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一轮总复习练习:第二章第4讲函数的奇偶性与周期性知能训练轻松闯关[来源:学优网142336]


x 1.若函数 f(x)= 为奇函数,则实数 a=________. (2x+1)(x-a) x 解析:因为 f(x)= 是奇函数, (2x+1)(x-a) 所以 f(-1)=-f(1), -1 1 1 所以 =- ,所以 a+1=3(1-a),解得 a= . 2 (-2+1)(-1-a) (2+1)(1-a) 1 经检验,符合题意,所以 a= . 2 1 答案: 2 - 2.(

2016· 玉溪一中月考)若 f(x)=2x+2 xlg a 是奇函数,则实数 a=________. - 解析:依题意可得 f(0)=20+2 0lg a=1+lg a=0, 1 所以 lg a=-1,所以 a= . 10 1 答案: 10 3.已知 f(x)(x∈R)为奇函数,f(2)=1,f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(3)=________. 解析:令 x=-1,则 f(-1+2)=f(-1)+f(2), 即 f(1)=-f(1)+f(2), 1 所以 f(1)= . 2 1 3 所以 f(3)=f(1)+f(2)= +1= . 2 2 3 答案: 2 4.若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)-f(4)=________. 解析: 由 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数知 f(3)=f(-2)=-f(2)=-2, f(4)=f(-1)=-f(1) =-1,所以 f(3)-f(4)=-1. 答案:-1 5.(2016· 山东省日照第一中学月考)已知函数 f(x)的定义域为(3-2a,a+1),且 f(x+1) 为偶函数,则实数 a=________. 解析:因为函数 f(x+1)为偶函数,所以 f(-x+1)=f(x+1),即函数 f(x)关于 x=1 对称, 3-2a+a+1 所以区间(3-2a,a+1)关于 x=1 对称,所以 =1,即 a=2. 2 答案:2 6.设函数 f(x)=x3cos x+1,若 f(a)=11,则 f(-a)=________. 解析: 观察可知, y=x3cos x 为奇函数, 且 f(a)=a3cos a+1=11, 故 a3cos a=10, 则 f(- 3 a)=-a cos a+1=-10+1=-9. 答案:-9 7. (2016· 苏州一模)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x<0 时, f(x)=log2(2-x), 则 f(0) +f(2)的值为________. 解析:因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x),故 f(0)=-f(0),即 f(0)=0,f(2) =-f(-2)=-log24=-2,所以 f(0)+f(2)=-2. 答案:-2 8.已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+m(m 为常数),则 f(-1)的值为________. 解析:函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,则 f(0)=0, 即 f(0)=20+m=0,解得 m=-1.
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则 f(x)=2x+2x-1,f(1)=21+2×1-1=3,f(-1)=-f(1)=-3. 答案:-3 9.(2016· 山东省乳山一中月考)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足 f(2x - 2)<f( 2)的 x 的取值范围是________. 解析:偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,由对称性知其在(-∞,0)上单调递减, 因此应有|2x- 2|< 2,解得 x∈(0, 2). 答案(0, 2) 10.若偶函数 y=f(x)为 R 上的周期为 6 的周期函数,且满足 f(x)=(x+1)(x-a)(- 3≤x≤3),则 f(-6)等于________. 解析:因为 y=f(x)为偶函数,且 f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3), 所以 f(x)=x2+(1-a)x-a,所以 1-a=0. 所以 a=1. f(x)=(x+1)(x-1)(-3≤x≤3). f(-6)=f(-6+6)=f(0)=-1. 答案:-1 a 11.已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R). x (1)判断 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若 f(1)=2,试判断 f(x)在[2,+∞)上的单调性. 解:(1)当 a=0 时,f(x)=x2, f(-x)=f(x),函数 f(x)是偶函数. a 当 a≠0 时,f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R),取 x=± 1,得 f(-1)+f(1)=2≠0; x f(-1)-f(1)=-2a≠0, 即 f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1). 故函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)若 f(1)=2,即 1+a=2,解得 a=1, 1 这时 f(x)=x2+ . x 任取 x1,x2∈[2,+∞),且 x1<x2, 1? ? 2 1? 2 则 f(x1)-f(x2)=? ?x1+x1?-?x2+x2? x2-x1 =(x1+x2)(x1-x2)+ x1x2 1 ? =(x1-x2)? ?x1+x2-x1x2?. 由于 x1≥2,x2>2, 1 故 x1-x2<0,x1+x2> ,所以 f(x1)<f(x2), x1x2 故 f(x)在[2,+∞)上是单调递增函数. 12. 设函数 f(x)在(-∞, +∞)上满足 f(2-x)=f(2+x), f(7-x)=f(7+x), 且在闭区间[0, 7]上只有 f(1)=f(3)=0. (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2 005,2 005]上的根的个数,并证明你的结论. 解:(1)因为 f(1)=0,且 f(x)在[0,7]上只有 f(1)=f(3)=0, 又因为 f(2-x)=f(2+x),令 x=-3,则 f(-1)=f(5)≠0, 所以 f(-1)≠f(1),且 f(-1)≠-f(1). 所以 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (2)f(10+x)=f(2+8+x)=f[2-(8+x)] =f(-6-x)=f[7-(13+x)]=f(7+13+x) =f(20+x),
