以 <a. 2 所以 f(x)在[a,+∞)上单调递增. a+2?2 ?a+2?2 ? ②当 x<a 时,f(x)=- x- + , 4 2 ? ? a+2 对称轴方程:x= , 2 a+2 因为 a>2,所以 <a. 2 a+2? a+2 ? 所以 f(x)在?-∞, 上单调递增,在? 2 ? ? ? 2 ,a?上单调递减. a+2? a+2 ? 综上所述,函数 f(x)的递增区间是?-∞, ,[a,+∞);递减区间是? 2 ? ? ? 2 ,a?. a+2? a+2 ? (3)当 3≤a≤6 时,由(2)知 f(x)在?-∞, ,[a,+∞)上是增函数,在? 2 ? ? ? 2 ,a?上是减函数, 若方程 f(x)=t+2a 有三个不相等的实数解, a+2? 则满足 f(a)<t+2a<f? ? 2 ?, ?a+2?2 即 2a<t+2a< , 4 ?a-2?2 所以存在 a∈[3,6],使 0<t< 成立, 4 ?a-2?2 设 g(a)= , 4 因为 g(a)在 a∈[3,6]上是增函数, 所以 g(a)max=g(6)=4,即 0<t<4, 所以实数 t 的取值范围是(0,4). 1 1 (2015· 10 月学业水平考试)已知函数 f(x)=ax+ + ,a∈R. x+1 x-1 (1)判断函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)当 a<2 时,证明:函数 f(x)在(0,1)上单调递减; ?f?x?-2?≥0 恒成立,求 a 的取值范围. (3)若对任意的 x∈(0,1)∪(1,+∞),不等式(x-1)· x? ? 【点拨】 (1)、(2)根据奇偶性、单调性的定义推断,其中(2)的关键是代数变形的能力,(3)在代数变形的基础上,转化为最值问题, 含有字母要注意分类讨论.

1 1 【解】 (1)因为 f(-x)=-ax+ + -x+1 -x-1 1 1 =-?ax+x-1+x+1? ? ? =-f(x). 又因为 f(x)的定义域为{x∈R|x≠-1 且 x≠1}, 所以函数 f(x)为奇函数. (2)证明:任取 x1,x2∈(0,1),设 x1<x2,则 x2-x1 x2-x1 f(x1)-f(x2)=a(x1-x2)+ + ?x1-1??x2-1? ?x1+1??x2+1? 1 1 =(x1-x2)?a-?x -1??x -1?-?x +1??x +1?? ? ? 1 2 1 2 2?x1x2+1? ? ? =(x1-x2)?a- 2 ?. 2 ? x ? 1-1??x2-1?? 因为 0<x1<x2<1,所以 2 2(x1x2+1)>2,0<(x2 1-1)(x2-1)<1, 2?x1x2+1? 所以 2 >2>a, ?x1-1??x2 2-1? 2?x1x2+1? 所以 a- 2 <0. ?x1-1??x2 2-1? 又因为 x1-x2<0,所以 f(x1)>f(x2). 所以函数 f(x)在(0,1)上单调递减. 2x 2 2 - ? f?x?- ?=(x-1)?ax+ 2 (3)因为(x-1)? x? x -1 x? ? ? ax2?x2-1?+2x2-2?x2-1? = x?x+1? ax2?x2-1?+2 = , x?x+1? 所以不等式 ax2(x2-1)+2≥0 对任意的 x∈(0,1)∪(1,+∞)恒成立. 令函数 g(t)=at2-at+2,其中 t=x2,t>0 且 t≠1. ①当 a<0 时,抛物线 y=g(t)开口向下,不合题意; ②当 a=0 时,g(t)=2>0 恒成立,所以 a=0 符合题意; 1?2 a ③当 a>0 时,因为 g(t)=a? ?t-2? -4+2, a 所以只需- +2≥0, 4 即 0<a≤8. 综上,a 的取值范围是 0≤a≤8. 1.简单的集合问题,直接根据概念、运算解决;解决综合问题,一般是先定性,后化简,再利用合适的形式运算. 2.求函数的单调区间,首先要确定函数的定义域,单调区间是定义域的子区间,常用定义法、图象法、导数法和复合函数法.注意 单调区间一般不能用并集表示. 3.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.有时也可通过图象来 判断. 4.函数主要关注其性质的研究,常用的数学思想方法有数形结合、分类讨论、转化与化归以及函数与方程等. 5.分段函数的求解策略:根据分段函数的解析式求函数值,先确定自变量的值属于哪个区间,再选定相应的解析式代入求解.含有 绝对值的函数实际上就是分段函数,要熟练其图象与性质,处理含参问题的一个重要方法是数形结合法. 6.判断充分条件和必要条件的方法 (1)定义判断法 如设“若 p,则 q”为原命题,那么原命题为真,逆命题为假时,则 p 是 q 的充分不必要条件. (2)集合判断法

