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第九章 第1节 多元函数的基本概念


第九章 多元函数微分法 及其应用
一元函数微分学 推广 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同
1

第九章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的基本概念 第二节 偏导数 第三节 全微分 第四节 多元复合函数的求导法则 第五节 隐函数的求导公式
第六节 多元函数微分学的几何应用 第七节 方向导数与梯度 第八节 多元函数的极值及其求法
2

第一节 多元函数的基本概念
一、平面点集 n 维空间

第九章

二、多元函数的概念 三、多元函数的极限
四、多元函数的连续性 五、小结
3

一、平面点集 n 维空间
1.邻域 设 P0 ( x 0 , y0 )是 xoy平面上的一个点,? 是某 一正数,与点 P0 ( x 0 , y0 )距离小于 ? 的点 P ( x , y ) 的全体,称为点 P0 的? 邻域,记为U ( P0 , ? ) ,
U ( P0 ,? ) ? ?P | PP0 |? ? ?

?
2

P0
?

? ( x , y ) | ( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ? ? . 说明:若不需要强调邻域半径? ,也可写成 U ( P0 ) .
2

?

?

点P0的去心邻域记为

0 ? PP0 ? δ
4

2. 区域
(1) 内点、外点、边界点 设有点集E及一点P : ? 若存在点P的某邻域 U(P)? E , 则称P为E的内点; ? 若存在点P的某邻域 U(P)∩E =? , 则称P为E的外点 ; ? 若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E 的外点 ,则称P为E的边界点 . 显然,E 的内点必属于E , E 的外点必不属于E , 的 E 边界点可能属于E, 也可能不属于E .
5

E

(2)聚点 若对任意给定的? , 点P 的去心
邻域 则 内总有E 中的点 , 称点P是E 的聚点. 说明: 1) 内点一定是聚点; 2) 聚点可以属于E ,也可以不属于E(因为聚点可以为

E

E 的边界点 ) {( x , y ) | 0 ? x 2 ? y 2 ? 1} 例如,
(0,0) 是聚点但不属于集合.
{( x , y ) | x 2 ? y 2 ? 1 } 例如, 边界上的点都是聚点也都属于集合.
6

(3)

开区域及闭区域

? 若点集E的点都是内点,则称E为开集;
? E 的边界点的全体称为E 的边界,记作?E ;

? 若点集E ??E , 则称E为闭集;
? 若点集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连, 则称D是连通的; ? 连通的开集称为开区域,简称区域 ; ? 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 。 。
7

D

例如,在平面上
? ? ( x, y ) x ? y ? 0 ?

y
开区域

? ? ( x, y ) 1 ? x 2 ? y 2 ? 4 ?
? ? ( x, y ) x ? y ? 0? ? ? ( x, y ) 1 ? x 2 ? y 2 ? 4 ?

o
y

x

闭区域

o 1 2x

y

y

o

x

o 1 2x
8

? 整个平面 是最大的开域 , 也是最大的闭域; ? 点集 ? ( x, y ) x ? 1? 是开集, 但非区域 .

y

?1o 1 x

?

对区域D,若存在正数K,使一切点P?D与某定点

A 的距离 ?AP??K , 则称D为有界域 ,否则称为无
界域 .

9

3.

n 维空间
的全体称为n维空间,

n 元有序数组 记作 R n , 即 R n ? R? R? ? ? R

n 维空间中的每一个元素
一个点, 称为该点的第k个坐标 .

称为空间中的

10

说明:

1). n维空间的记号为 R ; 2). n维空间中两点间距离公式
设两点为 P ( x1 , x2 ,?, xn ), Q( y1 , y2 ,?, yn ),
| PQ |? ( y1 ? x1 )2 ? ( y2 ? x2 )2 ? ? ? ( yn ? xn )2 .

n

3). n维空间中邻域、区域等概念 邻域: U ( P0 , ? ) ? P | PP0 |? ? , P ? R n

?

?
11

内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义.

二、多元函数的概念
引例:

? 圆柱体的体积
? 定量理想气体的压强

r
h

? 三角形面积的海伦公式

b

a c
12

定义1. 设非空点集 在 D上的 n 元函数 , 记作

映射

称为定义

点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 ? u u ? f ( P ) , P ? D ? 称为函数的值域 . 特别地 ,当 n ? 2 时,有二元函数 当 n ? 3 时, 有三元函数

13

; 说 明: 会求函数的定义域

y

z ? xy
D : xy ? 0

o

x

z?

1 1? x ? y
y

D : x ? y ?1

x
14

arcsin( 3 ? x 2 ? y 2 ) 例1 求 f ( x , y ) ? 的定义域. 2 x? y


? 3 ? x2 ? y2 ? 1 ? ? ? x ? y2 ? 0 ?
?2 ? x 2 ? y 2 ? 4 ?? x ? y2 ?

所求定义域为 D ? {( x , y ) | 2 ? x 2 ? y 2 ? 4, x ? y 2 }.
15

二元函数z ? f ( x , y )的图形

二元函数的图形通常是一张曲面.
16

例如, z ? sin xy 图形如右图.

