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外接球与内切球


简单几何体的外接球与内切球问题
复习回顾: 定义 1: 若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上, 则称这个多面体是这个球的内接多 面体,这个球是这个多面体的外接球。 定义 2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切, 则称这个多面体是这个球的外切 多面体,这个球是这个多面体的内切球。 学习重点: 常用性质: 1、内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶

点的距离均相等。 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不重合。 4、基本方法:构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。 自我训练: 一、 直棱柱的外接球 1、长方体的外接球: 长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为 a, b, c ,则体对角线长为 l ? a2 ? b2 ? c2 ,几 何体的外接球直径 2R 为体对角线长 l 即 R ? 2、正方体的外接球: 正方体的棱长为 a ,则正方体的体对角线为 3a ,其外接球的直径 2R 为 3a 。 3、直棱柱的外接球: 方法:找出直棱柱的外接圆柱,圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。 例 1、一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一 9 个球面上,且该六棱柱的体积为 ,底面周长为3,则这个球的体积为 . 8 例 2、已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4,体积为 16,则这个球的表面积 是 A. 16? B. 20? C. 24? D. 32? 二、棱锥的外接球 1、正棱锥的外接球 方法:球心在正棱锥的高线上,根据球心到各个顶点的距离是球半径,列出关于半径的 方程。 例 3、正四棱锥 S ? ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ,点 S、A、B、C、D 都在同一 球面上,则此球的体积为 . 例 4、若正四面体的棱长为 4,则正四面体的外接球的表面积为___________。
a 2 ? b2 ? c2 2

例 5、 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上, 其中底面的三个顶点在该球的一 个大圆上,则该正三棱锥的体积是: ( (A)
3 3 4

) (C)
3 4

(B)

3 3

(D)

3 12

2、补体方法的应用 (1)正四面体(2)三条侧棱两两垂直的三棱锥 (3)四个面均为直角三角形的三棱锥(4)对棱相等的三棱锥 例 6、如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为 6 cm 2 、4 cm 2 和 3 cm 2 ,那么它 的外接球的体积是 。 例 7、如图为一个几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为( )

A. 4π

B. 8π

C. 12π

D. 16π

三、圆柱、圆锥的外接球 旋转体的外接球,可以通过研究轴截面求球的半径。 例 8、圆台的底面半径分别是 3 和 6,母线长为 5,求该圆台的外接球的半径。 例 9、圆柱的底面半径为 4,母线为 8,求该圆柱的外接球的半径。 例 10、圆锥的底面半径为 2,母线长为 4,求该圆锥的外接球的半径。 四、正方体的内切球 设正方体的棱长为 a ,求(1)内切球半径;(2)与棱相切的球半径。
a ;(2)与正方体各棱相切的球:球与 2 正方体的各棱相切,切点为各棱的中点,作截面图,圆 O 为正方形 EFGH 的外接圆,易

(1)截面图为正方形 EFGH 的内切圆,得 R ?

得R ?

2 a。 2

图1

图2

五、棱锥的内切球(分割法) 将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线,将棱锥分割成以原棱锥的面为底面,内切球的 半径为高的小棱锥,根据分割前后的体积相等,列出关于半径 R 的方程。若棱锥的体积 3V 为 V,表面积为 S,则内切球的半径为 R ? . S 例 11、正四棱锥 S ? ABCD ,底面边长为 2,侧棱长为 3,则内切球的半径是多少? 例 12、三棱锥 P ? ABC 中,底面 ?ABC 是边长为 2 的正三角形, PA ⊥底面 ABC ,且 PA ? 2 ,则此三棱锥内切球的半径为( ) 六、圆柱(轴截面为正方形) 、圆锥的内切球(截面法) 例 13、圆锥的高为 4,底面半径为 2,求该圆锥内切球与外接球的半径比。 例 14、圆柱的底面直径和高都是 6,求该圆柱内切球的半径。 讨论总结:

巩固训练: 1、 一个正三棱柱恰好有一个内切球(球与三棱柱的两个底面和 三个侧面都相切)和一个外接球(球经过三棱柱的 6 个顶点), 则此内切球与外接球表面积之比为 。 P 2、如图,半径为 2 的半球内有一内接正六棱锥 ? ABCDEF , 则此正六棱锥的侧面积是________. B 3、棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 .
A

P

C

D E F

4、已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, ?ABC 是 边 长 为 1 的 正 三 角 形 , SC 为 球 O 的 直 径 , 且 SC ? 2 ; 则 此 棱 锥 的 体 积 为

( A.
2 6

) B.
3 6

C.

2 3

D.

2 2

5、 已知点 P,A,B,C,D 是球 O 表面上的点,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是边长为 2 3 正方 形.若 PA=2 6 ,则△OAB 的面积为______________. 读题背题:

作业: 1、已知三棱锥的四个顶点都在球 O 的球面上, AB ? BC 且 PA ? 7 , PB ? 5 , PC ? 51 ,
AC ? 10 ,求球 O 的体积。

2、在三棱锥 A ? BCD 中, AB ? 平面BCD, CD ? BC , AB ? 3,BC ? 4,CD ? 5 则三棱锥 A ? BCD 外接球的表面积__________。


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