从集合的观点看,建立命题 p,q 相应的集合:p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立},如若 A?B 且 B?A,即 A=B 时,则 p 是 q 的充要条件. (3)等价转化法 p 是 q 的什么条件等价于綈 q 是綈 p 的什么条件. [单独成册] 一、选择题 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,6},B={1,3,5},则 A∩(?UB)=( ) A.{2,4,6} B.{1,3,5} C.{2,4,5} D.{2,5} 解析:选 A.由题意可得?UB={2,4,6,7},所以 A∩(?UB)={2,4,6},选 A. 2.设集合 A={x|-2≤x≤3},B={x|x+1>0},则集合 A∩B 等于( ) A.{x|-2≤x≤-1} B.{x|-2≤x<-1} C.{x|-1<x≤3} D.{x|1<x≤3} 解析:选 C.因为 B={x|x>-1},所以 A∩B={x|-1<x≤3}. 3.满足集合{1,2,3}?M?{1,2,3,4,5,6}的集合 M 的个数为( ) A.5 B.6 C .7 D.8 解析:选 C.根据题意,由于集合{1,2,3}?M?{1,2,3,4,5,6},可知 M 中至少含有 1,2,3,且最多为 1,2,3,4,5,6.由此可知 M={1,2,3},M ={1,2,3,4},M={1,2,3,5},M={1,2,3,6},M={1,2,3,4,5},M={1,2,3,4,6},M={1,2,3,4,5,6}共有 7 个,选 C. ?x2,x>0, ? 4.已知 f(x)=? 则 f(2)+f(-2)的值为( ) ? ?f?x+1?,x≤0, A.8 B.5 C .4 D.2 解析:选 B.f(2)=4,f(-2)=f(-2+1)=f(-1)=f(-1+1)=f(0)=f(0+1)=f(1)=1.故选 B. 5.给定的下列四个式子中,能确定 y 是 x 的函数的是( ) 2 2 ①x -y =1; ②|x-1|+ y2-1=0; ③ x-1- y-1=1; ④y= x-2+ 1-x. A.① B.② C.③ D.④ 解析:选 C.根据函数定义,特别是特值检验. 6.“a>0”是“a2+a≥0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.a>0?a2+a≥0;反之 a2+a≥0?a≥0 或 a≤-1,不能推出 a>0,选 A. 7.设二次函数 f(x)=ax2-2ax+c 在区间[0,1]上单调递减,且 f(m)≤f(0),则实数 m 的取值范围是( ) A.(-∞,0] B.[2,+∞) C.(-∞,0]∪[2,+∞) D.[0,2] 2 解析:选 D.f(x)=ax -2ax+c=a(x-1)2+c-a 在区间[0,1]上单调递减,又对称轴是直线 x=1,则 a>0,即函数图象开口向上.所以 f(0)=f(2),则当 f(m)≤f(0)时,有 0≤m≤2,故选 D. 8.下列各组函数中,f(x)与 g(x)表示同一函数的是( ) 2 A.f(x)=x-1 与 g(x)= x -2x+1 x2 B.f(x)=x 与 g(x)= x C.f(x)= x2-1(x>1)与 g(x)= x+1· x-1(x>1)