例如, x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2
左图球面.

z

D ? {( x , y ) x 2 ? y 2 ? a 2 }.
o
y

单值分支: z ? a 2 ? x 2 ? y 2

z ? ? a2 ? x2 ? y2 .

x

17

z ? ?1 ? ( x ? y )图形
2 2

z o
x
y

z ? 1? x ? y
2

2

z
y

x
18

三、多元函数的极限 (? ? ?语言)
定义2. 设 n 元函数 f ( P ), P ? D ? R , P0 是D 的聚
n

点 ,若存在常数 A , 对任意正数 ? ,总存在正数? ,对一 切 P ? D ? U ( P0 , δ) , 都有
?

则称 A 为函数

记作
P ? P0

lim f ( P ) ? A

(也称为n重极限)

当n =2时, 记

? ? PP0 ? ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2

二元函数的极限可写作:
? ?0

lim f ( x , y ) ? A ? lim f ( x , y ) ? A
x ? x0 y ? y0
19

1 ?0 例2 求证 lim( x ? y ) sin 2 2 x ?0 x ?y y ?0
2 2

证 ? ? ? 0, 要使 ( x 2 ? y 2 ) sin
1 ? ( x ? y ) sin 2 ?0 2 x ?y
2 2 2 2

1 ?0 ?? 2 2 x ?y

1 ? x ? y ? sin 2 ? x2 ? y2 x ? y2
只要x 2 ? y 2 ? ? ,

取? ? ? ,

当 0 ? ( x ? 0)2 ? ( y ? 0)2 ? ? 时, 1 2 2 ( x ? y ) sin 2 ? 0 ? ? 原结论成立. 2 x ?y 20

说明:
(1)定义中 P ? P0 的方式是任意的; (2)二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x , y );
x ? x0 y ? y0

(3) lim f ( P ) ? A ?? P以 任 意 方 式 趋 于 时, P0
P ? P0

f (P) ? A

P0

21

(4)用一元函数求极限的方 法求二元函数的极限 ;

xy xy( xy ? 1 ? 1) ? lim ?2 例3 l i m x ?0 x ?0 xy xy ? 1 ? 1 y ?0
y ?0

1 例4 lim 1 ? ) ( x ?? x
y ?0

x2 x? y

1 ? lim 1 ? ) ] [( x ?? x
y ?0

x x x? y

?e

22

sin( x y ) . 例5 求极限 lim 2 2 x ?0 x ? y y ?0

sin( x 2 y ) lim 2 x?0 x ? y 2 y?0
sin(x 2 y) x 2 y ? lim ? 2 , 2 2 x ?0 x y x ?y y?0

2

sin( x y ) u ? x 2 y sin u lim lim ? 1, 其中 x ?0 2 x y u?0 u y?0
2

sin( x 2 y ) x2 y 1 ? ? x ?x ?0? 0, ? lim x 2 ? y 2 ? 0. 2 2 ? x ?0 x ?y 2 y ?0
23

(5)如 果 点 只 取 某 些 特 殊 路 径 趋 P0时, P 于 f ( P ) ? A, 不 能 断 定lim f ( P ) ? A
P ? P0

由 此 知:
若存在两路径极限不同 ,则函数极限不存在 .
判别多元函数极限不存 在的方法

24

x ?y 例6 证 明lim 2 不存在 . 2 x ?0 x ? y
2 2 y ?0

解 : 当点P( x, y)沿x轴趋于 (0,0),此时y ? 0 o
x ?y x ?l i m 2 ? lim 2 2 x ?0 x ? y x? 0 x
2 2

2

?1

y ?0

当点P( x, y)沿y轴趋于 (0,0),此时x ? 0 o 2 2 2 x ?y ?y ?l i m 2 ? lim 2 ? ?1 2 x ?0 x ? y y ?0 y
y ?0

?极限不存在

25

x y 例7 证明 lim 6 不存在. x ?0 x ? y 2 y ?0
证 取 y ? kx ,
3

3

3 3 x3 y x ? kx k lim 6 , 2 ? lim 2 6 2 6 ? x ?0 x ? y x ?0 x ? k x 1? k 3 y?0 y ? kx

其值随k的不同而变化, 故极限不存在.

26

确定极限不存在的方法:
(1) 令 P ( x , y ) 沿 y ? kx 趋向于 P0 ( x0 , y0 ) , 若

极限值与 k 有关,则可断言极限不存在;
(2) 找两种不同趋近方式,使lim f ( x , y ) 存在,
x ? x0 y ? y0

但两者不相等,此时也可断言 f ( x , y ) 在点

P0 ( x 0 , y0 ) 处极限不存在.
27

例8

l n ( ? xy) 1 lim x 是否存在 ? x ?0 x? y
y ?0

解 : 取y ? x? ? x
x? ? 2 ? x 3 x y ln ( ? xy) 1 li m x ? li m ? lim ? x ?0 x ?0 x ? y x ?0 x? y x y ?0 y ?0 ?? 1, ? ? 3 ? 2 3?? ? ?3 ? lim( x ? x ) ? ?0, x ?0 ?? , ? ?3 ?
2
28

?极限不存在 .