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所以 f(x)以 10 为周期. 又 f(x)的图象关于 x=7 对称知,f(x)=0 在(0,10)上有两个根, 则 f(x)=0 在(0,2 005]上有 201×2=402 个根; 在[-2 005,0]上有 200×2=400 个根; 因此 f(x)=0 在闭区间[-2 005,2 005]上共有 802 个根. 1.(2016· 南通一模)设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件: 5? f(2)+f? ?2?=________. 解析:依题意,函数 f(x)为奇函数且周期为 2, 1? ?3?+f(2)+f?5? 所以 f? + f (1) + f 2 ? ? ?2? ?2? 1? ? 1? ?1? =f? ?2?+f(1)+f?-2?+f(0)+f?2? 1? ?1? ?1? =f? ?2?+f(1)-f?2?+f(0)+f?2? 1? =f? ?2?+f(1)+f(0) = 2-1+21-1+20-1 = 2. 答案: 2 2. (2016· 河北省定州中学月考改编)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且当 x<0 时, f(x) =2x,则 f(log49)的值为________. - - 解析:因为 x<0 时,f(x)=2x,所以 x>0 时,f(-x)=-f(x)=2 x,即 f(x)=-2 x,所以 1 f(log49)=f(log23)=-2-log23=- . 3 1 答案:- 3 3.(2016· 山东省实验中学第一次诊断测试改编)若 f(x)是定义在 R 上的函数,对任意的 实数 x,都有 f(x+4)≤f(x)+4,且 f(x+2)≥f(x)+2,若 f(3)=4,则 f(2 015)的值是________. 解析:由 f(x+2)≥f(x)+2 得,f(x+4)≥f(x+2)+2≥f(x)+4,又因为 f(x+4)≤f(x)+4. 所以 f(x+4)=f(x)+4,所以 f(x+4k)=f(x)+4k(k∈Z),则 f(2 015)=f(3+4×503)=f(3) +4×503=2 016. 答案:2 016 4.(2016· 南京、盐城一模)已知 f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,当 x∈(0,2]时,f(x) x =2 -1 ,函数 g(x)=x2-2x+m. 如果对于?x1∈[-2,2],?x2∈[-2,2] ,使得 g(x2)= f(x1),则实数 m 的取值范围是________. 解析:由题意得 f(x)的值域是 g(x)的值域的子集.又当 x∈(0,2]时,f(x)=2x-1∈(0, 3] ,所以,根据奇函数的性质有:当 x∈[-2,0)时,f(x)∈[-3,0) ,而 f(0)=0,因此, 函数 f(x)的值域为[-3,3];又 g(x)=(x-1)2+m-1,故 g(x)的值域为[m-1,m+8],从而 ? ?m+8≥3, ? 解得-5≤m≤-2. ?m-1≤-3, ? 答案:[-5,-2] 5.关于 y=f(x),给出下列五个命题: ①若 f(-1+x)=f(1+x),则 y=f(x)是周期函数; ②若 f(1-x)=-f(1+x),则 y=f(x)为奇函数; ③若函数 y=f(x-1)的图象关于 x=1 对称,则 y=f(x)为偶函数; ④函数 y=f(1+x)与函数 y=f(1-x)的图象关于直线 x=1 对称; ⑤若 f(1-x)=f(1+x),则 y=f(x)的图象关于点(1,0)对称.
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1? ?3?+ ①f(x)+f(-x)=0;②f(x)=f(x+2);③当 0≤x≤1 时,f(x)=2x-1.则 f? + f (1) + f 2 ? ? ?2?

填写所有正确命题的序号________. 解析:由 f(-1+x)=f(1+x)可知,函数周期为 2,①正确;由 f(1-x)=-f(1+x)可知, y=f(x)的对称中心为(1,0),②错;y=f(x-1)向左平移 1 个单位得 y=f(x),故 y=f(x)关于 y 轴对称,③正确;两个函数对称时,令 1+x=1-x 得 x=0,故应关于 y 轴对称,④错;由 f(1-x)=f(1+x)得 y=f(x)关于 x=1 对称,⑤错,故正确的应是①③. 答案:①③ 2 ?-x +2x,x>0, 6.已知函数 f(x)=?0,x=0,

?

? ?x2+mx,x<0

是奇函数.

(1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. 解:(1)设 x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x), 于是 x<0 时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以 m=2. (2)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增, ?a-2>-1, ? 结合 f(x)的图象知? ?a-2≤1, ? 所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3].


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