x2-4 D.f(x)= 与 g(x)=x+2 x-2

x2 解析:选 C.A 选项中,g(x)= x2-2x+1=|x-1|,与 f(x)的对应关系不相同,它们不表示同一函数;B 选项中,g(x)= 的定义域为 x {x|x≠0},与 f(x)的定义域不相同,它们不表示同一函数;C 选项中,当 x>1 时,g(x)= x+1· x-1= x2-1,与 f(x)的定义域和对应关 x2-4 系都相同,它们表示同一函数;D 选项中,f(x)= 的定义域为{x|x≠2},与 g(x)的定义域不相同,它们不表示同一函数. x-2 9.设 a>0,b>0,则“a-b>1”是“a2-b2>1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.因为 a-b>1,即 a>b+1,又因为 a>0,b>0,所以 a2>(b+1)2=b2+1+2b>b2+1,即 a2-b2>1 成立,相反,代入特殊值, 当 a= 3,b=1 时,满足 a2-b2>1,但 a-b>1 不成立,所以是充分不必要条件. 10.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1,x2,不等式 x1f(x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f(x1)恒成立,则不等 式 f(x)<0 的解集为( ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,1) D.(1,+∞) 解析:选 B.由已知,x1f(x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f(x1)?(x1-x2)f(x1)+(x2-x1)f(x2)<0?(x1-x2)(f(x1)-f(x2))<0,由函数单调性的定义可知 函数在给定定义域内为减函数,且 f(0)=0,因此可知不等式 f(x)<0 的解集为(0,+∞),选 B. 3x2 11.函数 f(x)= +lg(3x+1)的定义域是( ) 1-x 1 ? 1 ? A.? B.? ?-3,1? ?-3,+∞? 1 1? 1? C.? D.? ?-3,3? ?-∞,-3? ?1-x>0, ? 1 解析:选 A.函数有意义应满足? 解得- <x<1,所以选 A. 3 ? 3 x + 1>0 , ? 12.设函数 y=f(x)在区间 D 上是奇函数,函数 y=g(x)在区间 D 上是偶函数,则函数 H(x)=f(x)· g(x)在区间 D 上是( ) A.偶函数 B.奇函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 解析:选 B.根据奇、偶函数定义直接判断. 13.已知全集 U=R,设函数 y=lg(x-1)的定义域为集合 A,函数 y= x2+2x+5的值域为集合 B,则 A∩(?UB)=( ) A.[1,2) B.[1,2] C.(1,2) D.(1,2] 解析: 选 C.由对数函数的定义域可知集合 A={x|x>1}. 因为 x2+2x+5=(x+1)2+4≥4, 故集合 B={x|x≥2}, 所以?UB={x|x<2}, A∩(? UB)={x|1<x<2}. 14.某商场进了一批单价为 30 元的电暖宝,如果按 40 元一个销售,每天能卖 40 个;若销售单价每上涨 1 元,每天的销售量就减少 1 个,要使每天获得最大利润,电暖宝的销售单价应该为( ) A.53 元 B.55 元 C.56 元 D.58 元 解析:选 B.设单价为 x 元,利润为 y 元,则 y=(x-30)· [40-(x-40)]=-(x-55)2+625,所以当 x=55 时,y 取最大值为 625. 3 15.设偶函数 f(x)满足 f(x)=x -8(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( ) A.{x|x<-2 或 x>4} B.{x|x<0 或 x>4} C.{x|x<0 或 x>6} D.{x|x<-2 或 x>2} 解析:选 B.偶函数 f(x)满足 f(x)=x3-8(x≥0),可知 f(x)>0 的解为{x|x>2 或 x<-2},所以 f(x-2)>0 的解为 x-2>2 或 x-2<-2?x>4 或 x<0. 16.函数 f(x)=xln|x|的大致图象是( )

解析:选 A.由题意,函数 f(x)=xln|x|,则可知函数的定义域为{x|x≠0},并且 f(x)=xln|x|,f(-x)=-xln|x|=-f(x)是奇函数,故可知 排除 C,D,然后在 x>0,且 x 靠近 0 时,比如 x=0.5,此时函数值为负数,故选 A. 1 17.直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“△OAB 的面积为 ”的( ) 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 1 1 解析:选 A.若 k=1,则直线 l:y=x+1 与圆相交于(0,1),(-1,0)两点,所以△OAB 的面积 S△OAB= ×1×1= ,所以 k=1?△OAB 2 2 1 1 1 1 的面积为 ; 若△OAB 的面积为 , 则 k=± 1, 所以△OAB 的面积为 ?/ k=1, 所以“k=1”是“△OAB 的面积为 ”的充分而不必要条件, 2 2 2 2 故选 A. 18.已知函数 y=f(x)的定义域是 R,若对于任意的正数 a,函数 g(x)=f(x+a)-f(x)是其定义域上的增函数,则函数 y=f(x)的图象可 能是( )