四、 多元函数的连续性 定义3 .设n元函数 f (P ) 定义在D上, 聚点 P0 ? D , 如果存在 lim f ( P ) ? f ( P0 )

则称n元函数 f ( P ) 在点 P0 连续, 否则称为不连续, 此时 称为间断点 .
二元函数在点P0处连续性的表达方法:

P ? P0

1.
2.

? x , y ?? ? x0 , y0 ?

lim

全增量

?Z ? f ? x0 ? ?x , y0 x ? ?y ? ? f ? x0, y0 ?
?Z ? 0 ( x ? x0 ? ?x

f ? x , y ? ? f ? x0 , y0 ?



? x , y ?? ? x0 , y0 ?

lim

y ? y0 ? ?y )
29

说 明:
(1)z ? f ( x, y )在P0 ( x0 , y0 )点连续 ? 下三条同时成立 1)z ? f ( x, y )在P0 ( x0 , y0 )点有定义。
2) lim f ( x , y )存在
x ? x0 y ? y0

3) lim f ( x , y ) ? f ( x0 , y0 )
x ? x0 y ? y0

( 2) z ? f ( x , y )在P0 ( x0 , y0 )点不连续 ? 上三条至少有 一不成立
30

( 3)如果z ? f ( x , y )在D内各点都连续, 称z ? f ( x , y ) 是D内的连续函数.

(4)二元连续函数的图形是一个无孔洞、无裂缝的曲面。

如z ? ? 1 ? ( x 2 ? y 2 )

31

?x ? y , ( x , y ) ? (0,0) ? 2 2 例9讨论函数 f ( x , y ) ? ? x ? y ?0, ( x , y ) ? (0,0) ?
3 3

在(0,0)处的连续性. 解

f ( x , y )在(0,0)点有定义,
3 3

x ?y ? lim f ( x , y ) ? lim 2 x ?0 x ?0 x ? y 2
y ?0
y?0

x ? r cos? y ? r sin ?

?

r ?0

lim r (cos 3 ? ? sin3 ? )

?0

? lim f ( x , y ) ? f (0,0) 即连续
x ?0 y ?0

32

例10 讨论函数

? xy , x2 ? y2 ? 0 ? x2 ? y2 f ( x, y) ? ? ?0, x2 ? y2 ? 0 ?
在(0,0)的连续性.
解 取 y ? kx xy k kx 2 lim 2 ? ? lim 2 2 2 x ?0 x ? y 2 x ?0 x ? k x 1? k2 y?0 y ? kx 其值随k的不同而变化, 极限不存在. 故函数在(0,0)处不连续.
33

闭区域上连续函数的性质
(1)最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数,在D 上至少取得它的最大值和最小值各一次. (2)介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数,如 果在D上取得两个不同的函数值,则它在D上 取得介于这两值之间的任何值至少一次.

34

多元初等函数: 由多元多项式及基本初等函数经过有限次 的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子 所表示的多元函数叫多元初等函数

如 z ? cos( xy ? 1)

z?

3 ? xy x ? y ?1
2 2

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.

35

四.小结
1. 区域 ? 邻域 : U ( P0 , δ) , ? 区域
n ? R 空间

U ( P0 , δ) 连通的开集

?

2. 多元函数概念 n 元函数 u ? f (P ) ? f ( x1 , x2 ,?, xn )

P ? D ? Rn
常用

二元函数 (图形一般为空间曲面)
三元函数
36

3. 多元函数的极限
P ? P0

lim f ( P ) ? A

? ε ? 0 , ? δ ? 0 , 当 0 ? PP0 ? δ 时, 有 f (P) ? A ? ε

4. 多元函数的连续性 1) 函数f ( P ) 在 P0 连续

P ? P0

lim f ( P ) ? f ( P0 )

2) 闭域上的多元连续函数的性质:
有界定理 ; 最值定理 ; 介值定理

3) 一切多元初等函数在定义区域内连续
思考与练习 P62 题 2; 4; 5 (3), (5) ( 画图 ) ; 8 P130 题 3; 4

37

解答提示:
P62 题 2. 称为二次齐次函数 .

P63 题 4.
P63 题 5(3).

y
y ? x2

定义域
P63 题 5(5). 定义域

D

o

y

x

D

o

r

R
38

x

P63 题 8. 间断点集
定义域 P130 题 3.
2 1 lim1 f ( x , y ) ? f ( , 0 ) ? 3 x? 2 2 ln 4 y?0

y

y2 ? 4 x
D 1 x

P130 题 4. 令 y ? kx x y2 kx lim 2 ? lim 4 4 2 ?0 x ?0 x ? y x ?0 1 ? k x
y ?0

可见极限

若令 y ?

x y2 x2 1 x , 则lim 2 ? 4 ? lim 2 x ?0 x ? y x? 0 2 x 2 y?0

不存在
39

习题9 ? 1 P62

5(1)( 2)(4), 6( 2)( 3)( 6)

40


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