解析: 选 A. 设 x1<x2,由 g(x)为其定义域上的增函数,得 f(x1+ a)- f(x1)<f(x2 + a)- f(x2) ,即 f(x1 +a)- f(x2+ a)<f(x1) - f(x2),所以 f?x1+a?-f?x2+a? f?x1?-f?x2? > ,即曲线 y=f(x)的割线的斜率单调递增.结合函数图象可知,选项 A 正确. ?x1+a?-?x2+a? x1-x2 二、填空题 19.(2015· 10 月学业水平考试)设全集 U={2,3,4},集合 A={2,3},则 A 的补集?UA=________. 答案:{4} 20.有下列几个命题: ①“若 a>b,则 a2>b2”的否命题; ②“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ③“若 x2<4,则-2<x<2”的逆否命题. 其中真命题的序号是________. 解析:①原命题的否命题为“若 a≤b,则 a2≤b2”错误. ②原命题的逆命题为:“若 x,y 互为相反数,则 x+y=0”正确. ③原命题的逆否命题为“若 x≥2 或 x≤-2,则 x2≥4”正确. 答案:②③ 21.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且 f(2)=0,则满足 f(x)<0 的 x 的取值范围是________. 解析:因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(2)=0,所以 f(-2)=0,又 f(x)在(-∞,0]上是减函数,故 f(x)在[0,+∞)上是增函数, 故满足 f(x)<0 的 x 的取值范围应为(-2,2). 答案:(-2,2) 22.已知 f(x)是定义在 R 上的函数,f(1)=1,且对于任意的 x∈R 都有 f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1,若 g(x)=f(x)+1-x,则 g(2 014)的值为________. 解析:由 g(x)=f(x)+1-x,知 f(x)=g(x)+x-1,又 f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1,得 g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+(x-1)+5,g(x +1)+(x+1)-1≤g(x)+(x-1)+1,即 g(x+5)≥g(x),g(x+1)≤g(x),从而 g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1)≤g(x),所 以 g(x+1)=g(x),g(x)是周期为 1 的周期函数,则 g(2 014)=g(1)=1. 答案:1

三、解答题 23.已知集合 A={x|x2-4x-5≤0,x∈R},B={x|x2-2x-m<0}. (1)当 m=3 时,求 A∩(?RB); (2)若 A∩B={x|-1≤x<4},求实数 m 的值. 解:(1)当 m=3 时,A={x|-1≤x≤5},B={x|-1<x<3},则?RB={x|x≤-1 或 x≥3},所以 A∩(?RB)={x|3≤x≤5,或 x=-1}. (2)因为 A={x|-1≤x≤5},A∩B={x|-1≤x<4},所以有 42-2×4-m=0,解得 m=8, 此时 B={x|-2<x<4},符合题意,故实数 m 的值为 8. x+1 24.已知函数 f(x)= ,其中 x∈[3,5]. x-2 (1)用定义证明函数 f(x)在[3,5]上单调递减; x+1 (2)结合单调性,求函数 f(x)= 在区间[3,5]上的最大值和最小值. x-2 解:(1)证明:设 x1,x2 是区间[3,5]上的两个任意实数且 x1<x2, x1+1 x2+1 3?x2-x1? f(x1)-f(x2)= - = . x1-2 x2-2 ?x1-2??x2-2? 因为 3≤x1<x2≤5,所以 x2-x1>0,x1-2>0,x2-2>0, 所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 所以 f(x)在[3,5]上是单调减函数. (2)因为 f(x)在[3,5]上是单调减函数, 所以 f(x)max=f(3)=4, f(x)min=f(5)=2. 25.已知函数 f(x)=ax2+bx+1(a≠0)的图象关于直线 x=1 对称,且函数 y=f(x)+2x 为偶函数,函数 g(x)=1-2x. (1)求函数 f(x)的表达式; (2)求证:方程 f(x)+g(x)=0 在区间[0,1]上有唯一实数根; (3)若有 f(m)=g(n),求实数 n 的取值范围. 解:(1)因为 f(x)=ax2+bx+1 的图象关于直线 x=1 对称, 所以 b=-2a. 又 y=f(x)+2x=ax2+(b+2)x+1 为偶函数, 所以 b=-2,a=1. 所以 f(x)=x2-2x+1=(x-1)2. (2)证明:设 h(x)=f(x)+g(x)=(x-1)2+1-2x, 因为 h(0)=1>0,h(1)=-1<0,所以 h(0)h(1)<0. 又 y=(x-1)2,y=-2x 在区间[0,1]上均单调递减, 所以 h(x)在区间[0,1]上单调递减, 所以 h(x)在区间[0,1]上存在唯一零点. 故方程 f(x)+g(x)=0 在区间[0,1]上有唯一实数根. (3)由题可知 f(x)=(x-1)2≥0,g(x)=1-2x<1, 若有 f(m)=g(n),则 g(n)∈[0,1),则 1-2n≥0, 解得 n≤0. 故 n 的取值范围是 n≤0.


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